30BAB V

ANALISA DIMENSIONAL

5.1 Pendabuluan

Beberapa persoalan yang dijumpai dalam mekanika fluida telah dipecahakan

dengan menganalisa persoalan yang sudah diformulasikan secara matematis. Dalam soal

yang demikian, baik variabel yang berpengaruh maupun hubungan antara variabel

tersebut telab diketahui. Seringkali formulasi demikian diperoleh dengan menggunakan

anggapan penyederhanaan. Untuk memperhitungkao efek yang diabaikan, dalam

pendekatan selanjutnya digunakan koefisien yang ditentukan secara eksperimental. Hal

ini seringkali merupakan eara penyelesaian yang praktis, karena penyelesaian persamaan

yang memperhitungkan efek yang diabaikan tadi sangal rumit dan sukar dipecahkan.

Sebagai contoh , persamaan Navier-stokes pada umumnya tidak dapat dipecahkan secara

kwantitatif. kecuali untuk beberapa hal yang sederhana Cara lain yang dapat digunakan

sebagai penyelesaian pendekatan diperoleh dengan mencoba menentukan secara umwn

bagaimana koefisien yang dapat ditetapkan secara eksperimental tersebut bergantung

pada variabel yang mempengaruhi persoalan. Cara demikian ini, yang akan diuraikan

lebih lanjut dalam boo illi dan dikenal sebagai analisa dimensional, dipergunakan bila

variabel yang mempengaruhi suatu gejala fisik diketahui, akan tetapi hubungan antara

masing-masing belum diketabui.

a. variabcl fisik yang ditinjau, yang timbul akibat gerak benda daJam fluida atau

sebaJiknya,misalnya gaya, tegangan geser, dan sebagainya.

b. Variabel geometri benda saluran atau kedua-duanya, seperti ukuran panjang, bentuk,

dan sebagainya.

c. Variabel yang menyangkut gerak benda dalam fluida atau sebalikny~ misalnya

kecepatan V, pereepatan a dan sebagainya.

d. Variabel yang menyatakan sifid fluida, misalnya massajenis 0, tekanan p, viskositas

M-tegangan permukaall 0, dan sebagainya.

, 31

e. Variabel yang menyatakan sifat bend~ misaJnyamassa jenis m, modulus elastisitas E,

dan sebagainya. (dalam mekanika fluida, variabel ini umumnya dapat diabaikan;

daJampersoalan aeroelastisitas atau hydroelastisitas, variabel perlu diperhatikan).

Dengan analisa dimensional, gejaJa fisik dapat diformulasikan sebagai hubungan

antara variabel yang berpengaruh ini, yang telah dikelompokkan dalam serangkaian

kelompok bilangan yang tak berdimcnsi. j~mLah kelompok bilangan yang tak berdimensi

ini janh lebih sedikit dari jumlah variabel yang semuja. Carn ini sangat berguna dalam

metoda analisa persoalan secara eksperimental, terutama karena jumlah eksperimen yang

harus dilakukan dapat.diperkeciJ, dan eksperimennya s~ndiri dapat lebih disederhanakan.

Sebagai contoh, tinjau persoalan yang dibadapi untuk menentukan gaya tahanau

D dari su8tu bola berdiameter d dan. yang permukaannya licin yang bergerak dengan

kecepatan V, di dalam fluida viskos yang illkompresibel. Variabel geometri benda adalah

d, variabel gerak benda adalah V, variabel yang menyatnkan sifat fluida adalah p dan Jl.

sedangkan besarm.1isik yang ditinjau ad~8h gaya tahRIlanD. perlu diperhatikan, bahwa

langkah pertama yang penting di sini adalah pengenalan variabel yang berpengaruh ini,

dan dengan berdasarlC'dnpada analisn, observasi dan anggapan penyederhanaan, jumlah

variabel yang diperhitungkan hanyalah variabel yang penting saja.

F'

~J F YJy

~v2 pberubah-ubah /~ 2Yl~/Yl Plte1aP V'-~ //~ PIJ.It . 'Plp.."

r~f~:~ . FI_~:'~ -~~y: YI: PIP-;r PIPI

D D

(:rftrnt'f1r5. J . J) digarnbnrkan sebagai fungsi dar.j d I.Intukbermacarn-rnaca!1'l n!!ai V, untuk tinp killi nihipdan ~ yang tetup.

Setelah variabel-vaiabel inidikenali, gaya tahanan D dapat dituliskan sebagai fungsi dari

variabel-variabel tersebut, yaitu :

F(D, d, V, p, Jl.) = 0 ...5.1

Atau D = f{d,V,p,J.1) 5.2

Di mana F(~~ V, p, Jl.)= 0 dan f{~ V, p, J.1)menyatakan fungsi dari d, V, p, Jl.yang

masih belum diketahui.

32

Untuk mengetahui hubungan 5.2 (atau5.I) SCC3J1ieksperimentiJ diperlukan waKtu

yang cukup lama. Karena setiap kali hanya satu variabel di dalam tanda kurung yang

diperbolehkan untuk diubah-ubah. Contoh dari prosedar demikian ditunjukkan dalam

gambar 5.1

11'2= PVDJ.l.

Galnbar 5.2. Grafik suatu kcsperimen dimana 1t} diukur untuk belmacam-macam 1t'2(1t2 merupakan

v:3I";abe1 v, d, p atau 1-1.)

Dapat dilihat bahwa percobaan yang dilaksanakan secara ini memerlukan penggunaan

bola dengan berbagai diameter, dan beberapa jenis fluida dengan massa jenis dan

viskositas yang berbeda-beda. Percob8HOyang demikian 8angat memakan aktu dan biaya.

Dengan analisa dimensiooil dapat ditunjukkan adanya hubuogan antara dua kelompok

bilangan tak berdimensi sebagai berikut:

yang menyatakan bahwa(

D

)merupakan soatu fungsi dari (pVd ), seperti

pV '2d '2 )J

diperlihatkan padagambar 5.2 sebagai suatu kurva.

Jelas bahwa basil yang digambarkan pada gambar 5.2 diperoleh dengan eksperimen yang

lebih sedemana, Jebih murah dan lebih pendek Disini J.l1diukllr untuk bermacam-macam

nilai ~. Sedangkan ~ dapat diubah hanya deogan mengubahsalah satu variabel p, V, d

atau J.lyang temp.

Kurva di atas dapat diperoJeh dengan menggunakan windtunnel, di mana 1t2dapat

diubah dengan hanya meogubah V (kecepatan angin), dan D diukur.

33

Prosedur pemiliban kombinasi dari beberapa variabel yang terdapat dalam suatu

persoa1an sehingga berkelompok metYadi bilangan tak berdimensi disebut ana1isa

dimensionil.

5.2. Kelompok tanpa dimensi

Variabel atau besaran fisik dinyatakan dengan dimensi yang dpat dituliskan daJam

beberapa dimensi dasar. Sebagai contoh, kecepatan secara dimensionil dinyatakan oleh

hubungan dimensi (V) = (L) I (t). Beberapa variabel dapat dikelompokkan sedemikian

sehingga tidak berdimensi, dan kelompok tanpa dimensi. Sebagai contoh, 'besaran pVdlJ.l

tidak berdimensi. karena :

Yang berarti bahwa pVd/J! tidak berdimel1si. Besaran ini kita kenalsebagai bilangan

Reynolds, salah satu kelompok tanpa dimensi yang penting dalam mekanikafluida.

5.3. Hukum keseragaman dimensi

Suatu persamaan dikatakan memiliki kescragaman dimensi bita bentuk

persamaaan tersebut tidak tergantung pada satuan pengukuran das~. Hukum

keseragaman dimensi menyatakan bahwa suatu persamaan uang diturunkan secara

analitik dan yang menyatakan suatu geja1aflsik hams b~rlaku semua untuk sistim satuan.

Sebagain cOlltoh.persamaan uDtukperioda aYUDanBuatubandul sederhana, yaitu

T = 2 1t'"Ug, berlaku untuk tiap sistim satuan, misalnya apakah L diukur da1am fee~

meter, atau mil, dan t diukur da1am meDit, hari atau detik. Jadi I')ersamaan tersebut

memiliki keseragaman dimensi dan dapat dikatakan menyatakun gejala fisik. Hukum

tersebut dapat diselami mengingat bahwa gejala alami berlangsung tanpa dipengaruhi

oleh satuan yang dibuat secara sembarang oleh manusia, dan karena itu persamaan yang

menjelaskan gejala demikian harns berlaku untuk segala sisten satuan, jadi harns

memiliki ke~eragaman dimensi.

Dari asas keseragaman dimensi iui dapat disimpulkan bahwa suatu persamaan

yang berbentuk : x = a + b + c akan seJ"888DIsecara dimensionil hanya bita x, ~ b,

34

C.....memilild dimensi yang sama. Hokum ini sangat bel"lDan&atuntuk memeriksa,

apakah suatu persamaan yang menyatakan gejala fisik dan yang diturunkan secara

analitik. sudah benar dan lengkap. Seperti contoh dibawah ini :

X = yz;v,f + a3f2

Agar persamaan diatas memiliki keseragaman dimensi, persamaan tersebut harnSberlaku

untuk semua sistim satuan. Agar demildan perubahan skala tiap suku hams sama bila

sistem satuannya diubah. Jadi, bila satuan suku yzv/- dikalikan dua dalam sistim satuan

yang baru, balyang sama barus terjadi pula pada x ~an a3f2.Untuk itu tiap Buku dalam

persamaan diatas harns mempunyai dimensi yang sama. Sebagai contoh lain, dari

pengamatan diperoIeh hukum Newton kedua yang menyatakan bahwa F = ma dengan

dimensi m (M) dan a (LT -2); di sini keseragaman dimensi digunakan uotuk

melldefinisikansuatu dimensi yang bw"U,yaitu dimem;igaya F.

5.4. Teorema PI dari ButkiDcham

Bila persamaan yang berlaku uotuk suatu soal tidak diketahui, diperluktm suatu

cara lain dalam penggunaan analisa dimensional. Pada awalnya, perIu diketahui atau

diduga, variable bebas yang menentukau kalakuan dari variable independen yang ingin

kita ketahui. Ini biasanya dapat kita peroleh dengan logika atau institusi yang tumbuh dari

pengalaman terdahulu dengan soal yang semps, tetapi tidak ada jaminan bahwa semua

besaran yang penting telah disertakan. Rayleigh pertama kali menggunakan metode ini

dan hukum aljabar untuk menggabungkan variable yang banyak dalam suatu soal di

dalam sustu kelompok yang tak berdimensi.

Untuk menentukan kelompok tak berdimensi ini. Bucldngham mengusulkan 8uatu

teorema yang dikenal sebagai teorema-pi, yang secara dinyatakan sebagai berikut :

Bita ada n besaran fisik yang penting dan m dimensi dasar, maleaterdapat suatu

biJangan n maksimun (r) yang menyatakan jumlah besaran ini yang diantara mereka

seudiri tidak dapat membentuk kelmpok talcberdimensi. dimana r ~ n2. Maka dengan

menggabungkan secara berturut-turut satu dari besaran yang selebinhnya dengan r

besaran tadi, dapat dibentuk i kelompok tak berdimensi, d,imanai = n-f. Kelompok tak

berdimellsi yang dibelltuk ini disebut suku-sukll 1t dan dikenali dengan simbol 1t1.1t2

".i1tl

35

Ada dua eara pellyelesaian yang dapat diikuti, yaitu cara Rayleigh dan cara Buckingham.

a. Metode Rayleigh:

Misalkan diinginkan untuk menyatakall suatu variable yang penting, ai, sebagai

fungsi dari ariable bebas lainnya, a2, a3,. ... . .. . ... ... an, dalam bentuk :

<X.I= tl «1.2, <1..3, u"()) . . ... ... ... . ..5.3a

...5.3batoo f(al, a2, u..,J= 0

PerS8I1laan sehmjutnya yang diinginkan berbelltuk :

01 ( Jtl ,Jt2 , ...Jtl ) = 0 5.4a

atoo ... . .. . . . . .. . . . . 5.4b

Akau telapi diatl<j:I,~apbaltwa ada m dimensi dasar, clanjumlah kelompok tak berdimensi

I := n-Ill.

tJntuk menentukan suku-suku Jt dalam persamaan 5.4,anggap bahwa persamaan

5.3 dapat dillyatakansebagai pel~umlahalldari sejumlah deret ukur clarivariabel tersebut,

jadi:

A Oilr~ a2 u . 0111+ B b I b2 n bn = 0) ""2 . . . ""f1 v..t ""2 . . . VIda

Di mana A,B . . . dan seterusnya adalah koefisien tanpa dimensi dan aI, a2 . . . an, bl . . .

bn. . . adalah eksponen. Persamaan di atas ni dapat ditulis sebagai :

l+(B/A) eL]bl.31eL2b2-a2 ... an bn_an+ .. =0

Agar azaz keseraganlall dimensi dipenuhi, sernua suku dalarn persamaan yang terakhir

ipni harns tak berdirnensi seperti snku Yallg pertama. Jadi keseragaman dimensi dari

per-samaantersebut clapatdinyatakan dalam bentuk :

I "b j- [M' 0>Lv" ] 5 5LaI a 2 ".. a" x = t . . .. ... .. . .. .. .. . ... .. .. . .. .. .. .

ini benu1i bahwa bila tiap-tiap variable yang dinyatakan dengan dimensinya dan

dipangkatkan dengan suatu bilangan tertentu saling diperkalikan dan menghasilkan

dirnensi nol, maka hubungan fungsional demikian mt:nyatakan gejala fisik yang benar.

dan kelmpok tak berdimensi dapat diperoleh.

36

Prosedur yang terperinci akan dijelaskan dengan contoh berikut. misaInya penurunw

tekanwl. A P. sepanjang suatu pipa diketahui pergantung pOOa pmYang pipa, S

diameternya, d, massa jenis fluida yang mengaIir dalam pipa, p, kecepatannya fluida Ydan viskositas fluids, J.1., jadi :

Ap = n ( S, d, p, V, ~t)

atau f( Ap, S, d. P. V. I-l)= 0

dalam belltuk dimensional dapat dituliskan :

teorema-pi menyatakan bahwa bita n = 6, m = 3. maIm1.- 3,jadi ada tiga kelompoktak

berdimensi (1t). Dari 8Z8Skeseragaman dimensi dgpat disimpulkan bahW8 kerlaku

persamaan berikut :

untuk M : a + d + 1 =0

untuk L : -a + b = c - 3d + e = ()

untuk t : -2a - e - 1 = 0

( a)

. ( b )

( c)

persamaan ini menghasilkan ( karena asa 5 anu dWl3 persamaall ).

d= a- 1

e=2a-1

c= -b - 1

jadi dapat dituliskan

Aba Sb d -b-l p-a-l J.1.= [MoL°to]

bila suku-suku dengan pangkat yang sarna dikelompokkan, diperoleh :

[(",,:,'H~)'(.~d)]~ [M.L.r.] ..5.6

Tiap suku dalani persarnaan 3.5. tidak berdimensi, jadi merupakan suku -1t. Bentuk

fungsionil yang berlaku :

01

(

D.p ! ~)

=0pV2'd'pVd

...5.7a

atau D.p _ 0(

8 J1)pV ~ - d ' pVd

... . .. . .. . .. . ... .. . .. . ... .. . ... ..5. 7b

37

Jadi disini _ f::..n1f 1 - -2:..-

pVd'

S P

1! 2 = d 1! 3 = pVd

Pertu diperhatikan babwa, walaupun teorema-pi menyatakan jumlah suku pi (1t) yang

minimum untuk menerangkan hubungan fisik, pasangam ini tidak unik. Pasangan suku pi

yang lain juga mungkin, dan dapat meqjelaskan hubunganfisik yang berlaku; waJaupun

mungkin kw-angbermanfaal

Jumlah kombinasi N dari suleu pi yang mungkin dibentuk dari n variable dengan m

dimensi dasar dinyatakan oleb :

n!

N = (m + l)(n - m - 1)

dengan n = 6 danm = 3, makaN = 15.Diatas telah kita temukantiga suku pi (n). Untuk

mencari yang lain, prosedur aljabar untuk memecahkan pasangan persamaan yang

dibentuk oleh eksponen dapat diubah, akan tetapi yang lebih mudah adaJah dengan

membuat kombinasdi dari suku pi yang telah diperoleh. Karena tiap 8uku pi tidak

b€\Tdimensi,suku tersebut dapat dipangkatkan dan dikombinasikan dengan 8atU atau

beberapa suku pi yang lain untuk membentuk suku tak berdimensi yang barn. Misalny?

suku y dapat dibentuk sebagai :

km-enahanya tiga suku 1tyang independen yang diperlukan untuk menyatakan hubungan

fisik, untuk itu dapat dipilih 1t1,7t2,dan 1t4atau 7t3,7t2,dan 7t4-Tetapi 7th 7t3dan 1t4tidak

merupakan kombinasi yang benar karena saling bergantungan.

b. Metoda Buck.iDcham

Di daJampenggunaan teof'emapi ini. menurut Buckingham attu1Ulberikut perin

diperhatikan :

a) Kumpulkan suatu daftar dari variable yang penting, misaJnya ada n variable ai.. ...an.

persamaan 11sikyang bersangkutan dapat dinyatakan sebagai :

f{ al, a2, ...<Xn)= 0

38

b) Tentukan dimensi dasar dari variable di mas. misa1nya ada m dimensi dasar. Bna

semua variable di atas dapat dinyatakan da1amempatdimensi dasar, misa1nyaM, L, t

dan T ( temperatur ), maka m = 4

c) Pilih basaran fisik ( variable) a sebanyak r, yang disebut sebagai besaran a primer,

yang di antara mereka sendiri tidak dapat membentuk kelompok tak berdimensi.

Hampir pOOasemua keadaan r = m, sehinggasuatu aturanyang bergunayangdapat

diikuti daJam memilih besaran a sedemikian sehingga tiap a mengandung satu

dimensi dasar setidah-tidaknya sekali.

d) Tentukanjumlah suku- x yang perlu, yaitu sebanyak i = n-r.

e) Tentukan suku - x dengan menyatakan hasil bagi dad besaran a yang tertinggal

deng31lprodek dari a primer yang masing-masing dipangkatkan dengan eksponen

yang akan ditentukan lebih ImYut.Eksponen ini dspat ditentukan dari persyaratan

bahwa tiap suku 1ttidak berdimensi. Jadi untuk tisp 1tpersyaratan ini menghaSilkanr

persamaan, dengan r eksponen yang barus dicari :

Untuk x) :

[

a,+l

]a "'a II, II.:; [..yoLOtO]

1 2 aT .....

Untuk X2 :

[a,+2

]a/"a/,' arb. ;: [MOLOtO ]

Untuk Xj

f) Pecahkan persamaan simultan di atas untuk memperoleh eksponen dari tiap suku 1t,

dan dengan demikian suku-suku 1tdapat dibentuk.

g) Maka 1tl = 0 ( 1t2, .1tj)

Metode ini sangan menarik karena sistimatik dan suku 1tyang diperlukan dapat langsung

diperoleh dengan menggunakan persamaan yang jumlahnya benar dan tiap variable

disertakan paling tidak satu kali.

Manfuat dari metoda ini adalah :

f

39

1. Tiap kelompok tak berdimensi ( suku-suku 1C) dibentuk secara terpisah dan mudah

drngan me.meriksadimensinya.

2. Bentuk dari suku 1Cini dapat ditetapkan sebelumnya, misa1nyabila ada variable YWlg

ingin dihindari dalam pemilihan r variable yang tidak membentuk kalompak tampa

dirnensi. variable ini hanya timbulsekali dalam suku n.

Perlu diperhatikan pula bahwa pemilihan r variahle yang tidak dapat membentuk

kalampok tampa dimensi ini dapat dilakukall dengan mudah dengan menyertakan

variable dengan dimensi yang hanya muueul seka1i pada variable tersebut. Sel~iutnya

bila dalam mebentuk suku 1tterdapat dua vw'iable YWlgdimensinya tepat sama, suku 1t

tersebut dapat diperoleh sebagai bilangan perbandingan kedua variable tersebut. tampa

dengan melaksanakan prosedur aljabar diatas ( 1t}= Sid dapat langsung diperoleh )

5.5. JUMLAB SUKU-SUK1J7t DAN DIMENSI DASAR.

jumlah suku 1t~.ng perlu untuk menyatakan hubungan fisik. dinyatakmlsebagai i = n -- r.

ada dua cara ulltuk menentukan r. cara. yang paling sederhana adalah cara Van Driest,

yang menyataJmnbahwa r adaJah S3ma dengan jumlah variable yang diantara meraka

tidak clapat menghasilkan kelompok tampa dimensi. Karena r tidak dapat melebihi n.

jumlah dirnensi dasar. maka bila n variable tidak dapat membentuk kelompak tnk

berdirnensi. hm-usdicoba n - 1 variable. dmt seternsnya. Dalam memilib dirnensi dasar .

harus dijaga agar dimensi tersebut benar saling independen. Ada kemungkinan bahwa

walaupun rnisalnya M. L. dan t sernuanya diperlukan untuk menyatakan variable yang

ada, dua diantaranya selalu timbul dalarn hubungan yang sarna. Sebagai contob bila M

dan T sclalu timbul dalam bentuk l\fIf pada variable yang ditinjau . M dan T bukan

variable independen. dan kornbinasi WY yang dapat didefinisikaJ1sabaga.i dirnensi baru

N. lllerupakandilllensi dasar.jadijumlah dilllensi dasar berkurang dengan satu.

Cara lain nntuk rnenentukan r adalah dengan cara laghaar. dirnana r ditetapkan sebaga.i

rank dari lllatriks. Prosedurnya adalah sebagai berikut. Variable Ct.!. Ct.2. .<X.n.

dituliskan pada sumbu horisontaJ .dan dimensi dasar M. L. t dan seterusnya dituliskan

pada snrnbu vertikal. Di bawah tiap variable dituliskan kolom mtgka yang menyatakan

pangkat da!"udimensi dasar padabariable tersebut. Untuk contah diatas dapat dituliskan :

40

M-.--.

L-.--T

Ai> I SId I p_1_

q1

+ [10I~-l__~:~..t__~~._. _ -~ - _

-2 I.~ 0 L~Matriks yang terbentuk disebut matriks dimensional, dan dinyatakan sebagai :

1

-1

-2

1

oo

1oo

1

-3

o

o1-1

1

-1

-1

set31liutnyadapat diajukan pertanyaall sebagi berikut. Bita matriks ini uan dijadikan

matriks bujW"sangkar ( square matrix), berapa ukuran terkecil dad matriks bqjw' sangkar

tersebut yang merupakan penyederhanaan dari matriks semuta. agar determinannya tidak

sanla dengan nol? Jumlab kololll atau baris dari mmriks b~jur sangkar ini merupakan

rank dari malriks semula. Untuk matriks diatas, matriks bujur sangkar yang dimaksudadalah:

dengan determinan:

o 1

1 - 11=2- .::- 1-1 - 1

karena jumlall kolom aiau haris dari matriks bujur sangkar yang determinannya ~ 0 ini

S8madenga.ntigs, malearank matriks r = 3. Dan r ini tl1P-rupakanr daJam teorema -1tdari

Buckingham.

V f1

1 1---I -1-

I -1,

41

5.6. KELOMPOK TAK BERDIMENSI YANG PENTING DALAM MEKANIKA

FLUID A.

Dalam kebanyakan gejala fluida dengan perpindahan yang dapat diabaikan, variable

berikut perlu diperhatikan :

1. Tekanan fluids, p.

2. P~jang benda, L.

3. Viskositas fluids, J.L

4. Tegangan permukaan fluids, 0'.

5. Kecepatan soara dalam fluids, c.

6. Percepatan grafitasi bumi, g.

7. Masajenis fluids, p.

8. Kecepatan relatif antara fluida dan bends, V.

Dari variable di atas, dengan analis8. .dimensbnal dopat diperoleh kelompok talc

berdimensi atau parameter keserupaan berikut :

1. Rey

2. Fr

3. M

4. W

.5. Eo =

Kelima bilangan ini dapat ditw1Jnkandengan menggunakanteorema-pi dan metoda

Buckinghamdarike delapanvariable di atas;danmerupakanparameterkeserupaanyang

salingindependen.

= pVd -bilangan Reynolds.}J

= v2 -bilanganFroude-Lg

= v -bilanganMach-c

= pv2r -bilangan WeberCT

p -bilangan Euler.pv2

42

5.7. PENURUNAN PARAMETER KESERPAAN (KELOMPOK TAKBERDIMENSI) DARI PERSAMAAN DASAR.

Supaya f:ederhana,kita akan perhatikan fIuida yang inkompresibel. PersamaankontinUltasnyaada1ah:

au a~. Ow-+-+-=0ax ay Oz

clankita perhatikan salah satl! komponen persamaan Navierstokes, yang menyatakan sukugrafitasi :

... ... .. ..5.9

Di samping persamaan deferensial, syarat batas barns pula ditetapkan untuk melengkapi

persyaratan pen;oalan :

Duajanis syarat batas yang penting adalah :

(a) Kecepatan fluida pada semua permukaan ditetapkan ( diketahui )

(b) Kecepatan fIuida pada sebagian permukaan ditetapkan sedangkan permukaan yang

lain adalah pennukaan bebas, dimana tekanannya ditetapkan, walaupun kedudukan

eksak dari pennukaan tidak di tetapkan.

Aliran melalui suatu tabung venturi atoo disekitar suatu silinder merupakan contob dari

syarat batas yang pertama sedangkan aliran air di dalam saluran yang terbuka dengan

pennukaan bebas adalah contoh dari syarat batas yang kedua.

Secara simbolis, jenis syarat batas yang pertama dapat dinyatakan sebagai :

padaf( Xb,Yb,Zb) = 0 . . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . .. ..5.11

di manaf( Xb.Yb,Zb) = 0 adalah persamaan yang mendefinisikan kedudukan permukaan

batas.

Untuk syarat batas jenis kedua. spesifikasi dari pennukaan batas dengan benda padat

dapat dinyatakan seperti di atas. Untuk bagian permukaan batas, dengan mengabaikan

tegangan permukaan, dapat dituliskan:

P = Pbpada F ( Xf.Yr,Zf) = 0

Di mana fungsi F mula tidak diketahui:

43

DaJam mengubaJl persamaan 5.9 dan 5.10 menjOOituk berdimensi. perlu dipiJih besaran

karakteristik atan patokan untuk tiap veriable. Untuk itu kita gunakan Uo sebagai

kecepatan patokan. 10sebagai panjang patokan. dan Po sebagai tekanan patokan. Untuk

waldu kita gunakan IJuo sebagai waldu patokan. Besaran patokan ini dapat dipilih sesuka

kita, tetapi harns merupakan besaran teTtentu dalam 80al yang bersangkutan. Misalnya,

untuk aJirdIl didaJam tabung Venturi, diameter penampang yang tersempit dapat

digunakan sebagai patokan dan seterusnya. SelanjutnySlkitaukur tiap variable dalam

besaran patokan yang sesuai dan dengan demikian didefinisikan variable tampa dimensi

berikut dengan tanda *:

u = uo u*

v = 110v*

x = loX*

t = IJuo.t*

P = PoP*,dan sebagainya.

Persamaan kontinuitas dari Navier-stokes menjadi :

au.+ a". + aw. _ 0 5.12ax. oy" Oz.-

dan

au" au" au" au.-+u-+v-+w-=at" Ox. 0''' Oz. 5.13.

demikian pula syarat-syarat batas menjOOi:

yang terakhir ini berlaku bila pOOapennukaan bebas, dan bila tegangan dapat diabaikan .

u* = lib*

v* = Vb* padaf( Xb*.Yb*,Zb*)= 0 . . .. .... ... ... ... .. . ..5.14

w* -- Wb*

clan p* = Pb* pOOaF (Xf*, Yr*, Zf*) = 0

44

dapat kita lihat bahwa dengan anaJisa semacam ini ditemukan tiga keJomok tak

berdimensi atau parameter keserupaan :

~.8. KRSERUPAAN (SIMILITUDE)

keserupaan daJam pengerti8ll yang umum berarti indikasi adanya keadaan tertentu yang

diketahui antara dua fenomena. Dalam mekanika fluida hubungan ini merupakan

hubungan aJiran sesuangguhnya dengan aJirao yang menyangkut model yang batas-

batasnya sempaseeara geometris tetapi lebih keeil ukurannya.walaupun demikian [perlu

dijeJaskan, bahwa dalam mekanika fluida berlakupula hukum keserupaan untuk aliran

dengan batas yang tidak serupa. MisaJnya, ada hubungan kesempaan antara aJimn

subsunik kompressibel ( M < 1) sekitas suatu benda dengan aliran inkompresibel sekitar

benda yang kedua yang bentuknya serupa dengan benda peertama yang diseformasikan

menurut eara tertentu, dan ini dikebnaJ sebagai atW11Dkesempaan Gotherl Demikian pula

daJam hidrologi diperlukan suatu modeJ dari sungai-sungai yang pandangan atasnya

sempa, tetapi dalamnya tidak serupa. Selanjutnya akan dibahas aliran seC8rageometris.

Dua alimn yang mempunyai garis arus yang sempa disebut aliran yang serupa secara

kinematis. Karena batas benda merupakan garis arns, tentunya aliran yang sempa

kinematis h8ll18pula sempa secara geometris. Akan tetapi hal sebaliknya belum tentu

benar, seperti ditunjukkan dalam gambar 5.3. disim digambarkan garis &rUSsekitar benda

yang berbentuk belah ketupak dalam aJiran dua dimensi. Gambar a. menutriukkan aliran

subsonik, M<l. sedangkan gambar b. aliran super Bonik,M<l. Dapat dilihat bahwa garis

aJurnyatidak sempa.

45'

Gambar 5.3. Garis arus sekitar bendaberbentuk belah ketupat 2 Dimensi

Selanjutnya dua aliran dikatakan serupa secara dinarnis, bila distribusi gaya pada

kedua aJiran adoJah sedemikian, sehingga pada titik yang berkorespondensi, gaya yang

sejkenis ( misalnya gaya geser, tekanan, dan sebagainya) saling sejajar. dan memunyai

peroaodingan yang sarna dengao pada pasangan tink yang berkorenspondensi Jainnya.

Sehuyutny~ angka perbandingan inl juga sarna untuk jenis gaya yang lain. Karena gaya

seperti gaya angkat dan tahanan untuk skala sebenamya biasanya diramalkan dengan

mengukur ygaya. yang serupa pada model-model yang lebih keci~, jelaslan mengapa

keserupaan dinamis sanga! penting daIanl pengujian.

Akan ditunjukkan bahwa keserupaan dinamis mensyaratkan dipenuhinya

keserupaan kinematik, clan syarat bahwa distribusi massa adalah sedemikian sehingga.

pcrbandingan maaa jenis pOOatitik dalam aliran yang berkt>prespondensi mempunyai

harga yang sarna pada setiap pas~mgtitik. Atiran yang memenuhi syarat yang terakbir ini

disebut aliran distribusi masa yang serupa. Syarat keserupaan kinematis berarti babwa

kecepatan dan percepatan pOOa titik yang berkorespondensi. adalah sejtYlr clan

perbanclinganbesar harga mutlaknyaadalab kOllstan.Aliran yang serupa secara kinematis

dan mempunyai distribus masa yang serupa, dari hukum newton, juga mempunyai gaya

resultan yang perbandingan harga mutlaknya sarna untuk titik yang saling

berkorespondensi. Selain itu pada tink yang berkorespondensi juga sej~ar. JOOialiran

yang serupa secara kinematis dan distribusi masanya serupa memenuhi syarat

kesempaan.

5.9. ANALISA KESERUP AAN DENGAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN

DASAR.

Kita perhatikan sekarang dua soal yang menyangkut aliran f1uida inkopresibel.

yang syarat batasnya sarna bila dinyatakan dengan bilangan tak berdimensi.

Misalnya kedua soal ini adalal1aliran disekitar dua ailinder. yang satu lebih besar dari

yang lain, srayat batas menyatakan bahwa kecepatan pada permukaan silinder" sarna

dengan nol dan kecepatan pada takl terbingga adaklah tetap dan sarna dengan kecepatan

fluida bila silinder tidal<ada. Kita gunakan kecepatan ini sebag-cUkecepatan patokan,

46

diameter sHinder sebagai panjang patokan, dan tekanan s~agnasi sebagai tekananpatokan.

Bila syarat batasnyajuga dinyatakan dalam besaran tak berdimensi, terlihat bahwa kedua-

duanya sarna. Dengan demikian pemecahan kedua soal ini, bila dinyatakan dengan

bilangan tak berdimensi, temyata akan sarna bila persamaan diferensialnya juga sarna.

Bila kita perhatikan persamaan yang berlaku, terlihat bahwa persamaan kontinuitas

dengan sendirinya memenuhi syarat tersebut, sedangkan persamaan Navier-Stokes akan

sarna untuk kedua hal di atas ini hila ketiga paramet~r : po/pu,,2,v/uolo dan g l./u02

mempunyai harga yang samadalam kedua soal diatas. Bita demikian kedua soal di atas

dapat dikatakan sempa"secara dinarnis, disamping secara geometris (konggruen).

Pemecahal1 untuk soal Y311gpertama, misalnya dapat diperoleh secara

eksperimen, dan hasil ~ksperimen ini akan berlaku untuk aliran di sekitar silinder yangkedua.

Sekarang kita periksa secara lebih mendalam ketiga parameter yang timbul dalam

persamaan Navier-Stokes. Bilangan po/put/ menyangkut hasil bagi antara tekanan

patokall dengan tinggi kecepatan yang didasarkan pada kecepatan patokan. Dengan

menganalisa parameter ini secara fisik dan bukan matematis, kita lihat bahwa hasil bagi

ini hanya berarti bila tekanan absolut dari alinm mempunyai arti yang penting, yaitu bila

hanya absolut dari po penting. Dalam banyak soal, harga absolut dari p tidak

mempengaruhi besaran pu/ (atau ~ pU02),dan yang t.erakhirini dapat diambil sebagai

ukuran tekanan, dan bukan po.

Deng311demikian jumlah besaran patokan dapat dikurangi dan parameter pI puo2

del1gan demikian menjadi berharga satu (atau 1/2) clan tidak perlu dibitung sebagai

parameter yang tersendiri. Kedua, karena harga absolut dari tekanan tidak mempengamhi

aliran, tekanan dapat diukur terhadap tiap patokan yang. memudahkan analisa. Misalnya,

tekanan pada permukaan bebas dapat digunakan sebagai tekanan patokan, schingga

haerga relatif dari tekanan pada. permukaan tersebnt ada1ah nol. Da1anl 80aJ di mana.

penyederhanaan yang demikian mungkin, jumlah parameter ada dua.,yaitu u IUoLodan

gl./uo2.

Penyederbanaan yang demikian tidak selalu mungkiu. Dalam beberapa alirall,

tckanan pada titik tertentu menjadi sangat rendah sehingga mencapai tckanan uap dari

cairan sehingga terbentuk kavitasi uap, suatu geja1a yang disebnt kavitasi. Da1ama1iran

47

d€'mikianharga absolut dari tekanan merupakan fakt"f y:mgpenting. kar€'natekanan yang

tinggi akan mencegah kavitasi. POOasuatu titik sil~der, tekanannya adaIah poo.uo2 .

Tekanan (Poo_uo2) mungkin sarna dengan uap air. Dalam contob semacarn ini, parameter

po /puo merupakan suatu faktor yang penting. Karena itu dalam BOalsemacarn tekanan

diukur relatifterhadap tekanan uap.

Jadi :

po = poo -Pv

sehingga

Po _ POI>- P,1~- 1.1 2~ PUn 72pU"

karena l,;.:iPU0 2 mempunyai arti khusus, parameter yang sering digunakan adalah :/2

Po _ Pro - p,

,I,{pu() 2 - MpUo2

yang dikenalsebagai bilangan Euler, Eu.

kedua parameter lain OOaJah-2- dan ~ ; yang lebib dikenaJ adaJah nol / v, yaituuolo Uo

bilangan Reynolds, Re, clan bilangan Froude Fr = Uo . Bila bilangan Euler dapatgso

diabaik8ll, maka bilangan Froude clan bilangan Reynolds merupakan parameter yang

menentukan karakteristik aliran. Ini berarti bahwa bila dua aJiran mempunyai bilangan

Reynolds yang sarna dan bilangan Froude yang sarna, uraian kedua aliran ini daJam

besaran tak berdimensi akan sarna, asalkan syarai batas ( tak berdimensi ) dari kedua

persoalan inijuga sarna.

Sekarang kita perbatikan satu jenis soal mana penyederhanaan yang lebih lanjut dapat

dilakukan. Misainya aliran cairan tampa pennukaan bebas di daJam suatu pipa. Fluida

dianggap inkompresibel clanbilangan Euler dianggap tidak penting untuk soal ini. Bila

fluida di daJampipa tidak mengaJir, maka berlaku :

48

Yang dapat diperoleh dari persmnaan Navier-Stokes. Subskrip r digunakan di sini untuk

menunjukkan bahwa tekanan yang bersangkutan ditemui bila fluida tidak mengalir.

Dengan menggunakan persamaan di atas dari persamaan Navier-Stokes diperoleh:

dimana Pn =P - Proclandisebuttekanannongravitasi.Di sini dapatdilihatbahwasuku

gravitasi dan bilangan Froude dapat dihilangkan dari persmnaan garak. Selanjutnya kita

periksa syarat batasnya. Bila b-yarat batas ini termasuk jenis yang kecepatannya

ditentukan pada batas yang tetop dalam ruang. maka syarnt batas ini tidak berubah

dengan adanya substitusi tekanan sebenamya dengan tekanan non gravitasi. Demikian

pula persamaan kontinuitas tidak dipengarubi oleb substitusi dua persamRRndiferensial

dan syarat batas dalam bentuk tak berdimensi yaitu bilangan Reynolds. Untuk soal seperti

illi. syarat untuk keserupaan dinamis adaIah bahwa bilangan Reynotdsnya sarna besar.

Aliran semacam ini banyak dijumpai dalmn mesin fluid&. serak benda di miara pada

kecepatan rendah dan sel?againya.

Sekarang kita perhatikan satu jenis soal di mana dijumpai permukaan bebas, yaitu

pennukaan batas yang bentuknya tergantung pOOa gerak. Dengan demikian konsep

tekanan non gravitasi talcdapat menghasilkan penyederbanaan, karena pr harns diperoleh

untuk bentuk permmukaan bebas yang terjadi sewaktu fluida mengalir.

Bentuk permukaan ini harns ditentukan dari persamaan dinamik lengkap yang

penyertakan efek gravitasi. Karana itu suku gravitasi tidak dapat dihilangkan dari

persamaan dasar, dan bilangan Froude harus diperhatikan sebagai parameter terpisah. Hal

scmacam ini tcrjadi misalnya pada a1iranmela1uisa1urmtterbuka, perambatan ombak dan

aJiran disekitar akpa1.

Sebagai ringkasan, dopat kita katakan bahwa keserupaan dinanlis dari aliran

fluida yang tidak kompresibel yang dipengaruhi ole}}gravitasi clanviskositas umumnya

ditentukan olah tiga parameter, yaitu bilangan Euler (Foo - Py) /lh PUo2.bilangan Froude

UoIv g10dan bilangan Reynolds UoIJv .

Bila gravitasi tidalc penting. bilangan Eulel" dopat diabaik~ sehingga bilangan

Reynolds menlpakan parameter yang penting untuk keserupaan dinamis.

49

Untuk aljran dengmrpermukaan bebas. baik bi1anganReynolds maupun bi1anganFroude

harns diperhatikan.

Disamping bilangan tak berdimensi yang disebutlcandi mas yang penting daJam

alirantak kompresibel. masih ada beberapa bilangan tak berdimensi yang penting,

misaJoyabila efek kompresibilitas. eleldromagnetik dan sebagainya perlu di perbatikan.

5.10. ARTI FISIK DARI PARAMETER KESERUPAAN YANG PENTING

1. Bilangan Reynolds: Perl>andinganantaragaya inersia terbadap gaya gesekan

2. Bilangan Mach: Perbandingan antara akar dari gaya inersia terhadap akar gaya

akibat kompresibilitas fluida

3. Bilangan Fronde: Perbandingan aIltara gaya inersia terhadap gaya akibat

gravitasi

4. Bilangan Weber: Perl>andingan antara gaya ioersia temadap tegangan

pennukaan

5. Bilangan Euler: Perl>andioganantara gaya tekanan terhadap gaya ioersia