Pe Model an Mate Ma Tika
-
Upload
asefan-ardi -
Category
Documents
-
view
230 -
download
7
description
Transcript of Pe Model an Mate Ma Tika
PEMODELAN MATEMATIKA
I. Pengertian
Model adalah :
Suatu konsep atau objek yang digunakan untuk menyatukan atau mengekspresikan
sesuatu.
Model Matematika adalah :
Deskripsi dan verifikasi dari suatu fenomena yang dicoba atau diperoleh dengan
menggunakan bahasa matematika.
Model matematika terdiri dari himpunan kesalahan yang terobsevasi dari relasi – relasi
yang terdapat dalam suatu fenomena.Dalam model matematika ada dua kesalahan
kuantitatif yaitu variabel dan parameter yang dikaitkan dalam suatu relasi misalnya
persamaan, ketidaksamaan dan lain – lain.Model matematika dapat juga diartikan suatu
model yang terdiri dari konsep matematika seperti konstanta variabel fungsi persamaan,
pertidaksamaan dan lain – lain.
Jenis – jenis model :
a. Dilihat dari strukturnya :
1. Model Deskriptif.
Model yang menjelaskan atau memprediksikan bagaimana sesuatu berjalan atau
bekerja dengan semestinya.
Contoh : model program dinamik
2. Model Preskriptif
Model yang membantu memilih cara yang terbaik untuk bekerja atau berjalan.
Contoh : model rantai markov
Perbedaan kedua model ini bukan pada bahasa matematika yang digunakan tetapi
pada penggunaannya. Model preskriptif disebut juga alat untuk membuat suatu
keputusan sedangkan model deskriptif untuk menjelaskan apa yang membuat
keputusan tersebut berjalan.
b. Menurut strukturnya :
1. Analog
2. Ekonik
3. Simbolik
c. Menurut referensi kepastian :
1. Model Probalistik
Model – model yang menyangkut distribusi peluang dari suatu proses dan
menghasilkan deretan harga paling tidak satu peubah yang disertai dengan
kemungkinan – kemungkinan harga tersebut dan biasanya model ini disebut
juga model resiko.
2. Model Game
Model yang menggambarkan mengenai pengembangan solusi – solusi optimum
dalam menghadapi situasi yang tidak pasti.
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
1
d. Menurut generalitas :
1. Model Umum.
Model yang dapat menyatakan suatu kondisi secara umum
2. Model Khusus.
Model yang dapat menyatakan suatu kondisi tertentu saja
e. Menurut informasi atau data model matematika :
1. Model Deterministik.
Model berdasarkan cukupnya informasi pada setiap tahap dalam proses.
Sehingga proses atau sistem dapat diprediksi dengan tepat.
2. Model Skokastik.
Model yang menjelaskan sistem secara protabilistik ( informasi yang dapat
diambil secara acak ).
f. Menurut kekontinuan besaran kuantitatif :
1. Model Kontinu.
Berdasarkan pada kekontinuan besaran kuantitatif dalam model.
2. Model Diskrit.
Berdasarkan pada kekontinuan besaran kuantitatif dari besaran kuantitatif
g. Dilihat dari penyelesaiannya :
1. Model Analistik.
Model yang kesimpulannya dapat dinyatakan dalam bentuk analitik.
2. Model Simulasi.
Model yang diperoleh dari simulasi model yang seharusnya.
Suatu model dapat diukur dari komponen berikut :
1. Akurat
Model dikatakan akurat jika penyelesain model dapat menggambarkan
fenomena dengan akurat.
2. Realistik Diskriptif
Jika asumsi – asumsi yang dibenarkan adalah benar.
3. Tepat
Apabila prediksi menggunakan bilangan tertentu atau istilah – istilah
matematika seperti gambar geometri.
4. Awet
Apabila model tidak terpengaruh oleh galas dalam input data.
5. Umum
Apabila model dapat digunakan dalam berbagai situasi yang lebih luas.
6. Berguna
Apabila komplusi bermanfaat dan dapat dipakai untuk menghasilkan model
yang baik.
Tujuan penyelesaian model :
1. Untuk mengetahui dan mencari keterkaitan antara objek – objek yang
dihubungkan.
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
2
2. Untuk melakukan pendugaan untuk memperbaiki keadaan objek.
3. Untuk mengadakan optimalisasi dalam suatu objek.
Manfaat Model :
1. Untuk menghemat waktu.
2. Untuk menghemat biaya.
3. Untuk menghemat tenaga kerja.
4. Untuk dapat menentukan alat yang tepat yang akan digunakan.
5. Untuk mengurangi resiko ( semakin tinggi spekulasi, maka semakin besar
resikonya).
A. Model Gravitasi Gallileo
Masalah yang ditinjau adalah mengenai gravitasi atau bagaimana gravitasi bekerja.
Gallileo ingin menjelaskan bahwa suatu objek memperoleh kecepatan saat jatuh. Dua
masalah yang diperhatikan adalah :
1. Apakah rumus menjelaskan bagaimana suatu benda memperoleh kecepatan saat
jatuh.
2. Apakah rumus menjelaskan sejauh mana suatu benda jatuh dalam waktu yang
diberikan.
Gallileo merumuskan 3 faktor :
1. Jarak
2. Waktu
3. Kecepatan
Asumsi 1
Jika suatu benda jatuh dalam keadaan diam maka kecepatan setiap waktu akan sama
dengan jarak yang ditempuh.
Perumusan Model Matematika
Misalkan X(t) jarak yang ditempuh benda pada posisi semula pada saat t = 0, X(0) = 0.
Sedangkan jarak yang ditempuh pada waktu to ke to + h adalah X(to + h ) = X(to). Maka
kecepatan rata – rata benda adalah X(to + h ) – X(t o)
Dengan h → 0, maka kecepatan pada saat t = 0 adalah V(to) to
= ax,
= a dt
ln x = at + C
= aat+c
= ec.eat, ec = k
= k eat , X = 0 → k = 0
Asumsi 2
Jika benda jatuh dari keadaan diam, maka kecepatan disetiap titik sebanding dengan waktu
jatuhnya. Khusus untuk satiap detik jatuhnya benda, benda mendapatkan kecepatan sebesar
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
3
X(t) = 5t2
X(t) = 5t2 + V0t
Rumus model matematika
= at , = 10t
maka didapatkan :
X(t) = 5t2 + C , X(0) = 0 + C →C = 0
Contoh :
Suatu benda jatuh dalam keadaan diam selama 2 detik
Tentukan :
a. Berapa jauh objek jatuh dan kecepatan selama 2 detik
b. Berapa lama objek jatuh sejauh 45 meter
Penyelesaian :
a. X(t) 2 detik
X(t)
V(t)
b. t 45 meter
X(t)
45 → t2 → t
Misalkan benda jatuh bukan dari keadaan diam, tetapi mempunyai kecepatan awal (Vo),
maka model dapat dimodifikasikan dan asumsi gallileo menjadi asumsi 3.
Asumsi 3
Kecepatan pada setiap titik atas penambahan kecepatan terhadap gravitasi ditambah dengan
kecepatan awal.
Rumus model matematika
= Dx
= 10t + Vo , Dx = (10t + Vo) Dt
Catatan :
Perbedaan turunan dan persamaan diferensial
= 2x → Turunan
dy = 2x dx → Diferensial
dy – 2xdx = 0 → Persamaan Diferensial
Maka :
= 10t + Vo
X(t) =
X(t) = 0 + C → C = 0
X(t) = , , jika C = 0
B. Model Populasi
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
4
Misalkan P(t) menyatakan banyaknya penduduk pada saat t dan B(t) banyaknya
kelahiran dalam 1 tahun dari tahun t ke t + 1, D(t) banyaknya kematian dalam 1 tahun dari
tahun t ke t + 1.
Asumsi 1
= d , laju kematian dalam 1 tahun dari tahun t ke t + 1
= b, laju kelahiran dalam 1 tahun dari tahun t ke t + 1
Laju kematian (d) dan laju kelahiran (b) adalah konstanta
Asumsi 2
Tidak terjadi imigrasi dari luar ( perubahan banyaknya penduduk hanya tergantung pada
banyaknya kelahiran dan kematian )
Model matematika
Untuk t ≥ 0, r = 1 + b – d , Maka :
= =
= =
Dengan → laju pertumbuhan / parameter mathus
Dengan industri diperoleh :
P1 = rP0
P2 = rP1= r2P0
P3 = rP2= r3P0
Dengan demikian Pn = rnP0 artinya P(t) = P0.rt
Contoh :
Misalkan populasi di indonesia saat ini 230 juta dan laju kelahirannya adalah 2 % dan laju
kematiannya adalah 1 %.
Tentukan :
1. Berapa jumlah penduduk dalam 10 tahun.
2. Berapa tahun agar populasi menjadi 2 kali lipat
3. Berapa banyak yang lahir di periode t = 7 ke t = 8
4. Berapa banyak yang meninggal di periode :t = 7 ke t = 8
Penyelesaian :
Dik : P0 = 230.106
b = 0.02
d = 0,01
r = 1 + ( b – d ) = 1 + ( 0,02 – 0,01 ) = 1,01
Dit :
1. Berapa jumlah penduduk dalam 10 tahun :
P10 = r10 P0
P10 = ( 1,01 )10 . 230.106 = ( 1,1046 ) ( 230.106 ) = 254,058 .106
2. Berapa tahun agar populasi menjadi 2 kali lipat ( t =............? )
Pt = rt . P0 , jika Pt = 2P0
2P0 = rt . P0
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
5
2 = ( 1,01 )t
log 2 = t log 1,01
t = = 69,66 = 70 tahun
3. Berapa banyak yang lahir di periode :
a. t = 7 ke t = 8
B(7) = b . P(t) = 0,02 . ( 1,01 )7. ( 230.106 ) = 4,9 juta jiwa
4. Berapa banyak yang meninggal di periode :
a. t = 7 ke t = 8
D(7) = d . P(t) = 0,01 . ( 1,01 )7. ( 230.106 ) = 2,5 juta jiwa
C. Model Populasi Metrik Lesly
Matrik ini menyelidiki berapa banyak penduduk P1 ke P2 , P1< P2 dalam kelompok
umur 10 tahunan. Misalnya kelompok umur antara 65 – 75 dibagi atas n kelompok umur
[ 0,d ] , [ d,2d ] , [ 2d,3d ], ... [ ( n – 1 )d , nd ]
d = Merupakan lebar kelompok umur
n = Bilangan asli yang tergantung pada d
Misal :
d = 5 dan n = 20
maka model yang diperoleh :
t = 2d , t = 3d , t = nd
Vektor ini disebut vektor distribusi pada saat t
Misalkan laju kematian pada tiap kelompok diketahui r1 , maka laju kematian yang masih
hidup P1=1 - r1 , berlaku untuk t = 0, d, 2d, 3d, . . . ,nd
Mi = konstanta dan tergantung pada nilai d
Jika d = 5 maka m0 , m2, . . . , m8 > m0 = m1 , . . . , mn-1 = 0
Dari persamaan diatas dibuat sebagai berikut :
F ( t + d ) = M . F(t) ; t = 0, d, 2d, . . .
Fd = M . Fo
F2d = M . Fd = M ( M . Fo ) = M2 . Fo
F3d = M . F2d = M (M2 . Fo ) = M3 . Fo
•
•
•
F( n – 1 )d = M(n – 1) . Fo
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
6
Misalkan kelompok umur dibagi menjadi 3 kelompok
Laju kedewasaan m0 = 0 ; m1= 1 ; m2= 2
Laju bertahan ( masih hidup) ;
Tentukan :Fd =…………………? , F2d =…………………? , F3d =…………………?
Penyelesaian :
a. Fd = M . Fo = =
b. F2d = M2 . Fo =
= =
c. F3d = M3 . Fo =
=
= =
F3d = M3 . F2d = =
II. MODEL SISTEM PERSAMAAN
Misalkan laju kelahiran dan laju kematian disajikan dalam distribusi usia dengan
mengelompokkan menjadi 3 :
1. Usia 0 – 14 tahun
2. Usia 15 – 39 tahun
3. Usia 40 tahun keatas
Jika laju kelahiran dan laju kematian untuk kelompok usia berturut – turut b1, b2, b3
dan dimisalkan tiap kelompok usia banyak individu seusia adalah profesional, maka
interval waktu (∆t) menyatakan banyaknya individu yang masuk ke kelompok – 1 adalah :
1. Individu – individu hasil proses dari usia kelompok pertama, kedua, dan ketiga.
2. Individu – individu kelompok usia pertama yang mampu mempertahankan
hidupnya selama interval waktu (∆t) masih masuk dalam kelompok usia pertama.
Sedangkan banyaknya individu yang masuk ke kelompok – 2 setelah interval waktu
(∆t) adalah :
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
7
1. Individu – individu pada saat t masuk usia kelompok pertama dan mampu
mempertahankan hidupnya selama interval waktu (∆t) tersebut masih masuk dalam
kelompok usia kedua.
2. Individu – individu yang masuk kelompok usia kedua yang mampu
mempertahankan hidupnya selama interval waktu (∆t) dan pada akhirnya interval
waktu (∆t) tersebut masih masuk dalam kelompok usia ketiga.
Banyaknya individu yang masuk ke kelompok ketiga setelah interval waktu (∆t) adalah :
1. Individu – individu yang masuk kelompok usia kedua yang mampu
mempertahankan hidupnya selama interval waktu (∆t) dan pada akhirnya interval
waktu (∆t) telah berusia 40 tahun keatas..
2. Individu yang masuk kelompok usia ketiga yang mampu mempertahankan hidupnya
selama interval waktu (∆t).
Misalkan :
N1(t) = banyaknya individu yang masuk kelompok usia pertama
N2(t) = banyaknya individu yang masuk kelompok usia kedua
N3(t) = banyaknya individu yang masuk kelompok usia ketiga
Untuk (∆t) = 1 tahun, maka diperoleh persamaan :
N1(t) (∆t) = b1 N1(t) + b2 N2(t) + b3 N3(t) + ( 1 – d1) N1(t)
N2(t) (∆t) = ( 1 – d1) N1(t) + ( 1 – d2) N2(t)
N3(t) (∆t) = ( 1 – d2) N2(t) + ( 1 – d3) N3(t)
N(t) = A=
Maka sistem persamaan diatas dapat diubah menjadi : N(t + ∆t) = A . N(t) ........................pers (1)
Pers (1) merupakan model matematika pertumbuhan populasi dengan distribusi
usia dengan laju kelahiran dan kematian dianggap konstan. Dan banyaknya individu sesuai
dengan suatu kelompok usia adalah profesional. Dalam bentuk umum dapat ditulis :
N(t + ∆t) = An . N(t)
Contoh soal :
Pada tahun 1975 diketahui distribusi populasi berdasarkan usia, banyaknya individu usia 0
– 14 adalah 13.1 juta jiwa, usia ≥ 15 adalah 48.9 juta jiwa.
Jika diketahui kelahiran hanya terjadi pada individu kelompok ke-2 dan banyaknya
individu yang meninggal dari usia kelompok ke-1 sebesar jumlah kematian
sebelumnya.
Misal :
N1(t) = banyaknya individu dengan uisa 0 – 14 tahun
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
8
N2(t) = banyaknya individu dengan uisa ≥ 15 tahun
to = 1975
∆t = 1 tahun
Maka diperoleh N1(to) = 13.100.000 . N2(to) = 42.900.000
= 125 = = 0,0125 , = 1,19 = = 0,0119
N(t) adalah bilangan keseluruhan individu
N(t) = 13,1 juta jiwa + 42,9 juta jiwa = 56 juta jiwa
B1 = 0 → karena tidak ada kelahiran pada kelompok usia pertama
B2 = = = 0,0163
D1 = = = 0,0025
D2 = = = 0,0148
A = = =
N(t + ∆t) = A . N(t)
N(1976) = = =
N(t + ∆t) = A2 . N(t)
N(1977) = =
=
III. MATEMATIKA DALAM BIDANG EKONOMI
Dalam bidang ekonomi yang dikenal dengan fungsi permintaan dan penawaran.
y y = ax + b
a>0
a < 0
x
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
9
Fungsi Permintaan :
Hubungan antara jumlah atau banyak barang yang diminta dengan harga barang.
Ps = a + bQ , s = supply
Fungsi Penawaran :
Hubungan antara jumlah dan banyak barang ditawarkan dengan harganya.
Pd = a – bQ , d = demond
Titik Permintaan ( Ekuibilibrim ) :
Jika harga naik, maka permintaan turun dan jika harga turun, permintaan akan naik.
Ps = Pd
Fungsi Penerimaan :
Banyaknya barang terjual (x) dikali harga (y) atau R = xy
Fungsi Biaya :
Biaya total (Tc = total cost) dapat dianggap terdiri dari biaya tetap (FC = fixed cost)
Jadi : TC = VC + FC
Biaya rata – rata :
Biaya total dibagi banyaknya barang yang diproduksi (x) sehingga dapat diperoleh :
A =
Titik Impas ( breakeven poin = BEP )
Misal :
C = kurva biaya total ( TC )
R = kurva penerimaan total ( R )
Maka titik potong C dan R dinamakan titik impas (BEP)
y
C
B R = TC
R xFungsi Pertumbuhan :
Fungsi pertumbuhan yang banyak disoroti dalam bidang ekonomi adalah
pertumbuhan penduduk dan pendapatnnya, modal yang dibungakan, hukum logistik, dan
lain – lain.
1. Bunga majemuk.
Misalkan modal Mo dibungakan secara majemuk dengan suku bunga I = r % per tahun.
Jika waktu pembungaan 1 tahun adalah t tahun. Maka modal tersebut akan menjadi
Mt = Mo ( 1 + I )t
Jika waktu dibuat tahun, berarti dalam 1 tahun akan berbunga n kali, jika suku bunga
adalah perjangka waktu dalam t tahun
Mt = Mo ( 1 + )tn
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
10
2. Distribusi Pareto.
Berdasarkan pengalaman pareto, dia menulis rumus N =
N = banyaknya orang yang berpendapatan sebesar x atau lebih
x = besaran produksi
A = tetap / konstan
α = tetap ( 1,5 )
maka N merupakan fungsi dalam x
contoh :
dalam suatu populasi berlaku hukum pareto N = dengan N juta orang dan x rupiahX N
0,5 141,4
0,6 107,5
1 50
2 17,7
3 9,6
4 6,3
6 3,4
60 0,1
1357,7 0,006
Artinya untuk x = 60 didapat N = 0,1 diartikan ada 100.000 orang yang berpendapatan
≥ 60 juta pertahun ( minimal 5 juta perbulan ) , sedangkan untuk x = 0,6 didapat N =
107,5 artinya ada 107.500.000 orang berpendapatan 600.000 pertahun (sebulan 50.000).
3. Kurva Gompertz.
Mempunyai persamaan N = C . art
Dengan :
N = besar populasi pada saat tC = batas atas populasit = waktu ( tahun )r = rangka pertumbuhana = perbandingan populasi awal terhadap keadaan jenuh ( 0 < a < 1 )
Catatan :
Garis N = C adalah asimtot mendatar kekanan
Garis N = 0 adalah asimtot mendatar ke kiri
4. Kurva Logistik.
Bentuk kurva logistik memperoleh persamaan y = ( fungsi komponen ).
Fungsi N digunakan untuk pertumbuhan produksi, besar konsumsi suatu barang.
Contoh soal :
1. Diketahui fungsi permintaan y = dan f penawaran y = . tentukan harga
keseimbangan pasar beserta banyaknya orang yang bersesuaian.
Penyelesaian :
y = , y =
( = ) 12x
24 = x2 + 2x
x2 + 2x – 24 = 0
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
11
( x + 6 ) ( x – 4 ), x = -6 / Vx = 4
y = = 3 , jadi harga keseimbangan adalah ( 4,3 )
2. Diketahui fungsi permintaan y = 6 – , fungsi biaya tetap (FC) = 9 dan fungsi biaya
berubah (VC) = . Tentukan fungsi penerimaan, fungsi biaya total dan titik impas
interval. 0 ≤ x ≤ 5.Penyelesaian :
Dik : y = 6 – ,VC = , FC = 9 , 0 ≤ x ≤ 5
Dit : R = ................? , TC = ................? , BEP = ................?
Jawab
R = xy = x (6 – ) = 6x – 2x2
TC = FC + VC = + 9
BEP = titik potong antara R dan TC, R = TC
6x – 2x2 = + 9 = 0.....................x 4
24x – 8x2 = x2 + 36 = 0
3 x2 – 24x + 36 = 0
x2 – 8x + 12 = 0
( x – 6 ) ( x – 2 )
x = 6 / Vx = 2
untuk x = 2 , y = 6(2) - =12 – 2 = 10 , maka titik impas (BEP) terpenuhi pada
(2,10)
3. Gunakan hukum pareto dengan A = 6 juta orang, α = 1,48 juta rupiah. Berapa banyak
warga negara yang berpenghasilan 5 juta rupiah dalam setahun.
Penyelesaian :
A = 6 juta orang, α = 1,48 juta rupiah
N = .............?
N = = = 0,0007305 = 730,5 = 731 orang
4. Pada tahun 1970 sebuah pabrik memulai produksi dengan modal sejumlah mesin,
ternyata setiap tahun ada P mesin dari jumlah tahun yang sebelumnya yang rusak dan
tidak dapat diperbaiki lagi. Bila pada tahun 1973 ada 103 mesin baik dan dapat
diperbaiki, pada tahun 1975 tinggal 93 yang masih baik. Berapa P dan berapa jumlah
mesin dalam pembelian pertama.
Penyelesaian :
1970 → x
1973 → 103
1975 → 93
Po = jumlah mesin mula – mula =103
Pt = jumlah mesin pada t tahun = 93
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
12
t = lamanya
P = % barang yang rusak
Pada tahun 1975, t = 2
Pt = Po ( 1 – P )t
93 = 103 ( 1 – P )2
( 1 – P )2 = = 0,9029
1 – P = 0,9562
P = 0,04978 = = 5 %
Pada tahun 1970, t = 3
Pt = Po ( 1 – P )t =>103 = Po ( 1 – 0,05 )3 = Po ( 0,8575 ) = = 120 mesin
Elastisitas Permintaan (d) terhadap harga (P)
Ditulis ήop (ή = neta )
ήop = tambahan permintaan yang dibagi dengan pertambahan harga (%)
ήop = = , ini disebut juga dengan elastisitas penawaran.
Secara umum dapat ditulis elastisitas u terhadap V
ήop = = = , jika y = harga dan x = permintaan , maka dapat ditulis
ήxy = = , sedangkan ήyx = = atau ήyx =
Contoh :
1. Fungsi permintaan y = 12 – 3x, elastisitas permintaan = - 3. Tentukan elastisitas
permintaan terhadap harga.
Penyelesaian :
ήxy = = = = =
sedangkan elastisitas harga terhadap permintaan
ήxy = = = = = =
2. Fungsi penerimaan x = 25 – 5y2, pada saat harga = 2 ada kenaikan harga sebanyak 10%.
Tentukan elastisitas permintaan tersebut.
Penyelesaian :
y1 = 2 , ∆y = = 0,2 , y2 = ∆y + y1= 2,2
x1 = 25 – 5 . 4 = 5 , x2 = 25 – 5 . (2,2)2 = 0,8
∆x = x2 – x1 = 0,8 – 5 = - 4,2
Elastisitas : ήxy = = = = = - 8,4
Biaya Marginal ( Penerimaan Marginal )
Bila C = C(x) menyatakan fungsi biaya dengan C = Biaya produksi dan x = besar produksi.
Maka biaya marginal (MC) = = C(x)
Bila R = R(x) menyatakan fungsi penawaran dengan R = penawaran dan x = besar
permintaan. Maka penerimaan marginal (MR) = = R(x)
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
13
Biaya rata – rata minimum : A = A(x) =
Keuntungan maksimum : P = R – C Dengan :
P = Keuntungan
C = fungsi biaya
R = Penerimaan
R = xy, maka syarat dan cukup Pmax adalah R` dan C` atau R``< C``
Surplus Konsumen dan Surplus Produsen
Misalkan kurva permintaan (D)dengan persamaan y = D(x) dan kurva penawaran
(S) = S(x) dan titik keseimbangan = E (x0,y0), maka jika ada pembeli yang sesuai dengan
permintaan sebesar x1 mau membayar seharga y0 > y0, juga sesuai dengan x2, mau
membayar seharga x0 , mau membayar seharga y2. maka luas daerah BEP merupakan
kelebihan yang dibayar konsumen disebut surplus konsumen (SK). Sebaliknya jika ada
produsen dengan penawaran x3 melepas barang dengan harga y3<y0, sehingga kluas daerah
BEP menggambarkan uang kelebihan dari pihak produsen tersebut surplus produsen (SP)
Contoh soal :
1. Diketahui fungsi biaya total C = , tentukan fungsi biaya marginalnya (MC).
Penyelesaian :
C = = , MC = .......?
MC = C`(x)
= . 12
=
2. Diketahui fungsi permintaan y = 10e-x, tentukan fungsi penerimaan marginal (MR) jika
diketahui fungsi penerimaan R(x) =10x.e-x
Penyelesaian :
y = 10e-x , R(x) =10x.e-x
MR = 10e-x + 10x(-1)e-x
MR = 10e-x – 10x.e-x
MR = 10 e-x (1 – x )
3. Diketahui MC = , tentukan fungsi biaya total dan fungsi biaya rata – rata jika
diketahui biaya total mencapai 100 untuk tingkat produksi sebesar 8.
Penyelesaian :
MC = , C = 100 , untuk x = 8 , C(x) = ...? , A = ....?
MC = C`(x)
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
14
SK = , SP =
C`(x) = = , C (x) =
C (8) =
4. Diketahui fungsi permintaan y = 12 – x2 dan fungsi biaya total (C) = 6 – x2, tentukan
keuntungan maxsimal.
Penyelesaian :
y = 12 – x2 , (C) = 6 – x2 , Pmax = .........?
P = R – C
R = xy
P = 12x – x3 – ( 6 – x2 ) = 12x – x3 – 6 + x2 = x3 + x2 + 12x – 6 , untuk Pmax, P` = 0
P` = - x3 + x2 + 12x – 6
3x2 + 2x – 12 = 0
X12 = = = =
X1 = = 2,43 , X2 = = -1,76
5. Diketahui fungsi permintaan y = 10x . e-2x dan fungsi biaya rata – rata (A) = , tentukan
x supaya keuntungan mencapai maksimal.
y = 10x . e-2x , (A) = , x ? agar Pmax
Syarat Pmax : R = C , C = A . x
R = xy = x(10x . e-2x ) C = .x = 1
R = C
10x . e-2x + 10x (-2) . e-2x = 10x . e-2x - 20x. e-2x
x = =
6. jika fungsi penawaran y = dan x = 21y – 21 , hitung surplus konsumen dan
surplus produsen.
y = dan x = 21y – 21 ...............(1)
y2 = 25 – x
x = y2 + 25................................................(2)
(1) dan (2)
21y – 21 = y2 + 25 → y2 + 21y – 46 = 0
( y + 23 ) ( y – 2 ) =0 → y = - 23 / y = 2
y = 2 → x = 21(2) – 21 = 21 , E ( 21 , 2 )
SK = =
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
15
SK = = =
= 36
SP = = =
SP =
Model Optimasi
Teorema 1 :
Jika fungsi x kontinu pada interval tertutup S, maka f tertentu mempunyai
maksimum dan minimum dalam S. Dalam interval tertutup S terdapat 3 jenis fungsi ekstrim
yang mungkin terjadi, yaitu :
1. Ekstrim S dititik kritis (stationer)
2. Ekstrim batas yang terjadi pada batas interval
3. Ekstrim dititik dengan f(x) tidak kontinu
Untuk jenis 1, jika x = x0 maka x`(x0) = 0 dan f`(x0) > 0, maka f(x) mempunyai titik
minimum di x = x0
jika f`(x0) > 0, maka f(x) mempunyai titik minimum di x = x0
jika f`(x0) < 0, maka f(x) mempunyai titik minimum di x = x0
jika f`(x0) = 0, maka f(x) belum tentu di x = x0
Teorema 2 :
Fungsi f(x) yang terdeferensial dalam daerah fisibel S akan memenuhi :
1. Mungkin tidak mempunyai ektrim.
2. Mungkin mempunyai ektrim kritis
3. Mungkin mempunyai ektrim batas yang termasuk dalam S
Contoh :
1. f(x) = 3 – 2x untuk x > 0 tidak mempunyai ekstrim tetapi mempunyai ektrim batas S =
(0,5), fungsi g(x) = 8 – x2 mempunyai maksimum kritis di x = 0 dan minimum batas di x
= -1 dan x = 2. jika ditentukan S mempunyai interval (-1,2).
2. Sebuah karton berbentuk bujur sangkar dengan sisi 8 dm akan dipotong sudut –
sudutnya untuk kemudian dilipat tepinya dan menghasilkan kotak yang terbuka bagian
atasnya. Berapa potongan sisi bujur sangkar supaya volume kotak maksimum.
Penyelesaian :
x
x
Misalkan t = potongan , V = L – t = s2.t
Didapat : S = (8 – 2x) , t = x
Maka : V = (8 – 2x)2x = (64 – 32x + 4x3)x = 64x – 32x2 + 4x3
Nilai maksimum didapat V` = 0
64 – 64x + 12x2 = 0
16 – 16x + 3x2 = 0
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
16
(3x – 4) (x – 4) = 0 , x = atau x = 4
V`` = - 64 + 24x = - 64 + 24 ( ) = - 32
V`` = - 64 + 24x = - 64 + 24 (4) = 32
Pada x = , V`` < 0 berarti V maksimum
Maka S = 8 – 2( ) = , Vmax = S2 . t = ( )2 . = dm3
3. Dalam suatu produksi laba (y) merupakan fungsi besar produksi (x) dengan rumus yang
mendekati y = ln . Berapa besar biaya produksi supaya laba maksimum.
Penyelesaian :
y` = = 0
= 0
1 – ln x = 0 , ln x = 1 → x = e
syarat y``<0
y`` = = = < 0 ( ymax)
x = e → = , jadi titik max ( e , )
Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Teorema 1 :
Bila f kontinu dalam daerah fisibel S yang terbatas dan memuat semua titik batasannya
(tertutup) maka terdapat maksimum dan minimum f dalam S.
Teorema 2 :
Bila semua f adalah dalam S, maka ekstrimnya mungkin :
1. Tidak ada.
2. Terjadi titik kritis, dimana = 0
3. Terjadi titik batas S yang menjadi anggota S
Untuk fungsi dengan 2 peubah z = f(x,y),
Syarat perlu dan cukupnya :
a. = = 0 → syarat kritis
b. H = > 0 , H < 0 titik kritis bukan titik exstrim , H = 0 belum ada
ketentuan
> 0 → ekstrim minimum , < 0 → ekstrim maksimum
Contoh :Jurusan Matematika
Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan AlamUniversitas Sriwijaya
17
1. Jika fungsi z = f(x,y) = 15x + 12y – 3x3 – 3xy2, maka tentukan exstrim z?
2. Tentukan titik – titik yang menyebabkan fungsi berikut max dan min z = f(x,y) = x2 – y2
= 4x + 2y dengan kendala x ≤ 0 , y ≤ 0 , x + y + 4 ≥ 0
3. Tentukan titik optimal dari z = x2 = 4y2 dengan kendala x ≥ 4 , y ≥ - 2
Penyelesaian :
1. = 15x – 3x3 – 3y2 , = 12 – 6 xy
= 0 dan = 0
15 – 3x2 – 3y2 = 0.......................(1)
12 – 6 xy = 0.......................(2)
Persamaan (2) : 12 – 6 xy = 0
x =
subtitusi ke persamaan (1)
15 – 3( )2 – 3y2 = 0
15 – 2 – 3y2 = 0
15 y2 – 12 – 3y4 = 0
y2 – 5y2 + 4 = 0
(y2 – 4 ) (y2 – 1 ) = 0
y2 = 4 → y1 = 2 , y2 = - 2
y2 = 1 → y3 = 1 , y4 = - 1
y1 = 2 , x1 = 1 → (1,2) , y2 = - 2 , x2 = -1 → (-1,-2)
y3 = 1 , x3 = 2 → (2,1) , y4 = - 1 , x4 = -1 → (-2,-1)
= -6x dan = -6x , = -6x dan = -6x
H = = 36x2 – 36y2
Titik A = (1,2) , H = 36 – 144 = - 108 < 0....(TM)
Titik B = (-1,-2), H = 36 – 144 = - 108 < 0...(TM)
Titik C = (2,1) , H = 144 – 106 = -108 > 0....(M)
Titik D = (-2,-1) , H = 144 – 36 = 108 > 0.....(M)
Titik yang memenuhi adalah C dan D :
(2,1) → = -6(2) = -12 < 0 (max) , (-2,-1) → = -6(-2) = 12 > 0 (min)
Z min di (-2,-1) dengan z = -28 , Z max di ( 2, 1) dengan z = 28
2. Z = f(x,y) = x2 – y2 = 4x + 2y dengan kendala x ≤ 0 , y ≤ 0 , x + y + 4 ≥ 0
Titik kritis : f`x = 0 , f`y = 0
= 2x + 4 = 0 , = -2y + 2 = 0
2x = - 4 → y = -2 , 2y = -2 → y = -1
= 2 = 2
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
18
= 0 = 0
H = = 4 > 0 , titik (-2,-1) adalah titik kritis
= 2 > 0 → ekstrimya min
Maka Zmin di (-2,-1) dengan Z = 5
Titik batas : x + y = -4
x = 0 → y = -4 ( 0,-4 ) , y = 0 → x = -4 ( -4,0 )
Maka Zmax di (0,4) dengan Z = 8
3. Z = x2 = 4y2 dengan kendala x ≥ 4 , y ≥ - 2
= 2x → x = 0 , = 8y → y = 0
= 2 = 8 , = 0 = 0
H = = 16 > 0 , titik (0,0) titik kritis → tidak fisibel
Titik batas :
x = 4 → ( 4,0 ) dengan f = 16 (min) , y = -2 → ( 0,-2 ) → tidak fisibel
( 4,-2 ) → f = 32
y
0 (4,0) x
2 (4,-2)
Jadi, f min = 16 tercapai dari titik (4,0) sedangkan f max tidak ada karena f dapat menjadi
besar tak hingga ( tak terbatas )
Optimal secara umum
1. Tanpa kendala :menentukan nilai optimal (ekstrim)
Z = f(xj) = j = 1, 2, ...n
2. Dengan Kendala.
a. berbentuk persamaan dengan menentukan ekstrem Z = f(xj) = j = 1, 2, ...n
b. berbentuk pertidaksamaan dengan menentukan ekstrem Z = f(xj) = j = 1, 2, ...n
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
19
fungsi Z = f(x,y) yang dioptimalkan disebut fungsi sasaran nilai (xj) yang memenuhi
kendala disebut penyelesaian fisibel (PF), sedang kan fisibel yang mengoptimalkan f
sasaran disebut
penyelesaian optimal (PO).
Untuk ekstrim titik kritis syarat sebagai berikut :
Bila f(z) mempunyai definitif dearajat dua disekitar Xo dan di penuhi :
maka f(x) maksimal lokal dan dipenuhi.
H(x) disebut definitif negatif bila x` Hx < 0
Contoh :
1. Sebuah perusahaan mebel dan kayu menghasilkan 3 barang B1 = meja kursi, B2 =
almari, B3 = tempat tidur. Bila permintaan untuk masing – masing dianggap tidak
saling mempengaruhi tetapi fungsi kosongnya bergabung, maka pengusahanya ingin
menentukan besar produksi masing – masing yang memaksimalkan keuntungan total.
Diketahui bahwa fungsi permintaan untuk B1 ,B2 ,B3 berturut – turut adalah :
P1 = 21 – 5x1 , P2 = 77 – 10x2 , P3 = 30 – 2x3 ,
sedangkan fungsi ongkosnya C = 2x1x2 + x1x3 + 3x2x3 maka akan dicari x1 , x2 , x3 yang
memaksimalkan keuntungan total dan harga masing – masing, ongkos total dan
keuntungan maksimal
Penyelesaian :
Diketahui : P1 = 21 – 5x1 , P2 = 77 – 10x2 , P3 = 30 – 2x3
Ditanya :
a. x1 , x2 , x3 =....................?
b. P1, P2, P3 =....................?
c. C =....................?
d. Pmax =....................?
Jawab :
Penerimaan untuk B1 → R1 = Pixi
R1 = 21x1 – 5x12 , R2 = 77x2– 10x2
2 , R3 = 30 x3 – 2x32
R = R1 + R2 + R3 = 21x1 – 5x12 + 77x2– 10x2
2 + 30 x3 – 2x32
P = R – C
C = P – R = 21x1 – 5x1+ 77x2 – 10x2 + 30 x3 – 2x3 – 21x1 – 5x1
2 + 77x2– 10x22 + 30 x3 – 2x3
2
Syarat perlu = 0
= 21 – 10x1 – 2x2 – x3 = 0.......................(1)
= 77 – 10x2 – 2x2 – x3 = 0.......................(2)
= 30 – 4x31 – 2x1 – x2 = 0.......................(3)
Eliminasi (1) dan (2)
28x1 – 14x2 = -14.......................(4)
Eliminasi (1) dan (3)Jurusan Matematika
Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan AlamUniversitas Sriwijaya
20
39x1 – 5x2 = 54,,......................(5)
Eliminasi (1) dan (3)
30x1 – 5x2 = 686......................(6)
x1 = 1
Subtitusi ke persamaan (4)
28(1) – 14x2 = – 14
– 14x2 = – 42
x2 = 3
Subtitusi ke persamaan (1)
10(1) + 2(3) + x3 = 21
x3 = 5
= -10 , = -2 , = -1
= - 20 , = -2 , = -3
= -14 , = -1 , = -3
H = , syarat maksimal : H definitif negatif, jika x`Hx
< 0
x = , x` = [ 1,3,5 ] , x`Hx = [ 1,3,5 ] = -
402 < 0 (definitif negatif )Penyebab keuntungan :
x1 = 1 x2 = 3 , x3 = 5
P1 = 21 – 5x1 = 21 – 5 = 16
P2 = 77 – 10x2 = 77 – 30 = 47
P3 = 30 – 2x3 = 30 – 10 = 20
C = 2x1 – x2 + x1 x3 + 3x2 x3 = 2(1)(3) + (1)(5) + 3(3)(5) = 56
P = P1x1 – x2 + x1 x3 + 3x2 x3 = 2(1)(3) + (1)(5) + 3(3)(5) = 56
P = P1x1 – P1x1 + P1x1= 16 + 5 + 45 = 56 → P = 201
Model Program Linear
Dalam optimasi terkendala dapat dirumuskan sebagai berikut ;Mencari vektor x = x1
2 , x22,… xn yang memenuhi gi(x) 0 dan memaksimalkan
dan meminimalkan Z =f(x). bila gi dan f semua linear, maka modelnya menjadi program linear
dan dirumuskan sebagai berikut
Mencari xj ≥ 0, j = 1, 2, …, n yang memenuhi b1, b2 , ..., n
Dengan max/min kan dengan syarat xj ≥ 0
Contoh :
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
21
1. Tersedia dua macam kapsul obat flu, yaitu merek fluin dan fluon, yang masing – masing
memuat unsur – unsur utama, aspirin, bikarbonat, dan kodein. sedangkan unsur yang
lain adalah tambahan saja. Kandungan unsur dalam tiap kapsul dan kebutuhan minum
pasien supaya sembuh tertera dalam tabel berikut.
UnsurSatu Kapsul
Kebutuhan Minum SatuanFluin Floun
Aspirin 2 1 12 Gram
Bikarbonat 5 8 74 Gram
Kodein 1 6 24 Gram
Harga satuan 60 90 Rupiah
Penyelesaian :
Masalah yang timbul bagi pasien yang ingin memenuhi syarat dari dokter tetapi juga
ingin meminimalkan uang pembelian total. Jadi berapa kapsul fluin dan floun yang
harus dibeli supaya sembuh dan uang yang keluar totalnya minimum.
Misal :
x1 ( banyaknya kapsul fluin yang dibeli ) dan x2 ( banyaknya kapsul floun yang dibeli )
mencari x1≥ 0 x2 ≥ 0 yang memenuhi
2x1 + 2x2 ≥12 ,5x1 + 8x2 ≥74 ,x1 + 6x2 ≥ 24 dan meminimalkan f(x1,x2)= 60x1 + 90 x2
Bahan Perbandingan :
Misalkan si pasien tidak mengenal pil dan ingin lekas sembuh, mungkin dia berpikir
beli fluin saja atau fluon saja. Untuk pilihan
a. dari aspirin dia cukup membeli 6 kapsul, tetapi ini tidak mengandungbikarbonat,
dia harus 15 kapsul, tetapi jumlah ini pun belum memuat kodien dengan jumlah
yang dibutuhkan, akhirnya dia harus membeli minimal 24 kapsul dengan harga
1440.
b. Dari pengalaman menghitung jumlah minimum fluin, dapat diringkas bahwa
jumlah minimal fluon yang harus dibeli adalah max = 12 kapsul
dengan harga Rp. 1080 (lebih murah) inilah yang akan dikerjakan pasien. tetapi jika
pasien sempat menghitung pembelian gabungan fluin dan floun, ternyata masih ada
kombinasi yang lebih hemat. Ini dikerjakan dengan cara mendaftar (tabulasi)
semua kombinasi yang relatif murah dan memungkinkan. Lalu bandingkan rupiah
yang sesuai untuk dicari yang paling murah.
Kombinasi yang hematRupiah
Fluin Fluon
24
18
12
10
9
7
6
4
2
4
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
10
12
1140
1170
900
870
900
870
900
870
840
960
1080
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
22
Dari tabel diatas terlihat bahwa kombinasi yang paling hemat adalah fluin 2
kapsul dan fluon 8 kapsul dengan total uang Rp 840
2. Rumuskan soal berikut ini ke dalam P > L . sebuah perusahaan rumah kayu rakitan
mempunyai 3 pabrik P1 , P2 , P3 yang m,asing – masing dapat memproduksi dalam
ukuran besar (B), sedang (S), dan kecil (K). Satu unit B yang terjual memberikan
keuntungan Rp 120.000 , S = Rp 100.000 , K = Rp 90.000. P1 , P2 , P3 berturut –
turut mempunyai kapasitas produksi 500, 600, dan 300 unit permeter tanpa
mengingat ukuran. Gudang penampungan produksi terbatas. P1 hanya mempunyai
ruang 4500 m2 , P2 =4000 m2, P3 = 1750 m2 sedangkan 1 unit B, S, K berturut – turut
memakan tempat 10 m2 , 7 m2, 6 m2 . dari pengalaman dapat diprediksi bahwa
persemester dapat terjual 600 unit B, 800 unit S, dan 500 unit K. Pimpinan
perusahaan harus menentukan program produksi persemester agar keuntungan total
maksimum.
Penyelesaian :
Misal :
P1= banyak B yang di produksi oleh pabrik i
S1= banyak S yang di produksi oleh pabrik i2
K1= banyak K yang di produksi oleh pabrik i2
Kendala kapasitas untuk masing – masing pabrik
b1+ S1+ K1 ≤ 500
b2+ S2+ K2 ≤ 600
b3+ S3+ K3 ≤ 300
Kendala ruang penampungan untuk masing – masing pabrik
10b1 + 7,5S1 + 6K1 ≤ 4500
10b2 + 7,5S2 + 6K2 ≤ 4000
10b3 + 7,5S3 + 6K3 ≤ 1750
Kendala hasil penjualan
b1+ b2+ b3 ≤ 600
S1+ S2+ S3 ≤ 800
K1+ K2+ K3 ≤ 500
Kendala tak negative
b1+ b2+ b3 + S1+ S2+ S3 + K1+ K2+ K3 dan memaksimumkan f sasaran
f = (b1+ b2+ b3 ) + 100(S1+ S2+ S3 ) . 90 (K1+ K2+ K3 )
Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam
Universitas Sriwijaya
23