Pemilihan Metode Univariate Terbaik Dalam Peramalan Inflasi Kota Watampone

download Pemilihan Metode Univariate Terbaik Dalam Peramalan Inflasi Kota Watampone

of 23

description

Pemilihan metode terbaik dalam peramalan inflasi kota watampone.Dari tiga metode yang digunakan, seasonal arima memiliki mse dan aic terkecil.

Transcript of Pemilihan Metode Univariate Terbaik Dalam Peramalan Inflasi Kota Watampone

  • Tugas Offisial Statistik | 1

    PEMILIHAN METODE UNIVARIATE TERBAIK DALAM PERAMALAN

    INFLASI KOTA WATAMPONE

    (Perbandingan Metode ARIMA, ARIMA-GARCH dan Seasonal ARIMA)

    NAMA : ZABLIN

    NRP : 1314201713

    TUGAS MATA KULIAH OFFICIAL STATISTIK

    PROGRAM PASCASARJANA STATISTIKA KERJASAMA BPS DAN ITS

    TAHUN 2014/2015

  • Tugas Offisial Statistik | 2

    1. PENDAHULUAN

    1.1 Latar Belakang

    Indikator Ekonomi makro sangat diperlukan terutama dalam melakukan

    perencanaan pambangunan. Indikator ini diperlukan minimal untuk dua kepentingan yaitu

    targeting dan monitoring. Dari sisi targeting, perencana pembangunan menetapkan target

    nilai terhadap suatu indikator. Sementara dari sisi monitoring, pemangku kebijakan akan

    berusaha mengawal agar target yang telah ditetapkan bisa tercapai. Berangkat dari dua

    kepentingan tersebut, maka pengguna data tidak cukup hanya menunggu angka-angka dari

    indikator makro dirilis, tetapi juga harus memiliki kemampuan untuk memperkirakan atau

    melakukan peramalan terhadap indikator tersebut.

    Inflasi adalah salah satu indikator makro ekonomi yang memiliki dampak luas

    terhadap kehidupan masyarakat. Indikator ini menggambarkan perubahan rata-rata harga

    yang terjadi. Perubahan yang signifikan pada inflasi akan direspon oleh pemerintah dengan

    kebijakan fiskal dan Bank Indonesia selaku otoritas moneter dengan kebijakan moneter.

    Dalam pergerakan almiahnya, inflasi dipengaruhi oleh perubahan pada sisi penawaran dan

    permintaan. Disamping itu, inflasi juga dipengaruhi oleh ekspektasi inflasi. Dalam

    perkembangannya, ekspektasi inflasi dipengaruhi oleh dua aspek yaitu informasi yang

    diterima tentang sesuatu yang akan terjadi pada masa depan atau pengalaman karena

    pernah mengalami inflasi di masa lalu. Ekspektasi inflasi karena kejadian inflasi di masa lalu

    ini, memunculkan beberapa model peramalan inflasi univariate.

    Terdapat beberapa motode univariate dalam memodelkan inflasi yang

    dikembangkan oleh para ahli. Pemodelan dengan Autoregressive (AR), Moving Average

    (MA), Autoregressive Moving Average (ARMA) maupun Autoregressive Integrated Moving

    Average (ARIMA) sering sangat berguna bagi pemodelan data runtun waktu. Cara kerja

    berbagai metode tersebut adalah dengan memodelkan proses rataan (mean process) dari

    suatu runtun waktu dengan asumsi bahwa data tersebut sudah stasioner dan varians error

    selalu tetap antar waktu (homosedasticity). Disamping itu, metode tersebut selalu

    memperhatikan kerandoman data antar waktu

    Berbagai asumsi pemodelan yang digunakan pada metode Autoregressive (AR),

    Moving Average (MA), Autoregressive Moving Average (ARMA) dan Autoregressive

    Integrated Moving Average (ARIMA) dianggap tidak realistis ketika dihadapkan pada sebuah

  • Tugas Offisial Statistik | 3

    transaksi finansial dan sebuah variabel dari pasar finansial. Hal ini dikarenakan pada

    kebanyakan data runtun waktu finansial tidak dapat memenuhi semua asumsi pada

    metode-metode tersebut. Metode tersebut juga tidak memperhitungkan adanya

    ketidakstasioneran dalam varians yang berarti bahwa nilai variansnya selalu berubah-ubah

    sepanjang waktu, sedangkan data finansial umumnya variansnya belum stasioner.

    Disamping itu, pemodelan dengan metode tersebut hanya mampu menggambarkan nilai

    runtun antar waktu yang volatilitasnya tidak mengalami pengelompokan. Sedangkan pada

    data runtun waktu finansial umumnya mengalami pengelompokan volatilitas.

    Untuk menanggulangi keadaan tersebut maka diperlukan sebuah metode lain yang

    dapat digunakan sesuai dengan karakteristik yang dimiliki oleh data runtun waktu finansial.

    Hal inilah yang mendasari Robert Egle (1982) mengemukakan sebuah metode baru yang

    memungkinkan adanya heteroskedastisitas dan mengijinkan ketergantungan volatilitas pada

    runtun waktunya. Metode tersebut adalah Autoregressive Conditional Heteroscedasticity

    (ARCH). Menurut Egle, penggunaan metode ARCH pada runtun waktu yang mengalami

    heteroskedastisitas akan berperan penting dalam meningkatkan efisiensi. Model ARCH

    mempunyai kemampuan menangkap semua karakteristik dalam pasar finansial. Pada

    metode ini, varians error waktu sekarang dipengaruhi oleh volatilitas masa lalu (last periods

    volatility). Secara lebih umum, varians error dapat tergantung pada sejumlah lag volatilitas

    yang menyatakan besarnya ordo dari metode tersebut.

    Pada tahun 1986, Tim Bollerslev mengemukakan metode baru yang dikembangkan

    dari metode ARCH. Metode tersebut adalah Generalized Autoregressive Conditional

    Heteroscedasticity (GARCH) yang merupakan ekspansi dari model ARCH. Pada metode ini,

    varians error waktu sekarang tidak hanya dipengaruhi oleh volatilitas masa lalu (last periods

    volatility) tetapi juga dipengaruhi oleh varians masa lalu (last periods varians).

    1.2 Tujuan

    1. Membentuk model peramalan inflasi kota Watampone dengan menggunakan

    ARIMA, GARCH dan Seasonal ARIMA

    2. Memilih model terbaik dengan menggunakan R2 adjusted, MAE, AIC dan MAPE

    1.3 Sumber Data

    Data inflasi yang dipublikasikan oleh Badan Pusat Statistik Kabupaten Bone tahun

    2010 bulan januari sampai 2014 bulan november

  • Tugas Offisial Statistik | 4

    2. METODE PERAMALAN INFLASI

    2.1. ARIMA

    Proses { }tX adalah sebuah proses Autoregressive Moving Average, ARMA ),( qp jika

    memenuhi formula

    qtqttptpttt XXXX = ...... 112211 (2.1)

    dimana t adalah white noise.

    Kadang model seperti Autoregressive atau Moving Average sendiri tidak

    memberikan hasil yang efektif ketika mengepaskan data. Oleh karena itu model ARMA

    dengan orde p dan q yang kecil lebih suka digunakan daripada model AR dengan orde yang

    lebih tinggi. Sebagai contoh model ARMA (1,1) didefinisikan sebagai

    1111 = tttt XX

    Atau dapat juga dinyatakan sebagai

    1111 += tttt XX

    )( 21211111 ++= ttttt XXXX

    22

    1211111 )( += tttt XXX

    )()( 313122

    1211111 ++= tttttt XXXXX

    33

    13

    2

    112111111 )()( += ttttt XXXX

    .

    .

    .

    11

    1111

    1

    1

    111 )( +

    =

    += ktkktk

    k

    j

    jt

    j

    t XXX

    Anggap | 1 | < 1 dan k menjadi tak terhingga (infinite) maka persamaan di atas akan menjadi

    =

    =1

    1

    111 )(j

    jt

    j

    tt XX

    (2.2)

    atau dapat juga dituliskan sebagai

    tj

    jt

    j

    t XX +=

    =

    1

    1

    111 )(

  • Tugas Offisial Statistik | 5

    ini adalah model AR )( tj

    jtjt XX +=

    =

    1

    * dengan

    1

    111

    * )( = jj untuk = ,....,1j .

    Ini memberikan kesan bahwa model ARMA (1,1) mungkin kadang-kadang menjadi penaksir

    yang lebih baik dibanding model AR dengan ordo yang lebih tinggi.

    Parameter 11 , dan 2

    dapat diestimasi dengan menggunakan metode Maximum

    Likelihood. Seperti pada proses AR (1), kepadatan gabungan dapat juga ditulis sebagai

    perkalian kepadatan bersyaratnya.

    Kepadatan bersyarat (conditional density) dari kX untuk Tk ,...,2= bersyarat pada

    11 ,..., kXX dan 1 adalah

    ),,....,( 111,,..., 111 kkXXX xxxf kk

    +=

    2

    2

    1111

    2

    )(exp

    2

    1

    kkk xx

    Kepadatan marginal dari 1X dapat dihilangkan seperti pada proses AR (1) karena nilainya

    dapat diabaikan jika observasi besar. Sehingga fungsi likelihoodnya diperoleh sebagai

    ),,...,(),,( 112,,...,2

    11112

    xxxfL TXXX T=

    =

    =T

    j

    jjXXXxxxf

    jj2

    111,,...,),,....,(

    111

    =

    +=

    T

    j

    jjj xx

    22

    2*

    1111

    2

    )(exp

    2

    1

    (2.3)

    dimana *

    21211

    *

    1 += jjjj xx untuk Tj ,...,3= yang didapatkan secara berulang. Nilai

    parameter 1 dan 1 dapat diperoleh dengan cara memaksimumkan nilai dari fungsi

    likelihoodnya yaitu dengan menurunkan fungsi log-likelihood terhadap masing-masing

    parameter dan disamakan dengan nol.

    2.2. ARCH

    Anggap TXXX ,...,, 21 adalah observasi runtun waktu dan anggap tF adalah

    kumpulan dari tX hingga waktu t , termasuk tX untuk 0t . Seperti yang didefinisikan oleh

    Engle (1982), proses tX disebut sebagai sebuah Autoregressive Conditional

    Heteroscedasticity dengan orde p , jika

  • Tugas Offisial Statistik | 6

    1tt FX ),0( thN dengan

    22

    110 ... ptptt XXh +++=

    =

    +=p

    i

    itiX1

    2

    0 (2.4)

    dimana p > 0, 0 > 0, dan 0i untuk pi ,...,1= . Kondisi 0 > 0 dan 01 diperlukan

    agar nilai varians bersyarat th selalu positif.

    Jelas bahwa dari persamaan 2.1 harapan bersyarat dan varians dari tX adalah

    0)( 1 =tt FXE

    ttttt hFXEFXV == )()( 12

    1

    Model paling sederhana adalah ARCH (1) yang dinyatakan dengan

    1tt FX ),0( thN dengan

    2 110 += tt Xh

    dan parameter 0 dan 1 dapat diestimasi dengan maximum likelihood. Kepadatan

    gabungan dari observasi TXX ,...,1 adalah

    )(),...,(),...,( 12

    11,...,1,..., 1111xfxxxfxxf X

    T

    j

    jjXXXTXX jjT

    = =

    Untuk Tk ,...,2= kepadatan bersyaratnya adalah

    = ),...,( 11,..., 11 kkXXX xxxf kk

    +

    + )(2exp)(2

    12

    110

    2

    2

    110 k

    k

    kx

    x

    x

    (2.5)

    Kepadatan marjinal dari 1X dapat dihilangkan seperti pada proses AR (1) dan menghasilkan

    fungsi likelihood menjadi

    =

    +

    +=

    T

    j j

    j

    jx

    x

    xL

    22

    110

    2

    2

    110

    10)(2

    exp)(2

    1),(

    dan diperoleh fungsi log-likelihood dengan mengabaikan kontanta adalah

    =

    +++=

    T

    j j

    j

    jx

    xxl

    22

    110

    2

    2

    11010 )log(2

    1),(

    (2.6)

  • Tugas Offisial Statistik | 7

    Estimasi parameter 0 dan 1 dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi

    likelihoodnya yaitu dengan menurunkan fungsi log-likelihoodnya terhadap masing-masing

    parameter dan disamakan dengan nol.

    2.3. GARCH

    Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH) adalah salah satu

    pendekatan untuk memodelkan runtun waktu dengan kondisi error bervariasi menurut

    waktu (heteroscedasticity). Metode ini diperkenalkan pertama kali oleh Bollerslev (1986)

    yang merupakan generalisasi dari proses Autoregressive Conditional Heteroscedasticity

    (ARCH). GARCH dianggap memberikan hasil yang lebih sederhana karena menggunakan

    lebih sedikit parameter sehingga mengurangi beban penghitungan.

    Secara umum GARCH ),( qp dituliskan sebagai

    tX 1tF ),0( thN dengan

    qtqtptptt hhXXh ++++++= ...... 1122

    110

    =

    =

    ++=q

    j

    jtj

    p

    i

    iti hX11

    2

    0

    (2.7)

    0 > 0, 0i untuk pi ,...,1= dan 0j untuk qj ,...,1=

    2.4. Seasonal ARIMA

    Secara umum, model Seasonal ARIMA dinotasikan sebagai berikut:

    ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s

    dengan (p,d,q) = bagian tidak musiman dari model

    (P,D,Q) = bagian musiman dari model

    P = orde musiman untuk AR

    Q = orde musiman untuk MA

    D = banyaknya seasonal differencing

    S = jumlah periode per musim.

    Suatu deret {Zt} tidak diketahui periode variasi musiman dan tidak musiman, bentuk

    model ARIMA untuk deret itu adalah

    p(B)(1-B)dZt = q(B)bt (2.8)

  • Tugas Offisial Statistik | 8

    Jika terdapat {bt} tidak white noise dengan korelasi antar periode musiman, maka

    fungsi autokorelasi untuk {bt} adalah

    = , = 1,2,3, Untuk lebih mudah melihat korelasi antar periode, dapat direpresentasikan sebagai

    model ARIMA berikut

    p(Bs)(1-Bs)Dbt = Q(Bs)at (2.9) Dengan p(Bs)=1- 1Bs 2B2s - ... PBPs Dan Q(Bs)=1- 1(Bs)- 2(B2s)- . . . - Q(BQs) adalah persamaan polinomial dalam B

    s . Jika akarakar dari polinomial-polinomial tersebut

    berada di luar lingkaran unit dan {at} = 0, maka proses tersebut adalah proses white noise.

    Dengan mengkombinasikan persamaan (2.8) dan persamaan (2.9), diperoleh model

    seasonal ARIMA, yaitu

    p(Bs) p(B)(1-B)d(1-Bs)DZt = q(B) Q(Bs)at (2.10) Dengan = , = 0!"!#$ = 0,%!&''(!) p(B) = faktor AR tidak musiman q(B) = faktor MA tidak musiman p(Bs) = faktor AR musiman Q(Bs) = faktor MA musiman = rata-rata Zt

    2.5. Diagnosa Model Rataan

    2.5.1. Kestasioneran Runtun Waktu

    Ketika mulai mengembangkan sebuah model untuk data runtun waktu, ingin

    diketahui apakah proses stokhastik yang dihasilkan dari runtun waktu tersebut dapat

    diasumsikan tidak bervariasi menurut waktu (invariant with respect to time). Jika nilai rata-

    rata dan varians dari proses stokhastik berubah menurut waktu berarti proses tersebut

    belum stasioner. Hal ini akan menyebabkan sulitnya mewakili selang waktu dari masa lalu

    dan masa yang akan datang dengan model aljabar sederhana. Sebaliknya jika proses

    stokhastik tidak bervariasi menurut waktu berarti proses telah stasioner. Jika data telah

  • Tugas Offisial Statistik | 9

    stasioner, maka runtun waktu dapat dimodelkan menjadi sebuah persamaan dengan

    koefisien tetap yang dapat diperkirakan dari data masa lalu.

    Anggap )',...,( 1 TXX= mempunyai multivariate normal distribution dengan vektor

    rata-rata )',...,( 1 T= dan sebuah matriks varians-covarians berukuran TT . Misal ada

    titik data sebanyak T dan sejumlah parameter yang tidak mungkin diestimasi. Agar kita

    dapat mengestimasi sejumlah parameter tersebut maka kita harus membuat beberapa

    asumsi pada proses { }tX . Dalam hal ini asumsi yang paling umum digunakan adalah

    kestasioneran.

    Definisi 2.1 (Distribusi gabungan)

    Fungsi distribusi gabungan dari TXX ,...,1 diberikan sebagai

    ),....,(),...( 111,...,1 TTTXX xXxXPxxF T =

    Definisi 2.2 (Stasioner sempurna)

    Sebuah proses dikatakan mengalami kestasioneran sempurna jika distribusi

    gabungan (joint distribution) dari kXX ,...,1 adalah sama dengan distribusi gabungan dari

    ktt XX ++ ,....,1 dilihat pada kumpulan titik yang sama kxx ,....1 , yaitu

    ),...,(),...,( 1,..,1,..., 11 kXXkXX xxFxxF kttk ++=

    untuk semua t dan untuk semua k .

    Menurut Gujarati, Sebuah proses stokhastik dikatakan stasioner jika rata-rata dan

    variansnya konstan sepanjang waktu dan nilai covarians antara dua periode waktu hanya

    tergantung pada jarak atau lag pada dua periode waktu tersebut dan bukan pada waktu

    sekarang dimana covarians dihitung.1

    Untuk menerangkan pernyataan di atas, anggap tX adalah runtun waktu stokhastik

    dengan sifat-sifat

    Rata-rata: ===== TtXE ....)( 21

    Varians: 22)()( == tt XEXVar untuk semua t

    Covarians: )))((( = +kttk XXE

    Dimana k adalah covarians atau autocovarians pada lag k , yaitu covarians antara nilai tX

    dan ktX + .

  • Tugas Offisial Statistik | 10

    2.5.2. Serial Correlation LM Test

    Pengujian dengan metode ini adalah salah satu alternatif untuk mengetahui ada

    tidaknya serial korelasi dalam suatu data runtun waktu. Uji yang termasuk dalam kelas

    untuk menguji jumlah sampel yang besar dikenal sebagai Lagrange Multiplier test.

    Tidak seperti statistik Durbin Watson, Lagrange Multiplier test dapat digunakan

    untuk ordo yang lebih tinggi pada model ARMA (Autoregressive Moving Average). Dalam hal

    ini hipotesis yang diambil adalah

    0H : tidak ada serial korelasi hingga lag ke p

    1H : terjadi serial korelasi hingga lag ke p

    Uji statistik ini dihitung dengan alat bantu regresi sebagai berikut. Anggap sebuah

    persamaan model regresi yang telah diestimasi

    ttt bXy +=

    dimana adalah residual. Uji statistik untuk lag ordo p berdasar pada regresi

    tptptttt vX +++++= ...2211

    Persamaan di atas adalah regresi dari residual pada peregresi asal X dan lag residual hingga

    ordo p .

    Statistik Obs*R-square adalah Breusch-Godfrey LM test statistic. Anggap bahwa suku

    pengganggu tu dibangkitkan dari fungsi autoregressive dengan ordo p sebagai berikut

    ttpttt uuuu ++++= ....2211

    dimana t adalah faktor pengganggu acak murni dengan rata-rata nol dan varians konstan.

    Dalam hal ini hipotesis yang diambil adalah

    0....: 210 ==== pH

    yaitu bahwa semua koefisien autoregresi secara simultan sama dengan nol. Ini berarti tidak

    ada serial korelasi pada lag berapapun. Menurut Breusch dan Godfrey , hipotesis nol dapat

    diuji sebagai berikut:

    1. Estimasi model regresi dengan prosedur Ordinary Least Square (OLS) dan dapatkan

    residual tu .

    2. Regresikan tu kembali dengan semua peregresi dalam model ditambah regresor

    tambahan, pttt uuu , ,....,21 dimana yang terakhir adalah nilai lag dari residual.

    Dapatkan nilai 2R dari regresi tersebut.

  • Tugas Offisial Statistik | 11

    3. Jika ukuran sampel besar, Breusch dan Godfrey ditunjukkan sebagai

    2).( Rpn 2p

    Dalam penerapannya jika nilai 2).( Rpn melebihi nilai kritis tabel Chi Square pada

    tingkat signifikansi tertentu maka berarti hipotesis nol telah ditolak.

    2.5.3. Uji Heteroskedastisitas

    Pengujian heteroskedastisitas untuk mengetahui apakah varians residual berubah

    seiring waktu. Statistik uji yang digunakan yaitu White Test.

    0H : tidak ada heteroskedastisitas hingga lag ke p

    1H : terdapat heteroskedastisitas hingga lag ke p

    Jika p-value lebih kecil dari maka terdapat heteroskedastisitas dan sebaliknya jika

    p-value lebih besar dari maka tidak terdapat heteroskedastisitas.

    2.6. Pemilihan Model Terbaik

    Pemilihan model terbaik menggunakan Adjusted R-Square, MAE, AIC dan MAPE.

    Adjusted R-Square

    *+, = --.--+ */0 = 1 11 *

    ' 1' 2 1 3

    SSE adalah sum square error dan SST adalah sum square total, n adalah jumlah observasi, k

    adalah jumlah variabel bebas (tidak termasuk konstant).

    Mean Absolut Error (MAE)

    45 = 678 9:;97;

  • Tugas Offisial Statistik | 12

    3. HASIL PERAMALAN

    3.1. Stasionaritas Inflasi

    Pengujian statsionaritas data menggunakan paket program eviews 7.2, hasilnya

    sebagai berikut:

    Null Hypothesis: INFWTP has a unit root

    Exogenous: Constant

    Lag Length: 1 (Automatic - based on SIC, maxlag=10)

    t-Statistic Prob.*

    Augmented Dickey-Fuller test statistic -7.157746 0.0000

    Test critical values: 1% level -3.550396

    5% level -2.913549

    10% level -2.594521

    Hipotesis yang digunakan adalah:

    1:0 =H yang berarti data mengandung akar-akar unit

    1:1 H yang berarti data tidak mengandung akar-akar unit

    Dengan p-value 0,000 maka Ho ditolak artinya data inflasi tidak mengandung akar-

    akar unit. Sehingga dapat disimpulkan bahwa data inflasi sudah stasioner pada levelnya.

    3.2. Pemodelan Inflasi

    Beberapa model yang dibentuk untuk inflasi kota watampone yaitu ARIMA(2.0.2),

    ARIMA(2.0.2)-ARCH(1,0), ARIMA(2.0.2)-GARCH(0,1) dan Seasonal ARIMA(2.0.2)

    Tabel 4.1 Model Peramalan Inflasi Kota Watampone

    Model

    Kecocokan Model Autokorelasi Heteroskedasticity

    F-

    Statistik

    Prob(F-

    statistic)

    Prob. F Statistik

    L-M Test DW

    Prob. F Statistik

    White Test

    (1) (2) (3) (4) (5) (6)

    ARIMA(2.0.2) 7,870 0,000 0,704 1,945 0,257

    ARIMA(2.0.2)-GARCH(0,1) - - - 1,941 0,893

    Seasonal

    ARIMA(2.0.2)(12,1) 10,192 0,000 0,698 1,956 0,129

  • Tugas Offisial Statistik | 13

    Berdasarkan tabel 4.1, baik model ARIMA(2.0.2), ARIMA(2.0.2)-GARCH(0,1) maupun

    Seasonal ARIMA(2.0.2)-(12,1) memenuhi syarat digunakan untuk meramalkan inflasi di Kota

    Watampone. Untuk memilih model terbaik diantara ketiga model tersebut, digunakan

    MAPE, MAE dan MAD sebagai berikut

    Tabel 4.2 Perbandingan Nilai Adjusted R-Squared, MAPE, MAE dan AIC

    Model Adjusted

    R-squared MAPE MAE AIC

    (1) (2) (3) (4) (5)

    ARIMA(2.0.2) 0,329 2,142 0,456 1.8615

    ARIMA(2.0.2)-GARCH(0,1) 0.329 2,148 0,455 1.9306

    Seasonal ARIMA(2.0.2)(12,1) 0,556 1,554 0,341 1.3999

    Kriteria pemilihan model terbaik yaitu:

    1. Semakin besar Adjusted R-Squared maka model semakin baik

    2. Semakin kecil nilai MAPE maka model semakin baik

    3. Semakin kecil nilai MAE maka model semakin baik

    4. Semakin kecil AIC maka model semakin baik

    Dari tiga model pada tabel 4.2 model Seasonal ARIMA(2.0.2)(12,1) adalah model

    terbaik untuk semua kriteria. Model ARIMA(2.0.2) tidak berbeda dengan ARIMA(2.0.2)-

    GARCH(0,1) hal ini terjadi karena pada model ARIMA(2.0.2) sudah tidak mengandung

    heteroskedasticity sehingga perbaikan model dengan menambahkan efek GARCH tidak

    meningkatkan kebaikan model. Hal ini juga menunjukkan bahwa pada model tanpa

    heteroskedasticity tidak efisien menggunakan GARCH.

    Model yang terbaik (Seasonal ARIMA(2.0.2)(12.1)) memiliki Adjusted R-Square yang

    lebih tinggi artinya kemampuan variabel independent dalam menjelaskan variabel

    dependent pada model ini lebih baik dibandingkan dua model lainnya. Model Seasonal

    ARIMA(2.0.2)(12.1) juga memiliki AIC yang paling kecil sehingga ketika digunakan untuk

    melakukan peramalan akan memberikan hasil yang lebih baik dengan dua model lainnya.

  • Tugas Offisial Statistik | 14

    Grafik 4.1 Perbandingan Fitted Value dari ARIMA, ARIMA-GARCH dan SARIMA dengan

    Aktual Value

    Fitted Value dari ARIMA dan ARIMA-GARCH hampir berimpit karena memiliki nilai

    yang hampir sama. Dari grafik terlihat bahwa fitted value dari SARIMA lebih mendekati

    aktual value dibandingkan dengan dua model lainnya.

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

    Aktual

    ARIMA

    ARIMA-GARCH

    SARIMA

  • Tugas Offisial Statistik | 15

    DAFTAR PUSTAKA

    Huselius and Linn Walln (2014), Forecasting inflation in Sweden- A univariate approach,

    Stockhlom University.

    Hwang, Soosung and Pedro L. Valls Pereira (2003), Small Sample Properties of GARCH

    Estimation and Persistence.

    Karlsson, Lars (2002), GARCH-Modelling Teoritical Survey, Model Implementation and

    Robustness Analysis.

    Kanti, T., 2014, Bahan Ajar Indeks Harga Konsumen dan SBH 2012, Badan Pusat Statistik RI,

    Jakarta Pusat

    Lo, Michael S (2003), Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic Time Series

    Models. Thesis, Department of Statistics And Actuarial Science, Simon Fraser

    University.

    Maddala, G. S (1997), Econometrics. Singapore: McGraw Hill International, Inc.

  • Tugas Offisial Statistik | 16

    LAMPIRAN

    ARIMA(2.0.2)

    Model Dependent Variable: INFWTP

    Method: Least Squares

    Date: 12/15/14 Time: 06:49

    Sample (adjusted): 3 59

    Included observations: 57 after adjustments

    Convergence achieved after 14 iterations

    MA Backcast: 1 2

    Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

    C 0.445153 0.049978 8.906965 0.0000

    AR(1) 0.876908 0.178579 4.910471 0.0000

    AR(2) -0.588846 0.173813 -3.387824 0.0013

    MA(1) -0.522399 0.223636 -2.335935 0.0234

    MA(2) -0.034599 0.217342 -0.159193 0.8741

    R-squared 0.377104 Mean dependent var 0.427368

    Adjusted R-squared 0.329189 S.D. dependent var 0.718691

    S.E. of regression 0.588629 Akaike info criterion 1.861591

    Sum squared resid 18.01720 Schwarz criterion 2.040806

    Log likelihood -48.05535 Hannan-Quinn criter. 1.931240

    F-statistic 7.870270 Durbin-Watson stat 1.945010

    Prob(F-statistic) 0.000049

    Inverted AR Roots .44+.63i .44-.63i

    Inverted MA Roots .58 -.06

    Pengujian ASUMSI

    Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:

    F-statistic 0.470181 Prob. F(3,49) 0.7044

    Obs*R-squared 1.591600 Prob. Chi-Square(3) 0.6613

    Test Equation:

    Dependent Variable: RESID

    Method: Least Squares

    Date: 12/21/14 Time: 10:59

    Sample: 3 59

    Included observations: 57

    Presample missing value lagged residuals set to zero.

    Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

    C -0.000928 0.051121 -0.018159 0.9856

    AR(1) -0.111917 0.349481 -0.320238 0.7501

    AR(2) -0.080589 0.237856 -0.338816 0.7362

    MA(1) -1.462903 2.457080 -0.595383 0.5543

    MA(2) 0.469553 1.355960 0.346288 0.7306

    RESID(-1) 1.588037 2.591242 0.612848 0.5428

    RESID(-2) 0.446949 0.773912 0.577519 0.5662

    RESID(-3) 0.386351 0.387389 0.997319 0.3235

  • Tugas Offisial Statistik | 17

    R-squared 0.027923 Mean dependent var -0.004355

    Adjusted R-squared -0.110945 S.D. dependent var 0.567200

    S.E. of regression 0.597837 Akaike info criterion 1.938474

    Sum squared resid 17.51306 Schwarz criterion 2.225218

    Log likelihood -47.24652 Hannan-Quinn criter. 2.049913

    F-statistic 0.201074 Durbin-Watson stat 1.993326

    Prob(F-statistic) 0.983752

    Date: 12/15/14 Time: 06:49

    Sample: 3 59

    Included observations: 57

    Q-statistic probabilities

    adjusted for 4 ARMA

    term(s)

    Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob

    . | . | . | . | 1 0.003 0.003 0.0005

    . | . | . | . | 2 -0.024 -0.024 0.0369

    . |*. | . |*. | 3 0.088 0.088 0.5138

    . | . | . | . | 4 -0.023 -0.025 0.5474

    .*| . | .*| . | 5 -0.086 -0.082 1.0276 0.311

    . | . | . | . | 6 0.064 0.058 1.3015 0.522

    .*| . | .*| . | 7 -0.150 -0.154 2.8201 0.420

    . | . | . | . | 8 -0.049 -0.030 2.9849 0.560

    . | . | . | . | 9 0.033 0.013 3.0599 0.691

    **| . | **| . | 10 -0.267 -0.262 8.1714 0.226

    . | . | . |*. | 11 0.072 0.105 8.5505 0.287

    . |** | . |** | 12 0.249 0.220 13.189 0.106

    .*| . | .*| . | 13 -0.149 -0.139 14.886 0.094

    .*| . | .*| . | 14 -0.072 -0.096 15.289 0.122

    . |*. | . | . | 15 0.093 0.027 15.975 0.142

    . | . | . | . | 16 -0.032 0.028 16.061 0.188

    . | . | . | . | 17 0.008 -0.030 16.066 0.246

    . |*. | . |*. | 18 0.128 0.094 17.485 0.231

    . | . | . | . | 19 -0.057 0.019 17.770 0.275

    . | . | . | . | 20 0.024 -0.064 17.822 0.334

    . | . | .*| . | 21 -0.063 -0.084 18.195 0.377

    **| . | .*| . | 22 -0.214 -0.101 22.579 0.207

    . |*. | . | . | 23 0.113 0.056 23.839 0.202

    . | . | . | . | 24 0.044 -0.040 24.038 0.241

    Heteroskedasticity Test: White

    F-statistic 1.273212 Prob. F(20,36) 0.2576

    Obs*R-squared 23.61474 Prob. Chi-Square(20) 0.2596

    Scaled explained SS 18.92265 Prob. Chi-Square(20) 0.5269

    Test Equation:

    Dependent Variable: RESID^2

    Method: Least Squares

    Date: 12/21/14 Time: 11:01

    Sample: 3 59

  • Tugas Offisial Statistik | 18

    Included observations: 57

    Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

    C -7.987043 10.04700 -0.794968 0.4318

    GRADF_01 15.04854 15.29167 0.984101 0.3316

    GRADF_01^2 -6.158171 5.677442 -1.084674 0.2853

    GRADF_01*GRADF_02 -5.729889 2.219449 -2.581672 0.0140

    GRADF_01*GRADF_03 -1.345873 3.612545 -0.372555 0.7117

    GRADF_01*GRADF_04 10.59826 4.788803 2.213134 0.0333

    GRADF_01*GRADF_05 5.785662 7.162303 0.807794 0.4245

    GRADF_02 9.202827 3.541912 2.598265 0.0135

    GRADF_02^2 -0.067265 0.344705 -0.195139 0.8464

    GRADF_02*GRADF_03 0.003531 0.478553 0.007378 0.9942

    GRADF_02*GRADF_04 0.286519 0.654364 0.437859 0.6641

    GRADF_02*GRADF_05 -0.100393 0.554011 -0.181211 0.8572

    GRADF_03 2.125911 5.752402 0.369569 0.7139

    GRADF_03^2 0.030082 0.326876 0.092030 0.9272

    GRADF_03*GRADF_04 -0.055754 0.513631 -0.108548 0.9142

    GRADF_03*GRADF_05 0.064503 0.634567 0.101649 0.9196

    GRADF_04 -16.78062 7.640759 -2.196199 0.0346

    GRADF_04^2 -0.263625 0.355052 -0.742496 0.4626

    GRADF_04*GRADF_05 -0.245095 0.700556 -0.349858 0.7285

    GRADF_05 -9.515057 11.44446 -0.831412 0.4112

    GRADF_05^2 0.223787 0.417281 0.536298 0.5951

    R-squared 0.414294 Mean dependent var 0.316091

    Adjusted R-squared 0.088901 S.D. dependent var 0.442529

    S.E. of regression 0.422401 Akaike info criterion 1.391585

    Sum squared resid 6.423201 Schwarz criterion 2.144288

    Log likelihood -18.66016 Hannan-Quinn criter. 1.684111

    F-statistic 1.273212 Durbin-Watson stat 1.952784

    Prob(F-statistic) 0.257565

  • Tugas Offisial Statistik | 19

    ARIMA-GARCH

    Model Dependent Variable: INFWTP

    Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution

    GARCH

    Date: 12/20/14 Time: 09:21

    Sample (adjusted): 3 59

    Included observations: 57 after adjustments

    Convergence achieved after 30 iterations

    MA Backcast: 1 2

    Presample variance: backcast (parameter = 0.7)

    GARCH = C(6) + C(7)*GARCH(-1)

    Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

    C 0.446011 0.055504 8.035714 0.0000

    AR(1) 0.884766 0.229419 3.856557 0.0001

    AR(2) -0.603638 0.180067 -3.352297 0.0008

    MA(1) -0.533402 0.306143 -1.742331 0.0815

    MA(2) -0.012797 0.225477 -0.056755 0.9547

    Variance Equation

    C 0.141908 2.348973 0.060413 0.9518

    GARCH(-1) 0.555418 7.405382 0.075002 0.9402

    R-squared 0.377054 Mean dependent var 0.427368

    Adjusted R-squared 0.329135 S.D. dependent var 0.718691

    S.E. of regression 0.588653 Akaike info criterion 1.930698

    Sum squared resid 18.01865 Schwarz criterion 2.181599

    Log likelihood -48.02490 Hannan-Quinn criter. 2.028207

    Durbin-Watson stat 1.941310

    Inverted AR Roots .44-.64i .44+.64i

    Inverted MA Roots .56 -.02

    Pengujian ASUMSI

    Heteroskedasticity Test: ARCH

    F-statistic 0.018388 Prob. F(1,54) 0.8926

    Obs*R-squared 0.019063 Prob. Chi-Square(1) 0.8902

    Test Equation:

    Dependent Variable: WGT_RESID^2

    Method: Least Squares

    Date: 12/21/14 Time: 11:17

    Sample (adjusted): 4 59

    Included observations: 56 after adjustments

    Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

    C 0.983755 0.231393 4.251441 0.0001

    WGT_RESID^2(-1) 0.018568 0.136931 0.135603 0.8926

  • Tugas Offisial Statistik | 20

    R-squared 0.000340 Mean dependent var 1.001754

    Adjusted R-squared -0.018172 S.D. dependent var 1.405694

    S.E. of regression 1.418409 Akaike info criterion 3.572009

    Sum squared resid 108.6417 Schwarz criterion 3.644343

    Log likelihood -98.01625 Hannan-Quinn criter. 3.600053

    F-statistic 0.018388 Durbin-Watson stat 1.983726

    Prob(F-statistic) 0.892639

    Date: 12/21/14 Time: 14:30

    Sample: 3 59

    Included observations: 57 Q-statistic

    probabilities adjusted for 4 ARMA term(s)

    Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob . | . | . | . | 1 0.005 0.005 0.0016

    . | . | . | . | 2 -0.031 -0.031 0.0600

    . |*. | . |*. | 3 0.093 0.094 0.6026

    . | . | . | . | 4 -0.022 -0.024 0.6320

    .*| . | .*| . | 5 -0.091 -0.086 1.1702 0.279

    . | . | . | . | 6 0.057 0.049 1.3844 0.500

    .*| . | .*| . | 7 -0.154 -0.159 2.9695 0.396

    . | . | . | . | 8 -0.046 -0.024 3.1177 0.538

    . | . | . | . | 9 0.035 0.014 3.2039 0.669

    **| . | **| . | 10 -0.268 -0.262 8.3453 0.214

    . | . | . |*. | 11 0.072 0.106 8.7253 0.273

    . |** | . |** | 12 0.250 0.216 13.399 0.099

    .*| . | .*| . | 13 -0.151 -0.140 15.140 0.087

    .*| . | .*| . | 14 -0.072 -0.094 15.550 0.113

    . |*. | . | . | 15 0.098 0.027 16.322 0.130

    . | . | . | . | 16 -0.030 0.027 16.396 0.174

    . | . | . | . | 17 0.007 -0.028 16.400 0.228

    . |*. | . |*. | 18 0.127 0.096 17.792 0.216

    . | . | . | . | 19 -0.056 0.017 18.070 0.259

    . | . | . | . | 20 0.025 -0.064 18.128 0.316

    . | . | .*| . | 21 -0.061 -0.083 18.478 0.359

    **| . | .*| . | 22 -0.212 -0.099 22.807 0.198

    . |*. | . | . | 23 0.114 0.057 24.084 0.193

    . | . | . | . | 24 0.047 -0.036 24.309 0.229

  • Tugas Offisial Statistik | 21

    SARIMA

    Model Dependent Variable: INFWTP

    Method: Least Squares

    Date: 12/21/14 Time: 11:19

    Sample (adjusted): 15 59

    Included observations: 45 after adjustments

    Convergence achieved after 98 iterations

    MA Backcast: 1 14

    Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

    C 0.552015 0.156824 3.519966 0.0011

    AR(1) 0.680179 0.289639 2.348366 0.0242

    AR(2) -0.395275 0.303142 -1.303925 0.2001

    SAR(12) 0.622923 0.131341 4.742784 0.0000

    MA(1) -0.383015 0.303528 -1.261877 0.2147

    MA(2) 0.036814 0.316038 0.116486 0.9079

    SMA(12) -0.877001 0.043322 -20.24392 0.0000

    R-squared 0.616742 Mean dependent var 0.414000

    Adjusted R-squared 0.556227 S.D. dependent var 0.681287

    S.E. of regression 0.453848 Akaike info criterion 1.399926

    Sum squared resid 7.827164 Schwarz criterion 1.680962

    Log likelihood -24.49833 Hannan-Quinn criter. 1.504693

    F-statistic 10.19164 Durbin-Watson stat 1.956009

    Prob(F-statistic) 0.000001

    Inverted AR Roots .96 .83-.48i .83+.48i .48+.83i

    .48-.83i .34+.53i .34-.53i .00+.96i

    -.00-.96i -.48+.83i -.48-.83i -.83-.48i

    -.83+.48i -.96

    Inverted MA Roots .99 .86+.49i .86-.49i .49+.86i

    .49-.86i .19+.01i .19-.01i -.00-.99i

    -.00+.99i -.49-.86i -.49+.86i -.86+.49i

    -.86-.49i -.99

    Pengujian ASUMSI

    Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:

    F-statistic 0.362989 Prob. F(2,36) 0.6981

    Obs*R-squared 0.189983 Prob. Chi-Square(2) 0.9094

    Test Equation:

    Dependent Variable: RESID

    Method: Least Squares

    Date: 12/21/14 Time: 11:20

    Sample: 15 59

    Included observations: 45

  • Tugas Offisial Statistik | 22

    Presample missing value lagged residuals set to zero.

    Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

    C 0.024713 0.162646 0.151945 0.8801

    AR(1) -0.089862 0.328485 -0.273564 0.7860

    AR(2) 0.159036 0.376983 0.421866 0.6756

    SAR(12) -0.005835 0.139823 -0.041730 0.9669

    MA(1) -0.498372 0.921329 -0.540928 0.5919

    MA(2) -0.330938 0.629315 -0.525870 0.6022

    SMA(12) -0.002167 0.044387 -0.048830 0.9613

    RESID(-1) 0.584228 0.924855 0.631696 0.5316

    RESID(-2) 0.453210 0.552860 0.819756 0.4177

    R-squared 0.004222 Mean dependent var -0.052110

    Adjusted R-squared -0.217062 S.D. dependent var 0.418465

    S.E. of regression 0.461653 Akaike info criterion 1.468849

    Sum squared resid 7.672441 Schwarz criterion 1.830182

    Log likelihood -24.04911 Hannan-Quinn criter. 1.603551

    F-statistic 0.019079 Durbin-Watson stat 2.013875

    Prob(F-statistic) 0.999998

    Heteroskedasticity Test: White

    F-statistic 2.042065 Prob. F(35,9) 0.1285

    Obs*R-squared 39.96721 Prob. Chi-Square(35) 0.2589

    Scaled explained SS 19.70525 Prob. Chi-Square(35) 0.9826

    Test Equation:

    Dependent Variable: RESID^2

    Method: Least Squares

    Date: 12/21/14 Time: 11:21

    Sample: 15 59

    Included observations: 45

    Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

    C 0.136576 0.123436 1.106453 0.2972

    GRADF_01 0.070734 0.121068 0.584252 0.5734

    GRADF_01^2 0.159740 0.303263 0.526739 0.6111

    GRADF_01*GRADF_02 -1.820869 0.776610 -2.344638 0.0437

    GRADF_01*GRADF_03 -0.170902 0.674892 -0.253229 0.8058

    GRADF_01*GRADF_04 0.054845 0.152672 0.359231 0.7277

    GRADF_01*GRADF_05 2.023875 0.811478 2.494062 0.0342

    GRADF_01*GRADF_06 0.246795 0.684681 0.360452 0.7268

    GRADF_01*GRADF_07 0.035173 0.057627 0.610354 0.5567

    GRADF_02 0.076840 0.449656 0.170887 0.8681

    GRADF_02^2 1.168513 0.734508 1.590879 0.1461

    GRADF_02*GRADF_03 -1.533839 1.395906 -1.098813 0.3004

    GRADF_02*GRADF_04 -1.335716 1.017766 -1.312401 0.2219

    GRADF_02*GRADF_05 -0.525211 1.146073 -0.458270 0.6576

    GRADF_02*GRADF_06 -0.808839 1.429428 -0.565848 0.5853

    GRADF_02*GRADF_07 0.367123 0.247363 1.484146 0.1719

    GRADF_03 -0.167324 0.248010 -0.674666 0.5168

    GRADF_03^2 -0.797896 0.901268 -0.885304 0.3990

    GRADF_03*GRADF_04 -0.829655 0.795936 -1.042364 0.3244

    GRADF_03*GRADF_05 2.206723 1.827663 1.207401 0.2581

    GRADF_03*GRADF_06 1.732121 1.740779 0.995026 0.3457

    GRADF_03*GRADF_07 -0.117562 0.152539 -0.770702 0.4606

  • Tugas Offisial Statistik | 23

    GRADF_04 0.094970 0.148135 0.641107 0.5374

    GRADF_04^2 -0.402056 0.176038 -2.283923 0.0483

    GRADF_04*GRADF_05 1.443791 1.319833 1.093920 0.3024

    GRADF_04*GRADF_06 0.274835 0.746064 0.368380 0.7211

    GRADF_04*GRADF_07 0.012423 0.050431 0.246342 0.8109

    GRADF_05 -0.378187 0.554577 -0.681939 0.5124

    GRADF_05^2 -1.098301 1.244541 -0.882495 0.4005

    GRADF_05*GRADF_06 -0.694374 1.374537 -0.505170 0.6256

    GRADF_05*GRADF_07 -0.275345 0.255105 -1.079342 0.3085

    GRADF_06 0.039610 0.333775 0.118672 0.9081

    GRADF_06^2 -0.341102 0.898070 -0.379817 0.7129

    GRADF_06*GRADF_07 0.166283 0.149975 1.108736 0.2963

    GRADF_07 0.041955 0.037312 1.124426 0.2899

    GRADF_07^2 0.036147 0.028622 1.262930 0.2384

    R-squared 0.888160 Mean dependent var 0.173937

    Adjusted R-squared 0.453228 S.D. dependent var 0.206850

    S.E. of regression 0.152953 Akaike info criterion -0.926810

    Sum squared resid 0.210552 Schwarz criterion 0.518520

    Log likelihood 56.85323 Hannan-Quinn criter. -0.388006

    F-statistic 2.042065 Durbin-Watson stat 1.738596

    Prob(F-statistic) 0.128532

    Date: 12/21/14 Time: 14:32

    Sample: 15 59

    Included observations: 45 Q-statistic

    probabilities adjusted for 6 ARMA term(s)

    Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob . | . | . | . | 1 -0.012 -0.012 0.0070

    . | . | . | . | 2 0.015 0.015 0.0179

    .*| . | .*| . | 3 -0.124 -0.124 0.7908

    .*| . | .*| . | 4 -0.152 -0.158 1.9900

    . | . | . | . | 5 0.026 0.024 2.0252

    . | . | . | . | 6 -0.020 -0.031 2.0465

    . | . | .*| . | 7 -0.043 -0.087 2.1488 0.143

    . | . | .*| . | 8 -0.056 -0.080 2.3250 0.313

    . | . | . | . | 9 -0.006 -0.008 2.3272 0.507

    .*| . | .*| . | 10 -0.145 -0.180 3.6036 0.462

    . | . | . | . | 11 0.065 0.017 3.8632 0.569

    . | . | . | . | 12 0.011 -0.006 3.8716 0.694

    **| . | **| . | 13 -0.221 -0.297 7.1078 0.418

    . | . | .*| . | 14 -0.025 -0.112 7.1489 0.521

    . | . | . | . | 15 0.001 0.007 7.1489 0.622

    . |*. | . | . | 16 0.128 0.024 8.3485 0.595

    . |*. | . | . | 17 0.173 0.050 10.599 0.477

    . | . | . | . | 18 0.043 0.030 10.745 0.551

    .*| . | .*| . | 19 -0.074 -0.087 11.191 0.595

    . | . | . | . | 20 -0.005 -0.027 11.194 0.671