Soluc libro mate 2009

SOLUCIONARIO

Matemática 2009

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009

Cpech Preuniversitario, Edición 2009

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3

SOLUCIONARIO MATEMÁTICA

Solucionario Matemática

CAPÍTULO 1

Conjuntos Numéricos1. La alternativa correcta es C

13

36

15

615

26

36

315

615

569

1556

159

56

53

2518

+

+

+

+

⋅

⋅

, amplificamos para igualar denominador

, sumamos

, ordenamos la fracción compuesta

, simplificamos y multiplicamos.

2. La alternativa correcta es C

34

18

58

14

68

18

58

28

7878

1

188

+

+

+

+

=

=

, amplificamos para igualar denominadores

, sumamos

, adecuando a la alternativa

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4

Solucionario MatemáticaCp

ech

Pre

univ

ersi

tario

, Edi

ción

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9


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3. La alternativa correcta es A

213

413

614

214

73

133

254

94

63

16463

416

24

−

−

−

−

−

− ⋅

−

− 448

, transformamos los números mixtos a fracciones

, restamos

, desarrollamos la fracción compuesta

, simplificamos

, amplificamos para adecuarnos a la alternativa


Reemplazamos los valores

( )23

19

173

79

37

13

+ ⋅

⋅

, sumamos y ordenamos

, simplificamos


Transformamos los decimales periódicos a fracciones

0 626299

0 62 0 62

6299

6299

12499

,

, ,

=

+

+ , sumamos

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5

capítulo 1 Solucionario Matemática


1530

1426

47

121

12

713

1321

12

13

3 26

16

− ⋅ +

− ⋅

−

− =

( )

( )

, simplificamos y sumamos en el interior del paréntesis

, simplificamos

, restamos

7. La alternativa correcta es E

Transformamos los decimales a fracción

0 559

0 2525 2

902390

59

2390

7390

,

,

=

= − =

+

, entonces

, sumamos


Del enunciado

b c

bc

= ⋅

=

3

3

, despejamos el número 3

, 3 es un número primo

9. La alternativa correcta es D

I. Para que –P sea un número negativo, necesariamente P es un entero positivo.II. De lo anterior P es un elemento de INIII. Falso

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Se trabaja desde abajo hacia arriba

1) 112

32

1132

123

53

1153

135

85

1185

158

+ =

+ = + =

+ = + =

+ = + == 138

2)

3)

4)


Reemplazando los valores

13

1118

23

52

13

1118116

13

13

23

23

69

0 6

−−

−−

+

= =

[ ]

( )

,

, desarrollando el paréntesis

, ordenando y simplificando

, sumamos

, amplificamos y transformamos a decimal


Del enunciado se tiene

15

12

1543

2

⋅ ⋅ ⋅ , simplificamos y el resultado es:

Cpec

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7



Reemplazando los valores

2 2 2 121

12

232

223

43

+ − ⋅

−

⋅

( ) , realizamos las operaciones

, ordenamos

, multiplicamos


Del enunciando se tiene:

213

512

18

5 6

30

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

, simplificando

, multiplicando


Por definición, la fracción es la W-ava parte de V


Primero se determina el valor de a, b y c

a

b

c

= ⋅ =

= ⋅ =

=

−

−

29

59

1081

110

99

110

102 1090

25 290

( )

( ))

c

c

= ⋅

=

9290

9023

4

, simplificamos

Por lo tanto:

41081

110

⟩ ⟩

⟩ ⟩c a b

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Tenemos que

13

0 312

0 51327

0 48= = =, , ,

Por lo tanto:

0 41327

, y están entre 13

12

y


I. Falso, 24 es el menor de los número propuestos pero no es el m.c.m. de ellosII. Verdadero, por definiciónIII. Verdadero, el mayor número que divide en forma exacta a los cuatro números propuestos es el 3.


I. FalsoII. Verdadero, para que una fracción este indeterminada, su denominador debe ser igual a cero.III. Verdadero, al reemplazar los valores en ambos casos de cómo resultado 2


Del enunciado

( )

( )

[(

a

a

a

b

b

b

a

+ + =+ ==

− − =− ==

⋅

3 1 14

4 14

10

5 1 6

6 6

12

2 ++ +⋅ + +⋅

b) ]

[( ) ]

[ ]

1

2 10 12 1

2 23

46

, despejemos a

, despejemos b

, reemplazando los valores

, sumando

, multiplicando

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9



Potencias y Raíces


Utilizando multiplicación de potencias en el denominador tenemos:

a

a

n

n

+

+=

1

11

2. La alternativa correcta es B

Simplificando y utilizando propiedad de división de potencia:

3

3

3 1 5 2 2 3

2 7 1

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

− − − −

−

a b c

a b c

( ) [ ( )] ( )


Distribuyendo los términos de la expresión:

15

5

5

5

3 1

−

−

, por división de raíces de igual índice.


Antes de Aplicar la potencia, se debe trabajar en el interior del paréntesis:

( )

( )

2 3

1

1

2

2

−−

CAPÍTULO 1

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La expresión se puede escribir de la siguiente manera:

6 6 3 3 2

6 3 6 3 2

18 6 6

1

2 2 2

2 2

2 2

n n

n

n

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

−

−

−

( ) ( )

88n

, por multiplicación de potencias de

igual exponente.

, por multiplicación de potencias de igual base.


Utilizando potencia de 10 y simplificando:

16 10 8

32 104 10

10

4 10

4 10

3

5

3

5

3 5

⋅ ⋅⋅⋅

⋅⋅

−

−

−

−

− − −[ ( ))

22

, Simplificando

, por división de potencias de igual base


Tenemos: 4 8

22 2

22 2

22

2

2

22 2

1

6 3

8

2 6 3 3

8

12 9

8

12

8

9

8

4

+

+

+

+

+

( ) ( )

66 2

18

+

, realizando cambio de base

, aplicando potencia de potencia

, distribuyendo

, por división de potencia de igual base ,desarrollando la potencia


Recordemos que cuando la base de una potencia es negativa el resultado es negativo sólo si el exponen-te es impar y que en la recta numérica un número negativo es menor mientras su módulo es mayor.

tenemos que:

x

x

= −

=

1214

2

x

x

3

4

18

116

= −

=

entonces: − ⟨− ⟨ ⟨12

18

116

14

x x x x⟨ ⟨ ⟨3 4 2

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11



La potencia ( )ax12 se puede escribir como una raíz de la forma:

ax

xax

ax

a x ax

xax ax

=

⋅ =

⋅ =1 3

, entonces

I. , verdadero

II. , verdadero

III. , verdadero


Reemplazando X por 2, tenemos

= ⋅+

=

=

=

2 22 2242

22

3

4

4

2

2

, por multiplicación de potencia de igual base

, realizamos cambio de base

, por división de potencias de igual base.


Reemplazando los valores 3 12 1

3 12 1

36 1

6 1 7

4 2

2

⋅ +

⋅ +

++ =

( )

, por propiedad de raíces

, multiplicamos raíces de igual índice

, desarrollamos


La finalidad de la racionalización es eliminar la raíz enésima del denominador, como la raíz presente

es 45 podemos racionalizar por 445

4 4 4 45 54

55⋅ = = , pero no esta presente en las alternativas. Realizaremos cambio de base 4 25 25=, lo que permite racionalizar por 235 .

2 2 225 35⋅ = , 235 , no se encuentra directamente en la alternativa pero desarrollando la potencia

tenemos que: 2 835 5=

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Si factorizamos por 511

5 5 1 5 24 6 4 511 2 11 11( )− = ⋅ = ⋅ ⋅

entonces, la expresión es divisible por 6 y 511


I. Es verdadero por definición del conjunto de los números irracionales.

II. Es falso ya que los números reales es un conjunto que contiene infinitos elementos de los cuales muchos no cumplen con dicha proposición.

III. Es verdadero ya que estos números son elementos del conjunto de los imaginarios.


Por definición de volumen, aplicamos raíz cúbica para determinar el valor de la arista.

54 2 27 3 233 33 3µ µ µ= ⋅ ⋅ =


Reemplazando los valores en la ecuación

π ⋅ = ( ) ⋅ = ⋅ ⋅ =R22

2 43 3 3 3 3 3 3 cm2


Si se sabe que han transcurrido 12 horas y que cada 3 horas la cantidad de bacterias se duplica, tene-mos que

1) 3 horas = 5 ∙ 22) 6 horas = 5 ∙ 2 ∙ 23) 9 horas = 5 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 24) 12 horas = 5 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2

Entonces al cabo de “n” horas tendremos que el número de bacterias serán 5 x 23n

en este caso

5 2 5 2 5 16 80123 4⋅ = ⋅ = ⋅ = Bacterias

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13



De la proporción (1), tenemos que n =0, reemplazando el valor en la expresión nos queda que:

a0 = 1 ; con a ≠ 0

a0 = indefinido con a = 0

Con (1) por sí sola no podemos contestar con certeza, pero si agregamos la información de la proposi-ción (2) podemos contestar satisfactoriamente.


De la proposición (1) podemos inferir que (a-1)4 será un par positivo salvo en el caso que a = 1.

La proposición (2) complementa a la (1) con la cual se puede señalar que (a-1)4 siempre toma el valor de un par positivo.


Igualamos las bases de todas las identidades subradicales

5

3

3

3 3 3

3

23

23

43 3

3

=

I

II

III

Ahora racionalizaremos con cada una de las expresiones propuestas

5

3

3

3

5 3

3

5 3

3 3

5

3

3 3

3 3

15 3

23

23

23

23

43

23

3

23

3

3

3

⋅ = =

⋅ =33 3

15 33 3

5

3

3

3

5 33

33

3

23

3

3

3

=⋅

⋅ =

, no se racionaliza

, sí se racionaliza

, sí se racionaliza

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CAPÍTULO 2

Álgebra1. La alternativa correcta es B)

Aplicamos la definición del enunciado

[ ] [ ]

[ ]

13

13

1

1 23 9

13

1 2

1 23

2 2

22

+ − +

+ + − + +

+ +

bb

b bb b

b bbb

b

b b

b

2 2

2 2

2

913

23 3

113 9 3

23

29

− − −

− + −

−

, desarrollamos los cuadrados de binomios

, multiplicamos

, operamos con términos semejantes

2. La alternativa correcta es A)

Si A es un cuadrado perfecto tenemos que:

A = + 60xy + 25y2

a2 2ab b2

a) b) c)

b y

b y

b y

2 2

2 2

25

5

5

==

=( )

2 60

2 5 60

6

ab xy

a y xy

a x

=⋅ =

=

a x

a x

2 2

2 2

6

36

==

( )

Por lo tanto, el término que falta es 36x2

3. La alternativa correcta es C)

Si Z = 1 se tiene que

( ) ( )x x x ax

x x x ax

x

+ ⋅ − = − −− − = − −

−

12 13 156

156 156

2

2 2

== −=

ax

a 1

, multiplicamos los binomios

, despejando a

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4. La alternativa correcta es B)

El área de un rectángulo se obtiene al multiplicar lado por lado, entonces:

A a b

x x x b

ctánguloRe

( )

= ⋅− + = − ⋅2 11 18 2

b debe ser un binomio compuesto por x y por un número que sumado con (-2) de cómo resultado (-11) y que multiplicado por (-2) el producto sea (18), por lo cual.

b = (x - 9)


Debemos recordar el producto notable

a b a b a ab b

x x

a x

3 3 2 2

3 3 38 27 2 3

2

+ = + ⋅ − ++ = +

=

( ) ( )

( ) ( )

bb

x x x

x x x

=

+ ⋅ − ⋅ ++ ⋅ − +

3

2 3 2 2 3 3

2 3 4 6 9

2 2

2

( ) ( )

( ) ( )

, entonces

, sustituyendo


− + + − + +− + + − + + +

( ) ( ) ( )

( ) ( )

a b a b a b

a b a b a ab

2 2 2

2 2 2 2 bb

a b a b a ab b

a b a a ab b b

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

− − + − + + +− − + + + + −−− − + +

− − + +( )− − + ⋅ +

a b a ab

a b a ab

a b a a b

2 2

2 2

2

2

2

2

( ) ( )

aa a b a b( )+ − −

, desarrollamos el cuadrado de binomio

, juntamos términos semejantes

, asociamos términos

, factorizamos , ordenamos


− + ⋅ − − − −− + − − − +−

{ ( ) ( ( ))}

{ ( )}

a b a c bc ab

a ba bc bc ab

{{ }a

a−

, desarrollamos desde dentro hacia fuera

, eliminamos términos semejantes

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17



x x x a x b

x x x a x

2 23 112

7 16

− + = − ⋅ +− ⋅ − = − ⋅

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ++− = −=− = +

= −

b

x x a

a

x x b

b

)

( ) ( )

( ) ( )

7

7

16

16

, factorizamos

, comparamos

, despeamos a

, despejamos b


7 3 2 8 2 7 23 35

21 14 16 56 2

( ) ( )y x x y x y

y x x y

+ − − + + −+ + − + 33 35

14 16 23 21 56 35

53 70

x y

x x x y y y

x y

−+ + + − −−

, multiplicamos

, términos semejantes

10. La alternativa correcta es E)

( ) ( )a b a b aba b

a ab b a b aba b

+ − − −+

+ + − + −+

2 2 2

2 2 2 2

2

2 2

22 2ba b+

, desarrollamos el cuadrado de binomio

, eliminamos términos semejantes

11. La alternativa correcta es D)

( ) ( )

( ) ( )( )(

a b a ba b

a b

a b a ba ba

+ ⋅ −+−

+ ⋅ − ⋅ −+

2

2 2

22 2

bb

a b a b a ba b a b

a b

a b

)

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ −+

+ ⋅ (( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

a b a b a b

a b a b

a b

− ⋅ + ⋅ −− ⋅ −−

2 2 2 2

2 2 2

, ordenamos la fracción compuesta

, factorizamos

, simplificamos

, aplicamos suma por su diferencia

, finalmente

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A a

x x a

x x a

x

cuadrado =− + =− ⋅ − =

2

2 2

2

4 12 9

2 3 2 3

2

( ) ( )

( −− =− =

− +−− = − +

3

2 3

2 3 2

2 1

2 1 4 4 1

2 2

2 2

)

( )

( )

a

x a

x

x

x x x

, si conocemos el área podemos determinar el lado

, factoricemos

, si aumentamos el lado en 2 unidades

, determinemos la nueva área

Realicemos la diferencia de las áreas

4 4 1 4 12 9

4 4 1 4 12 9

8 8

2 2

2 2

x x x x

x x x x

x

− + − − +− + − + −

−

( )


Por lo tanto, la superficie aumenta (8x - 8) unidades cuadradas.


x xy y

x y x y

x xy y

x y x xy y

2 2

3 3

2 2

2 2

1− ++ +

− ++ ⋅ − +

:

( )

( ) ( )):

( )

( ):

( )

1

1 11

x y

x y x y

+

+ +=

, factorizamos x3 + y3

, simplificamos


Recordemos que:

Volumen de un cubo = a3 x x x a

x a

x a

x

x

x

3 2 3

3 3

3 3 1

1

1

1 2

3

3

− + − =− =

− =− −−−

( )

( )

( )33 3 29 27 27= − + −x x x

, factorizamos , el lado del cubo es

, disminuimos el lado en 2 unidades , Determinamos el nuevo volumen

Realizamos la diferencia de los volúmenes

x x x x x x

x x x x

3 2 3 2

3 2 3

3 3 1 9 27 27

3 3 1 9

− + − − − + −− + − − +

( )

xx x

x x

2

2

27 27

6 24 26

− +− +


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


19



[( ) : ( )]

[( ) : ( )]

[(

1 1

1 1

2

2 1

2 2

2

1

ab

ab

a b

a

aba

− +

− +

−

−

111

1 11

2 2

2

1

2

− ⋅+

− + ⋅+

−a b

a

aab

ab ab

a

aab

) ( )]

[( )( )

( ))]

[ ]

−

−−

−

1

11

1

aba

aab

, realizamos las operaciones al interior de los paréntesis

, ordenamos la división

, factorizamos la suma por su diferencia

, simplificamos

, por propiedad de potencia ( )ab

ba

− =1


( ):

( ) ( )( ) ( )

:(

a b

a b a ba b a ba b a b a

+− −+ ⋅ ++ ⋅ − −

2

2 2

1

1bb

a ba b a b

a ba b

a b

a b

)

( )( )

:( )

( )( )

( )

( )

+− −+−

⋅ −

+

1

, factorizamos

, simplificamos

, ordenamos la división

, simplificamos


( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

(

a ba b

a b

a ba b

a b a b

a

+−

⋅ −

+−

⋅ + ⋅ −

+

2 2

bb a b

a b

) ( )

( )

⋅ ++ 2

, factorizamos

, simplificamos

, finalmente

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


20


ech

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univ

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, Edi

ción

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9


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009



x

x

4

2

4

2

−+

=

(Primero factorizamos el numerador con suma por su dife-rencia)

x x

x

2 2

2

2 2

2

−( ) +( )+

=

(Simplificando)

x2 2−


x x x

x x

2

2

4 4 2

4 2

+ +( ) −( )−( ) +( )

=

(Factorizando la expresión x2 + 4x + 4 con cuadrado de binomio y la expresión x2 - 4 con suma por su diferencia)

x x x

x x x

+( ) +( ) −( )−( ) +( ) +( ) =

2 2 2

2 2 2

(Simplificando, se observa que se “eliminan” todos los bino-mios, con lo que el resultado es 1)

1


El área de un cuadrado se calcula elevando a 2 el lado del cuadrado, entonces si factorizamos con cuadrado de binomio el área x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ,descubrimos que el lado del cuadrado es (x + 1).

Al aumentar su lado 2 unidades el nuevo lado del cuadrado es:

(x + 1) + 2 = (Sumando) x + 3

Finalmente para encontrar el área, elevamos al cuadrado el lado del nuevo cuadrado

(x + 3)2 = x2 + 6x + 9

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


21



CAPÍTULO 2

Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones lineales


3 23

33 2

2x x xx

− = −+

; multiplicando cruzado

3 2 3 2 3 3

9 4 9 3

43

2

2 2

x x x x

x x x

x

+( ) −( ) = −( )− = −

=

; desarrollando la suma por su diferencia y multiplicando el 3 por el binomio

; reduciendo términos semejantes y despejando


1

21

31

61

3 2 16

1

26

1

2613

x x x

x

x

x

x

− + =

− + =

=

=

=

; sacando el m.c.m. entre las fracciones

; resolviendo el numerador

; despejando la incógnita “x”

; simplificando


a x a x a a

ax a x a a

ax x a

x a

( ) ( )

(

+ − = + ++ − = + +− = +−

1 1

1

1

2 2

11 1

11

) ( )= +

= +−

a

xaa

; multiplicando “a” por cada paréntesis

; reduciendo términos semejantes

; factorizando por “x” en un lado de la igualdad

; despejando la incógnita

Cpec

h P

reun

iver

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rio, E

dici

ón 2

009


22


ech

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univ

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, Edi

ción

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9


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009



Ph

hP h h

P Ph h

P h Ph

P h P

PP

h

=−

− =− == += +

+=

11

1

1

( )

( )

; para despejar “h” multiplicamos cruzado

; multiplicamos “P” por el binomio

; despejamos “h” reuniéndolas en un lado de igualdad

; factorizando por “h” y despejando


ax

ab

ba

ax

a bab

a b x a b

a b

a bx

= −

= −

= −( )

−=

2 2

2 2 2

2

2 2( )

; sacando el m.c.m y realizando la resta de fracciones

; multiplicando cruzado en la igualdad

; despejando “x”


a b c

c a b

b a a b

b a

b a

b

+ + == − −− + − − =− =− =

−

0

3 5

2 2 5

2 5

( )

( )

aa = 52

; en la primera igualdad despejamos “c”

; reemplazamos este término en la segunda igualdad

; reduciendo términos semejantes y factorizando

; despejando el término pedido


x y

x y

+ =− =

1

0 ; resolvemos por reducción

2 1

12

x

x

=

=

; despejamos “x”

, reemplazamos este valor en la primera ecuación

12

1

112

1212

12

0

+ =

= −

=

∴ − =

y

y

y

; despejando “y”

; realizando la diferencia entre las variables

En este caso no es necesario resolver el sistema, como x e y son solución, la respuesta está plantea-da en el enunciado x - y = 0

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

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ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


23



23

39

6

39

23

7

x y

x y

+ =

+ =

; escribimos el sistema en forma fraccionaria

; simplificando

23 3

6

323

7

x y

x y

+ =

+ = ; multiplicando por el denominador común

2 18

2 21

x y

x y

+ =+ = ; amplificamos la segunda ecuación para resolver por

reducción

( )

( )

a x y

b x y

2 18

2 4 42

+ =− − = − ; sumando

− = −=+ ==

=

3 24

8

2 8 18

2 10

5

y

y

x

x

x

, despejando “y”

; reemplazamos este valor en la ecuación (a)

, despejamos “x”


( )

( )

( )

a x y

b x z

c y z

+ =+ =+ =

16

22

28

; ordenamos el sistema

; despejamos “y” de la ecuación (c)

y z

a x z

x z

d x z

x z

= −+ − =

− = −− = −

+ =

28

28 16

16 28

12

( ) ( )

( )

222

12x z− = −

, reemplazamos esto en la ecuación (a)

; despejamos las variables y llamamos (d) a esta nueva ecuación

; armamos un sistema entre (b) y (d)

; resolvemos por reducción

2 10

5

5 22

17

17 28

11

5 11 17

x

x

z

z

y

y

x y z

==+ ==+ ==

∴ + + = + + == 33

; despejamos “x” y reemplazamos en (b)

; despejamos “z” y reemplazamos en (c)

; despejamos “y”

; sumamos x, y, z

Cpec

h P

reun

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24


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univ

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, Edi

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9


Cpec

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rio, E

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ón 2

009



2 6

0

+ + =− =

y z

y z ; tomamos el valor de “x”, lo reemplazamos en la pri-

mera ecuación y despejamos las variables de los factores numéricos

( )

( )

a y z

b y z

+ =− =

4

0

; armamos el sistema y lo resolvemos por reducción

2 4

2

2 4

2

y

y

z

z

==

+ ==

; despejamos el valor de “y”

; reemplazamos este valor en (a)

; despejamos z


Sea x = cantidad de gallinas ; 2x = total de patas de gallinas y = cantidad de conejos ; 4y = total de patas de conejos

al escribir el sistema de ecuaciones nos queda

( )

( )

a x y

b x y

+ =+ =

50

2 4 134 ; amplificamos la ecuación (a) para resolver por reduc-

ción

− − = −+ =

2 2 100

2 4 134

x y

x y ; sumamos y despejamos “y”

2 34

17

17 50

33

y

y

x

x

==+ ==

; reemplazamos este valor en (a)


12 . La alternativa correcta es B)

x = número central (x - 1) = el antecesor de x (x + 1) = el sucesor de x

así la suma de tres números consecutivos será:

( ) ( )

( )

x x x

x

x

− + + + ==

==

1 1 45

3 45

15

15 2252

; reduciendo términos semejantes ; despejando “x”

; elevando al cuadrado el valor de “x”

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

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ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

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rio, E

dici

ón 2

009


25



Sea: w y x

z y x

= +

= −

( )

( ) ; escribimos el sistema con las variables auxiliares “w” y “z”

( )

( )

a w z

b w z

2 3 3

5 3 18

− =+ =

; resolvemos el sistema por reducción

7 21

3

2 3 3 3

6 3 3

1

3

1

2

2

w

w

z

z

z

y x

y x

==

− =− ==

= + ( )= − ( )

( )

; despejando “w”

, reemplazamos este valor en (a)

;despejando “z”

;reemplazamos los valores de “w” y “z” en la definición de las variables y elevamos al cuadrado

( )

( )

c y x

d y x

9

1

= += −


10 2

5

9 5

4

=== +=

y

y

x

x


; reemplazamos este valor en (c)



Escribimos el sistema reemplazando la tercera igualdad en la primera y segunda ecuación:

( )

( )

a k y

b y k

yk

kk

kk

k k

+ ==

=

+

=

+ =

+

2 0

4

4

24

0

20

222

0

3 0

0

=

==

k

k

; despejamos “y” en la ecuación (b)

; reemplazamos “y” en la ecuación (a)

; multiplicamos y simplificamos

; sacamos m.c.m

; sumamos y despejamos

Cpec

h P

reun

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rio, E

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ón 2

009


26


ech

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univ

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, Edi

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9


Cpec

h P

reun

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rio, E

dici

ón 2

009



Definiremos las variables, sea x = cantidad del tipo A en litros

y = cantidad del tipo B en litros 200 = cantidad de la mezcla en litros 1.500x = valor de la cantidad del tipo A utilizado en la mezcla 900y = valor de la cantidad del tipo B utilizado en la mezcla 200(1.140) = valor de la mezcla obtenida

( ) . ( )

( )

.

a x y

b x y

x

1 500 900 200 1140

200

1 500 90

+ =+ =

+ 00 228 000

200

200

1 500 200 900

y

x y

x y

y y

=+ =

= −− + =

.

. ( ) 2228 000

300 000 1 500 900 228 000

300 000

.

. . .

.

− + =−

y y

2228 000 600

72 000 600

120

120 200

80

.

.

==

=+ ==

y

y

y

x

x

; escribiendo el sistema con el valor total de la mezcla

; despejamos “x” de la ecuación (b)

; reemplazamos “x” en la ecuación (a)

; multiplicamos y reducimos términos semejantes


; remplazamos el valor de “y” en (b)

; despejamos


Sea “x” la cantidad de hermanas de Pablo e “y” la cantidad de hermanos de Pablo, tenemos:

Pablo x = 3 y ; armamos una ecuación con la información de Pablo

Angélica y +1 = x -1 ; si Angélica es hermana de Pablo, quiere decir que en el análisis aumenta un varón y disminuye una mujer en la relación planteada

y y

y

y

x

x

+ = −====

1 3 1

2 2

1

3 1

3

( )

; reemplazamos la relación de Pablo en la de Angélica


; buscamos el valor de “x”

La cantidad de hombres es 2 ya que debemos agregar a Pablo, y la de mujeres 3

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

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rio, E

dici

ón 2

009


27



Cuando la moto alcanza al auto, los dos cuerpos llevan la misma distancia recorrida.

Sea x = cantidad de horas que demora el automóvil (x-2) = cantidad de horas que demora la moto en recorrer la misma distancia 80 x = distancia recorrida por el automóvil 120(x-2) = distancia recorrida por la moto

La ecuación nos queda:

80 120 2

80 120 240

240 120 80

240 40

x x

x x

x x

x

= −= −= −=

( )

66 = x

; multiplicando el paréntesis

; ordenando la ecuación

; reduciendo términos semejantes

; despejando

Luego, la moto demora 4 horas en alcanzar al automóvil desde que está en movimiento, compartió 2 horas después , a las 6 horas alcanza al automóvil. El automóvil partió a las 3 de la tarde, por lo cual son las 9 de la noche cuando se encuentran.


Se tiene como información dos ecuaciones y tres incógnitas, es imposible resolver el sistema.


Con la primera información “ x es el doble de y” y la ecuación dada, se plantea un sistema de ecua-ciones que si se puede resolver:

( )

( )

( )

( )

a x y

b x y

y y

y y

y

x

=− =

− =− =

==

2

2 3 4

2 2 3 4

4 3 4

4

2 4

xx = 8

; planteamos el sistema

; reemplazamos (a) en (b)

reducimos términos semejantes

; reemplazamos “y” en (a)

Con la segunda información se puede armar otro sistema de ecuaciones:

( )

( )

( )

a x y

b x y

x

x

y

y

2 3 28

2 3 4

4 32

8

2 8 3 4

16 3

+ =− =

==

− =− ===

=

4

12 3

4

y

y

; planteamos el sistema



; reemplazamos en (b)

; reunimos términos semejantes

; despejamos

Cpec

h P

reun

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ón 2

009


28


ech

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univ

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, Edi

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200

9


Cpec

h P

reun

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ón 2

009



Sea Z = cuenta por pagar

Con la primera información podemos plantear una ecuación con tres variables; sea

x = cobro del consumo en m3

3500 = cobro por el uso del alcantarillado Z x y= + +3500

y = arriendo del medidor

Con la segunda información podemos plantear una segunda ecuación y una igualdad;

35002

1000

=

=

x

y

Al unir las dos informaciones podemos reemplazar en la primera ecuación los valores dados en la segunda:

Z

Z

= + +=

7000 3500 1000

11500

Cpec

h P

reun

iver

sita

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ón 2

009


Cpec

h P

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ón 2

009


Cpec

h P

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sita

rio, E

dici

ón 2

009


29



CAPÍTULO 2

Razones y proporciones, porcentaje e interés


La media proporcional geométrica es el término que se repite en una proporción continua, por lo cual

28

16

16

4

2 2

2

xMP

MPx

x MP

x MP

x MP

=

=

==

( )

; escribimos la proporción con el término repetido

; multiplicamos cruzado

; sacamos raíz cuadrada para eliminar el exponente de la in-

cógnita

; obtenemos el valor buscado


Sean x e y los números buscados;

;escribiendo la información se tiene

;despejando “x” en la segunda ecuación

x y

xy

xy

yy

y y

y

y

− =

=

=

− =

− =

=

=

48

95

95

95

48

9 55

48

45

48

4 2440

60

60 48

108

y

x

x

=− ==

; reemplazando en la primera ecuación

; sacamos el m.c.m.

; reducimos términos semejantes



; reemplazamos este valor en la primera ecuación


Cpec

h P

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ón 2

009


30


ech

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univ

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, Edi

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9


Cpec

h P

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rio, E

dici

ón 2

009



Sean x e y las cantidades de dinero que le corresponden a cada persona; así

x y

x y

+ ==

2500

2 3: :

; al escribir la información como ecuación nos queda

; por propiedades de proporción

x y k

k

k

k

x y

+ = +=

=

=

= ∧ =

( )

( )

2 3

2500 5

25005

500

2500

35000

1000 1500

1500 1000 500

x y= ∧ =− =

; remplazando de la primera igualdad

; despejando k

; reemplazando la constante de proporcionalidad en las igual-

dades iniciales

; haciendo la diferencia entre los números


Sea : x = cantidad de varones, y = cantidad de mujeres x + y = 500

Escribiendo la proporción entre las variables

3515

35 1550050

10

3510 350

= =

++

=

=

=

= → =

xy

k

x yk

k

k

xx

y115

10 150

200

= → =

− =

y

x y

; escribimos la proporción

, por propiedades

; reemplazamos la cantidad total de personas

; dividimos y obtenemos el valor de la constante k

; reemplazamos la constante en cada razón

; obtenemos “x” e “y”

; buscamos la diferencia entre varones y mujeres


Por definición la cuarta proporcional geométrica es el o los números diferentes que puede tener una propor-

ción ; así

x

x

x

24145624 14

56122

6

=

= ( ) ( )

= =


; resolviendo

Cpec

h P

reun

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rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


31



a% de b se escribe : ab100

23=

b% de a se escribe : ba100

= ?

; de la primera igualdad

ab =

=

2300

2300100

23

; reemplazamos en la segunda

; simplificamos y obtenemos el resultado


Definamos: X = edad de Juan

Y = edad de hermano

X

X Y

Y

y

Y

==

=

⋅ =

=

24

3 4

24 34

24 43

32

: :

; escribimos la información del problema

; reemplazamos la primera igualdad en la segunda

; multiplicamos cruzado y simplificamos


Aumentando el numerador de la fracción e igualamos con 0,75 escrito como fracción.

5

875

1005

834

20 4 24

4 4

1

5 100

1

1

+ =

+ =

+ ==

===

x

x

x

x

x

%

?%

0005

20= %

; simplificando


; despejamos el valor de “x”

; escribimos la relación de porcentajes

; resolvemos “ 1 qué porcentaje es de 5 ”

Cpec

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ón 2

009


32


ech

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univ

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9


Cpec

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ón 2

009



Reconocemos las variables de la fórmula para el interés simple :

C = 1.050.000 K= 350.000 r = 10%

; escribiendo la ecuación y reemplazando los valores

C K nr

n

n

= += +

= +

( )

. . . ( %)

1

1 050 000 350 000 1 10

3 1101000

210100

200 10

20

=

==

n

n

n

; despejando “n” y escribiendo el porcentaje como fracción


Por fórmula la MP geométrica es :

54

0 20

54

20100

1040

12

( , ) =

⋅ =

=

=

MP

MP

MP

MP

; reemplazando los valores en la fórmula

; transformando el decimal a fracción


; sacamos la raíz cuadrada


Sea x = edad de Ricardo

y = edad de Mónica

; escribimos la información entregada

x y

x y

y y

y

y

= ++ =

+ + =+ =

+ =

6

2 60

2 6 60

2 2 6 60

4 12 60

( )

( )

( )

; reemplazamos la primera igualdad en la segunda ecuación

; reducción de términos semejantes

; multiplicamos


4 48

12

12 6

18

1812

32

y

y

x

x

xy

=== +=

= =

; reemplazamos este valor en la primera igualdad

; sumamos y escribimos la razón entre los valores encontra-

dos

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


33



Sea x = dinero que lleva e y = valor del artículo

68

32 48 000

6810032100

48 000

4

%

% .

.

⋅ =⋅ =

=

=

=

x y

x

xy

x

x.. .

.

( . )

800 00032

150 000

1725

17 150 00025

1

x

xy

y

=

=

=

77 6 000

102 000

( . )

.

==

y

y

; escribimos la información

; pasamos el porcentaje a fracción

; despejamos x de la segunda ecuación

; dividimos

;tomamos la primera ecuación y la simplificamos

, reemplazamos el valor de “x” en la ecuación



Definimos a x como dinero de la deuda; entonces:

38

24 000

3 24 000 8

3 192 000

64 000

x

x

x

x

=

==

=

.

( . )( )

.

.

; de la primera información se obtiene


; escribimos el resto de la deuda como lo que le falta a 3/8 para

el entero; es decir 5/8, así los 45

del resto de la deuda es:

45

58

48

1212

64 000 32 000

x x

x

=

⋅ =. .

; simplificamos

; reemplazamos el valor de “x”

Luego, el total de lo que se ha pagado es $24.000 + $32.000 = $56.000, por lo tanto, falta por pagar

$64.000 - $56.000 = $8.000.

Cpec

h P

reun

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sita

rio, E

dici

ón 2

009


34


ech

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9


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009



A de B

A B

a A B

A B Ax

b A B x

=

=

=

+ =

+ =

25

25100

14

100

%

( )

( ) ( ) 1100

14

10014

54

25

25 45

2

A

B B x B

B x B

x

x

( ) ( )

( )

( )

+ =

=

=

= 00

; escribimos la información como fracción

; simplificamos

; buscamos que % es A de (A+b)


; reemplazamos (a) en (b)

; sumamos y simplificamos

; simplificamos y despejamos “x”


Y kX

k

k

X

X

X

=

=

=

=

==

35

34

45

2045

100 4

25

; escribimos la proporcionalidad directa

; reemplazamos los valores de X y de Y

; despejamos la constante de proporcionalidad k

; con el valor de k =constante, reemplazamos el nuevo valor de

Y

, despejando obtenemos el nuevo valor de X


1

150 7507501505

=

=

=

x

x

x

; escribimos la proporcionalidad entre los valores

; despejamos


5 obreros 2 horas ; escribimos la relación que nos dan

(5-3 ) obreros x horas

; al ser una proporción inversa multiplicamos hacia el lado

5 2

25

⋅ =

=

x

x

; simplificamos

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


35



El C.P.G son los términos diferentes de una proporción;

23

6

9

23 6

4

326

1

=

=

=

=

=

=

xx

x

x

x

x

; escribimos la primera proporción posible y despejamos el

primer valor de x

; escribimos la segunda proporción y despejamos x

; escribimos la tercera proporción y despejamos x

Luego, la respuesta correcta es: I, II y III.


a b

Ia b a b

k

IIb a b a

k

IIIa

: :

.

.

.

=

= → + =

= → − =

=

2 3

2 3 5

3 2 1

2bb

a b

a b3

3 2

6 4

→ =

=

; por las propiedades de proporciones, escribimos

; si (a+b) = 5 significaría que a =2 y b=3 ,lo que no se cumple

siempre , ya que si a=10 y b=15 tienen igual proporción

; si (a-b) = 1 significaría que a=2 y b=3, no se cumple siempre

por la misma explicación anterior

; la amplificación de una proporción la mantiene siempre

igual

Luego, la respuesta correcta es: Sólo III.


Sea x el precio del comestible y V el precio final de venta, entonces:

x x x x V

x x x x V

x x

− + − =

− + − =

−

25 20 25

14

15

14

4 14

% %( % )

( )

++ − =

+ − =

+ =

+ =

15

120

34

420

34

320

15 320

x x V

x x xV

x xV

x xVV

xV

xV

de x V

1820

91090

=

=

=%

; escribimos el planteamiento del precio de venta

; transformamos los porcentajes a fracciones simplificadas y

sacamos m.c.m.

; sumamos

; sacamos m.c.m

; simplificamos

Cpec

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rio, E

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ón 2

009


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Cpec

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rio, E

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ón 2

009


Cpec

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reun

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rio, E

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ón 2

009


Cpec

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rio, E

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ón 2

009


Cpec

h P

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rio, E

dici

ón 2

009


37



CAPÍTULO 2

Desigualdades e Inecuaciones lineales


Al graficar los intervalos en una misma recta numérica nos quedan:

-6 0 5 10

La solución final corresponde al intervalo [ -6 , +∞ ]


-6 0-2 3

La solución final es ] –2 , 3 ]


-3 0 4 6 8 12

La solución final es [ -3 , +∞ [


2 18

3 43

3 2 1 8 3 4

6 3 24 32

3 32 1

x x

x x

x x

+ < −

+ < −+ < −

+ <

( ) ( )

88

3518

3518

x

x ó x< >


; distribuimos cada factor en el binomio respectivo


; despejamos la incógnita

Cpec

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rio, E

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ón 2

009


38


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9


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009



6 11

26 9 3

6 11 122

9 3

6 23 18 6

23 18

xx

xx

x x

+ + > +

+ + > +

+ > +

>

; sacamos común denominador


; reunimos términos semejantes y la incógnita “x” se elimina

; obtenemos una desigualdad verdadera lo que significa que se

cumple para todos los reales


15

99

9 59

9

9 5 81 9

14 81 10

− − < +− − < +

− + < +

− <

−

xx

xx

x x

x

( )

667 10

6710

<

− <

x

x





; graficamos la solución y la afirmación x < 5

0 5-6710

La solución final es ] -6710

, 5[


Para que la expresión represente un número no real, la cantidad sub-radical debe ser menor

que cero.

3 12

3 12 0

3 12

4

4 x

x

x

x

−− <<

<

; despejamos la incógnita “x”


Para que la cantidad sub-radical sea un número real debe ser mayor o igual a cero

−− ≥ −

≤

x

x

x

0 1

0

/ ( )

; multiplicamos por (-1) para eliminar el negativo de la incóg-

nita lo que hace además que se invierta el signo de la desigual-

dad

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


39



Para que la fracción sea real, el denominador debe ser distinto de cero y la cantidad

sub-radical mayor que cero

7

33 0

3 3

−− >> <

xx

x ó x

; escribimos la desigualdad



I. a > c ; se cumple, por propiedades

II. 1a

< 1c

; se cumple, por propiedades

III. -3ab > - 3bc ; no se cumple, por propiedades


x x x

x x x x

x x

−( ) ≤ − +

− + ≤ − +− + ≤ − +−

1 4 8

2 1 4 8

2 1 4 8

2

2

2 2

( )

xx x

x

x

+ ≤ −≤

≤

−∞

4 8 1

2 7

7272

,

; desarrollamos el cuadrado de binomio

; eliminamos el término “ x2 ”



; escribimos el resultado como intervalo según el dibujo

0 72


a xx

b x x

)

)

3 12

3

2 5 3 1

− ≥ +

+ < −

; resolvemos cada desigualdad por separado

a x

x

x x

x

x

)

,

3 16

26 2 6

5 8

85

85

− ≥ +

− ≥ +≥

≥

+∞

; sacamos el denominador común y multiplicamos cruzado



; escribimos la solución como intervalo

Cpec

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reun

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rio, E

dici

ón 2

009


40


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Cpec

h P

reun

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rio, E

dici

ón 2

009


b x x

x

x

)

/ ( )

,

2 3 1 5

6 1

6

6

− < − −− < − −

>+ ∞


; multiplicamos por (-1) para eliminar el signo negativo de la

incógnita, invirtiendo así la desigualdad

; escribimos la solución como intervalo

La solución final es la intersección de ambas soluciones 85

6, ,+∞

∩ +∞

Gráficamente tenemos:

0 685

Entonces, el resultado es ]6, +∞[


a x

b x

).

).

2 3 3

2 4

+ <− >

; se resuelve cada desigualdad por separado

a x

x

x

b x

x

)

)

2 3 3

2 0

0

4 2

6

< −<

<> +>

0 6

La intersección de las desigualdades es − ∞ ∩ + ∞ = ∅, ,0 6


Sea X = número buscado

2X = doble del número buscado

planteamos la desigualdad

2 1 1

2 1 1

2

x x

x x

x

− < +− < +

<



Como el número buscado debe ser natural, el natural menor a 2 es 1


Si x = lado del cuadrado, el perímetro de un cuadrado es 4x; si el perímetro no puede ser menor que 50 cm,

quiere decir que puede ser 50 cm o más, así la desigualdad nos queda:

4 50

504

12 5

x

x

x cm

≥

≥

≥ ,


; dividimos

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


41



Sea (2n + 1) = número impar

(2n + 3) = impar consecutivo


2 1 2 3 60

2 1 2 3 60

4 4 60

4 60 4

4

n n

n n

n

n

+( ) + +( ) <

+ + + <+ << −

nn

n

n

n

<

<

<∴ =

⋅ + =

56

564

14

13

2 13 3 29( )

;eliminamos paréntesis


; despejamos n

; encontramos el mayor valor de n que sea menor que 14

; reemplazamos n en el mayor impar y obtenemos el resultado

final


Sea X = cantidad de monedas que se tiene en un bolsillo

X + 5 = cantidad de monedas en el otro bolsillo

2X + 5 = total de monedas en ambos bolsillos


2 5 35

2 35 5

302

15

x

x

x

x

+ ≥≥ −

≥

≥

; despejamos y reunimos términos semejantes

; dividimos


Sean : P = Pablo, J = Joaquín, M = Marcelo

planteamos las desigualdades para cada información tratando de encontrar quién es mayor

( )

( )

1 1

2

P J

M P

= +

≥

, con esta única información no podemos saber quién es

mayor

, con esta información sólo sabemos que Marcelo puede tener

la misma edad de Pablo o ser mayor.

Si unimos las dos informaciones podemos asegurar que Pablo es mayor que Joaquín pero no que Marcelo es

mayor que Pablo; se requiere información adicional.

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Sea L = cantidad de tarros de pintura utilizados en el living

C = 1,5 cantidad de tarros de pintura utilizados en la cocina

X = cantidad de tarros de pintura utilizados para la casa completa

(1) de la primera información podemos plantear L = 2C, lo que nos dice que en el living se utilizaron 3

tarros, pero no nos informa sobre X (2) de la segunda información podemos plantear X ≥ 3 (L + C), que por sí sola no nos proporciona el valor

mínimo de X.

(1) y (2) juntas nos proporciona la desigualdad con la que podemos encontrar X

X

X

X

≥ +≥≥

3 3 1 5

3 4 5

13 5

( , )

( , )

,


Sea X = cantidad de pares de zapatos

(1) de la primera información podemos escribir:

XX

XX

X X

X

X

− >

− >

− >

>

>

402

240

22

40

240

80

; sacamos el m.c.m.

; reducimos términos semejantes.

; multiplicamos cruzado.

Nos dice que el zapatero hizo más de 80 pares de zapatos; pero no la cantidad exacta que

hizo

(2) de la segunda información podemos escribir:

X

X

− <<

35 47

82

Nos dice que el zapatero hizo menos de 82 pares de zapatos; pero no la cantidad exacta de zapatos

(1) y (2) nos da la información ya que 82 < X < 80; lo que se traduce en que X = 81

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Cpec

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009


43



CAPÍTULO 3

Relaciones y funciones


Las relaciones a R b pedidas, son aquellas en que el segundo término es múltiplo del primero, entonces al

escribir todas las relaciones a R b tenemos:

(2,4); (2,6); (3,4); (3,6); (4,4); (4,6)

Observamos que la primera relación, la segunda, la cuarta y la quinta relación cumplen la condición pedi-

da.


En la relación x R y se pide que los pares ordenados (x , y) no cumplan la condición x = y2

Comprobamos cada par ordenado:

a) 2 = 42

; se cumple la condición

b) 8 = 162


c) 6 = 122

, se cumple la condición

d) 4 = 82


e) 10 ≠ 52

; no se cumple la condición


En la relación a R b , la condición es que el primer término sea múltiplo del segundo. Se cumple en

a) 6 = 3 · 2


En una función a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto

de llegada, lo que significa que si tomamos el elemento a de salida no puede este tener dos elementos de llega-

da, basándose en esto, la opción II no es función ya que el elemento de partida “a “ esta con tres elementos

del conjunto de llegada. (a,a); (a,b); (a,c); esta opción es relación.

Por lo tanto, las opciones I y III cumplen la definición de función.

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009



f u x u

f x

f x

f f x

( )

( )

( )

( ) ( ) (

= += += +− = + −

3

3 3 3

0 3 0

3 0 3 3 33 0

3 0 3 3 3 0

3 0 3

x

f f x x

f f

+− = + − −− =

)

( ) ( )

( ) ( )

; reemplazamos en la función la variable “u” por el número ; hacemos lo mismo con el 0

; finalmente restamos

; cambiamos signos dentro de paréntesis

; resolvemos


f x x

x

x

x

x

( ) = −− == +=

=

3 5

3 5 6

3 6 5

3 11

113

; igualamos la función dada al valor que se indica


; reducimos términos



f

f

g

f f

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 4

3 2 3 6

5 2 5 10

2 3

= == == =− ++ = − + =g( )5 4 6 10 8

; evaluamos cada variable “x” con el valor indicado en las

funciones respectivas

; finalmente realizamos la operación indicada


La función g[f(x)] es una función compuesta, lo que significa que el valor de f(-2) se reemplaza en la función

g(x) para obtener el resultado final así:

g f g g[ ( )] [ ] [ ] ( )− = − + = = + =2 2 3 1 5 1 7 12


Opción I: En esta opción se observa que a cada elemento de partida tiene un sólo elemento de llegada, sin

importar que sea el mismo; es función

Opción II: En la opción se observa que hay un elemento en el conjunto de partida que no tiene elemento en

el conjunto de llegada, no es función ya que todos los elementos deben tener un elemento de llegada

Opción III: Hay un elemento en el conjunto de partida que tiene dos elementos en el conjunto de llegada, no

es función ya que debe tener uno sólo

Opción IV: Es función ya que es uno a uno, es decir, a un elemento de partida le corresponde sólo uno de

llegada

Luego, la respuesta correcta es I y IV.

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45



En el gráfico si elegimos puntos en el eje x (conjunto de partida), vemos que a cada valor le corresponde sólo

un valor en el eje y (conjunto de llegada); es función

Gráfico I: Y

X

En el gráfico, al mismo elemento de partida (eje x) le corresponde varios puntos de llegada(eje y); no es

función

Gráfico II: Y

X

En el gráfico se elige un elemento de partida, y se ve que a cada uno le corresponde uno de llegada; se grafica

una recta que siempre es función.

Gráfico III: Y

X


Evaluamos en la función f x x x( ) = − +2 3 1 los valores entregados en cada alternativa para ver cual no se

cumple

a f verdadera

b f

) ( ) ( ) ( )

) ( ) ( )

0 0 3 0 1 1

5 5

2

2

= − + =− = − − 33 5 1 25 15 1 41

2 2 3 22

( )

) ( ) ( ) (

− + = + + == −

verdadera

c f ))

) ( ) ( ) ( )

+ = − + = −− = − − − +

1 4 6 1 1

1 1 3 1 12

verdadera

d f == + + == − + = − + = −

1 3 1 5

1 1 3 1 1 1 3 1 12

falsa

e f ve) ( ) ( ) ( ) rrdadera


En el gráfico si tomamos el valor 0 en el x, se obtiene 0 en el y; es decir f(0) = 0 , cuando tomamos el valor 3

en el eje x , obtenemos 5 en el eje y; es decir f(3) =5, finalmente al tomar el valor –3 en el eje x , encontramos

el valor –1 en el eje y; es decir f(-3) = -1

Entonces, f f f( ) ( ) ( ) ( )0 3 3 0 5 1 6+ − − = + − − =

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009



Analizamos cada alternativa

a) Por definición una función es biyectiva cuando es inyectiva y epiyectiva; por lo tanto es verdadera

b) En una función inyectiva a cada elemento del dominio, le corresponde un único valor en el recorrido,

así f(x) = x + 5 es inyectiva ya que para cada valor de “x” obtendremos un valor distinto de “y”; luego es

verdadera

c) Por la definición explicada en la alternativa a), la alternativa es verdadera.

d) En una relación un elemento de partida puede tener dos de llegada, en las funciones no; por lo tanto es

falsa

e) f g f f( ( )) ( ) ( )2 2 2 4 4 1 5= + = = + = ; verdadera


Si f x x( ) = − 3 y g x x( ) = −1 al buscar g f x( ( )) buscamos la función compuesta, para ello tomamos

f(x) y la reemplazamos en g(x), así:

g f x g x x x x( ( )) ( ) ( )= − = − − = − − = −3 3 1 3 1 4


Si la función es f u u x( ) = + 2 en “u” reemplazamos los valores entregados; así:

f x x x x

f x x x x

f x f x x x

( )

( )

( ) ( )

= + == + =

+ = + =

2 3

2 2 2 4

2 3 4 77x

entonces,


Para ver si los pares ordenados satisfacen o no una función, tomamos cada par ordenado y reemplazamos en

la función verificando si se cumple o no la igualdad. Recuerda que el primer número del par ordenado repre-

senta x y el segundo y, así:

Par x y( , ) ;

( )

− − → = − = −− = − −− = −− = −

1 3 1 3

3 1 4

3 1 4

3 3

2

; definimos el valor de x e y ; reemplazamos estos valores en la función recordando que

f(x)=y ; verificamos la igualdad

; verdadera

Par x y( , ) ;

( )

− → = − == − −= −=

2 0 2 0

0 2 4

0 4 4

0 0

2

; definimos los valores de x e y ; reemplazamos en la función

; verificamos la igualdad

; verdadera

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


47


Par x y( , ) ;

( )

− → = − == − −= −=

3 5 3 5

5 3 4

5 9 4

5 5

2

; definimos los valores de x e y ; reemplazamos en la función


; verdadera

Par x y( , ) ;

( )

0 4 0 4

4 0 4

4 4

2

→ = == −≠ −

; definimos los valores de x e y ; reemplazamos y verificamos la igualdad

; falsa

Par x y( , ) ;

( )

2 0 2 0

0 2 4

0 4 4

0 0

2

→ = == −= −=

; definimos los valores de x e y , reemplazamos en la función


; verdadera


En la función f x x( ) = +2 1 reemplazamos los puntos dados en cada gráfico para ver si se cumple la igual-

dad respectiva

En el gráfico a) tenemos que si:

x y

x y

x y

= = → = += = → = += = → =

1 3 3 2 1 1

2 5 5 2 2 1

0 1 1 2

; ( )

; ( )

; (( )0 1+

; para los tres valores de x e y se cumple la igualdad, por lo

cual el gráfico buscado es el primero


En la función dada, reemplazamos (a + b) y luego (a) para finalmente realizar la operación que se indica;

entonces:

f a b a a b a b a

f a b a ab a

( ) ( ) ( )

( )

+ = + − + ++ = + − −

2 5 5

2 2 5 52 bb a

f a b a ab b

f a a a a a

f a

++ = + −

= − +

5

2 2 5

2 5 5

2( )

( ) ( ) ( )

( ))

( )

( ) ( )

= − +=

+ − = + −

2 5 5

2

22 2 5

2

2

2

a a a

f a a

f a b f ab

a ab bb ab

f a b f ab

ab bb

b ab

f a

−

+ − = − = −

22

22 5

22 52

2

( ) ( ) ( )

( ++ − = −b f ab

a) ( )2

2 52

; multiplicamos cada factor por el binomio correspondiente


; multiplicamos los factores por cada binomio


; escribimos la expresión que nos piden


; factorizamos y simplificamos

Cpec

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reun

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ón 2

009


48


ech

Pre

univ

ersi

tario

, Edi

ción

200

9


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009



En la función dada, reemplazamos (a + b) y luego (b) , para finalmente realizar la diferencia entre estos dos

resultados

f a b a b a a b

f a b a b a ab

f b b a

( ) ( ) ( )

( )

( )

+ = + − ++ = + − −

= −

2

(( )

( )

( ) ( ) ( )

(

b

f b b ab

f a b f b a b a ab b ab

f

= −

+ − = + − − − −2

aa b f b a b a ab b ab

f a b f b a a a

+ − = + − − − +

+ − = − =

) ( )

( ) ( )

2

2 (( )1− a

; multiplicamos por “a” el paréntesis.

; multiplicamos por “a” el paréntesis.

; reemplazamos los resultados en la expresión que nos piden

; cambiamos los signos por el negativo que está fuera del pa-

réntesis y reducimos términos semejantes

; factorizamos por “a”


Si f(a) = 2, entonces reemplazamos por “a” la incógnita “x” e igualamos todo a 2 para encontrar el valor

de “a”, es decir:

f xx

a

f aa

aa a

a a

( )

( )

( )

= +

= + =

+ =+ ==

3 22

3 22

2

3 2 2 2

3 2 4

3 44 2

3 2

32

a a

a

a

−=

=

; reemplazamos x por “a” e igualamos a “2”

;multiplicamos cruzado

; resolvemos y reunimos términos semejantes


; despejamos “a”

capítulo 3

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


49



Funciones de Variable Real


Sea n = número positivo y (n+1) su consecutivo, así:

n n

n n

n n

n n

n

( )

( )( )

+ =+ =+ − =+ − =

1 272

272

272 0

17 16 0

2

2

++ = − == − =17 0 16 0

17 161 2

ó

y

n

n n

; multiplicamos cada término

; formamos la ecuación de segundo grado

; resolvemos por factorización

; encontramos los números que deben ser positivos

Entonces, al reemplazar n=16 en (n+1) = 16 + 1 = 17.

Por tanto, los números buscados son: 16 y 17.


x x

x x

x x x

x x

+ = −+ = −+ = − += − +

7 5

7 5

7 10 25

0 10

2

2

2

2

/ ( )

( )

225 7

0 11 18

0 2 9

2 0 9 0

2

1

− −= − += − −− = − =

x

x x

x x

x x

x

( )( )

ó

== =∴ =

2 9

92y

sólo es solución

x

x

; elevamos al cuadrado toda la expresión

; desarrollamos el cuadrado de binomio

;reunimos todos los términos en una lado de la igualdad y los

reducimos

; resolvemos la ecuación de segundo grado por factorización

; encontramos los resultados de la ecuación

, ya que al comrpobar en la ecuación original,

√9 + 7 = 9 - 5

√16 = 4, nos da como resultado la raíz principal.


Si yx x x x

x x x x x x

x

1 2 1 2

21 2 1 2

2

4 3

0

4

+ = − ⋅ =

− + + ⋅ =

− −

( )

( ))x

x x

+ =+ + =

3 0

4 3 02

; por definición de propiedades

; reemplazando los valores dados

; ordenando encontramos la ecuación cuadrática

CAPÍTULO 3

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


50


ech

Pre

univ

ersi

tario

, Edi

ción

200

9


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009



5 10 2 6 0 5

22 6

50

2 65

2

2

x x k

x xk

k

− + + =

− + +

=

+

/ :

= ⋅

+

= ⋅

+ == −

= −

x x

kx

k

k

k

1 2

1

2 65

0

2 6 0

2 6

3

; dividimos por 5

; reunimos los términos que corresponden a C en la ecuación

cuadrática

; igualamos por propiedades de las raíces

; reemplazamos el valor de la raíz nula

; despejamos k en la igualdad


Sean

según la ecuación representa el c

x y x

m1 22 3= − =

ooeficiente y

representa el coeficiente

b

m c( )− −7

aa)

b)

− + = − → = −

= −

− ⋅ = → − = − + → −

2 3 11

1

2 3 67

1

ba

m

m

ca

m( )66 7

1

+ = −

= −

m

m

; dadas las raíces utilizamos las propiedades de la raíces

; comprobamos utilizando las dos propiedades


x x

ca

k

k

k

k

1 2 48

48

7 11

48

7 1 48

7 49

7

⋅ =

=

− =

− ==

=

; utilizando la propiedad de las raíces

; reemplazamos el coeficiente c y a en la propiedad


Cpec

h P

reun

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rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

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rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

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sita

rio, E

dici

ón 2

009


51



Si la hipotenusa es c , los catetos serán (c-8) y ( c-1 ). Entonces por el teorema de pitágoras tenemos que:

c c c

c c c c c

c c

2 2 2

2 2 2

2

8 1

16 64 2 1

0

= −( ) + −( )= − + + − +

= − + 22 2

2

16 64 2 1

0 18 65

0 5 13

− + + − += − += − −−

c c c

c c

c c

c

( )( )

55 0 13 0

5 13

= − == =

ó

y

c

c c

; planteamos el teorema de Pitágoras

; resolvemos cada cuadrado de binomio

; igualamos a cero la ecuación cuadrática



; despejamos los posibles valores de c

; se descarta el valor de 5 por no poder existir una longitud

negativa

(c-8)

c

(c-1)


a

b ; Si a y b son los lados del rectángulo

(ab) será el área y (2a + 2b) será el perímetro

; escribimos el sistema de ecuaciones

; dividimos por 2 en la segunda ecuación

a b

a b

⋅ =+ =

61

2 60( )

a b

a b

⋅ =+ =

61

30 ; despejamos a en la primera ecuación

; reemplazamos esto es la segunda ecuación


ab

bb

bb

b b

b b

=

+ =

+ =

+ =− + =

61

6130

6130

61 30

30 61 0

2

2

2

; multiplicamos por b la igualdad

; escribimos la ecuación cuadrática


( )( )b b

b b

b b

− − =− = − == =

7 23 0

7 0 23 0

7 23

ó

y

; despejamos la variable b

; nos quedamos con el menor valor que es 7

Cpec

h P

reun

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rio, E

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009


52


ech

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univ

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, Edi

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9


Cpec

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rio, E

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ón 2

009



Verificamos cada afirmación

I. log ,

log ,

, ,

9 0 31808

13

9 0 31808

13

0 95424 0 31

3 =

=

( ) = 8808

0 31808 0 31808

900 2 95424

, ,

log ,

= →

=

verdadera

llog( ) ,

log log ,

,

9 100 2 95424

9 100 2 95424

0 954

⋅ =+ =224 2 2 95424

81 1 90848

9 9

+ = →

=⋅

,

log ,

log(

verdadera

)) ,

log log ,

( , ) ,

=+ =

=

1 90848

9 9 1 90848

2 0 95424 1 908448 → verdadera

; aplicamos la propiedad de potencias en el logaritmo

; reemplazamos el valor de log 9

; resolvemos

; comprobamos la igualdad

II. ; escribimos el log como producto

; aplicamos la propiedad del producto

; reemplazamos y resolvemos


III. ; escribimos como producto el logaritmo

;aplicamos la propiedad del producto

; reemplazamos y resolvemos



; escribimos el sistema aplicando las propiedades del logarit-

mo de un cuociente y escribiendo el decimal como fracción

x y

x y

+ =− =

27 5

1

,

log log

x y

xy

+ =

=

27510

10log log ; resolvemos la ecuación logarítmica

xy

x y= → =10 10 ; despejamos x de esta ecuación para reemplazar en la primera

ecuación


10552

11552

5522

52

105522

55022

27

y y

y

y

x

x

+ =

=

= =

=

= = 5511

27511

52

62 5

⋅

= ,

; despejamos el valor de y

; reemplazamos este valor en la ecuación logarítmica

; resolvemos y encontramos el valor de x

; realizamos el producto ( x y), encontrando la solución

Cpec

h P

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rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

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ón 2

009


Cpec

h P

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rio, E

dici

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009


53



Partimos de un logaritmo conocido que es log 10

log log( )

log log log

, log

10 5 2

10 5 2

1 0 69897 2

= ⋅= +

= +11 0 69897 2− =, log

; aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto

; reemplazamos y despejamos lo que se busca


En la parábola el intervalo creciente será desde el vértice hacia la derecha y será decreciente desde el vértice

hacia la izquierda.

El vértice está en el centro de la parábola, es decir en el punto medio de las raíces de la ecuación que son, 1 y

5; por lo tanto el punto que se busca será 1 52

3+ =

∴ +∞ 3, es el intervalo buscado


El eje de simetría corresponde al valor en el eje x que determina el centro de la parábola y nos da el punto

medio de las raíces, es decir los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la parábola.

eje simetría = − = − + −

−−

= →

ba

si f x x x2

4 3

42 1

2 2

2( )

( ),++∞

; reemplazamos las variables b y a en la ecuación de

simetría


U

U

=

=

(log )(log )(log ).....(log )

log2 3 4 15

1

3 4 5 16

00

10

10

10

10

10

3

2

4

3

5

4log

log

log

log

log......

l⋅ ⋅ ⋅

oog

log

log

log

log

log

10

10

10

10

2

2

16

15

16

2

16

U

U

U

=

=

= 22

4 2

4

4

2U

U

==

log

; cambiamos base de cada logaritmo

; simplificamos los logaritmos

; cambiamos base

; escribimos como potencia

; aplicamos la propiedad del logaritmo de una poten-

cia

; resolvemos

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54


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En la ecuación f xxq

x q q( ) ;= − + − <2

4 3 0 encontramos que si

a

qb c q= − = = −1

4 3, y

a) la parábola corta al eje y en –3q, es decir el número positivo de 3q

b) la parábola mira hacia arriba ya que –1/q es mayor que cero

c) la parábola tiene como eje de simetría −−

=42

2

q

q , como q < 0,

entonces 2q es negativo.

Según esto no existe ningún gráfico que corte al eje y en -3q o en el valor positivo de 3q, y que tenga como

eje de simetría el valor 2q.


Si f x x( ) = − −3 1 cuando la función intercepta al eje de la ordenadas x = 0, entonces:

y

y

y

y

= − −

= − −

= −=

0 3 1

3 1

3 1

2

; aplicamos la definición de valor absoluto

; resolvemos y nos quedamos con el valor que cumple la igual-

dad, es decir y=2

Luego, el punto buscado es (0,2)


En la función R(x) = -0,15x2 + 4,5x encontramos el valor máximo en el punto máximo de la parábola, es

decir:

pto. máximo y como y tendremos:: , ,− = = −b

ab a

24 5 0 15

ppto. máximo = −−

= =4 52 0 15

4 50 3

15,

( , ),,

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55



Comprobaremos cada afirmación:

I. Al comprar 5000 unidades se paga $1800 por cada artículo; al comprar 2300 unidades cada persona

pagará $2000 por cada artículo, entonces

5000($1800) = $9000000

2300(2000) = $4600000 c/p $9200000 en total verdadera

II. Al comprar 6000 unidades se pagará $1700 por cada artículo y al comprar 5800 unidades se paga $1800

por cada artículo, entonces:

6000($1700) = $10200000 5800($1800) = $10440000 verdadera

III. Al comprar 4000 unidades se pagan $1800 por unidad y no $2000 como se afirma

Afirmación falsa


Para saber la concavidad de una parábola necesitamos conocer el coeficiente “a” de su función y para ello

tendremos que formar la función , analizaremos las informaciones:

(1) Esta información nos da x1= -2 y x2= 3, sólo nos da los puntos por los cuales la parábola corta al eje x.

(2) Esta información nos da el punto donde la parábola corta al eje y; es decir c = -6, entonces, con ambas

juntas sabemos que la parábola tiene concavidad positiva


(1) Esta información nos da el valor inicial que necesitamos para saber que en 5 horas habrá

5000(25) = 160000 bacterias

donde (25)=32 representa la duplicación en la cantidad de horas

(2) Con esta información sólo sabremos la cantidad final en función de la inicial, pero no sabemos la inicial

Nos quedamos con sólo (1) ya que es suficiente para responder la pregunta

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57



Combinatoria y Probabilidad.1. La alternativa correcta es E)

Al tener tres números, el 3, el 2 y el 5, existen tres posibilidades para cada cifra ya que estos se podrían repe-

tir; es decir:

3 x 3 = 9


Existen dos números, el 1 y el 2 los cuales deben formar números de 10 cifras, entonces estos se pueden

repetir, así 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 210


Es una combinación ya que se escoge un grupo de 4 elementos de un total de 10 sin importar el orden en que

se escojan, así:

4

10

C


Es una permutación de elementos ya que las personas pueden ingresar de diferentes maneras y no se puede

repetir, entonces cualquiera de las 8 personas puede ingresar primero, luego cualquiera de las 7 que quedan

y así sucesivamente...así

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = P8


Al querer formar grupos de hombres y mujeres de un total de personas, se trata de una combinación ya que

el orden no es importante, entonces nos queda:

3

7

C representa el grupo de 3 hombres dentro de un grupo de 7

2

5

C representa el grupo de 2 mujeres de un total de 5

CAPÍTULO 4

Cpec

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58


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9


Cpec

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rio, E

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009


Como queremos formar un grupo que este formado por hombres y mujeres, multiplicamos estas combinaci-

nes y tendremos la combinación total

3

7

2

5

77 3 3

55 2 2

74 3

53

C C⋅

− ⋅⋅

− ⋅

⋅⋅

⋅

!( )! !

!( )! !

!! !

!! 22

7 6 5 44 3

5 4 33 2

7 6 53 2 1

5 42

!

!! !

!! !

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅⋅

⋅1

35 10

350

(Desarrollando el factorial de un número)

(Simplificando)

(Multiplicando y simplificando)

(Multiplicando)


Los menús que se forman están compuestos de sólo dos opciones: entrada y plato de fondo.

Hay 5 entradas y 6 platos de fondo, así tenemos que las posibilidades de formar el menú están dadas por el

producto de entradas por platos de fondo

5 x 6 =30


Cuando ordenamos letras de una palabra que repite letras, estamos frente a una permutación con repetición,

entonces la permutación con repetición de la palabra CEPECH está dada por:

2 2

6 62 2

6 5 4 3 2 12 1 2 1

180,

!! !P =⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

=


Una ordenación de elementos es una permutación, entonces:

P5 = 5!=5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120


Al ordenar todos los posibles números que existen con dígitos repetidos, estamos frente a una permutación

con repetición ya que de las siete cifras , tres son el número 2 y las otras cuatro cifras serán iguales al 5.

3 4

7 73 4

7 6 5 43 2 1 4

35,

!! !

!!P =

⋅= ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅=

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


59



Esta combinación no se puede calcular ya que no tenemos la cantidad total de hombres ni de mujeres para

formar los grupos posibles


Sea PA igual a la probabilidad de que ocurra el suceso A , esta está definida por:

P Acasos favorables

casos posibles

n

nA( ) = =

a). casos favorables = total de combinaciones en que se tenga Cara-Sello-Sello

1

3

C combinaciones totales para obtener una cara d= ee tres en total

2

2

C combinaciones totales para obtener dos sello= ss de dos que quedan

( recordar que ya hay una moneda con cara y son tres en total)

1

3

2

2 33 1 1

22 2 2

3C C⋅ =− ⋅

⋅− ⋅

=!( )! !

!( )! !

b). casos posibles = total de combinaciones que se obtienen con tres monedas

Como cada moneda tiene 2 posibilidades, se tiene 2 x 2 x 2 = 8

P A( ) = 3

8


Calcularemos la Probabilidad de sacar una Azul y luego de sacar una Blanca, como un evento o el otro nos

da la probabilidad total, sumamos cada probabilidad individual

P azulbolas azulesbolas totales

( ) = = 515a)

b) P blancabolas blancasbolas totales

( ) = = 715

P azul oblanca( ) = + = =5

157

151215

45

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009


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9


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rio, E

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ón 2

009



La probabilidad de responder correctamente cada pregunta es 15

, se tienen 20 preguntas en total,

entonces para lograr acertar a todas se tiene 15

20


Primero buscamos todas las posibles combinaciones de números en que la diferencia de las pintas sea 2 y

luego buscamos todas la combinaciones posibles al tirar los 2 dados

a). Casos favorables = al tener dos dados pueden aparecer las combinaciones

1 –3 , 2 – 4 , 3 –5 , 4 – 6 y las mismas pero al revés, es decir

3 – 1 , 4 – 2 , 5 – 3 , 6 – 4 ya que al ser dos dados puede darse el caso

contrario. Así tenemos 8 casos favorables

b). Casos posibles = al lanzar dos dados se pueden obtener 6 x 6 combinaciones posibles, es decir 36

Finalmente la probabilidad del evento será P = =836

29


La probabilidad de que este evento ocurra será la P = P(blanca) x P(roja)

a) P blancabolitas blancasbolitas totales

( ) = = 27

b) P rojabolitas rojas

bolitas totales que quedan( ) =

aal sacar y no poner= 5

6

P = ⋅ =2

756

521


La probabilidad de la certeza es 1, entonces que la probabilidad de que algo ocurra más la probabilidad de que

no ocurra es 1, así

15

45

1+ = , por lo tanto, si 15

= probabilidad de ocurrencia

y

45

= probabilidad que no ocurra

si en dos jugadas seguidas no logra el puntaje máximo, la probabilidad de que esto ocurra será

P = ⋅ =4

545

1625

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rio, E

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009


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rio, E

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ón 2

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reun

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rio, E

dici

ón 2

009


61



Para ganar el premio, Jimena tiene que acertar al talonario y luego al número;

como existen 20 talonarios la probabilidad de acertar al premiado será 120

y

la probabilidad de acertar al número será 1

10, así la probabilidad de acertar a ambos, talonario y número

será P = ⋅ = =120

110

1200

0 005,


La probabilidad que existe entre los atletas que gane uno o el otro está dada por la suma de ambas probabili-

dades ya que son eventos mutuamente excluyentes

Así P = + = + =15

16

6 530

1130


Si el alumno tiene probabilidad 16

de egresar, tendrá 56

de no hacerlo.

de la misma forma si tiene probabilidad 25

de casarse, tiene 35

de no hacerlo.

La probabilidad de que salga y no se case será P = ⋅ =16

35

110


Al elegir un estudiante al azar entre tres carreras, la probabilidad de que hubiese finalizado sería la suma de

las probabilidades de egresar de cada carrera ya que son sucesos excluyentes entre ellos.

a) Probabilidad de egresar en Construcción Civil = 25% ⋅ 20% = 15 ⋅

14 =

120

b) Probabilidad de egresar en Derecho = 25% ⋅ 25% = 14 ⋅

14 =

1

16

c) Probabilidad de egresar en Enfermería = 50% ⋅ 15% = 12 ⋅

320 =

340

P = + + = =120

116

340

1580

316

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63



CAPÍTULO 4

Estadística Descriptiva


La media de datos no agrupados es el promedio de todos los datos, así:

X = =6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3

6

30

6= 5


La moda es el término que más se repite entre todos los datos, en este caso el número 6.


La mediana es el término que esta en el centro de todos los datos, como tenemos datos no agrupados lo primero

que hacemos es ordenarlos y luego buscamos el número, entonces nos queda que en los datos 6,6,6,5,4,3

el término central corresponde al promedio de los dos números centrales Me =6 + 5

2= 5, 5.


La desviación típica o estándar de datos no agrupados es:

σ

σ

=

=

∑

− ⋅ + − + − + −

( - )=1

2x x

i

n

n

i

( ) ( ) ( ) (6 5 3 5 5 4 5 32 2 2

552

)

6

8

6

4

3= =

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En un polígono de frecuencias, el número de datos es la suma de todas los valores que se encuentran en las

ordenadas, es decir:

2 + 2 + 3 + 7 + 9 + 7 +2 = 32


La moda del gráfico es el número que tiene mayor frecuencia, es decir 500 ya que tiene frecuencia de 9.


Al puntaje de 600 le corresponde la frecuencia de 7.


La media es el promedio, entonces tenemos

Xa a a a a a

=+ + + +

=3 6 7 2

5

19

5


La relación que tendremos que resolver es X = 15, 25 =x1 + x2 + x3 + x4

4 donde buscaremos que números debemos considerar para obtener un promedio o media de 15,25

61 = x

1 + x

2 + x

3 + x

4 con los números dados se tiene que el único número que no nos sirve para esta igualdad

es el 21 ya que el resto debería sumar 40.


Al ordenar los datos se tiene 1, 1, 1, 5, 5, 5, 6, 7, 10, 10, 15 la mediana es el dato del centro, luego es el 5.


Como se aprueba con una nota mínima de 4,0, los alumnos que obtuvieron esta nota o más corresponde a las

frecuencias de los intervalos desde [4,5] a [6,7] entonces corresponde a 17 alumnos, como el total de alumnos

es 20, el porcentaje será 17•100%

20 =85%

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65



Por definición


El promedio aritmético es la media, la ecuación nos queda

18= 20 + 15 +X

3

3

18•3= 35 + X3

54 - 35= X3

19= X3


El número de alumnos corresponde a la frecuencia de los intervalos de notas, por lo tanto 7 es la frecuencia

del intervalo entre 4 y 7


Si n = 600 representa el total de elementos y la sección B representa 60° en el gráfico, por lo que corresponde

a 16

del gráfico, luego, 16

de los elementos son:

elementos = 600

6 = 100


Si existe mayor desviación estándar o típica significa que hay mayor dispersión (por definición), entonces

como todos tienen la misma media o promedio, la mayor dispersión es en el caso III


Como el promedio es 4,0 con 6 notas nos queda:

4,0 = 21,3 + X

6

24 - 21,3 = X

2,7 = X

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x = 197

197 ⋅ 5 = suma de estaturas

Como sale una persona e ingresa otra, a la suma de las estaturas restamos 170 cm y sumamos 205 cm y finalmente

calculamos el nuevo promedio

X cm= = 197 5 - 170 + 205

5204

⋅


Tenemos una tabla de datos agrupados donde la suma de todas las frecuencias no da el número total de datos,

en este caso 520 datos distribuidos en diferentes intervalos de notas.

De las afirmaciones

I. Las notas desde 4 a 7 suman 120 alumnos, la primera afirmación es falsa

II. La nota promedio se obtiene con la fórmula de media de datos agrupados para la cual necesitamos sacar

la marca de clase de cada intervalo, así:

Nota Frecuencia Marca de clase

[1-2,5]

(2,5-4]

(4-5,5]

(5,5-7]

250

150

100

20

1,75

3,25

4,75

6,25

(1,75)(250) + (3,25)(150) + (4,75)(100) + (6,25)(20)

520

X = =6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3

6

30

6= 5

X = =6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3

6

30

6= 5437,5 + 487,5 + 475 + 125

520 = 2,93

La nota promedio si está en el intervalo (2,5 – 4], la afirmación es verdadera

III. El total de alumnos corresponde a la frecuencia total. La afirmación es verdadera

Cpec

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67



Verificaremos las afirmaciones

I. La media de los datos es X = =1 + 3 + 5 + 7 + 9

5

25

5= 5 al sumar 12 a cada término la suma de

25 aumenta en (12)(5) = 60, entonces tenemos X = =25 + 60

5 17 Afirmación verdadera

II. La mediana aumenta en 12 por sumar este número a cada dato. Inicialmente era 5 ahora será 17-.

Afirmación falsa

IV. Utilizando la fórmula de desviación se obtiene

σ =(13 - 17) + (15 - 17) (17 - 17) (19 - 17) (21 - 1

2 2 2 2+ + + 77)

5

40

58

2

σ = =

Afirmación verdadera

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69



CAPÍTULO 5

Ángulos


El complemento de un ángulo sexagesimal se expresa de la forma:

αc = (90º - α)

El suplemento de un ángulo sexagesimal se expresa de la forma:

αs = (180º - α)

Recordemos que: ángulo recto 90° ; ángulo extendido 180° , por lo cual del enunciado se obtiene:

(90° - 90°) + (180°-180°)0° + 0°

0°


Como L1//L2, se cumple que:

β

L1

L2

x

L4

L3

60º

80º100º

β = 80º, luego, x = 80º + 60º x = 140º


Como L1//L2 se cumple que:

α = 180º + 75º

45º 60º 120º

75º

L1

L2

120º

135º

α

α = 255º

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capítulo 5


Como L1//L2 podemos utilizar ángulos alternos externos y nos queda:

x + β = 180ºx = 180º - β

L1

L2

x

α

β


Del enunciado y utilizando ángulo alterno interno se tiene que:

x + 30º = 180º

L1

L2

L4

L3

120º

x

x = 180º - 30ºx = 150º


Tenemos que:

α + β + 60º = 180ºα + β = 120º, como α : β = 1 : 2

Tenemos que:

k k

k

k

k

+ = °= °

= °

= °

2 120

3 120

1203

40

L

1

L2

60ºα

β

60º

Luego, α = 40º


Como L1//L2

L1

L2

x

L4

L3

α

β

180º -x

α = β + (180º - x), despejando xx = 180º - α + β

β

30º

30º

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71

capítulo 1 Solucionario Matemáticacapítulo 5


Como L1//L3

α + β = 90º

L1

L2

L3

β

α

α = 90º - βα = 20º


Como L1//L2, por propiedad de paralelas y ángulos adyacentes se tiene que:

1 105

2 180

135 180

180 135

)

)

z y

z x

y

y

y

+ = °+ = °+ ° = °= ° − °== °

+ ° = °= ° − °= °° + = °=

45

45 105

105 45

60

60 180

1

z

z

z

x

x 880 60

120

120 45 60 105

° − °= °+ − = ° + ° − ° = °

x

x y z

L

1

L2

105º

z

135ºy

x

, además

, por lo cual

, reemplazando en (1)

, reemplazando en (2)

, por lo tanto


Como L1//L2

100º = 30º + x L1

L2

x

100º

30º

L3

L4

70º = x


Como L1//L2, tenemos que

2x + 15º + x = 180º L

1

L2

2x + 15º x

2x + 15º

3x = 165ºx = 55º

αβ

x

75º

zx

x

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Recordemos que un pentágono regular tiene 5 lados y todos sus ángulos interiores son iguales.

Ángulo interior = 180 2

180 5 25

36 3

108

° ⋅ −

° ⋅ −

° ⋅°

( )

( )

nn

, reemplazando n por 5

, simplificando

, multiplicando

Por lo tanto, el suplemento es:

180º - 108º = 72º


El número de diagonales que se puede trazar a partir de un vértice de un polígono se determina a través de

d = (n - 3)

Con “n” números de lados del polígono y d = número de diagonales (12)

12 = n - 315 = n


Del pentágono regular se desprende que

36º + α + 36º = 108ºα = 108º - 72º

α

108º

36º 36º

36º

36º 108ºα = 36º


Del enunciado tenemos que:

25º + 2y + 2x = 180º

y y xx25º A

B

CD

E

FO

2y + 2x = 155º ; dividiendo todo por 2

y + x = 77,5º

Por lo tanto, el ángulo BOD es igual a 77,5º

capítulo 5

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Cpec

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73



Recordemos que los ángulos recorridos por el horario (H) y el minutero (m) están en la razón 1 : 12, ya que en una hora el horario avanza 30º y el minutero 360º.

H : m = 1 : 12, luego a las 10 horas el ángulo formado por los punteros es 60°

60º

; a las 10 horas 5 minutos, el minutero(m) ha recorrido 30°. Si el horario no se mueve los punteros forman un ángulo de 90°

H

H

301

123012

2 5

=

= = °,

; determinamos los ángulos recorridos por el horario

Por lo tanto, el menor ángulo formado por los punteros a las 10 horas 5 minutos es:

90º - 2,5º = 87,5º


Primero determinaremos el número de lados del polígono ya que se conoce la suma de sus ángulos interiores.

900 180 2

7

32

7 7 32

14

º º ( )

( )

( )

= ⋅ −=

= ⋅ −

= ⋅ −

=

n

n

Dn n

D

D

; despejando n y simplificando

; como conocemos el número de lados del polígono podemos determinar el número total de diagonales que se pueden trazar en su interior

; reemplazando en n


I. Falso, ya que en cualquier polígono la suma de sus ángulos exteriores es de 360°.II. Falso, ya que además debe tener todo sus ángulos interiores iguales.III. Verdadero, por definición.

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Con la proposición (1) se puede determinar el valor de “x” ya que ABCD sería un paralelógramo.

Con la proposición (2) se puede determinar el valor de “x” ya que ABCD sería un paralelógramos.


Para poder contestar satisfactoriamente este ejercicio se necesita de ambas proposiciones ya que, por sí solas no se podría determinar el valor del ∠ACB

capítulo 5

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75



CAPÍTULO 5

Triángulos


El complemento de un ángulo es lo que le falta a éste para formar un ángulo recto.

En gradianes un ángulo recto corresponde a 100g , por lo tanto:

100g - 50g = 50g ; 50g es el complemento.


A partir de la información y del análisis de los triángulos RQT y SQT se tiene que:

2β β

S RQ

T

120º

βα

a

b

)

)

2 120 180

2 120

ββ α

+ ° = °+ = °

Despejamos β de a) β=30°

Reemplazamos en b) y despejamos α

2 30 120

120 60

60

⋅ ° + = °= ° − °= °

( ) ααα

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El área de un triángulo se determina como:

Ab h∆ = ⋅

2

Como el área del triángulo isósceles del problema es conocida (S) y la base también (b), reemplazamos en la ecuación.

Sb h

Sb

h

hS

b

= ⋅

⋅ =

= ⋅

22

2

, despejamos h


Del dibujo se desprende que:

αα

α αα

= ∠ + ∠= ∠ + ∠

∠ + ∠ + ∠ + ∠+

1 2

3 4

1 2 3 4

2

, y

, entonces

Por lo tanto: ∠ + ∠ + ∠ + ∠ =1 2 3 4 2α


Analizando la información y los triángulos del dibujo tenemos que:B

A D

EC

x

60º 60º

βα α

βα βααα

= °+ = °= ° − °= °+ = °

= °

60

110

110 60

50

2 180

180

x

x −− ⋅ °= °

2 50

80

( )

x

, como

, reemplazando β y despejamos α

, finalmente

, despejando x y reemplazando α

Por lo tanto: x = 80º

capítulo 5

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77



C

A D

E

B40º

x

De la información tenemos que el ∆ ABC es isósceles de base AC , por lo cual:

∠ACB = ∠BAC = 70º, como EA es bisectriz del ∠BAC.

* = 35º

El ∠DAC = 90º 90 70

20

° = ° + ∠° = ∠

DAB

DAB

, despejando

En el ∆ ADE se tiene : ∠ + ∠ + ∠ = °° + ° + = °= °

DAE EDA AED

x

x

180

55 90 180

35

, reemplazando los valores correspondientes.

Por lo tanto:

El ángulo AED es igual a 35°


40º

A B

D Cx

Como AB//DC, utilizando ángulos alternos internos:

x = 40º

capítulo 5

**

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


78


ech

Pre

univ

ersi

tario

, Edi

ción

200

9


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009



z

25º

25º25º15º

y

x

L1 L3

L4

L5

L2

x

Utilizando triángulos:

a

b

c

)

)

)

z

y

x

+ ° + ° = °+ ° + ° = °+ ° + °

75 90 180

50 90 180

25 90 == °180

Despejamos z de a):z

z

= ° − °= °

180 165

15

Despejamos y de b):y

y

= ° − °= °

180 140

40

Despejamos x de c)x

x

= ° − °= °

180 115

65

x+y+z = 65°+40°+15°x+y+z = 120°


β

α

L2L1

x x Utilizando las paralelas para “desplazar” x tenemos que:

α β+ + = °

+ + = °

= °

= ° ⋅

=

x

x xx

x

x

x

180

4 4180

64

180

180 23

1200°

capítulo 5

Cpec

h P

reun

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rio, E

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ón 2

009


Cpec

h P

reun

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ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


79



El perímetro de un triángulo equilátero es igual a:

P a

a cm

a cm

∆ =

=

=

3

3 16 3

163

3

[ ]

[ ]

, por lo tanto

, despejando “a”

Como se conoce el lado del triángulo podemos determinar su área.

Aa

A

A

A

∆

∆

∆

∆

=

=⋅

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

= ⋅

2

2

2

34

163

3 3

4

16 16 3 33 3 4

4

( )

116 3 33 3

643

3 2

⋅⋅

=A cm∆ [ ]

, reemplazando “a”

, simplificando

, simplificando y multiplicando


α20º

20ºCA D

B ∠BCA = 20º + 20º (Teo. ángulo exterior)

Del triángulo BAD se tiene:

90 20 20 180

180 130

50

° + + ° + ° = °= ° − °= °

ααα


El área de un triángulo equilátero se determina por:

Aa

a

a

a

∆ =

=

==

2

2

2

34

16 33

464

8

, como se conoce el área despejamos

, aplicamos √vv

Por lo tanto, el perímetro es 3 3 8 24a cm= ⋅ = [ ]

capítulo 5

Cpec

h P

reun

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rio, E

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ón 2

009


80


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9


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ón 2

009



El área achurada se determina por la diferencia entre área del cuadrado y del triángulo equilátero

Área cuadrado ABED – Área triángulo equilátero.

aa2

2 34

−


p q

C

DA B

√10h=3

Utilizando Pitágoras en el triángulo CDB, podemos determinar DB

h DB BC

q

q

q

22 2

210 9

10 9

1

+ =

= −= −=

( )

, reemplazando los valores y despejando q

En el ∆ ACB tenemos que:

Utilizando Euclides

a) h p q

p

p

c p q

c

2

9 1

9

10

= ⋅= ⋅=

= +=

, reemplazando los valores y despejando p

b) , reemplazando los valores de p y q

Utilizando Pitágoras

c) AC CB AB

AC

AC

AC

AC

2 2 2

2 22

2

10 10

10 100

90

9

+ =

+ =

+ =

=

=

( )

⋅⋅

= ⋅

10

3 10AC


, despejando AC

, descomponiendo

capítulo 5

Cpec

h P

reun

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rio, E

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ón 2

009


Cpec

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rio, E

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ón 2

009


Cpec

h P

reun

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rio, E

dici

ón 2

009


81



BA D

C

4 cm4 cm

2k

Gx

k

√97

a) Como CD es bisectriz del ángulo distinto del triángulo ABC (isósceles), es coincidente con todas las rectas notables, es decir: altura, transversal de gravedad y simetral.

b) Si G es centro de gravedad, la recta CD se divide en la proporción 2:1

CG : GD = 2 : 1

c) Además CD es altura por lo que el ∆ ADC y ∆ GDB son rectángulos.

Apliquemos Pitágoras en el ∆ ADC

4 97

97 16

81

9

22

2+ =

= −

=

=

DC

DC

DC

DC cm

( )

[ ]

, despejamos DC

Del punto b) se tiene que:

CG GD

CG GD

k k

k

k

GD cm

: :

[ ]

=

+ =+ ==

=

=

2 1

9

2 9

3 9

3

3

, como

, se obtiene que

, por lo cual

Utilizando una serie Pitagórica en el ∆ GDB se tiene que:

x = 5[cm]

Cpec

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82


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9


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dici

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009



1 cm

C

A B2 cm

x y

Este triángulo rectángulo es semejante al triángulo siguiente.

30º

60º

a

a2

a2

3

Entonces por semejanza de triángulos:

Ángulo BAC = 60° Ángulo CBA = 30° , por ángulos adyacentes suplementarios. x = 120° y = 150°

Por lo tanto, la razón entre los ángulos x e y es:

xy

xy

= °°

=

120150

45

, simplificando


Por propiedad de las transversales de gravedad se tiene que:C

D

A B

GE

F

DG GB

DG GB

k k

k

k

GB k cm

: :

[ ]

=

+ =+ =

==

= =

1 2

3

2 3

3 3

1

2 2

, como DB =3[cm]

, entonces

, por lo tanto

CF es altura y además transversal de gravedad en el triángulo ACB. Utilizaremos el teorema de Pitá-goras en el triángulo BFG

capítulo 5

Cpec

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rio, E

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ón 2

009


Cpec

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009


Cpec

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rio, E

dici

ón 2

009


83


FG FB BG

FG

FG

2 2 2

22 21 2

3

+ =

+ =

=

, reemplazando los valores correspondientes

, despejando FG

Como FG : GC = 1 : 2, se tiene que la medida de CG = 2√3 , por lo que CF es igual a 3√3 . Calcula-mos el área del triángulo ABC

Ab h

A

A cm

∆

∆

∆

= ⋅

= ⋅

=

2

2 3 32

3 3 2[ ]



Del dibujo se tiene que:

x y

x y

+ ° + = °= ° −

90 180

90

, despejamos x

a) si x tomase el mínimo valor

28 90

62

° = ° −= °

y

y

, el máximo valor de y sería

b) si x tomase el máximo valor

56 90

34

° = ° −= °

y

y

, el mínimo valor de y sería


Con la proposición 1) es suficiente ya que conocida el área del triángulo equilátero ( a2√3 4

) se puede determinar las medidas de sus lados y con esta información se determina la altura

h

a= ⋅ 32

La proposición 2), también es suficiente.

capítulo 5

Cpec

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ón 2

009


84


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univ

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9



Para responder satisfactoriamente la pregunta se deben utilizar ambas proposiciones juntas.

Se obtiene que el ∠DCB mide 25º puesto que por A, B y C pasa una circunferencia y la condición AD = DB dice que DB = radio = DC y ΔDBC es isósceles de base BC .

A BD

C

25ºα

90º

25º

Si el triángulo ABC es rectángulo y D punto medio de la hipotenusa, se tiene que:

αα

+ ° = °= °

25 90

65

capítulo 5

Cpec

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Cpec

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009


85



CAPÍTULO 5

Trigonometría


Si asociamos los valores con un triángulo rectángulo tenemos:

12

513

α

Un cateto mide 5 y la hipotenusa 13, el otro cateto mide 12, esto se demuestra utilizando el teorema de Pitágoras.

Por definición de cotangente.

Ctgcateto adyacentecateto opuesto

Ctg

α

α

=

= 5112


Sen CosTg Sec

Sen CosSen

2 2

2 2

α βα βα βα

−⋅−

CCos Cosα β⋅

−

1

22

12

22

2 2

222

1

12

24

14

1 2142

18

⋅

−

⋅

=

, por definición.

; como:

Sen Sen

Cos Cos

Cos Cos

α

α

β

= ° =

= ° =

=

452

2

452

2

60012

° =

, Reemplazamos

, Desarrollamos

Cpec

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009


86


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9


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ón 2

009



Del enunciado

P x y

x y

x y

∆ = + += + += +

20

48 20

28

; reemplazando

; por lo cual

Además por definición de tangente

Tgcateto opuesto

cateto adyacente

Tgxy

α

α

=

=

0,,75

34

3

4

28

28 3 4

28 7

4

=

=

=== += +=

=

xy

xy

x k

y k

x y

k k

k

k

x == ⋅ =3 4 12 m

; reemplazando

; transformando el decimal a fracción

; es decir

; reemplazando

; despejando k

; por lo tanto


Por definición de Cos α

Coscateto adyacente

hipotenusa

CosAB

Dia

α

α

=

=mmetro

Cos α = 513

; reemplazando los valores


i. Como α y β son ángulos complementarios se cumple que Sen α = Cos β. Verdadero.

ii. Por identidad trigonométrica. Verdadero.

iii. Como α y β son ángulos complementarios se cumple que Sen α = Cos β, por lo tanto TgSenCos

β ββ

=, por definición. Verdadero.

Cpec

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rio, E

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009


Cpec

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ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


87



Si llevamos los valores a un triángulo rectángulo y aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos que:

4

35

α

Reemplazando los valores en:

Sen Sen Cos

Sen

Sen

( )

( )

( )

2 2

2 245

35

22

α α α

α

α

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= 4425


Sen Tg SecCos Co

SenSenCos Cos

α α αα α

α αα

⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅

sec3

1αα

αα

αα

αα

α

CosSen

Sen

CosSenCos

Tg

⋅

=

13

3

33

; por definición

; operando

; por propiedad de raíces


4

2

α

2 √3

Este triángulo es semejante con

a

a2

30º

a2

√3

60º Por lo tanto, α es igual a 30°

Cpec

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88


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9


Cpec

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ón 2

009



De la información y de la semejanza de este triángulo con el del ejercicio anterior, tenemos que:

h

D F

E BA

C

30º

30º

60º

60º

h

h

10 cm

10 √3 cmh √3 De la figura

h h

h

h

3 10 3

3 1 10 3

10 3

3 1

3 1

+ =

+

=

=+

⋅−

−

= −−

= −

= −

3 1

30 10 33 1

30 10 32

15 5 3

h

h

h

; factorizando

; despejando “h”

; racionalizando

; simplificando

Para determinar el área achurada se debe realizar la siguiente operación.

Área cuadrado Área círculo

a R

hh

-2 2

2

2

− ⋅

−

π

π

−

−

−

⋅ −

2

22

2

2

4

14

15 5 3 14

hh

h

π

π

π

; dejando todo en función de “h”

; factorizando

; reemplazando por el valor de “h”

cm2


En ΔAED, ctg α = 5 20

40

10

y

y

=

= En ΔABC, ctg α = 5 20

40

10

y

y

=

= 41,8 mx

15 m

20 m

1,8

40 m

15 my

5 m Igualando:

5 2040

10

y

y

=

=


Como

x y

x

x m

= += +=

1 8

1 8 10

11 8

,

,

,

AD

C

BEα

Cpec

h P

reun

iver

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rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

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rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


89


11. la alternativa correcta es D

Utilizando las características de un triángulo rectángulo 30°,60° y 90°, tenemos que:

h

BA

C

30ºh √3

h

BA

D

60º

C

9

(h + 9) √33

De las figuras se desprende que:

hh

h h

h

h m

39 3

33 9

2 9

4 5

=+( ) ⋅

= +=

= ,

; simplificando

; despejando “h”

; por tanto la altura del acantilado es:


La distancia del bote con respecto al acantilado es:

h

m

3

4 5 3,

; reemplazando


Utilizando el teorema de Pitágoras y analizando la información se tiene que:

B 15 cm

10 cm

C

D A20 cm

y

x (20 - x)

15 cm

En Δ EDC, cos α = x15

En Δ FCB, cos α = 20 - x10

Igualando.

x x

x x

x x

x

x cm

1520

10

320

22 60 3

5 60

12

= −

= −

= −=

=

; simplificando


En Δ EDC, ctg α = xy

En Δ EAF, ctg α = 20 15

Igualando.

xy

y

y cm

=

=

=

2015

12 2015

9

; reemplazando el valor de “x”

; simplificando y despejando “y”

Por lo tanto, el área del rectángulo ABCD es: Área Rectángulo = 9 · 8 = 72 cm2

α

α

E

F

Cpec

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ón 2

009


90


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9


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ón 2

009



Al trazar “h” en el triángulo isósceles ABC se forma un triángulo rectángulo 30°, 60° y 90°, del cual ya se conocen sus propiedades.

A B

C

30º 30º

2 cm

1 cm

√3cm √3cm Por lo tanto, AB = 2 3 cm


Analizamos alternativa por alternativa hasta encontrar la igualdad correcta.

A) Sen Tg Cos Ctg

SenSenCos

CosCos

α α α α

α αα

α α⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅

1

SSenSen Cos

αα α⋅ ≠ 1

; aplicamos definición

; simplificando

B) Tg CtgSen Cos

SenCos

CosSen Sen

α αα α

αα

αα α

+ =⋅

+ =⋅

1

1CCos

Sen CosCos Sen Sen Cos

Cos S

αα αα α α α

α

2 2 1

1

+⋅

=⋅

⋅ een Sen Cosα α α=

⋅1


; sumando

; por identidad trigonométrica

Por lo tanto, B es la alternativa correcta.


i. Tg Ctg

SenCos

CosSen

α ααα

αα

⋅ =

⋅ =

=

1

1

1 1


; simplificamos

;correcto

ii. ;del enunciado

Sen w

Sen Cos

Sen Cos

2 2

2 2

2 2

1

1

1

1 1

αα αα α

= −= −+ =

=

; por identidad trigonométrica

; correcto

iii. Cow

Sen w

Sen Cos

sec α

α

α α

=

=

=

1

1 1

1 1


; del enunciado

; incorrecto

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


91



Tenemos que:

Senx

x Sen

x

x cm

Cosy

3018

18 30

1812

9

301

º

º

=

= ⋅ °

= ⋅

=

=

8818 30

182

9 3

2

y Cos

y

y cm

x y

= ⋅

= ⋅

=

+

º

3

Por lo tanto:

== + ⋅

+ = +

9 2 9 3

2 9 18 3x y cm


; Sen 1

302

° =


; Cos 303

2° =


De la figura se desprende que:

a

2a

α

β

a√3

2 3

23

23

3

33

3

3

⋅ − ⋅

⋅

−

−

−

Sen Tg

aa

a

a

α β

33 33

3 3 0

⋅

− =

; por definición

; simplificando

; racionalizamos

; simplificando


Sen Cos Tg 30 60 45

12

12

1

2

° + ° + °

+ +

; reemplazamos

; sumamos

Cpec

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rio, E

dici

ón 2

009


92


ech

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univ

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, Edi

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200

9



1

√2 2

√2 2

A B

C

Sen

Cos

Cos

452

452

0 1

° =

° =

° =

2

2

i.

De ser rectángulo en C, se debe cumplir que:

22

22

1

24

24

1

1 1

2 2

2

+

=

+ =

=

; teorema de Pitágoras

; es un triángulo rectángulo

√3 2

A B

C

1 2

1

Sen

Cos

Sen

90 1

303

2

3012

° =

° =

° =

ii.

De ser rectángulo, en B, se debe cumplir que:

12

32

1

14

34

1

44

1

1 1

2 2

2

+

=

+ =

=

=

; teorema de Pitágoras

; es rectángulo

A B

C

1 2

√3

iii.

Tg

Tg

Tg

45 1

2 45 2

60 3

° =⋅ ° =

° =

De ser rectángulo, en A, se debe cumplir que:

1 3 2

1 3 4

4 4

22

2+ ( ) =

+ ==

; es rectángulo

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


93



Cuadriláteros


Se debe recordar dos propiedades del rombo. Las diagonales son:

i. Perpendiculares

ii. Bisectrices

βα

D C

BAβ

Por la suma de los ángulos interiores de un triángulo se tiene que:

α + β = 90º


Las diagonales de un cuadrado son:

i. Perpendiculares

ii. Bisectrices

A B

CD

α

δ

β

δ De la figura se desprende que:

α = δ = 45º β = 90º

Por lo tanto, las tres afirmaciones son correctas.


Las diagonales de un rectángulo al intersectarse forman triángulos isósceles.

Utilizando propiedad de triángulos: Q P

NM

x

40º

x

40º

x + 40º + 40º = 180º ; despejando “x” x = 100º

CAPÍTULO 5

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


94


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ón 2

009



Este es un ejercicio donde se nos pide poner mucha atención en la información. En este caso uno tiende a creer

que la figura representa un rectángulo, sin embargo la información entregada no es suficiente para determinar

de qué tipo es el cuadrilátero ABCD representado en la figura.


El enunciado no entrega la información suficiente para determinar que el cuadrilátero PQRT es un cuadrado

o bien qué tipo de cuadrilátero es.


De la información se puede determinar el valor de la altura del trapecio isósceles.

4 cm

5 cm

3 cm

D C

BA

4 cm h

4 cm

3 cm

Por lo tanto, el área es:

b bh

cm

1 2

2

2

4 102

4

28

+

⋅

+

⋅

; reemplazando los valores respectivos.

; desarrollando, el valor del área es:


De la información dada y analizando la figura se tiene:

i. ∆EAC isósceles de base EC

ii. ∆DBC isósceles de base DC

x

A B

DE

C

15º 15º6060

15º 15º

Como el triángulo ABC es equilátero:

15º + x + 15º = 60º ; despejando “x” x = 30º

Cpec

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95



Se debe determinar la razón:

Área del triángulo CFEÁrea del rectángulo A

BBCD

B

; aplicando fórmulas

aase Altura

ancho

⋅

⋅2

largo ; de la figura

FC DE

AB

⋅

⋅2

BBC y reemplazando; ,AB FC AD ED

FC DE

= =

⋅

2 2

222 2FC ED⋅

; simplificando

1

2 2 2⋅ ⋅ ; desarrrollando

18


Si se proyectan los lados de la zona achurada hacia los lados del cuadrado, éstos corresponden directamente,

por lo cual el perímetro de esta zona coincide con el del cuadrado.


Por definición I y III son incorrectas, por lo cual sólo II es correcta.


El área achurada corresponde a la 34

del área del rectángulo, superponiendo las figuras

D C

A BE

F

Por lo cual:

34

48 362 2⋅ =cm cm

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Se debe determinar:

Área del triángulo ABCÁrea trapecio ABCD

⋅1000%

La altura del triángulo y del trapecio son coincidentes por lo cual se simplifican de la siguiente expresión:

AB h

AB DCh

⋅

+

⋅

⋅2

2

100% ; simplificando y reemplazando loos valores

42

4 12

100+

⋅ % ; desarrollando

252

⋅⋅ = ⋅ =10045

100 80% % %


Al unir los puntos medios F,E,H y G estamos trazando medianas, es decir:

HG BCD

EH

es mediana del triángulo

es medianaa del triángulo

es mediana del trián

ADC

FE ggulo

es mediana del triángulo

BAD

GF ABC

H

E

G

D

C

BA F

120º

60º

Por lo cual utilizando la propiedad que dice que la longitud de una mediana es la mitad de la longitud del lado

paralelo, se tiene que:

HG DB

EH AC

FE DB

GF AC

=

=

=

=

1212

1212

Calculando el perímetro del cuadrilátero FGHE

12

12

12

12

DB AC DB AC+ + + ; términnos semejantes.

DB AC+ ; reemplazando loos valores dados.

10 6 12, cm cm+

22 6, cm

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97



Con los datos se puede determinar el valor de la mediana MN

MNb b

=+1 2

2 ; reeemplazando los valores

MN

MN

= +

=

3 52

4

Ahora debemos determinar la razón:

S

S1

2

b

; por la fórmula

1 +

⋅

+

MNh

MN

2

bbh2

2

⋅

; ssimplificando

b MN

MN b1

2

+

+ ; reemplazando los valores

33 44 579

++


Utilizando el teorema de Pitágoras se determina la magnitud de un lado que da como resultado 5 m

15 m

4 m

3 m

4 m

15 m

5 m

El perímetro de la figura es de 42 m pero como se debe descontar los 3 m que corresponden a las puertas, el

total de malla a utilizar es de 39 m.


El área total corresponde a dos cuadrados de lados “a”. Por lo cual el área será igual a 2a2.

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Como FH y CG corresponden a las alturas de triángulos rectángulos podemos determinar su magnitud a

partir de:

FH CG

Lado triángulo= = ⋅

; reem

32

pplazando

FH = =6 32

3 3

Traspasando los datos a la figura.

A B

FC

ED G

10 m

6 m 4 m 6 mH

3 √3 m 3 √3 m

Por lo cual el perímetro del rectángulo CGHF es:

10 3 3 10 3 3

20 6 3

+ + +

+( )m


De la información presente en el dibujo se puede determinar que los catetos de los triángulos isósceles mi-

den:

1

2− a

Pero sin embargo por análisis de la figura se infiere que los triángulos isósceles formados en las esquinas son

rectángulos de hipotenusa igual “a”. Entonces utilizando el teorema de Pitágoras tenemos que:

cateto cateto ; operando2 2 2

2

+ = a

⋅⋅ =cateto ; desp2 2a eejando el valor del cateto

cateto 22

2= a

; aplicando y racioonalizando.

cateto = a 22

1m a

a (1-a)

2

a√22

Finalmente tenemos que:

12

22

− =a a ; simplifiicando y ordenando.

1 2= +a a ; factorizando por

" "

( )

a

a1 2 1= + ; despejando " "a

1

2 ++=

1a ; racionallizando

1

2 1

2 1

2 1

2 12 1

2 1

( )

( )

( )

( )

+⋅ −

−=

−−

=

− =

a

a

m a

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99



Ordenando la información en la figura.

dh=

23 d

D C

BA7 cm

2 cm 2 cm

3 cm

Utilizando Pitágoras.

h d2 2 22+ = ; dejaando en función de " " " "d h

h h2

2

432

+ = ⋅

hh h2 2494

+ = ⋅ ; multiiplicando por 4 y ordenando

4 16 9

16 9

2 2h h

h

+ == 22 24− h ; términos ssemejantes

16 5 2= h ; despejamos

" "h

h

2

2165

= ; aplicando

165

== h ; raciionalizando

el valor de es

4 55

4 55

=

∴

h

h cm

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A B

CD

E

α

ααα

i. Del triángulo BCE se tiene que: ∠ = ° −BCE 180 2α

ii. Del triángulo DCE se tiene que: ∠ = ° − +∠ = ° −

DCE

DCE

180 2

180

α αα

iii. Como ABCD es un rombo y DB corresponde a una diagonal: ∠ = ° − ∠ = −BDC o BDC180

290

2α α

iv. El triángulo CDE es isósceles de base DE , ∠EDC ≅ ∠CED.

∠EDC + ∠CED + ∠DCE = 180º

2 ∠EDC + 180º - α = 180º

∠EDC = α2

Finalmente el: ∠ = ∠ − ∠

∠ = ° − −

∠ = ° −

BDE BDC EDC

BDE

BDE

902 2

90

α α

α

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101



Circunferencia y círculo


Como el triángulo ACB está inscrito en una semicircunferencia es rectángulo en C. Además de la informa-ción, tenemos.

30º 60º2R

R

Por lo visto en triángulos:

∠x = 30º


Como z e y son ángulos inscritos que sustienden un mismo arco, miden lo mismo.

z = y

Entonces:

x y z- - ; dejandoo todo en función de , ángulo del centro " "

-

x

xxx x2 2

- ; desarroollando.

x x-

0 0º


El sector achurado corresponde a:

1

13

415

15

− + +

; igualanddo denominadores

15

154

153

15- + +

; sumando

11215

- ; restando

315

CAPÍTULO 5

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“L” corresponde al perímetro de la circunferencia:

L R R

LR

=

=

2

2

π

π

; despejando


Por ángulos inscritos: ∠ACB = ∠ADB

Entonces,

45 70

25

° + = °= °

x

x

x ; despejamos 45º

45º

70º

x

CB

DA

45º


Todas las figuras achuradas tienen como parte de su perímetro cuatro semicircunferencias y ocho lados rec-tos de longitudes iguales. Lo que indica que sus perímetros son iguales.

P1 = P2 = P3


A B

CD 8

8

8

8

Se tiene que esta zona achurada corresponde al área de un cuadrado menos el área de un cuarto del círculo. Como en la figura del problema se tienen dos zonas idénticas ésta corresponderá a la mitad de la superficie pedida.

Área Achurada

Área Achurada

= − ⋅ =

=

814

8 3

64

2 2π π;

−− == ⋅ =48 16

2 16 32 2Área Achuradapedida cm

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103



Recordemos que los ángulos recorridos por el horario y el minutero de un reloj están en la razón 1:12, ya que en una hora el horario avanza 30º y el minutero 360º. Si se toma como referencia las 12 horas, los punteros forman un ángulo de 0°. A las 12 horas 30 minutos el minutero recorre 180°, lo que no implica que los pun-teros formen un ángulo extendido ya que el horario también se mueve.

Para determinar la cantidad de grados que recorre el horario en este tiempo plantearemos la siguiente propor-ción:

112 180

=°

x ; despejamos "xx

x

"

= °°

18012

; simpliificando

x = °15

Es decir, que el ángulo formado por los punteros se determina realizando la diferencia entre los ángulos barridos por el minutero y el horario.

180º - 15º = 165º


De la información se desprende que:

Ra=2

; radio de la circunferrencia

El área achurada se obtiene a partir de:

Área cuadrado - Área círculo

8 ; por fórmula

aa

a

2

2

2

8

2

−

=π

−− a2

48

π=

; factorizando por a

a

2

2 14

−

π

8= factoriizamos por

18

81

4

2a −

π

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Por teorema de las cuerdas:

AE EC BE ED⋅ = ⋅ ; reemplazaando valores

9 9 3⋅ = ⋅ ED ; despejamos ED

cm ED27 =

Por lo tanto, el diámetro de la circunferencia es:

d BE ED= + ; reemplazaando valores

; d cm cm= +3 27 ssumando

d cm= 30

Por definición:

R = 15 cm


Del análisis de la información se tiene que el triángulo ABO es equilátero. El área de este triángulo corres-ponde a la cuarta parte del área del rectángulo ABCD

i. Área Equilátero ; ∆ = a2 34

con

Área Equilátero

a cm

cm

=

=

4

4 3∆

ii. Área rectángulo Área Equilátero

Ár

ABCD = ⋅4 ∆

eea rectángulo

Área rectángu

ABCD cm= ⋅4 4 3 2

llo ABCD cm= 16 3 2


Si decimos que el ∠BOD = α tenemos que:

B

A

D

C

O

α α

αβ

A partir del triángulo COA se infiere que:

α β αβ α

β+ ==

2 ; despejamos

ββ = ∠BOD

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105



Como el triángulo DOB es isósceles.

AB

CD

O100º 100º

40º

40º

Por lo que se tiene que el área del sector circular corresponde a:

Área sector circular = ⋅ ⋅100360

2π r

Área sector

; simplificamos

circular = ⋅518

2π r


La propiedad de los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia y de la tangente se tiene que:

100º

BA

O

30º50ºx

F

C

Por lo que el ángulo OCA es igual a:

x + 50º = 90º

x = 40º


O15R

11

5

Aplicando el teorema de las secantes:

16 11 15 15⋅ = + ⋅ −( ) ( )R R ; desarrrollando suma por su diferencia

176 225 2= - R ; despejanndo

R

R

2

2 49= ; aplicando

R cm= 7

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Este ejercicio se responde con el sólo echo de manejar adecuadamente los conceptos asociados a circunferen-cia.


De la primera parte del enunciado:

P P1 2 4− = π ; reemplazando por la ecuación de perímetro

22 2 41 2π π π⋅ − ⋅ =R R ; simplifiicando por

2

21 2

πR R− =

; despejando

Lueg

R

R R1

1 21 2) = +oo:

; A A1 2 20- = π reemplazando por la ecuación de área

π ⋅ R12 −− ⋅ =π πR2

2 20 ; simplificando por

π

2 2012

22) R R− =

; de 1) en 2)

( ) -2 2022

22+ =R R ; desarrollando el cuadrado de binomio

4 4 202 22

22+ + =R R R- ;; términos semejantes.

4 4 202+ =R ; simplificamos y desppejamos

R

R2

2 4= ; de 1)

R

R1

1

2 4

6

= +=


Se puede determinar el área del menor círculo.

A R cm1 12 2 25 25= ⋅ = ( ) =π π π

Del enunciado:

A cm

A cm2

2

32

50

100

=

=

π

π

Es decir que el área del mayor círculo es:

100

10

23

2π πcm R= ⋅ ; simplificamos

00

10

23

2cm R= ; aplicamos

ccm R= 3

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107



La única forma de conocer la medida del ángulo α es con ambas juntas (1) y (2). Esto porque al conocer los dos ángulos se puede completar por propiedad de ángulo inscrito la figura de la siguiente forma.

B

E D

A

C α

60º 80º

80º

140º


Con ambas juntas (1) y (2) se determinan los datos de un triángulo rectángulo que son 3, 3√3 y 6, luego los ángulos opuestos son 30º, 60º y 90º. Luego, se puede calcular el área pues se tiene el ángulo y el radio.

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109



Geometría de Proporción, cuerpos geométricos


Aplicando Thales

3 3 618x

= + ; desarrollamoss y simplificamos

3 918

3 12

x

x

=

= ; multiplicamos cruzadoo

x = 6


El volumen de un paralelepípedo es:

largo ancho alto ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ −25 2 2 3( ) ( )b b cm ;desarrollando la suma por su diferencia

laargo ancho alto ⋅ ⋅ = ⋅ −25 22 3( )b cm


Por definición de sección áurea


Por definición de figuras equivalentes

CAPÍTULO 5

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Por definición de razón determinada interiormente se tiene:

AQ

QB= 7

5 ; reemplazando el vallor de

; despejan

QB

AQ35

75

= ddo

; simplificando

AQ

AQ

AQ

= ⋅

=

35 75

449

49 35

Entonces mide:

cm

AB AQ BQ

AB cm cm

AB

= +

= +

AAB cm= 84


Utilizando el teorema de Apolonio

3 5

35

x y

xy

=

=

; ordenando

Como el triángulo de la figura es rectángulo uttilizando el teorema de Pitágoras se sabe qque:

Utilizando la proporción, tenemos

x y+ = 4

que:

Por lo cual:

3 5 4

8 4

4812

3

k k

k

k

k

x k

+ ==

=

=

= ⋅ = 332

552

y k= ⋅ =

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111



Utilizando Thales

AB

CD

OA

OD= ; reemmplazando por la información

b a

ab

x+⋅

= ⋅2

2 ; multiplicamos ccruzado

; despejamos x b a a b⋅ + = ⋅ ⋅( ) "4 xx

xa b

b a

"

( )= ⋅ ⋅

+4


V V

r r he c

. esfera . cono

=

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅43

13

3 2π π

; simplificamos

4 3 2⋅ = ⋅r r he c ; despejamos " "r

rr

e

e3 = cc

ec

h

rr h

2

2

3

4

4

⋅

=⋅

Utilizaremos Pitágoras para determinar la altura del cono:

Reempl

h cm= 8

aazando los valores en la ecuación, obtenemoos

re

rr h

r

ec

e

=⋅

= ⋅

2

3

23

4

6 84

; simplificamos

re = ⋅9 83 ; desarrollaamos

r cme = ⋅2 93


Utilizando Thales para determinar CD

EA

AB

EC

CD= ; reemplazandoo por la información

5 2

5 2

10 2=x

; despejamos

Por lo tanto, el

" "x

x = 10 2

pperímetro del mide:∆

∆

∆

= + +

=

CDE

P

P

10 2 10 2 10 2

300 2

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Utilizando el teorema de Apolonio

8 7

4AE= ; multiplicammos cruzado

; des 7 8 4⋅ = ⋅AE ppejamos AE

AE = 327


A r. esfera = ⋅ ⋅4 1

2π

; del enunciado

12 4 12⋅ = ⋅ ⋅π π r ; simplificamos

3 1= r 22

; aplicamos

3 1cm r= ; del enunciadoo

Volumen Esfera = ⋅ ⋅43 2

3π r ; reemplazamos los valores

Volumen Esfera == ⋅ ⋅ ; desarrollando el p43

3 3 3π ( ) aarentesis

Volumen Esfera = ⋅ ⋅ ⋅43

27 3 3π ; simplificamos y multiplicamos

Volumen Essfera = ⋅ ⋅108 3 3π cm


Este ejercicio se reduce a determinar la razón AD

DB , ya que los triángulos tienen la misma altura, la razón de

sus áreas será igual a la razón de sus bases.

Sea y ; utilizamos Euclides parAD p DB q= = aa determinar el valor de

" " " "p y q

a p c2 = ⋅

b q c

p c q

2

2 28 16

= ⋅= ⋅ = ⋅ cc

pc

qc

AD

DB

= =8 162 2

Finalmente

== pq

AD

DB

; reemplazando

==

8

16

2

2c

c

; ordenando la fraacción compuesta

; AD

DB cc= ⋅8

16

2

2ssimplificamos

AD

DB= 1

4

8

D

16

A B

C

p q

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


113



Sabemos que la superficie total de un cubo es:

6 2⋅ a ; como se eliimina una de las caras

6 2 2⋅ −a a

Por lo tant

; términos semejantes

5 2⋅ a

oo, la superficie a pintar es 5 2a


El largo de la malla de alambre corresponde al perímetro de la superficie rectangular.

P m= 480 ; ppor definición de perímetro

2 480( )a b m+ = ; simplificamos

a b+ = 2440m

Se nos pide que la razón de los lados seea por lo cual

a b

k k

: :=

+ =5 3

5 3 240 ; términos semejantes

8k ===

= == =

240

30

5 150

3 90

k

a k

b k

Es decir:

Por lo tantto, la superficie del rectángulo será:

a b⋅ = 1150 90 13500 2⋅ = m a ∙ b = 150 ∙ 90 = 13.500m2


Sabemos que la razón entre las áreas del triángulo ABF y FBC es igual a la razón entre AF y FC

A ABFA FBC

AF

FC

∆∆

= ; utilizando el teorema de Apolonnio

AF

FC= 6

12

; simplificamos

AF

FC= 1

2 ; del enunciado

A ABC A ABF A FBC∆ = ∆ + ∆224 2 ; por m A ABF A FBC= ∆ + ∆ pproporción

24 22m k k= +

; términos semejantes

24 m22 3= k

; despejamos k

m k8 2 = ; por úúltimo

A ABF k m∆ = = 8 2

6 m

F

12 m

A

B

C

α α

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


114


ech

Pre

univ

ersi

tario

, Edi

ción

200

9


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009



Recordamos que:

Área del Cubo ;= 6 2a reemplazamos

23

62 2m a= ; despejamos " "a

m a

2

2 219

= ;; aplicamos

Volumen del cubo

13

3

m a

a

=

= ; reemplazamos el valor dde

Volumen del cubo

Volumen d

" "a

m=

13

3

eel cubo

Finalmente como se tiene c

=1

273

27

m

uubos, el volumen del cubo mayor es:

Volumen == ⋅271

271

3

3

m

mVolumen=


Volumen CuboVolumen Esfera

=

⋅ ⋅=

21

43

21

3

3

a

rπ ; reemplazamos los datos

( )1

43

3

21

3

3

m

r⋅ ⋅= ; simplificamos y despejamos r

m

3

318

== r3 ; aplicammos

Como conocemos el radio de la es

3

12

m r=

ffera podemos determinar su superficie

Área EEsfera ; reemplazando = ⋅ ⋅4 2π r llos valores

Área Esfera = ⋅ ⋅

4 3

12

2

m ; desarrollamos el parentesís

Área Esfera == ⋅ ⋅4 314

2m ; simplificamos

Área Esfeera = 3 2m

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


115



Por definición

V.cilindro:V.cono:V.esfera = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅π πr h r h2 21

3: :

443

3π π⋅ r ; simplificamos todo por ⋅⋅

=

r

h h r

2

13

43

V.cilindro:V.cono:V.esfera : : ; amplifficando todo por

V.cilindro:V.cono:V.esfe

3

rra = 3 4h h r: :


La información (1) es suficiente ya que las alturas de un triángulo equilátero son congruentes y cumplen con

todas las características de las rectas notables.

La información (2) es suficiente ya que si G es centro de gravedad y por la figura también es ortocentro, se

tiene que el Δ es equilátero.


Cada información por sí sola permite determinar el valor de la arista por ende, su volumen.

1) La diagonal AB , corresponde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos a y a√2 . Utilizan-

do el teorema de Pitágoras se puede determinar a (longitud de las aristas del cubo) y posteriormente el

volumen a3.

2) Si reconocemos la magnitud de la superficie del cubo se puede obtener la medida de la arista del cubo y

así posteriormente su volumen.

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


116


ech

Pre

univ

ersi

tario

, Edi

ción

200

9


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


117



Geometría Analítica y transformación isométrica.


La pendiente de una recta se determina de la siguiente forma:

my y

x x

m

=−−

= −− −

2 1

2 1

6 32 4

( )

m

m

=

=

3612

; reemplazano los valores

; desarrollando


Sólo existen tres polígonos regulares que permiten teselar un plano.

• Triángulo equilátero

• Cuadrado

• Hexágono regular


Un punto definido en un sistema tridimensional tiene el orden:

• (abscisa, ordenada, cota) ; es decir (x,y,z)


Por definición.

CAPÍTULO 5

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


118


ech

Pre

univ

ersi

tario

, Edi

ción

200

9


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009



Determinamos las coordenadas del punto M.

; reemplazando los valores

Mx x y y

M

=+ +

= − +

1 2 1 2

2 2

3 32

6 22

,

,

= ( )

M 0 4,

; desarrollando

Para determinar la distancia entre M y A se utiliza:

d x x y y= − + −( ) ( )2 12

2 12 ; reemplazando los valores

d

d

= − + −

= +

=

( ) ( )0 3 4 2

13

2 2

9 4d

; desarrollamos


Tenemos tres puntos: A(-6,1); B(-3,4); C(-2,1).

Si realizamos la traslación propuesta.

; operando

; operando

; operando

; punto planteado en las alternativas

T

T

T

A

A

B

( , )− + +

+ +

6 2 1 5

(-4 , 6)

(-3 2 , 4 5)

(-1 , 9)

(-2 2 , 1 5)

(0 , 6)

TB

T

T

C

C

+ +

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


119



El polígono formado entre los dos triángulos corresponde a un rectángulo.

El área de un rectángulo es:

A a b

A

A

= ⋅= ⋅=

2 4

8

; de la figura

4

A 1

A,-1

-4

C

,C-6 -3 -2

•

• •

•• •

••


La distancia entre dos puntos se obtiene a partir de:

; Reemplazando los datos

D x x y y

a

= − + −

= − + −

( ) ( )

( ) ( )

2 12

2 12

2 25 5 2 6

25 (5- )

25 (

2= + −

=

a ( )4 2

55- )

2a

a

a

+

= −= −

16

9 5

3 5

2( )

2a =

; Elevando el cuadrado

; Operando

; Aplicamos √64

; Despejamos a


Para determinar el área del polígono ACDB podemos dividirlo en dos triángulos.

Área ACBD A A

Área ACBD

ACD ADB

= +

= ⋅ + ⋅∆ ∆

6 52

6 32

ÁÁrea ACBD

Área ACBD

= +=

15 9

24

; De la figura •

Y

X(–2, 0)

A

5

-3

(2, 5)C

(4, 0)

D

B(4,–3)

•

•

•


Por definición de pendiente y coeficiente de posición.

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


120


ech

Pre

univ

ersi

tario

, Edi

ción

200

9


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009



El polígono de la figura se puede dividir en dos triángulos.

Área Polígono A A

Área Polígono

= +

= ⋅ +

∆ ∆1 2

6 32

6 ⋅⋅

= +=

32

9 9

18

Área Polígono

Área Polígono

; De la figura

; Desarrollando

x

y

(2, 1)

(5,4)

(2, 7)

(-1, 4)12


Por definición de traslación.

T a b

T x a y bP

( ,

( )

)

, + +

A partir del problema se tiene que:

T a b A

a bA ( ) '( )4 6 0 2+ + =+ = + =

, ,

4 0 y 6 22

-4 y -4a b= =

; Analizando

; Despejando a y b

Por lo tanto, la traslación estaría dada por:

T(-4,-4)

13. La respuesta correcta es D

Por definición de rotación o giro


Por definición de simetría axial.

2

8-8

A

y

A

S

• •,(8,2)

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


121



Sea z el ángulo entre x e y, la figura queda

x z y

A

B

CC’

B’

Como ΔABC ≅ ΔAB’C’ (por definición de rotación)

entonces: x + z = z + y /-z x = y


Construyendo la figura correspondiente y por definición de simetría central.

a

2a

2

a

2

a

2

P

P : centro de Simetría


Por definición sólo II y III.


Ordenamos las igualdades planteadas y graficamos.

I

-3

y

xy = -x

3

3

y

x

y= x

3

II y III

∴ Todas las igualdades son correctas

Cpec

h P

reun

iver

sita

rio, E

dici

ón 2

009


122



Graficando los puntos se obtiene un romboide.

Área Romboide base altura

Área Romboide

= ⋅= ⋅4 55

20Área Romboide =

(-1,4) (3,4)

(2,-1)(-2,-1)

••

• •4

5


De (1), no se puede, pues los puntos son colineales.

De (2), no se puede determinar un plano con un solo punto.

Con (1) y (2) se puede determinar un plano, pues para determinar un plano se necesitan tres puntos no coli-

neales.

Soluc libro mate 2009

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