PENGANTAR

Set~lah mempelajari buku ini, anda akan dapat menerapkan teori switching(switching) untuk memecahkan pennasalahan disain logika. Hal ini berarti bahwaanda akan mempelajari baik teori dasar jaringan switching maupun caramenerapkannya. Selanjutnya anda akan mempelajari aljabar Boolean, yangmemberikan alat matematika dasar yang diperlukan untuk menganalisis danmensin~esiskankelas jaringan switching yang penting. Dimulai dari pemyataanpermasalahan, anda akan mempelajari jaringan disain gerbang logika yangmempunyai hubungan khusus antara tanda input dan output. Kemudian andaakan mempelajari ciri-ciri logika flip-flop, yang bertindak sebagai alat memoridalam jaringan switching berurutan. Dengan mengkombinasikan flip-flop danjaringan gerbang logika, anda akan mempelajaridisain "counter", "adder", detektorberurutan dan jaringan sejenis.

Meskipun teknologi yang digunakan untuk mengimplementasikan sistemdigital telah berubah secara mendasar, namun prinsip dasar disain lo"gikatidakberubah. Tabel kebenaran dan tabel pernyataan masih digunakan untukmenentukan tingkah laku jaringan logika, dan aljabar Boolean masih merupakanalat matematika dasar untuk disain logika. Meskipun alat logika yangdiprogramkan(PLD =Programmablelogic device)dapat digunakan selain gerbangindividual dan flip-flop, pengurangan persamaan logika masih diperlukan untukmemenuhi persamaan menjadi jumlah PLD kecil. Membuat penugasan yangbaik masih diperlukan, karena tanpa penugasan yang baik, persamaan logikamungkin tidak dapat memenuhi salah satu PLD yang tersedia.

Perpaduan logika dan tanda yang berlawanan secara langsung diperkenalkandan digunakan untuk menganalisis dan mendisain jaringan logika. Penekananyang lebih besar diletakkanpada penggunaanalat logika yang dapat diprograrnkan,dan susunan gerbang yang dapat diprogramkan diperkenalkan. Peran simulasidan disain bantu-komputer didiskusikan. Latihan dan permasalahan yang barutelah ditambahkan pada setiap unit, dan beberapa seksi ditulis kembali untukmenjelaskan penjelasan ini.

Karena komputer melakukan peran yang penting dalam proses disain logika,maka integrasi penggunaan komputer ke dalam pelajaran disain logika awalsangat diperlukan. Program disain logika dengan bantuan komputer, yang disebutLogic Aid (Bantuan Logika) [TM], disarankan menggunakan dengan buku ini.Logic Aid ini memudahkan mahasiswa untuk menderivasikan persamaan logikasederhana dari mintern, tabel kebenaran, dan tabel pernyataan. Hal inimembebaskan mahasiswa dari beberapa penghitungan yang lebih membosankan,dan membuat solusi dari permasalahan disain yang lebih kompleks dalam waktuyang lebih singkat.

2

PENGANTARSISTEMBILANGANDANKONVERSI

TUJUAN

1. Pengantar

Bagian pertama unit ini memperkenalkan materi untuk didiskusikan lebihlanjut. Untuk mendapatkan suatu tinjauan materi dalam bagian pertama. tentusaja anda harus dapat menjelaskan :a. Perbedaan antara sistem analog dan sistem digital dan mengapa sistem dig-

ital mampu melakukan akurasi yang lebih besar.

b. Perbedaan antara jaringan kombinasional dan jaringan berurutan.

c. Mengapa dua nilai tanda dan bilangan biner biasa digunakan dalam sistemdigital.

2. Sistem bi/angan dan konversi

Ketika anda menyelesaikan unit ini. anda harus dapat menyelesaikan jenissoal berikut ini

a. Berilah bilangan bulat positif. pecahan positif. atau campuran dalam setiapbase (2 sampai 16). konversikan ke base lain. Tentukan prosedur yangdigunakan dengan memakai power ekspansi untuk bilangan tersebut.

b. Tambahkan, kurangilah,dan kalikanlahbilanganbiner positif. Jelaskan prosespenambahan dan pengurangan dalam bentuk membawa dan meminjam.

c. Tampilkan bilangan desimal dalam BCD, kode 6-3-1-1. kode excess-3, danseterusnya. Berilah serangkaian berat, susunlah kode berat.

PEDOMANBELAJAR

I. Pelajarilah Bagian 1.1, Sistem Digital dan Jaringan Switching, dan jawablahpertanyaan berikut ini :

(a) Apa perbedaan dasar antara sistem analog dan sistem digital ?

(b) Mengapa sistem digital mampu memberikan akurasi yang lebih besardaripada sistem analog ?

(c) Jelaskan perbedaan antarajaringan switching kombinasional dan berurutan.

3

(d) Apakah ciri-ciri umum yang kebanyakan dipunyai oleh alat switchingyang digunakan dalam sistem digital ?

(e) Mengapa bilangan biner digunakan dalam sistem digital?

2. Pelajaril~h Bagian 1.2,Sistem Bilangan dan Konversi. lawablah pertanyaanberikut ini ketika anda mempelajarinya :

(a) Apakah bilangan pertama yang diperolehdalam metode pembagian untukkonversi base merupakan digit yang paling besar atau yang palingkecil?

(b) Kerjakan semua contoh dalam teks ketika anda mempelajarinya danyakinlah bahwa anda memahami semua langkah tersebut.

(c) Suatu metode yang mudah untuk konversi antara biner dan oktaldigambarkan dalam Persamaan (I-I). Mengapa anda harus mulaimembentuk kelompok tiga bit pada titik biner, bukan pada sebelah kiriakhir bilangan ?

(d) Mengapa tidak mungkin mengkonversikan bilangan desimal menjadibilangan biner pada base digit-per-digitsepertiyang dapat dilakukan untukoktal atau heksadesimal ?

(e) Lengkapilah tabel konversi berikut ini,

Biner(base 2)

Oktal(base 8)

Desimal(base 10)

Heksadesimal

(base 16)

oI

10

II100101110III

1000100110101011110011011110

1I11

10000

o o o

20 16 10

(f) Kerjakan Soal 1.1 (a). (b), (c). (d); 1.2; 1.4(a); dan 1.6.

4

3. Pelajarilah Bagian 1.3 Aritmatika Biner

(a) Yakinkan bahwa anda dapat mengikuti semua contoh , terutamaperkembangan borrow dalam proses pengurangan.

(b) Yakinkan"bahwaanda memahamiproses borrow, kerjakan analisis detaildalam bentuk power 2 untuk contoh berikut ini :

1100- 101

III

4. Kerjakan Soal 1.9 dan 1.11.

5. Pelajarilah Bagian lA, Kode Biner

(a) Tampilkan 187dalam kode BCD, kode excess-3, kode 6-3-1-1, dan kode2-dari-5.

(b) Periksalah bahwa kode 6-3-1-1 merupakan kode berbobot. Perhatikanbahwa untuk beberapa digit desimal, kombinasi dua kode yang berbedadapat digunakan. Misalnya, 0101 atau 0110 dapat mewakili 4. Dalamsetiap kasus kombinasi dengan bnilai biner yang lebih kecil dapatdigunakan.

(c) Bagaimana kode excess-3 diperoleh ?

(d) Bagaimana kode ASCII untuk digit desimaI diperoleh ? Apa hubunganantara kode ASCII untuk huruf besar dan huruf yang lebih kecil ?

(e) Kerjakan Soal 1.15.

6. Jika anda mempelajari materi ini secara mandiri, anda perlu melewati ujikesiapan pada unit ini sebelum meneruskan ke unit berikutnya. Tujuan ujikesiapan ini adalah untuk menentukan apakah anda telah menguasai materidalam unit ini dan siap untuk meneruskan ke unit berikutnya. Sebelum andamengambil uji kesiapan :

5

(a) Periksalah jawaban anda terhadap soal yang diberikan pada akhir bukuini. Jika anda tidak mendapatkansoal, yakinlah bahwa anda memahamimengapa jawaban anda salah dan koreksilah solusi anda tersebut.

(b) Yakinlah bahwa anda memenuhi semua tujuan yang terdaftar pada awalunit ini.

PENGANTARSISTEMBILANGANDANKONVERSI

1.1SISTEMDIGITALDANJARINGANSWITCHING

Sistem digital digunakansecaraekstensifdalam penghitungandan pemrosesandata, sistem kontrol, komunikasi, dan pengukuran. Karena sistem digitalmempunyai kemampuan akurasi dan reliabilitas yang lebih besar daripada sistemanalog, banyak tugas yang pada mulanyadilakukandengan sistem analog sekarangdilakukan secara digital.

Oalam sistem digital, kuantitas atau tanda fisik hanya dapat mengasumsikannilai yang berlainan, sementara dalam sistem analog, kuantitas atau tanda fisikdapat berbeda-beda secara terus menerus melebihijarak tertentu. Misalnya, voltaseoutput dari sistem digital mungkin dibatasi hanya mengambil dua nilai seperti 0volt dan 5 volt, sementara output voltase dari sistem analog dapat diasumsikansetiap nilai yang berkisar -10 volts sampai +10 volts.

Karena sistem digital bekerja dengan kuantitas berlainan, dalam banyakkasus mereka dapat didisain sehingga untuk input yang ada, outputnya sangattepat. Misalnya, jika kita mengalikan dua bilangan 5 digit dengan menggunakanperkalian digital, maka hasil 10 digit akan tepat dalam semua 10 digit. Oi lainpihak, output seatu per!caliananalog mungkin mempunyaikesalahan yang berkisardari pecahan satu persen sampai beberapa persen tergantung pada akurasikomponen yang digunakan dalam susunan perkalian. Lebih jauh, jika kitamemerlukan hasil yang tepat sampai 20 digit daripada 10 digit, kita dapatmendisain kembali perkalian digital untuk memproses lebih banyak digit danmenambahkan lebih banyak digit ke inputnya. Perbaikan yang serupa dalam

. akurasi perkalian analog tidak mungkin karena keterbatasan pada akurasikomponen.

6

-------

Disain sistem digital secara kasar dapat dibagi .menjadi tiga bagian - disainsistem, disain logika, dan disain sirkuit. Disain sistem meliputi pemecahankeseluruhan sistem menjadi subsistem dan menentukan karakteristik masing-masing subsistem. Misalnya, disain sistem suatu komputer digitaldapat meliputipenentuan bilangan dan jenis unit memori, unit aritmatika, dan alat input-output sepertijuga inter-koneksi dan kontrol subsistem ini. Disain logika meliputipenentuan inter-koneksi logika dasar dengan membangun blok untuk mewakilifungsi tertentu. Suatu contoh disain logika adalah menentukan inter-koneksisimbollogika dan flip-flop yang diperlukan untuk mewakili penambahan biner.Disain sirkuit meliputi penentuan inter-koneksi komponen tertentu seperti re-sistor, diode dan transistor untuk membentuk simbol, flip-flop, atau logikapembangun blok lainnya. Kebanyakan disain sirkuit kontemporer dikerjakandalam bentuk sirkuit integrasi dengan menggunakan alat disain komputerbantu yang tepat untuk membuat tata-Ietakdan membuat inter-koneksi komponenpada chip silikon. Buku ini sebagian besar ditujukan untuk studi disain logikadan teori yang diperlukan untuk memahami proses disain logika. Beberapaaspek disain sistem dibahas dalam Unit 20 dan 21. Disain sirkuit simbollogikadidiskusikan secara singkat dalam Lampiran A.

Banyak subsistem dari sebuah sistem digital mengambil bentuk switchingjaringan (Gambar I-I). Suatu jaringan switching mempunyai satu atau lebihinput dan satu atau lebih output yang mengambil nilai yang berbeda-beda.Dalam buku ini, kita akan mempelajari dua jenis jaringan switching, yaitujaringan kombinasional dan berurutan. Dalam suatu jaringan kombinasional,nilai output hanya tergantung pada nilai input sekarang, bukan pada nilai inputyang lalu. Dalam jaringan berurutan, output tergantung kepada nilai inputsekarang dan nilai input yang lalu. Dengan kata lain, untuk menentukan outputjaringan berurutan, urutan nilai input harus ditentukan. Jaringan berurutandikatakan mempunyai memori karena ia harus "mengingat" hal dalam urutaninput yang lalu, sementara suatu jaringan kombinasional tidak mempunyaimemori. Secara umum, suatu jaringan berurutan terdiri dari jaringankombinasional dengan penambahan elemen memori. Jaringan kombinasionallebih mudah untuk didisain daripada jaringan berurutan dan jaringan ini akandipelajari pertama kali.

Bangunan blok dasar yang digunakanuntuk menyusunjaringan kombinasionaladalah simbol logika. Disainer logika harus menentukan bagaimana membuatinter-koneksi antara simbol ini untuk mengkonversikan tanda input .jaringanmenjadi tanda output yang diinginkan. Hubungan antara tanda input dan outputini dapat digambarkan secara matematis dengan menggunakan aljabar Boolean.Unit 2 dan 3 dalam buku ini memperkenalkan hukum dasar dan teorema aljabar

7

---.--.--------

Boolean dan menunjukkan bagaimana mereka dapat digunakan untukmenggambarkan jaringan simbol logika.

Dimulai dari pernyataan soal yang ada, langkah pertama dalam membuatdisain jaringan logika kombinasional adalah menderivasikan sebuah tabel ataupersamaan logika aljabar yang menggambarkan output jaringan sebagai suatufungsi input jaringan (Unit 5). Untuk membuat disain suatu jaringan ekonomisuntuk merealisasikan fungsi output ini, persamaan logika yang menggambarkanoutput jaringan biasanya harus disederhanakan. Metode aljabar untukpenyederhanaan ini digambarkan dalam UNit 4, dan metode penyederhanaanyang lain (prosedur peta Karnaugh dan Quine-McCluskey) diperkenalkan dalamUnit 6 dan 7. Implementasi persamaan logika yang disederhanakan denganmenggunakan bebt'rapa jenis simbol digambarkan dalam Unit 8, dan prosedurdisain alternatif dengan menggunakan sirkuit terintegrasi dikembangkan dalamUnit 9.

Elemen memori dasar yang digunakan dalam disainjaringan berurutan disebutflip-flop (Unit 11). Flip-flop ini dapat dibuat inter-koneksi dengan simbol untukmembentuk "kounter" dan "register" (Unit 12). Analisis jaringan berurutan yanglebih umum dengan menggunakan diagram waktu, tabel keadaan dan grafikditampilkan dalam Unit 13. Langkah pertama dalam membuat disain jaringanswitching berurutan dalam menyusun tabel keadaan atau grafik yangmenggambarkan hubungan antara urutan input dan output (Unit 14). Metodeuntuk meneruskan dari tabel keadaan atau grafik ke suatu jaringan simbol danflip-flop dikembangkan dalam Unit 15 dan 16, dan metode alternatif dalampengimplementasian jaringan berurutan dibahas dalam Unit 18 dan 19. DalamUnit 20 dan 21, teknik disain kombinasional dan berurutan diaplikasikan kerealisasi jaringan untuk mewakili penambahan biner, pengurangan, perkalian,dan pembagian. Bagian akhir dari buku ini (Unit 23-27) berkaitan dengan disainjaringan berurutan yang tidak sinkron. Jaringan semacam itu mewakili soal waktutersendiri dan lebih sulit mendisain dibandingkan jaringan berurutan sinkronyang digambarkan dalam unit yang lebih awal.

Alat switching yang digunakan dalam sistem digital biasanya adalah alatdua-keadaan; yaitu output hanya dapat mengasumsikan dua perbedaan nilai yangberbeda. Contoh alat switching adalah relay, diode, dan transistor. Sebuah relaydapat mengasumsikan dua keadaan, yaitu tertutup atau terbuka, tergantung apakahpower diaplikasikan ke kumparan atau tidak. Sebuah diode bisa berada dalamkeadaan mengk'onduksi atau dalam keaciaan tidak mengkonduksi. Sebuah tran-sistor bisa berada dalam keadaan teIputus atau teraliri, dengan hubungan teganganoutput tinggi atau rendah. Tentu saja, transistor juga dapat diperasikan sebagai

8

amplifier linier dengan sebuah voltase output yang terus menerus, namun dalamdigital yang mengaplikasikan reliabilitas yang lebih besar diperoleh denganmengoperasikannya sebagai alat dua-keadaan. Karena output dari kebanyakanalat switching hanya mengasumsikan dua nilai yang berbeda, maka wajar bilamenggunakan bilangan biner secara internal dalam sistem digital. Karena alasaninilah bilangan biner akan dibahas pertama kali sebelum meneruskan dengandesain jaringan switching.

1.2S/STEMB/LANGANDANKONVERS/

Ketika kita menulis bilangan desimal (base 10), kita menggunakan notasiposisi, setiap digit dikalikan dengan power 10 yang tepat berdasarkan padaposisinya dalam bilangan. Misalnya,

953.7810= 9 x 102+ 5 x 101+ 3 x 10° + 7 x 10-1+ 8 x 10-2

Demikian pula, untuk bilangan biner (base 2), setiap digit biner dikalikandengan power 2 yang tepat :

10II .112 =I x 23 + 0 + 22 + I x 21 + I x 20 + 1 x 2-1 + I x 2-2

Perhatikan bahwa point biner memisahkan power positif dan negatif dari 2karena titik desimal membedakan power 10 positif dan negatif untuk bilangandesimal.

Setiap interger R (R > 1) dapat dipilih sebagai radiks atau base dari nomorsistem. Jika base-nya adalah R, maka digit R (0, I, ..., R-l) digunakan. Misalnya,jika R=8, maka digit yang diperlukan adalah 0,1,2,3,4,5,6 dan 7. Nomor yangtertulis dalam notasi positif dapat diperluas dalam rangkaian power dalam R.Misalnya,

N = (a4a3azalaO.a_la_2a_3)R

= a4 x R4 + a3 x R3 + az x R2 +al x R I + ao x RO

+ a_I x RI + a_2 x R-2 + a_3 x R-3

9

dimana, aj merupakan koefisien dari Ri dan 0 ~ aj ~ R-I. Jika aritmatika yangditunjukkan dalam perluasan seri power dilakukan dalam base 10,maka hasilnyaadalah persamaan desimal N. Misalnya,

147.38 = 1 x g2 + 4 x gl + 7 x gO+ 3 x' g-I =64 + 32 + 7 + 3/g

= 103.37510

Untuk base yang lebih besar daripada 10, lebih dari 10 simbol diperlukanuntuk mewakili digit tersebut. Dalam hal ini, huruf biasanya digunakan untukmewakili digit yang lebih besar dari 9. Misalnya, dalam heksadesimal (base 16),A mewakili 1010' B mewakili 1110'C mewakili 1210' D mewakili 1310' Emewakili 1410dan F mewakili 1510'Jadi,

A2FI6 =10 x 162+ 2 x 161+15 + 16° = 2560 + 32+15 = 260710

Selanjutnya, kita akan mendiskusikan konversi integer desimal ke base Rdengan menggunakan metode pembagian. Persamaan base R dari integer desimalN dapat ditampilkan sebagai berikut :

Jika kita membagi N dengan R, maka sisanya adalah ao:

Kemudian kita membagi QI dengan R. :

Q11R= anRn-2 + ~_IRn-3 :.. ... + a3R I + ... + a3R 1 + ~ = Q2'sisanyaa,

Kemudian kita membagi Q2 dengan R :

10

Proses ini diteruskan sampai akhimya kita mendapatkan ~. Perhatikan bahwasisa yang diperoleh pada setiap langkah pembagian adalah salah Satudigit yangdiinginkan dan digit yang paling tidak berarti adalall digit yang diperoleh pertamakali.

CONTOH: Konversikan 5310ke biner.

2 /53

2/26

2 /13

2Lf1.

2U

2Ll

o

sisa = I =ao

sisa =0 =a]

sisa = I =~sisa =0 =a3

sisa = I =a4

sisa = I =as

Konversi pecahan desimal ke base R dapat dilakukan dengan menggunakanperkalian berturut-turut dengan R. Sebuah pecahan desimal F dapat ditampilkansebagai berikut :

Perkalian dengan R menghasilkan

di mana FI mewakili bagian pecahan dari hasil tersebut dan a_I adalah bagianinterger.

Mengalikan FJ dengan R menghasilkan :

Selanjutnya kita mengalikan F2 dengan R :

11

ProSes-iniditeruskan sampai kita mendapatkan bilangan digit yang memadai.Perhatikan bahwa bagian interger yang diperoleh pada setiap langkah merupakansalah satu digit yang diinginkan dan digit yang paling penting diperoleh pertamakali. -

CONTOH : Konversikan .62510ke biner.

F = .625x 2

.62510=.10121.250

(a_I=1)

0.500

(a_2=O)

1.000

(a_3= I)

Proses ini tidak selalu berhenti, namun jika tidak berhenti hasilnya adalahpengulangan pecahan.

CONTOH : Konversikan 0.710ke biner.

72

(1).42

(0).82

(1).62

(1).22

(0).42

<- proses mulai pengulangan di sini karena .4telah didapatkan terlebih dulu di atas

(0).8 0.7 10 =0.1 lli.JJ2 lli.JJ2 lli.JJ2 '.'2

12

Konversi antara dua base selain dari desimal dapat dilakukan secara langsungdengan menggunakan persedur yang ada. Namun demikian, operasi aritmatikaharus dilakukan dengan menggunakan base selain 10. Ini biasanya lebih mudahuntuk mengkonversikan ke desimal terlebih dahulu dan kemudianmengkonversikan bilangan desimal ke base baru.

CONTOH: Konversikan 231.34 ke base 7..

231.34 = 2 x 16 + 3 x 4 + I + 3/4 =45.7510

7 /457L.fJ.

osisa 3sisa 6

.757

(5).257

45.7510 = 63.5151...7

(1).757

(5).257

(I ).75

Konversi dari biner ke oktal (dan sebaliknya) dapat dilakukan denganpemeriksaan karena masing-masing digit oktal berkoresponden dengan digit tigabiner (bits) secara tepat. Dimulai dari titik biner, bit dibagi menjadi tiga kelompokdan masing-masing kelompok diletakkan dengan sebuah digit oktal :

011 010 III 110.001 10011010111110.00112= - - - - - - =:3276.148(I-I)

3 2 7 6 I 4

Demikian pula, biner ke konversi heksadesimal dilakukan dengan membagibilangan biner menjadi kelompok empat bit dan mengganti masing-masingkelompok dengan digit heksadesimal:

0100 1101 . 0101 11001001101.0101112 =

4 o 5 C= 4D.5C16 (1-2)

13

1.3 ARITMAT1KASINER

Operasi aritrnatika dalarn sistern digital biasanya dilakukan dalarn bentukbiner karena disain jaringan logika untuk rnenarnpilkanaritrnatika biner itu lebihrnudah daripada bilangan desirnal. Aritrnatika biner diperlakukan dengan carayang sarna dengan desirnal, kecuali dalarn hal tabel penarnbahan dan perkalianlebih sederhana.

Tabel penarnbahan untuk bilangan biner adalah

0+0=0

0+1 = I

1+0=1

I + I = 0 dan rnernbawaI ke kolornberikutnya

CONTOH : Tarnbahkan 1310dan 1110dalarn biner

1111 < rnernbawa

1310 = 1101

1110 = 1011

11000 = 2410

Tabel pengurangan untuk bilangan biner adalah

0-0=0

o - I = I dan rnerninjarnI dari kolornberikutnya1-0=1

1-1=0

Dengan rnerninjarn 1 dari sebuah kolom sarna dengan rnengurangi 1 darikolorn tersebut. .

14

CONTOH PENGURANGAN DINER: 1

Suatu alternatif pengurangan biner adalah menggunakan .komplemenaritmatika 2, seperti didiskusikan dalam bagian 20.1.

(a) I <- (memunjukkan pinjaman dari kolom ketiga)

11101

10011

1010

(b) 1111 <- meminjam

10000

P

1101

Perhatikan bagaimana peminjaman menyebar dari kolom ke kolom dalamcontoh kedua. Untuk meminjam I dari kolom kedua, kita harus meminjam I darikolom ketiga, dan seterusnya.

Pengurangan birier kadang-kadang menyebabkan kebingungan, mungkinkarena kita terlalu terbiasa melakukan pengurangan dalam desimal sehingga kitamelupakan pentingnya proses peminjaman.Sebelum melakukananalisis mendetailmengenai pengurangan biner, kita akan meninjau proses peminjaman untukpengurangan desimal.

Jika kita menghitung kolom (digit) dari suatu interger desimal dari kanan kekiri (dimulai dengan 0), kemudian jika kita meminjam I dari kolom n, maka

15

(c) III < memmJam

111001

1011-

101110

yang kita maksudkan adalah bahwa kita mengurangi 1 dari kolorn n danrnenarnbahkan 10 ke kolom n-I. Karena 1 x 10"=lOx 10"-1,rnaka nilai bilangandesirnal tidak berubah, namun kita dapat rneneruskan dengan pwngurangan.Misalnya, pertirnbangkan soal pengurangan desimal berikut ini :

kolorn 2 kolorn 1

~/205

- 18

187

Suatu analisi yang rnendetail mengenai proses perninjaman untuk contoh ini,pertama kali menunjukkan peminjarnan 1dari kolorn 1dan kernudianpeminjamanI sari kolorn 2, adalah sebagai berikut :

205 - 18 = [2 x lQ2+ 0 x 101+ 5 x 10°]

- [ 1 x 101+ 8 x 10°]

perhatikan perninjaman

1 1 dari kolorn 1= [2 x 102 + (0 - l)x 101+ (10 + 5) x 10°]

- [ 1 x 101+ 8 x 10°]

1 1 perhatikan peminja-man dari kolorn 2

= [(2 - I) x IQ2+ (10 + 0 - I) x 101+ 15 x 10°]

- [ 1 x 101+ 8 x 10°]

= [I x lQ2 + 8 x 101 + 7 x 10°] =187

Analisis dari perninjamanuntukpenguranganbiner adalah sarnapersis, kecualibahwa kita bekerja dengan power 2 selain power 10.jadi, untuk sebuah bilanganbiner, pep1injarnan1 dari kolom n sarna dengan pengurangan I dari kolom n danpenarnbahan 2 (102) ke kolorn n-l. Nilai bilangan biner tidak berubah karena1 x 2n = 2 x 2n-I,

16

_"- - - u. u._

Analisis yang mendetail mengenai eontoh pengurangan biner (e) mengikuti.Dimulai dari kolom yan gpaling kiri, I - I =O. Untuk mengurangi pada kolomkedua, kita hams meminjam dari kolom ketiga. Daripada meminjam seearalangsung, kita letakkan I di atas kolom ketiga untuk menunjukkkan bahwapeminjaman diperlukan, dan kita pada kenyataannyaakan melakukanpeminjamanketika kita sampai ke kolom ketiga. (Hal ini sama dengan tanda eara peminjamanyang mungkin tersebbar dalam komputer.) Sekarang, karena kita telah meminjamI, kolom kedua menjadi 10, dan to - I = I. Untuk meminjam I dari kolomketiga, kita hams meminjam I dari kolom ke-empat (ditunjukkan denganmenempatkan I di atas kolom 4). Kolom 3 kemudian menjadi 10, mengurangihasil peminjaman I, dan I 0 = I. Sekarang dalam kolom 4, kita mengurangipeminjaman dengan meninggalkan O. Untuk menyelesaikan pengurangan, kitahams meminjam dari kolom 5, yang memberikan to dalam kolom 4, dan to -I = I.

Tabel perkalian untuk bilangan biner adalah

OxO=OOxl=OIxO=OIxl=1

Contoh berikut ini menggambarkan perkalian 3010 dengan 1110 dalambilangan biner:

1101lOll

11011101

00001101

10001111 = 14310

Perhatikan bahwa hasil setiap bagian merupakan pengali (1101) yang bergeserdi atas bilangan yang tepat atau merupakan bilangan DOl.

17

Contoh berikut ini menggambarkan pembagian 14510dengan 1110dalambilangan biner:

1101

lOll 1100100011011

11101011

11011011

10

Hasil baginya adalah 1101 dengansisa 10

1.4 KODESINER

Meskipun kebanyakankomputerbesar bekeJjasecara internal dengan bilanganbiner, peralatan input dan outputnya biasanya menggunakan bilangan desimal.Karena kebanyakan sirkuit logika hanya menerima dua tanda nilai, maka bilangandesimal harus diberi kode dalam bentuk tanda biner. Dalam bentuk kode biner

yang paling sederhana setiap digit desimal diganti dengan persamaan binernya.Misalnya 937.25 ditampilkan oleh

~/31 ~~1001 0011 0111 0010 0101

Tampilan ini ditunjuk sebagai kode desimal biner (BCD = binary-coded-decimal) atau secara lebih eksplisit sebagai BCD 8-4-2-1. Perhatikan bahwahasilnya sangat berbeda dibanding hasil yang diperoleh dengan mengkonversikanbilangan sebagai keseluruhan ke dalam biner.

18

Tabel I-I menunjukkan beberapa rangkaian kode biner yang mungkin untukdigit 10 desimaI. Banyak kemungkinan lain yang ada karena satu-satunyapersyaratan untuk kode yang valid adalah bahwa setiap digit desimal diwakilioleh kombinasi digit biner yang berbeda. Untuk menerjemahkan bilangan desimalke dalam bentuk kode, setiap digit desimal diganti dengan kode korespondennya.Jadi, 937 diungkapkan dalan kode excess-3 yaitu 1100 0110 1010. Kode 8-4-2-I (BCD) dan kode 6-3-1-1 adalah contoh dari kode yang diberi bobot. Kodeberbobot 4-bit mempunyai ciri-ciri bahwa jika bobotnya w3' w2' wI' dan wo'maka kode a3a2a1aomewakili bilangan desimal N, di mana,

Misalnya, bobot untuk kode 6-3-1-1 adalah w]=6, w2=3, wl=l, dan wo=1.Jadi kode biner 1011 mewakili digit desimal

N=6 · I + 3 · 0 + I · I + I · I = 8

19

Tabe11-1 Kode Siner untuk Digit Desimal

8-4-2-1Decimal Code 6-3-1-1 Excess-3 2-out-of-5 Gray

Digit (BCD) Code Code Code Code

0 I 0000 0000 0011 00011 0000

0001 0001 0100 00101 0001

2I

0010 0011 0101 00110 0011

3 I 0011 0100 0110 01001 0010

4 I 0100 0101 0111 01010 0110

5I

0101 0111 1000 01100 1110

6 I 0110 1000 1001 10001 1010

7 0111 1001 1010 10010 101I

8 1000 1011 1011 10100 1001

9 I 1001 1100 1100 11000 1000

Kode excess-3 diperoleh dari kode 8-4-2-1 dengan menambahkan 3(00 II)ke masing-masing kode. Kode 2-dari 5 mempunyai ciri-ciri bahwa tepat 2 dari5 bit adalah I untuk setiap kombinasi kode yang valid. Kode ini mempunyai ciri-

ciri pemeriksaan kesalahan yang bermanfaat, karena Jika setiap satu dari bit inidalam sebuah kombinasi kode diubah dikarenakan kesalahan fungsi sirkuit logika.jumlah dari 1 bit tidak lagi tepat dua. Tabel menunjukkan satu contoh kodeGray. Kode Gray mempunyai ciri-ciri bahwa kode untuk digit desimal berurutanberbeda tepat satu bit. Misalnya, kode untuk 6 dan 7 berbeda hanya empat bit,dan kode untuk 9 dan 0 hanya berbeda dalam bit pertama. Kode Gray seringdigunakan ketika menerjemahkan sebuah kuantitas analog seperti posisiterowongan ke dalam bentuk digital. Dalam hal ini, perubahan kecil dalamkuantitas analog hanya akan berubah satu bit dalam kode, yang memberikanoperasi yang lebih dapat dipercaya daripada jika dua tau lebih bit berubah dalamsatu waktu.. Kode Gray dan kode 2-dari 5 bukan merupakan kode berbobot.Secara umum, nilai desimal dari digit kode tidak dapat dihitung derigan rumusyang sederhana ketika kode yang tidak berbovot digunakan.

Banyak penerapan komputer memerlukan pemrosesan data yang berisibilangan, huruf, dan simbollainnya seperti tanda-tanda baca. Untuk memindahkandata seperti alphanumerik dari atau ke komputer, atau menyimpannya secarainternal dalam sebuah komputer, masing-masing simbol harus diwakili dengankode biner. Kode alphanumerik yang umum adalah kode ASCII (American Stand-ard Code for Information Interchange). Kode ini merupakan kode 7 bit, sehinggakombinasi kode 27 (128) yang berbeda dapat digunakan untuk mewakili huruf,bilangan dan simhol lainnya. Tabel 1-2 menunjukkan bagian kode ASCII;kombinasi kode yang tidak terdaftar digunakan untuk fungsi kontrol khusus,seperti "form feed" atau "end of transmission." Kata "Start" diwakili dalam kodeASCII sebagai berikut :

1010011

S

1110100 1100001 1110010 1110100

a r

20

Tabe/1-2 Kode ASCII

Char- ASCII Char- ASCII Char- ASCII

acter A6 As A4 A3 A2 AI Ao acter A6 As A4 A3 A2 AI Ao acter A6 AS A4 A3 A2 AI Ao

space 0 I 0 0 0 0 0 @ I 0 0 0 0 0 0 I I 0 0 0 0 0

0 I 0 0 0 0 I A I 0 0 0 0 0 I a I I 0 0 0 0 I

0 I 0 0 0 I 0 B I 0 0 0 0 I 0 b I I 0 0 0 I 0

# 0 I 0 0 0 I I C I 0 0 0 0 I I d I I 0 0 0 I I

$ 0 I 0 0 I 0 0 D I 0 0 0 I 0 0 d I I 0 .0 I 0 0

% 0 I 0 0 I 0 I E I 0 0 0 I 0 I e I I 0 0 I 0

& 0 I 0 0 J I 0 F I 0 0 0 I I 0 f I I 0 0 I I 0

0 I 0 0 I I I G I. 0 0 0 I I I g I I 0 0

0 I 0 0 I I I G I 0 0 0 I I I g I I 0 0

0 I 0 I 0 0 I I I 0 0 I 0 0 I i I 11 0 I 0 0* 0 I 0 I 0 I 0 J I 0 0 I 0 I 0 j I I 0 I 0 I 0

+ 0 I 0 I 0 I I K I 0 0 I 0 I I k I I 0 I 0

0 I 0 I I 0 0 L I 0 0 I I 0 0 I I I 0 I I 0 0

0 I 0 I I 0 I M I 0 0 I I 0 I m I .1 0 I I 0 I

0 I 0 I I I 0 N I 0 0 i I I 0 n I I 0 I I I 0

I 0 I 0 I I I I 0 I 0 0 I I I I 0 I I 0 I

0 0 I I 0 0 0 0 P I 0 I 0 0 0 0 P I I I 0 0 0 0

0 I I 0 0 0 0 P I 0 I 0 0 0 0 P I I I 0 0 0 0

2 0 I I 0 0 I 0 R I 0 I 0 0 I 0 r I I I 0 0 I 0

3 0 I I 0 0 I I S I 0 I 0 0 I I s I I I 0 0 I I

4 0 I I 0 I 0 0 T I 0 I 0 I 0 0 t I I I 0 I 0 0

5 0 I 2 0 I 0 I U I 0 I 0 I 0 I u I I I 0 I 0

6 0 I I 0 I I 0 V I 0 I 0 I I 0 v I I I 0 I I 0

7 0 I I 0 I I I W I 0 I 0 I I I w I I I 0 I I I

8 0 I I I 0 0 0 X: I 0 I I 0 0 0 x I I I I 0 0 0

9 0 I I I 0 0 I Y I 0 I I 0 0 I y I I I I 0 0

0 I I I 0 I 0 Z I 0 I I 0 I 0 z I I I I 0 I 0

0 I I I 0 I I [ I 0 I I 0 I I I I I I I 0 I 0

< 0 I I I I 0 0 \ I 0 I I I 0 0 I I I I I I 0 0

0 I I I I 0 I ] I 0 I 1 1 0 I I I I I I I 0

> 0 I I I I I 0 " I 0 1 I I I 0 - I 1 I I I I 0

? 0 I I I I I I - I 0 1 I I II delete I I I I I I I

21

PERMASALAHAN

i .1 Konversikan ke oktal kemudian ke biner :

(a) 757.2510

(e) 1305.375'0(h) 1644.875'0

(b) 123.1710

(f) 111.3310

(c)368.8910

(g)301.1210

(d) 1063.510

1.2 Konversikan ke oktal kemudian ke desimal :

(a) 1OIII011.Iz

(c) IOOOOOll.llz

(b) 1101101.0112

(d) 111011 1I.I0lz

1.3 Konversikan ke oktal dan kemudian ke desimal :

(a) lllOOlll.lz

(c) 1001000.lllz

(b) 110100111.012

(d) 101010101.112

1.6 (a) Konversikan ke heksadesimal: 747.6410' Sekitar dua digit melewatipoint heksa.

(b) Buatlah skema untuk mengkonversikan heksadesimal secara langsungke base 4 dan konversikan jawaban anda ke base

(c) Konversikan ke desimal : ADE.BI6.

22

1.4 (a) Konversikan ke base 5: 165.27 (kerjakan semua aritmatika dalamdesimal).

(b) Konversikan ke base 7: 143.215 (kerjakan semua aritmatika dalamdesimal).

1.5 (a) Konversikan ke base 3: 375.548 (kerjakan semua aritmatika dalamdesimal.

(b) Konversikan ke base 4: 384.7410

1.7 Buatlah skema untuk mengkonversikan bilangan base 3 secara langsung kebase 9. Gunakan metode anda untuk mengkonversikan bilangan berikut inike base 9: 220012112021.1023.

1.8 Konversikanke heksa desimal dan kemudian ke biner :

(a) 2983 63/64

(c) 1900 31/32

(b) 93.70

(d) 109.30

1.9 Tambahkan. kurangi. dan kalikan dalam biner :

(a) 1111 dan 1011

(b) 1001001 dan 111010

(c) 110010 dan 11101

1.10 Tambahkan. kurangi. dan kalikan dalam bilangan biner :

(a) III dan 1001

(b) 1010101 dan 111011

(c) 110010 dan 11101

I.II Kurangkandalam biner. Letakkan I pada setiap atas kolom di mana iadiperlukan untuk peminjaman.

(a) 11011011- 1101101

(b) 10001100- 1100101

(c) 110111101 - 11101010

1.12 Kurangkan dalam bilangan biner. Letakkan I di atas setiap kolom di manadiperlukan peminjaman.

(a) 11001011 - 1110101

(b) 10010100 - 1001101

(C) 111011011 - 10101101

23

1.13 Bagilah dalam bilangan biner :

(a) 1011110 : 1001

(b) 110000001 : 1110

(c) 1110010 : 1001

Periks~lah jawaban anda dengan mengalikan dalam bilangan biner danmenambahkan sisanya.

1.14 Bagilah dalam bilangan biner :

(a). 1011011 : 1010

(b) 110000011 : 1011

(c) 1110100 : 1001

1.15 Susunlah tabel untuk kode berbobot 5-3-2-1 dan tulislah 9371 denganmenggunakan kode ini.

1.16 Susunlah tabel untuk kode berbobobt 4-3-2-1 dan tulislah 6-4-7-2 denganmenggunakan kode ini.

1.17 Mungk;nkah untuk menyusun kode berbobot 5-3-1-1 ? Kode berbobbor6-4-1-1 ? Jelaskan jawaban anda.

1.18 Mungkinkan untuk menyusun kode berbobot 5-4-1-1 ? Kod~ berbobot6-3-2-1 ? Jelaskan jawaban anda.

1.19 Susunlah kode berbobot 6-2-2-1 untuk digit desimal. Oalam kode inibilangan berapakah yang diwakili oleh 1001 0110 ?

1.20 Susunlah kode berbobot 5-2-2-1 untuk digit desimal. Oalam kode 1mbilangan berapakah yang diwakili oleh 1001 0011 ?

1.21 Konversikan ke heksadesimal dan kemudian berilah kode ASCII untukmenghasilkan bilangan heksadesimal (termasuk kode untuk point heksa) :

(a) 234.7110 (b) 196.8210

24