PENERAPAN BILANGAN KOMPLEKS UNTUK MENGEKSPLORASI

KARAKTERISTIK SEGIEMPAT

THE APLICATION OF COMPLEX NUMBERS TO EXPLORE

QUADRILATERAL CHARACTERISTICS

Oleh:

DWI TRISTIANTO

NIM : 662011003

TUGAS AKHIR

Diajukan kepada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika guna memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai gelar Sarjana Sains

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA

SALATIGA

2017

ii

iii

iv

v

vi

Motto

“Jika Kamu Berhenti Berhenti Berjuang, Maka

Disitu Pula Kisahmu Akan Berakhir”

vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Allah SWT atas limpahan berkat, rahmat dan hidayah-

Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tugas akhir (Skripsi) sebagai

prasyarat menyelesaikan Studi Strata 1 (S1) pada Program Studi Matematika

Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana. Judul yang

penulis ajukan adalah “Eksplorasi Bangun Segiempat Menggunakan Bilangan

Kompleks dan Penerapannya”.

Dalam penyusunan dan penulisan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan,

bimbingan serta dukungan dari berbagai pihak. Untuk itu dalam kesempatan ini

penulis menyampaikan ucapan terimakasih kepada:

1. Dr. Suryasatriya Trihandaru, M.Sc.nat. selaku Dekan Fakultas Sains dan

Matematika,

2. Dr. Bambang Susanto, MS selaku Ketua Program Studi Matematika

sekaligus pembimbing utama yang selalu bijaksana memberikan

bimbingan, nasehat serta waktunya selama penelitian dan penulisan

skripsi ini,

3. Dra. Lilik Linawati, M.Kom. selaku Wali Studi sekaligus pembimbing

pendamping yang dengan sabar membimbing, mengarahkan dan

memberikan motivasi kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini

sehingga laporan skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik,

4. Dosen pengajar di Program Studi Matematika, Dr. Bambang Susanto, MS,

Dra. Lilik Linawati, M.Kom., Dr. Adi Setiawan, M.Sc, Tundjung

Mahatma, M.Kom, Didit Budi Nugroho, D.Sc., Dr. Hanna Arini Parhusip,

M.Sc., Leopoldus Ricky Sasongko, M.Si yang telah memberikan ilmu

pengetahuan kepada penulis selama studi di FSM UKSW serta Pak Edy

sebagai Laboran yang telah memberikan bantuan kepada penulis,

5. Staf TU FSM: Mbak Eny, Bu Ketut dan Mas Basuki,

6. Keluarga besar saya yang selama ini selalu sabar memberi dukungan untuk

menyelesaikan tugas akhir ini.

7. Teman-teman dari Pegunungan Tengah Papua Football Club (PTP FC),

viii

8. Teman-teman dari KOMAPO FC,

9. Teman-teman berbagi cerita Cristine, Wawan, Daus, Imam, Regi, Condro,

Billy, Anggoro, dll. yang tidak bisa penulis sebutkan satu-satu karena

mereka semua yang telah berjasa dalam membantu penulis untuk

menyelesaikan tugas akhir ini.

Semoga Allah SWT memberikan balasan atas segala amal baik yang telah

membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh

sebab itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk

penulis. Akhirnya semoga Allah SWT meridhoi amal kita semua. Amin.

Salatiga, 14 Agustus 2017

penulis

ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. ii

MOTTO .............................................................................................................. vi

KATA PENGANTAR ....................................................................................... vii

DAFTAR ISI ....................................................................................................... ix

DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xi

DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................... xiii

ABSTRACT ........................................................................................................ xiiv

ABSTRAK .......................................................................................................... xv

BAB I. PENDAHULUAN ............................................................................... 1

1.1. Latar Belakang ......................................................................... 1

1.2. Perumusan Masalah .................................................................... 1

1.3. Tujuan ......................................................................................... 2

1.4. Batasan Masalah ......................................................................... 2

1.5. Metodologi Penelitian ................................................................. 2

1.6. Sistematika Penulisan ................................................................. 2

BAB II. DASAR TEORI ................................................................................... 3

2.1. Sistem Bilangan Kompleks ......................................................... 3

2.2. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks .......................................... 3

2.3. Modulus (Nilai Mutlak) Bilangan Kompleks ............................. 4

2.4. Operasi Bilangan Kompleks Sekawan (conjugate)..................... 4

2.5. Representasi Geometris Bilangan Kompleks .............................. 5

2.6. Konsep-Konsep Geometri ........................................................... 6

2.6.1. Titik, Garis dan Bidang Sebagai Pengertian Pangkal ..... 6

2.6.2. Garis Sejajar .................................................................... 8

2.6.3. Kekongruenan Dua Segitiga ........................................... 8

2.6.4. Segiempat ........................................................................ 10

2.6.5. Segiempat Talibusur dan Segiempat Garis Singgung ..... 15

2.7. Representasi Bangun Geometri Menggunakan Bilangan Kompleks

.............................................................................................................. 16

x

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN .......................................................... 18

3.1. Studi Literatur ............................................................................. 18

3.2. Langkah-Langkah Penelitian ...................................................... 18

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN .......................................................... 19

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................ 37

5.1. Kesimpulan ................................................................................. 37

5.2. Saran ............................................................................................ 37

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 38

LAMPIRAN ........................................................................................................ 39

xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.5. Representasi Geometris Bilangan Kompleks. ......................... 5

Gambar 2.6.3. Dua Segitiga Kongruen ........................................................... 8

Gambar 2.6.4.a. Segiempat ................................................................................ 10

Gambar 2.6.4.b. Segiempat Talibusur ................................................................ 11

Gambar 2.6.4.c. Jajar Genjang ........................................................................... 11

Gambar 2.6.4.1. Persegi Panjang ....................................................................... 12

Gambar 2.6.4.2. Belah Ketupat .......................................................................... 12

Gambar 2.6.4.3. Persegi ..................................................................................... 13

Gambar 2.6.4.4.a. Trapesium Sembarang ............................................................. 14

Gambar 2.6.4.4.b. Trapesium Sama Kaki ............................................................. 14

Gambar 2.6.4.4.c. Trapesium Siku-siku ................................................................ 15

Gambar 2.6.4.5. Layang-Layang ....................................................................... 15

Gambar 2.6.5.1. Segiempat Talibusur ................................................................ 16

Gambar 2.6.5.2. Segiempat Garis Singgung ...................................................... 16

Gambar 4.1. Sepasang Garing Singgung yang Ditarik Dari Titik A ........... 20

Gambar 4.2.1. ABCD adalah Jajar Genjang dengan E, F, G, H adalah Titik-

Titik Tengah Setiap Sisinya ................................................... 20

Gambar 4.2.2. Kedua diagonal dalam jajar genjang saling potong-memotong

ditengah-tengah ...................................................................... 21

Gambar 4.2.3. Varignon’s theorem .................................................................. 22

Gambar 4.2.4. Van Aubel’s Theorem ............................................................... 23

Gambar 4.2.5. Thebault’s First Theorem ......................................................... 24

Gambar 4.2.6. Diagonal Belah Ketupat Tegak Lurus Satu Sama Lain ........... 25

Gambar 4.2.7. Diagonal Jajar Genjang Membagi Dua Sama Panjang ............ 26

Gambar 4.2.8. Z adalah Hasil Pencerminan Titik C Terhadap Garis AB ......... 27

Gambar 4.2.9. Titik H Merupakan Titik Potong Garis Tinggi Segitiga ABC .. 29

Gambar 4.2.10. Ilustrasi Latar Belakang Soal USAMO 2015 No. 2 ................ 30

xii

Gambar 4.2.11. a, b, m, o, p, q, s, t dan x bertutut-turut adalah bilangan

kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, M, O, P, Q,

S, T dan X ............................................................................... 30

Gambar 4.2.12. OSN SMA 2009 BK Tegak Lurus AK, CL Tegak Lurus AL dan

A1KML adalah Segiempat Talibusur ...................................... 32

Gambar 4.2.13. Titik I Merupakan Pusat Koordinat dan Garis Bagi

Merupakan Sumbu Real ......................................................... 33

Gambar 4.2.14. A1KML adalah Segiempat Talibusur ........................................ 35

xiii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Sifat-Sifat Bilangan Kompleks .................................................... 39

Lampiran 2 Herintah dalam Geogebra untuk Menunjukkan Hasil Gambar 4.2.8.

hal. 27 .......................................................................................... 40

Lampiran 3 Perintah dalam Geogebra untuk Menunjukkan Hasil Gambar 4.2.9.

Hal. 29 ......................................................................................... 41

Lampiran 4 Perintah dalam Geogebra untuk Menunjukkan Hasil Gambar

4.2.10. Hal. 30 ............................................................................. 42

Lampiran 5 Perintah dalam Geogebra untuk Menunjukkan Hasil Gambar

4.2.11. Hal. 30 ............................................................................. 43

Lampiran 6 Perintah dalam Geogebra untuk Menunjukkan Hasil Gambar

4.2.12. Hal. 32 ............................................................................. 44

Lampiran 7 Perintah dalam Geogebra untuk Menunjukkan Hasil Gambar

4.2.13. dan 4.2.14. Hal. 33 dan 35 ............................................... 46

xiv

ABSTRACT

In this study, the application of complex number on proving some

quadrilateral properties is explored. The explorations are described with

examples. Some suggestion in what conditions this approach can be used to solve

some Eucledian geometry problems are given.

Keywords: Complex Number, Quadrilateral, Geometry Eucledian.

xv

ABSTRAK

Dalam penelitian ini, sifat-sifat bilangan kompleks digunakan untuk

mengeksplorasi beberapa fakta tentang segiempat. Eksplorasi dijelaskan melalui

contoh-contoh. Beberapa saran tentang bagaimana dan kapan menggunakan

bilangan kompleks untuk menyelesaikan soal geometri tertentu juga diberikan.

Kata Kunci: Bilangan Kompleks, Geometri Datar, Segiempat.