1 | P a g e

Pemodelan Robot Manipulator

Oleh: Ahmad Riyad Firdaus

Politeknik Batam

Ada dua tahapan dalam memodelkan sebuah robot manipulator, yaitu: model kinematika dan

model dinamika. Kinematika robot adalah studi analitis pergerakan lengan robot terhadap

sistem kerangka koordinat acuan yang diam/bergerak tanpa memperhatikan gaya yang

menyebabkan pergerakan tersebut. Model kinematika merepresentasikan hubungan end-

effector dalam ruang tiga dimensi dengan variabel sendi dalam ruang sendi. Persamaan

kinematika maju mendeskripsikan posisi dan orientasi end-effector yang dinyatakan dalam

posisi sendi. Sedangkan persamaan kinematika balik mendeskripsikan konfigurasi posisi

sendi untuk menghasilkan posisi dan orientasi end-effector tertentu.

Dinamika robot adalah formulasi matematis yang menggambarkan tingkah laku dinamis dari

manipulator dengan memperhatikan gaya yang menyebabkan pergerakan tersebut. Persamaan

dinamika maju digunakan untuk menghitung nilai posisi, kecepatan dan percepatan dari

setiap sendi apabila diberikan gaya/torsi pada setiap sendi. Sedangkan persamaan dinamika

mundur digunakan untuk menghitung nilai gaya/torsi setiap sendi apabila diberikan posisi,

kecepatan dan percepatan dari setiap sendi. Dinamika robot ini digunakan untuk simulasi

pergerakan lengan robot, perancangan strategi dan algoritma kendali agar lengan robot

memenuhi tanggapan serta kinerja yang diinginkan, dan mengevaluasi perancangan

kinematika dan struktur dari lengan robot.

Sistem robot secara garis besar terdiri dari sistem pengendali, elektronik dan mekanik. Dalam

bentuk diagram blok dapat dinyatakan seperti dalam Gambar III.1 berikut ini.

Gambar III.1. Diagram sistem robot.

2 | P a g e

G(s) adalah persamaan matematika pengendali, sedangkan H(s) adalah persamaan untuk

sistem robot secara fisik termasuk aktuator dan sistem elektroniknya. Komponen ri adalah

masukan acuan yang dalam penerapannya dapat berupa posisi, kecepatan, dan percepatan.

Dalam fungsi waktu, nilai masukan ini dapat bervariasi dan kontinyu yang membentuk suatu

konfigurasi trayektori. Komponen e adalah nilai galat antara keluaran dan masukan acuan,

sedangkan u adalah keluaran dari pengendali dan y adalah fungsi gerak robot yang

diharapkan selalu sama dengan acuan yang didefinisikan pada masukan ri

Jika masukan merupakan fungsi dari suatu kooridnat vektor posisi dan orientasi P(x,y,z) dan

keluarannya adalah θθθθ(θ1, θ1,…, θn) dimana n adalah jumlah sendi atau DOF, maka Gambar

III.1 dapat digambar ulang seperti yang terlihat pada Gambar III.2 berikut ini.

Gambar III.2. Digram blok sistem pengendali robot.

Dalam Gambar III.2 di atas, keluaran yang diukur dari gerakan robot adalah dalam domain

sudut dari sendi-sendi, baik sendi pada sistem tangan/kaki atau sudut dari perputaran roda

jika robot tersebut adalah mobile robot. Sedangkan yang diperlukan oleh pengguna dalam

pemrograman atau dalam pemetaan ruang kerja robot adalah posisi (ujung tangan atau titik

tertentu pada bagian robot) yang dinyatakan sebagai koordinat 2D (kartesian) atau 3D.

Dengan demikian perlu dilakukan transformasi koordinat antara ruang kartesian dengan

ruang sendi/sudut ini. Pada Gambar III.2 dinyatakan sebagai kinematika balik dan kinematika

maju. Kombinasi antara transformasi koordinat P ke θθθθ dengan pengendali G(s) disebut

sebagai pengendali kinematika. Masukannya berupa sinyal galat P, ep, sedangkan

keluarannya adalah sinyal kemudi u untuk aktuator. Dalam konteks praktis, u adalah sinyal-

sinyal analog dari DAC untuk seluruh aktuator robot.

3 | P a g e

III.1.1 Kinematika Robot Manipulator

A. Konsep Kinematika

Dari Gambar III.2, pengendali dinyatakan sebagai pengendali kinemaik karena mengandung

komponen transformasi ruang kartesian ke ruang sendi. Dengan demikian diperoleh keluaran

pengendali u yang bekerja dalam ruang sendi, u(θ1, θ1,…, θn). Sebaliknya, pengendali

memerlukan umpan balik dalam bentuk koordinat karena acuan diberikan dalam bentuk

koordinat. Penjelasan ini dapat diilustrasikan dalam Gambar III.3 berikut ini.

Gambar III.3 Transformasi kinematika maju dan kinematika balik.

Dari Gambar III.3 dapat diperoleh dua pernyataan mendasar, yaitu:

• Jika jari-jari r dan θ dari suatu struktur robot n-DOF diketahui, maka posisi P(x,y,z)

dapat dihitung. Jika θ merupakan sebuah fungsi berdasarkan waktu θθθθ(t), maka posisi

dan orientasi P(t) dapat dihitung juga secara pasti. Transformasi koordinat ini dikenal

sebagai kinematika maju.

• Jika posisi dan orientasi P(t) diketahui maka, θθθθ(t) tidak langsung dapat dihitung tanpa

mendefinisikan berapa DOF struktur robot itu. Jumlah sendi n dari n-DOF yang dapat

dibuat untuk melaksanakan tugas sesuai dengan posisi dan orientasi P(t) itu dapat

bernilai n=(m,m+1, m+2,…,m+p) dimana m adalah jumlah sendi minimum dan p

adalah jumlah sendi yang dapat ditambahkan. Robot berstruktur m-DOF disebut

dengan robot nonredundant, sedang bila (m+p)-DOF maka disebut sebagai robot

redundant. Transformasi ini dikenal sebagai kinematika balik.

Dari pernyataan di atas nampak bahwa analisis kinematika maju adalah relatif sederhana dan

mudah diimplementasikan. Di sisi lain, karena variabel-variabel bebas pada robot yang

diperlukan dalam akusisi kendali adalah berupa variabel-variabel sendi (aktuator), sedang

4 | P a g e

tugas yang didefinisikan hampir selalu dalam acuan koordinat kartesian, maka analisis

kinematika balik lebih sering digunakan dan dikaji secara mendalam dalam dunia robotik.

Jadi, kinematika dalam robotik adalah suatu bentuk pernyataan yang berisi tentang deskripsi

matematik geometri dari suatu struktur robot. Dari persamaan kinematika dapat diperoleh

hubungan antara konsep geometri ruang sendi pada robot dengan konsep koordinat yang

biasa dipakai untuk menentukan kedudukan dari suatu obyek. Dengan model kinematika,

programmer dapat menentukan konfigiurasi masukan acuan yang harus diumpanbalikan ke

tiap aktuator agar robot dapat melakukan gerakan simultan (seluruh sendi) untuk mencapai

posisi yang diinginkan. Sebaliknya, informasi kedudukan (sudut) yang dinyatakan oleh tiap

sendi ketika robot sedang melakukan suatu pergerakan, dengan menggunakan analisis

kinematika, programmer dapat menentukan dimana posisi ujung link atau bagian robot yang

bergerak itu dalam koordinat ruang.

Model kinematika robot manipulator dapat ditentukan dengan menggunakan metoda Denavit-

Hertenberg. Prinsip dasar metoda ini adalah melakukan transformasi koordinat antar dua link

yang berdekatan. Hasilnya adalah suatu matrik (4x4) yang menyatakan sistem koordinat dari

suatu link dengan link yang terhubung pada pangkalnya (link sebelumnya). Dalam

konfigurasi serial, koodinat (ujung) link-1 dihitung berdasarkan sendi-0 atau sendi pada

tubuh robot. Sistem koordinat link-2 dihitung berdasarkan posisi sendi-1 yang berada diujung

link-1 dengan mengasumsikan link-1 adalah basis gerakan link-2. Demikian seterusnya, link-3

dihitung berdasarkan link-2, hingga link ke-n dihitung berdasarkan link-(n-1). Dengan cara

ini maka tiap langkah perhitungan atau transformasi hanya melibatkan sistem 1-DOF saja.

Terakhir, posisi koordinat lengan atau posisi ujung robot/end-effector akan dapat diketahui.

Gambar III.4 mengilustrasikan dua buah link yang terhubung secara serial. Konfigurasi

hubungan dapat berupa sendi rotasi ataupun sendi translasi. Dalam hal ini, metoda Denavit-

Hertenberg (DH) menggunakan 4 buah parameter, yaitu θ, α, d dan a. Untuk robot n-DOF

maka keempat parameter tersebut ditentukan hingga yang ke-n. Penjelasannya yaitu:

o θn adalah sudut putaran pada sumbu zn-1,

o αn adalah sudut putaran pada sumbu xn,

o dn adalah translasi pada sumbu zn-1, dan

o an adalah translasi pada sumbu xn.

5 | P a g e

Dari Gambar III.4 dapat didefinisikan suatu matrik transformasi homogen yang mengandung

unsur rotasi dan translasi, seperti dituliskan pada persamaan (3.1):

n-1An = R(z, θn)Ttrans(0,0,dn)Ttrans(an,0,0)R(x, an) ……………………………..(3.1)

Gambar III.4. Sambungan antar link dan parameternya.

Untuk link dengan konsfigurasi sendi putaran, matrik transformasi A pada sendi ke-n adalah

seperti yang terlihat pada persamaan (3.2).

....(3.2)....................

1000

cossin0

sinsincoscoscossin

cossinsincossincos

1

−

−

=−

nnn

nnnnnnn

nnnnnnn

n

n

d

a

a

Aαα

θαθαθθ

θαθαθθ

Untuk konfigurasi sendi gerak translasi, nilai a adalah 0 sehingga komponen cosα=1 dan sin

α=0. Selanjutnya sin θ akan ditulis S, sedangkan cos θ akan ditulis C.

Untuk robot manipulator yang memiliki n-sendi, hubungan rotasi dan translasi antara end-

effector terhadap koordinat dasar dinyatakan dalam matrik link 0An yang ditentukan dengan

menggunakan aturan perkalian rantai matrik transformasi homogen seperti yang terlihat pada

persamaan (3.3) berikut ini.

0An =

0A1

1A2…

n-1An ..……………………………………………………….(3.3)

Persamaan kinematika maju yang menyatakan posisi dan orientasi end-effector terhadap

posisi sendi ditentukan dengan mendekomposisi matrik link 0An untuk menghasilkan vektor

posisi end-effector 0Pn dan matrik orientasi end-effector

0Rn seperti yang terlihat pada

persamaan (3.4) berikut ini.

...(3.4).......................................................................................... 10

00

0

= nn

n

PRA

6 | P a g e

Turunan pertama persamaan kinematika maju tersebut menghasilkan persamaan kinematika

diferensial dan matrik Jacobian (JR) robot yang menyatakan hubungan antara kecepatan end-

effector v terhadap kecepatan sendi q& seperti yang terlihat pada persamaan (3.5) berikut ini.

.5)........(3.................................................................................................... qJv R&=

[ ]

( )

....(3.6)........................................

n jika 0

n jika x

...

1-n

1-n

1-n

0

n

0

1-n

=

=

−

=

=

pristmatic

revolute

z

z

PPz

J

JJJJ

n

n21R

B. Model Kinematika Robot Polar 2-DOF

Robot yang digunakan dalam perancangan sistem kendali ini adalah jenis robot polar 2-DOF.

Berdasarkan metoda Denavit-Hertenberg, maka konfigurasi sistem koordinat sistem robot

dapat dilihat pada Gambar III.5 dan parameter sistem koordinatnya dapat dilihat pada Table

III.1.

1θ

2θ

Gambar III.5. Konfigurasi sistem koordinat robot polar 2-DOF.

Tabel III.1. Parameter sistem koordinat robot polar 2-DOF.

Parameter Sendi-n

1 2

θn θ1 θ2

dn l1 0

an 0 l2

αn 90o 0

o

7 | P a g e

Variabel sendi dan turunannya yaitu posisi sendi, kecepatan sendi, dan percepatan sendi

dinyatakan dalam bentuk vektor seperti yang terlihat pada persamaan (3.7) berikut ini.

[ ] [ ] [ ] .(3.7).................................................. 212121

TTTθθθθθθ &&&&&&&&& === qqq

Posisi pusat koordinat n berdasarkan sistem koordinat dasar dinyatakan dalam bentuk vektor

terlihat pada persamaan (3.8) berikut ini.

[ ][ ]

.....(3.8)............................................................ 00

221212212

1

T

T

SllCSlCCl

l

+=

=

2

1

p

p

Pada pusat sistem koordinat n dari pusat sistem koordinat n-1 berdasarkan sistem koordinat

dasar dinyatakan dalam bentuk vektor seperti pada persamaan (3.9) sebagai berikut.

[ ][ ]

9).......(3.............................................................

00

22212212

1

T

T

SlCSlCCl

l

=

=

2

1

p

p

Posisi pusat massa link-n berdasarkan sistem koordinat dasar dinyatakan dalam bentuk vektor

seperti pada persamaan (3.10) sebagai berikut.

[ ][ ]

)10.3..(..................................................

00

2221

121221

21221

121

T

T

SllCSlCCl

l

+=

=

2

1

c

c

Posisi pusat massa link-n dari pusat sistem koordinat n-1 berdasarkan sistem koordinat dasar

dinyatakan dalam bentuk vektor seperti pada persamaan (3.11) sebagai berikut.

[ ][ ]

)11.3..(..................................................

00

2221

21221

21221

121

T

T

SlCSlCCl

l

=

=

2

1

c

c

Berdasarkan persamaan (3.2) dan dengan menggunakan parameter sistem koordinat pada

tabel III.1, maka diperoleh persamaan (3.12) berikut ini.

).....(3.12....................

1000

0100

0

0

1000

010

00

00

2222

2222

2

1

1

11

11

1

0

−

=

−=

SlCS

ClSC

l

CS

SC

AA

Berdasarkan persamaan (3.3) dan persamaan (3.12) di atas, maka diperoleh persamaan (3.13)

yang merupakan matrik transformasi robot polar 2-DOF.

....(3.13)..................................................

1000

0 22122

21212121

21212121

2

0

+

−−

−

=SllCS

CSlCSSCS

CClSSCCC

A

8 | P a g e

Berdasarkan persamaan (3.6), matrik jacobian robot polar 2-DOF yang merepresentasikan

hubungan kecepatan ujung lengan robot dengan kecepatan sendi, seperti diperlihatkan pada

persamaan (3.14) berikut ini:

).....(3.14......................................................................

01

0

0

0

1

1

22

212212

212212

R

−

−

−−

=

C

S

Cl

SSlCCl

SClCSl

J

Persamaan kinematika balik yang menyatakan posisi sendi terhadap posisi dan orientasi

ujung lengan robot adalah:

....(3.15)................................................................................

tan

tan

22

11

2

1

1

+

−=

=

−

−

YX

lZ

X

Y

θ

θ

III.1.2 Dinamika Robot Manipulator

A. Konsep Dinamika

Robot secara fisik adalah suatu benda yang memiliki struktur tertentu dengan massa tertentu,

sehingga dalam pergerakannya tunduk kepada hukum-hukum alam yang berkaitan dengan

grafitasi dan atau massa/kelembaman. Jika robot berada di permukaan bumi, maka grafitasi

dan massa akan mempengaruhi kualitas gerakan. Sedangkan bila robot berada di luar angkasa

yang bebas grafitasi, maka massa saja yang dapat menimbulkan efek inersia/kelembaman.

Setiap struktur dan massa yang berbeda akan memberikan efek inersia yang berbeda pula

sehingga penanganan dalam pemberian torsi pada tiap sendi seharusnya berbeda pula.

τ ),,( θθθ &&&

Gambar III.6. Diagram model dinamika robot.

Perhatikan kembali Gambar III.2 sebelumnya. Jika u adalah sinyal aktuasi pada aktuator

motor DC-torsi, maka masukan pada model dinamika robot dapat dinyatakan sebagai torsi τ

seperti yang terlihat pada persamaan (3.16),

9 | P a g e

).....(3.16.................................................................................................... aa Ki=τ

Seperti yang diperlihatkan pada Gambar III.6, dengan ia adalah sinyal analog (arus motor)

yang dikeluarkan oleh pengendali, dan Ka adalah konstanta motor. Karena torsi pada sendi

akan menghasilkan gerakan, maka keluaran (dinamika) robot dapat dinyatakan memiliki 3

komponen yang menyatu dalam fenomena gerak rotasi tiap lengan sendi, yaitu sudut θ ,

kecepatan sudut θ& , dan percepatan sudut θ&& . Gambar III.7 memperlihatkan skema kendali

robotik berorientasi dinamika dengan penggambaran lebih detil tentang torsi yang dihasilkan

oleh aktuator.

),..,2,1(,, nθθθ &&&

),..,2,1(,, nθθθ &&&actactPP &,

refrefPP &,

Gambar III.7. Diagram sistem kendali robot berorientasi dinamika.

Jika keluaran sistem adalah ),..,2,1(,, nθθθ &&& dinyatakan sebagai q, maka torsi yang diberikan

kepada sendi-sendi robot adalah seperti yang terlihat pada persamaan (3.17) berikut ini.

17).......(3..................................................................................................... )(qf=τ

Persamaan ini dikenal sebagai persamaan dinamika maju. Model dinamikanya dapat ditulis

sebagai H(s). Sebaliknya, jika torsi τ diketahui (sebagai masukan), maka q akan diketahui

dengan menggunakan dinamika balik. Model dinamikanya dinyatakan dengan H-1

(s).

Persamaannya adalah:

.(3.18).................................................................................................... )(1 τ−= fq

Hubungan model matematik dinamika balik dan dinamika maju dapat diilustrasikan melalui

Gambar III.8 berikut ini.

10 | P a g e

τ ),..,2,1(,, nθθθ &&&

Gambar III.8. Transformasi dinamika balik dan dinamika maju.

Untuk memperoleh sistem kendali gerakan robot yang ideal, diperlukan sistem kendali yang

menggabungkan antara kendali kinematika dan kendali dinamika. Seperti lazimnya dalam

persamaan matematika, solusi penyelesaian dengan memilih nilai variabel-variabel yang

benar adalah diperlukan. Dengan pendekatan kendali dinamika maka sinyal aktuasi

pengendali dapat lebih presisi dengan dimasukannya unsur perbaikan torsi yang sesuai

dengan efek dinamika ketika robot bergerak. Jika kendali kinematika lebih berfungsi untuk

menjaga kestabilan gerak, maka kendali dinamika lebih berfungsi untuk meningkatkan

kekokohan terhadap gangguan yang dapat muncul selama operasi.

B. Model Dinamika Robot Polar 2-DOF

Dengan asumsi bahwa kedua link merupakan batang pipih homogen, maka tensor inersia

link-n terhadap pusat massanya (persamaan (3.19)) dapat dinyatakan dalam sistem koordinat

n berikut ini.

).....(3.19....................

00

00

000

00

000

00

2

22121

2

22121

2

2

11121

2

11121

1

=

=

lm

lm

lm

lm

II

Tensor inersial link-n terhadap pusat massanya yang dinyatakan dalam sistem koordinat dasar

ditentukan dengan menggunakan persamaan (3.20 ) berikut.

( ) ..(3.20).......................................................................................... n

0

nn

00

n

TAIAI =

Dengan melakukan substitusi persamaan (3.20), (3.19), dan (3.3), maka diperoleh persamaan

(3.21):

.21)........(3.................... 2

2221221

221

2

1

2

2

2

111

2

211

22111

2

211

2

1

2

2

2

1

2

221210

2

−−

−+−

−−+

=

CCSSCSC

CSSCSSCSSCS

CSCCSSCSSSC

lmI

11 | P a g e

Kecepatan linier dan kecepatan sudut pusat massa link n dapat dinyatakan dalam kecepatan

sendi dengan menggunakan persamaan (3.22) berikut:

[ ]q0czv &3x1101 x=

[ ]qz &1301 x0000=ϖ

( )[ ]qpczczv1

&12

202 −= xx

[ ]qz &102 zzzz=ϖ

Dengan melakukan substitusi, maka diperoleh persamaan (3.23):

3.23).........(..............................

01

0

0

01

00

00

000

00

00

1

1

1

2221

21221

21221

21221

21221

1

q q

qv qv

2

2

&&

&&

−=

=

−

−−

=

=

C

S

Cl

SSlCCl

SClCSl

ϖϖ

Energi kinetik link-n yang menyatakan gabungan energi kinetik translasi dan energi kinetik

rotasi ditentukan dengan menggunakan persamaan (3.24) berikut:

.(3.24)......................................................................

0

n21

n

T

n21

n

T

nnn mK ϖϖ Ivv +=

Dengan melakukan substitusi persamaan (3.24), dan (3.23), maka diperoleh persamaan (3.25)

yang merupakan energi kinetik untuk kedua sendi.

...(3.25)...................................................................... 0

2

2

2

22612

1

2

2

2

2261

2

1

θθ && lmClmK

K

+=

=

Energi kinetik robot polar 2-DOF merupakan penjumlahan energi kinetik seluruh link sebagai

berikut:

).....(3.26...................................................................... 2

2

2

22612

1

2

2

2

2261 θθ && lmClmK +=

Energi potensial link-n ditentukan dengan menggunakan persamaan (3.27) berikut:

.27)........(3.......................................................................................... ncgnn mP −=

Dengan melakukan substitusi persamaan (3.27) dan (3.11), maka diperoleh persamaan (3.28)

yang merupakan energi potensial untuk kedua sendi robot.

..(3.28)................................................................................

22221

122

1121

1

SglmglmP

glmP

+=

=

Energi potensial robot polar 2-DOF merupakan penjumlahan energi potensial seluruh link

seperti yang terlihat pada persamaan (3.29) sebagai berikut:

………………………………….…………(3.22)

12 | P a g e

3.29).........(............................................................ 22221

121121 SglmglmglmP ++=

Fungsi lagrangian menyatakan selisih energi kinetik dengan energi potensial sebagai berikut:

...(3.30).................................................................................................... PKL −=

Dengan melakukan substitusi persamaan (3.30), (3.26) dan (3.29), maka diperoleh persamaan

(3.31) yang merupakan fungsi lagrange robot polar 2-DOF.

.31)........(3.................... 22221

1211212

2

2

22612

1

2

2

2

2261 SglmglmglmlmClmL −−−+= θθ &&

Persamaan (3.32) merupakan dinamika balik yang menyatakan torsi sendi terhadap

percepatan sendi ditentukan dengan menggunakan persamaan Laggrange-Euler sebagai

berikut:

.(3.32).......................................................................................... nn

nq

L

q

L

dt

d

∂

∂−

∂

∂=

&τ

Dengan melakukan substitusi persamaan (3.32), dan (3.31), maka diperoleh torsi untuk

masing-masing sendi seperti yang terlihat pada persamaan (3.33).

(3.33)..................................................

222212

122

2

2231

2

2

2231

2

2122

2

2232

1

2

2

2

2231

1

CglmCSlmlm

CSlmClm

L

L

++=

−=

θθτ

θθθτ&&&

&&&&

III.1.3 Model Sistem Aktuator Motor DC

Sistem penggerak yang digunakan dalam merancang robot manipulator adalah motor DC.

Pada penelitian ini, motor DC yang digunakan adalah jenis tegangan armature terkendali.

Untuk jenis ini, keluaran motor DC dikendalikan oleh tegangan armature, sementara arus

medan dijaga konstan. Gambar III.9 memperlihatkan diagram skematik modor DC yang

digunakan.

Gambar III.9. Diagram skematik motor DC.

Torsi yang bekerja pada shaft motor (τ) berbanding lurus dengan arus armature dan

konstanta motor DC, seperti yang terlihat pada persamaan (3.34).

13 | P a g e

3.34).........(.......................................................................................... aaiK=τ

Sementara persamaan (3.35) merupakan tegangan armature dari motor DC.

...(3.35)................................................................................ b

a

aaaa edt

diLRiV ++= dengan

nKe L

mmbb

θθθ == dan & , selanjutnya Lθ ditulis menjadi θ

Sehingga diperoleh persamaan (3.36) yang merupakan torsi yang bekerja pada shaft motor.

.(3.36)................................................................................

−= L

a

b

a

a

anR

K

R

VK θτ &

Persamaan (3.37) merupakan torsi yang digunakan untuk menggerakan motor DC.

mmmmm FJ θθτ &&& += …………………………………..……………………...(3.37)

Torsi yang bekerja pada shaft motor adalah torsi yang digunakan untuk menggerakan sendi.

Dengan menggunakan hukum kesetimbangan mekanik, torsi yang bekerja pada shaft motor

dapat ditulis seperti yang terlihat pada persamaan (3.38) berikut ini.

*

Lm τττ += ………………………………………………………………….(3.38)

dengan *

Lτ adalah torsi sendi yang mengacu pada shaft motor. Dengan menggunakan

persamaan dinamika sistem robot manipulator dan transmisi roda gigi, *

Lτ dapat ditulis

seperti yang terlihat pada persamaan (3.39) berikut ini.

LL nττ =* ………………….…………………………………………………..(3.39)

dengan transmisi roda gigi adalah seperti yang terlihat pada persamaan (3.40).

40).......(3..................................................................................................... L

M

N

Nn =

NM adalah roda gigi yang terhubung dengan shaft motor, sedangkan NL adalah roda gigi yang

terhubung dengan shaft sendi.

III.1.4 Model Gabungan Manipulator dan Sistem Aktuator Motor DC

Untuk memperoleh model sistem yang lengkap dari robot manipulator adalah dengan

mensubstitusi persamaan (3.37), (3.38), (3.39) dan (3.40), maka diperoleh persamaan (3.41)

yang merupakan persamaan dinamika balik untuk masing-masing sendi.

14 | P a g e

)41.3(

cos2

1cossin

3

1

3

3

cossin3

2

3

3cos

22222

2

22

122

2

2222

2

2

2

22

2

2

2

1

1

1

2122

2

2211

1

12

22

22

2

1

1

LL

m

LLLL

m

L

m

LLLLL

mL

glmnn

Flmn

n

Jlmn

n

Flmn

n

Jlmn

θθθθθθτ

θθθθθθθ

τ

++++

=

+−+

=

&&&&

&&&&&

dengan τ1 dan τ2 adalah torsi untuk sendi 1 dan sendi 2, m1 dan m2 adalah massa untuk

masing-masing link, l1 dan l2 adalah panjang masing-masing link, Jm1 dan Jm2 adalah momen

inersia motor Fm1 dan Fm2 adalah gaya gesek motor, θL1 dan θL2 adalah sudut pergerakan

sendi dan n1 dan n2 adalah gear ratio masing-masing sendi.

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.36), dan (3.41), maka diperoleh

11111 aL VBHD +=θ&& …………………………..………………………..…….(3.42)

222222 aL VBGHD ++=θ&& …………………………………..………………...(3.43)

dengan

( )

1

11

2122

2

2211

1

1

11

111

1

12

22

22

2

11

cossin3

2

3

3cos

a

a

LLLLLm

a

ba

mL

R

KB

lmnn

F

Rn

KKH

n

JlmnD

=

+

+−=

+=

θθθθθ

θ

&&&

( )

2

22

22222

2

122

2

2222

2

2

22

222

2

2

2

22

2

22

cos2

1

cossin3

1

3

3

a

a

L

LLLLm

a

ba

m

R

KB

glmnG

lmnn

F

Rn

KKH

n

JlmnD

=

−=

−

+−=

+=

θ

θθθθ &&

Dipilih peubah status24231211 ;;; LLLL xxxx θθθθ && ==== . Dimana LL θθ &dan adalah posisi dan

kecepatan sendi manipulator. Sementara masukan kendalinya adalah 2211 ; aa VuVu == dan

keluaran yang diinginkan adalah 2211 ; LL yy θθ == . Dari peubah status yang dipilih, maka

diperoleh persamaan status non-linier robot manipulator 2 derajat kebebasan sebagai berikut:

15 | P a g e

( )

+

+

=

−

−

−

−

2

1

2

1

2

1

1

1

22

1

2

4

1

1

1

2

4

3

2

1

0

00

0

00

u

u

BD

BD

GHD

x

HD

x

x

x

x

x

&

&

&

&

………………………...…(3.44)

xy

=

0100

0001 …..…………………………….………………….(3.45)