Segiempat Dan Lingkaran

25
SEGIEMPAT DAN LINGKARAN A. SEGIEMPAT TALIBUSUR Definisi : Segiempat talibusur ialah segiempat yang ke empat titik sudutnya terletak pada keliling sebuah lingkaran. Jika kita gambarkan sebuah lingkaran dan pada kelilingnya kita ambil empat buah titik, yang kita hubung-hubungkan, maka terjadilah sebuah segiempat yang disekelilingnya terdapat sebuah lingkaran. Keempat buah sisi segiempat itu ialah talibusur lingkaran itu. Segiempat yang demikian kita namakan segiempat talibusur. Jadi segiempat talibusur ialah 1

Transcript of Segiempat Dan Lingkaran

Page 1: Segiempat Dan Lingkaran

SEGIEMPAT DAN LINGKARAN

A. SEGIEMPAT TALIBUSUR

Definisi : Segiempat talibusur ialah segiempat yang ke empat titik sudutnya

terletak pada keliling sebuah lingkaran.

Jika kita gambarkan sebuah lingkaran dan pada kelilingnya kita ambil

empat buah titik, yang kita hubung-hubungkan, maka terjadilah sebuah

segiempat yang disekelilingnya terdapat sebuah lingkaran. Keempat buah sisi

segiempat itu ialah talibusur lingkaran itu. Segiempat yang demikian kita

namakan segiempat talibusur. Jadi segiempat talibusur ialah segiempat yang titik

sudut-sudutnya terletak pada keliling lingkaran.

Sebuah lingkaran ditentukan oleh tiga buah titik.

Jadi jika kita mempunyai tiga buah titik (titik-titik itu tidak boleh terletak

pada sebuah garis lurus), kita selalu dapat membuat sebuah lingkaran yang

1

Page 2: Segiempat Dan Lingkaran

melalui ketiga buah titik itu. Karena itu melalui sebuah segitiga selamanya dapat

kita buat sebuah lingkaran.

Tetapi jika kita gambarkan sekarang segiempat saja,maka umumnya tak

dapat kita buat sebuah lingkaran, yang melalui keempat-empat titik sudut

segiempat itu.

Tentu saja dapat kita buat sebuah lingkaran melalui tiga buah titik dari

keempat titik sudut itu, sehingga adanya titik sudut yang keempat pada keliling

lingkaran itu merupakan hal yang khusus.

1. Sifat – sifat segiempat talibusur

a. Dalam sebuah segiempat tali busur sudut-sudut yang berhadapan

suplementer.

Diketahui : ABCD ialah segiempat tali busur.

Buktikan : A + C = 180o.

Bukti : A = 12

bs. BCD

C = 12

bs. BAD

A + C = 12

(bs . BCD+bs . BAD )

= 12

x keliling linkarang

= 12

x360 °=180 °

2

Page 3: Segiempat Dan Lingkaran

b. Sudut luar dari sebuah sudut segiempat tali busur sama dengan sudut

dalam yang berhadapan dengan sudut segiempat itu.

Jika sudut-sudut A dan C suplementer, maka sudut luar C sama dengan A. Sebaliknya sudut luar A sama dengan C.

Buktinya mudah sekali : C = 180o - Cx (sudut bersisian)

Demikian pula : A = 180o - Cx

Akibatnya : A = C.

c. Jika dua buah sudut yang berhadapan pada sebuah segiempat suplementer dan sebuah sudut luar sebuah segiempat sama dengan

3

Page 4: Segiempat Dan Lingkaran

sudut yang berhadapan dengan sudut dalam segiempat, maka segiempat itu segiempat talibusur.

Diketahui : segiempat ABCD.

A + C = 180o

Buktikan : ABCD segiempat talibusur.(Dengan kata lain A, B, C dan D

terletak pada linkarang.

Bukti : kita harus membuat sebuah linkarang melalui titik-titik D, A dan B.

Jadi sekarang harus dibuktikan bahwa C pun terletak pada linkarang

itu.

Maka ada dua kemungkinan :

1. C tidak terletak pada lingkaran

2. C terletak di dalam lingkaran

Maka kita perpanjangan garis DC memotong linkaran di E. Jadi

segiempat ABED ialah segiempat talibusur, dimana A + E = 180o.

Tetapi diketahui A + C1= 180o. Sehingga C1 = E.

4

Page 5: Segiempat Dan Lingkaran

Jadi kemunkinan bahwa titik C terletak pada lingkaran.

d. Dalam sebuah segiempat talibusur hasil kali garis sudut-menyudut sama

dengan dijumlah hasil kali sisi-sisi yang berhadapan.

Jika sisi-sisinya kita sebut a, b, c, dan d dan garis sudut-menyudutnya p dan

q, maka ;

rumus : p x q = ac + bd

Dik : segempat talibusur ABCD

Buktikan : BD x AC = AB x CD + BC x AD

Bukti : Tarik garis DE sedemikian , hingga ADE = CDB

A1 = B2 = 12

bs. CD

D1 = D3 ( dibuat sama)

∆ AED ∆ BCD

5

Page 6: Segiempat Dan Lingkaran

Jadi AE : BC = AD : BD

Atau AE X BD = BC x AD.........I

Lagi pula :

C2 = B1(12

bs. AD)

D23 = D12

∆ CDE ∆ BDA

DC : BD = CE : AB atau

BD x CE = BC x AB............II

Menjumlahkan pers. I dan II

I. AE x BD = BC x AD

II. CE x BD = DC x AD

BD ( AE + CE ) = BC x AD + DC x AB

BD x AC = BC x AD + DC x AB

q x p = b x d + c x a

e. Perpanjangan sisi-sisi

6

Page 7: Segiempat Dan Lingkaran

Sebuah perpanjangan sisi-sisi AD dan BC dari segiempat talibusur ABCD.

Perpanjangan-perpanjangan ini berpotongan di P. kita misalkan PD = x dan

PC = y dan kita hendak mencoba menyatakan x dan y dengan sisi-sisi

segiempat talibusur. Sisi-sisi ini kita sebut berturut-turut a, b, c, dan d.

Diketahui : segiempat talibusur ABCD.

1. PD = x = perpanjangan AD.

2. PC = y = perpanjangan BC.

Nyatakanlah x dan y dengan a, b, c, dan d.

∆ PDC ∆ PBA ( P bersekutu , D3 = B

Akibat dari kesebangunan ini :

1. x : ( y + b ) = c : a atau

ax = c ( y + b ) atau

ax – cy = bc ...........I

2. y : ( x + d ) = c : a atau

7

Page 8: Segiempat Dan Lingkaran

ay = c ( x + d ) atau

ay – cx = cd.............II

Dari pers. I dan II kita dapat menentukan perpanjangan diagonalnya.

ax – cx = bc ( c ) acx – c2 y = bc2

ay – cx = cd ( a ) - acx + a2y = acd +

y ( -c2 + a2 ) = bc2 + acd

y = bc2+acd

a2−c2

y = c (bc+ad )

a2−c2

ax – cy = bc ( a ) ax2 - acy = abc

ay – cx = cd ( c ) - cx2 + acy = c2d +

x ( a2 + c2 ) = abc + c2d

x = abc+c2 d

a2+c2

x = c (ab+cd)

a2+c2

Ada beberapa cara untuk mempermudah menghitung perpanjangan sisi-

sisi:

a. ∆ PDC ~ ∆ PBA

b. Akibatnya ada dua buah perbandingan seharga

c. Sesudah pemakaian sifat utama perbandingan seharga, kita peroleh dua

buah persamaan, yang bilangan-bilangannya merupakan perpanjangan-

perpanjangan yang diminta.

d. Kedua bilangan itu kita cari.

f. Panjang diagonal

8

Page 9: Segiempat Dan Lingkaran

Maka menurut pendirian Ptolomeus :BD x AC = ac + bd..........IKita perpanjang AD dan BC.Kalau kita perhatikan ∆ BDP dan ∆ ACP, maka1. P = P2. B = A = ½ bs. DC

Jadi ∆ BDP < ∆ ACPAtau BD : AC = DP : CP.......II

DP = x = c (ab+cd)

a2−b2

CP = y = c (bc+ad )

a2−b2

BD : AC = ( ab + cd ) : ( bc + ad )....III

Jadi dari diagonal – diagoal itu kita ketahui hasil kalinya ( I ) dan

perbandingannya ( III )

9

Page 10: Segiempat Dan Lingkaran

kita kalikan ( I ) dan ( III ):

BD x AC x BDAC

BD2 = ( ac + bd ) x ab+cdbc+ad

BD =√ ( ac+bd )(ab+cd)bc+ad

kita bagikan ( I ) dan ( III )

BD x AC : BDAC

AC2 = ( ac + bd ) : ab+cdbc+ad

AC =√ ( ac+bd ) (bc+ad )ab+cd

Untuk mempermudah menghitung panjang diagonal :a. Hitunglah perpanjangan sisi-sisi dan dengan bantuan bantuan

perbandingan- perbandingan panjang diagonal ( III )

b. Pendirian ptolomeus menghasilkan diagonal- diagonal

c. Kalikan kedua hasil itu dan bagikan keduanya

g. Luas segiempat talibusur

10

Page 11: Segiempat Dan Lingkaran

Sekarang kita dapat menghitung luas segiempat talibusur, kalau

keempat sisinya dikatahui.kita tarik sebuah diagonal AC. Oleh sebab itu,

terjadi segitiga-segitiga ABC dan ACD. Pada tiap-tiap segitiga ini kita

pergunakan rumus s, yaitu :

Luas ∆ = √s (s−a ) ( s−b )(s−c ). Untuk ∆ ABC s = 12

(AB + BC +

AC) dan untuk ∆ ACD 12

(AC + CD + DA).

Dari ini tenyata bahwa AC perlu dihitung dulu dengan cara §

panjang diagonal. Kalau luas kedua segitiga ini kita jumlahkan luas yang

ditanyakan.

B. SEGIEMPAT PENYINGGUNG

Definisi: Segiempat penyinggung ialah sebuah segi empat, yang keempat sisinya

menyinggung sebuah lingkaran.

Jika pada keliling sebuah lingkaran kita ambil empat buah titik dan titik

ini kita buat garis singgung pada lingkaran itu, maka garis-garis singgung itu

11

Page 12: Segiempat Dan Lingkaran

membentuk sebuah segiempat. Segi empat yang demikian disebut segiempat

penyinggung.

Gambar10

Karena garis singgung-singgung yang ditarik dari sebuah titik ke sebuah linggkaran sama, maka kita peroleh seperti gambar di atas.

AP = AS

BP = BQ

CR = CQ

DR = DS

AP+BP+CR+DR=AS+BQ+CQ+DS,atau AB+CD=BC+AD, Dengan perkataan

“Dalam sebuah segiempat penyinggung jumlah sisi yang berhadapan sama.

12

Page 13: Segiempat Dan Lingkaran

1. Ciri-ciri untuk mengenali sebuah segiempat penyinggung

Tentulah jelas bagi kita bahwa tidak pada tiap-tiap segiempat dapat

kita buat sebuah lingkaran, dengan kata lain bahwa tidak sembarangan

segiempat dapat dinamakan segiempat penyinggung. Dengan jalan

menggambarkan garis bagi dua buah sudut yang berturutan, dapatlah kita

membuat sebuah lingkaran, yang menyinggung tiga buah dari sisi itu(lihat

pada gambar di bawah). Pada umumnya sisi yang keempat tidak akan

menyingggung lingkaran itu.

Tibalah kita pada sebuah pertanyaan: kapan sebuah segiempat

dikatakan segiempat penyinggung?

jika dalam sebuah segiempat jumlah sisi yang berhadapan sama,

segiempat itu disebut segiempat penyinggung.

Gambar11

Diketahui: segiempat ABCD AB+CD=BC+AD

13

Page 14: Segiempat Dan Lingkaran

Buktikan: ABCD sebuah segiempat penyinggung.

Bukti: seperti yang sudah kita terangkan di atas, kita selalu dapat lingkaran

P,yang menyinggung sisi AB,AD,dan DC.jadi sekarang haruslah kita buktikan

bahwa jika AB+CD = BC+AD, sisi BC pun harus juga menyinggung

linggkaran P

Ada dua hal yang mungkin:

a. BC tidak menyinggung lingkaran P

b. BC menyinggung lingkarkan P

Seandainya, BC tidak menyinggung lingkaran P, maka tentulah dapat kita

selalu menarik sebuah garis singgung dari B ke lingkaran ini,jadi dalam hal ini

BK kita anggap, benar-benar menyinggung lingkaran itu. Dalam hal ini

tentulah ABKD sebuah segiempat penyinggungan.

Jadi AB + KD =BK + AD (1)

Diketahui AB + DC = BC + AD (2)

Jika kita mengurangi kedua pendapat itu yang satu dengan lain, kita peroleh:

DC – KD = BC – BK

KC = BC – BK

Ketiga potong garis ini ialah sisi-sisi sebuah segitiga. Dalam sebuah segitiga

tidak mungkin sebuah sisi sama dengan selisih kedua sisi yang lain (sebuah

sisi selamanya lebih besar daripada selisih kedua sisi yang lain). Jadi dugaan

kita, bahwa BC tidak menyinggung lingkaran itu, tidak benar.

14

Page 15: Segiempat Dan Lingkaran

Karena kemungkinan yang ada hanya ada dua buah, kemungkinan yang

kedualah yang harus betul, dengankata lain, BC harus menyinggung

lingkaran.

2. Segiempat tali busur yang juga merupakan segiempat penyinggung.

Akan dijelaskan bagi kita, bahwa sebuah belah ketupat dan sebuah

persegipun selalu merupakan sebuah segiempat penyinggung menurut

pendirian yang terakhir. Sebuah persegi panjang dan sebuah jajaran genjang

tidak akan mungkin menjadi segiempat penyinggung menurut pendirian

tersebut. Bagaimanaka halnya dengan trapesium!

D C’ C S R’ R

A B’ B P Q’ Q

N M’ MGambar 12

K L’ L

Dari Gambar-gambar yang di atas nyatalah, bahwa sebuah trapesium,

sebuah trapesium sama kaki dan trapesium siku-siku mungkin menjadi

15

Page 16: Segiempat Dan Lingkaran

segiempat penyinggung. Tetapi trapesium-trapesium itu tidak tentu selamanya

segiempat penyinggung!

Sekarang kita akan bicarakan sebuah trapesium, yang merupakan

sebuah segiempat tali busur dan sebuah segiempat penyinggung sekali.

Dengan perkataan itu: kita akan membahas sebuah trapesium yang di dalam

dan sekelilingnya dapat dibuat sebuah lingkaran.

Jika di sekeliling sebuah trapesium. Dapat kita buat sebuah lingkaran,

maka segera dapat kita katakan, bahwa trapesium.itu harus sama kaki.

a) Mula-mula akan kita perlihatkan, bahwa S dan P kedua-duanya terletak

pada sumbuh persekutuan kedua sisi sejajar sebuah trapesium samakaki.

Segera terlihat, bahwa P terletak pada sumbu AB, karena AP = BP = R.

S titik potong garisbagi sudut A dan B.

16

Page 17: Segiempat Dan Lingkaran

Kedua garis bagi itu sama. Jadi sudut-sudut BAS dan ABS sama, atau

segitiga ABS samakaki, jadi titik S pun terletak pada sumbu AB.

b) Sekarang sisi-sisi tegak trapesium. Itu akan kita nyatakan dengan sisi-sisi

sejajar. Misalkan AB = a dan CD = b karena F dan G titik tengahnya, jadi

AF =FB = 1/2 a dan DG = GC =1/2 b

Garis singgug-garis singgung dari D pada lingkaran S sama, jadi DK =

DG = 1/2 b

AK = AF = 1/2a

DK + AK = 1/2 a + 1/2 b atau

AD = 1/2 (a + b ).

Sesi tegak itu sama dengan seperdua jumlah sisi sejajar.

c) Sekarang tinggi t akan kita nyatakan dengan sisi sejajar. Dalam segitiga

siku-siku AED:

ED2 = AD2 – AE2, sedangkan AE = AF – EF

= AF – DG (EFGD persegi p.)

=1/2 a -1/2 b = 1/2 (a – b).

Maka ED2 = { 1/2 ( a + b ) }2 – {1/2 (a –b) }2 =

=1/4 a2 + 1/2ab + 1/2 b2 – 1/2 a2 + 1/2 ab – 1/4 b2 = ab

ED = t = √ab

SG = SF = r

r = 1/2 GF = 1/2 t √ab

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

17

Page 18: Segiempat Dan Lingkaran

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa pentingnya Geometri I

tentang Segiempat dan Lingkaran, karena sebagaimana kita ketahui bahwa

matematika ekonomi merupakan alat bantu yang dapat mempermudah kita

mengetahui perhitungan tentang diskon.

Namun walau bagaimanapun, sebaik apapun materi yang dipelajari

khususnya segiempat dan lingkaran tetap juga mempunyai kelebihan dan

kekurangan masing-masing, itu semua tergantung partisipasi dari mahasiswa itu

sendiri untuk memepelajari materi tersebut.

B. Saran

Tidak ada pekerjaan yang tidak dapat dilakukan kecuali tiadanya niat

yang sungguh-sungguh dari pelakunya. Hantu penyakit orang yang ingin maju

adalah kegagalan dalam menyingkirkan penyakit enggan dan menunda-nunda

pekerjaan dengan mengatakan nanti saja, atau lain kali deh!

Semoga apa yang kami sampaikan bisa bermamfaat kepada kita semua,

khususnya bagi kami pribadi. Amin……!!!

DAFTAR PUSTAKA

Nurhaeda P. 2010. Geometri I. Parepare : FKIP UMPAR Parepare.

18

Page 19: Segiempat Dan Lingkaran

Sudjatmiko Ponco. 2004. Matematika Kreatif Konsep dan Terapannya. 1B untuk Kelas 1 SMP dan MTS, Solo : Tiga Serangkai.

19