PDF - Transformasi Laplace

Masalah Nilai Awal Syarat Batas (MNASB)

TRANSFORMASI LAPLACE

© Ahmad Fauzi & Alifa Sabrina

1


A. Definisi

Transformasi laplace sering dipergunakan untuk menganalisa sinyal dan sistem linier tak

ubah waktu. Transformasi laplace mempunyai banyak karakteristik yang mempermudah

analisa tersebut. Transformasi laplace juga sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan

diferensial sistem. Dalam desain sistem transformasi laplace digunakan untuk menyatakan

fungsi alih sistem. Transformasi Laplace merupakan salah satu metode yang digunakan

untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial dan masalah nilai awal. Prosedur utama

dalam penyelesaiannya adalah:

1. Mentransformasi (Laplace) persamaan yang sulit menjadi persamaan yang lebih

sederhana yang disebut persamaan pengganti.

2. Menyelesaikan persamaan pengganti dengan manipulasi aljabar biasa.

3. Mentransformasi kembali (invers Laplace) selesaian dari persamaan pengganti untuk

mendapatkan selesaian dari persamaan semula.

Prosedur tersebut dapat digambarkan dalam bagan berikut:

Transformasi Laplace dari suatu fungsi ( )f t didefinisikan sebagai :

0

stF s e f t dt

Dengan notasi :

( ) ∫ ( )

dengan s adalah bilangan kompleks yaitu s=+j.




2

B. Sifat – Sifat Transformasi Laplace

b.1. Sifat Unik

Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut.

Jika f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) maka transformasi balik dari F(s) adalah

f(t).

Dengan kata lain

Jika pernyataan di kawasan s suatu bentuk gelombang v(t) adalah V(s), maka pernyataan

di kawasan t suatu bentuk gelombang V(s) adalah v(t).

Bukti dari pernyataan ini tidak kita bahas di sini. Sifat ini memudahkan kita untuk mencari

F(s) dari suatu fungsi f(t) dan sebaliknya mencari fungsi f(t) dari dari suatu fungsi F(s)

dengan menggunakan table transformasi Lapalace. Mencari fungsi f(t) dari suatu fungsi F(s)

disebut mencari transformasi balik dari F(s), dengan notasi { ( )} ( ). Hal

terakhir ini akan kita bahas lebih lanjut setelah membahas sifat-sifat transformasi Laplace.

b.2. Sifat Linier

Karena transformasi Laplace adalah sebuah integral, maka ia bersifat linier.

Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah jumlah dari transformasi

masing-masing fungsi.

Jika 1 1 2 2f t A f t A f t maka transformasi Laplace-nya adalah

1 1 2 2 1 1 2 2

0 0 0

( ) ( ) ( )st stF s A f t A F e dt A f t e dt A f t dt

1 1 2 2( ) ( ) ( )F s A F s A F s

dengan 1( )F s dan 2 ( )F s adalah transformasi Laplace dari 1( )f t dan 2 ( )f t .




3

Contoh Soal :

L{ 2 + 3 sin 4t + 4t5 } = L {2 } + L{ 3 sin 4t } + L{ 4t

5 }

= 2 L { } + 3 L{ sin 4t } + 4 L{ t5 }

= 2 (

) + 3 (

) + 4 (

)

= (

) + (

) + (

)

b.2. Translasi terhadap s

Sifat mengenai translasi di kawasan s dapat dinyatakan sebagai berikut.

Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka transformasi Laplace dari ate f t

adalah F(s + α).

Bukti dari pernyataan ini dapat langsung diperoleh dari definisi transformasi Laplace, yaitu:

0 0

s aat ste f t e dt e f t dt F s a

Contoh Soal :

1. Jika, L { F(t)} =

dimana L { F(t)} = ( )

L { } =

( )

=

Kita mengetahui jika dengan cara langsung bahwa, L { } = L { F(t)}

=

Itulah yang dinamakan sifat translasi atau pergeseran tehadap s untuk sifat pergeseran yang

pertama.

2. jika, L { sin 3t} = (

) dimana L { F(t)} = ( )

L { } = (

( ) )

= (

)




4

b.3. Translasi Terhadap t

Sifat transformasi Laplace berkenaan dengan translasi di kawasan t ini dapat dinyatakan

sebagai berikut :

Jika Transformasi Laplace dari f t adalah F s , maka transformasi laplace dari

f t a u t a untuk 0a adalah ase F s .

Menurut Definisi :

0

stf t a u t a e dt

Karena u t a bernilai nol jika t a dan bernilai satu jika t a , maka bentuk integral

dapat diubah :

0

st st

a

f t a u t a e dt f t a e dt

Ganti peubah integrasi t menjadi , dengan hubungan t a , maka dt menjadi d ,

dan 0 ketika t a dan ketika t , jadi

0 0

0

s ast

as s as

f t a u t a e dt f e d

e f e d e F s

Contoh Soal :

32 ; 2

0; 2

t tF t

t

Missal :

3 3

2

2

t

t




5

3

3

3 1 4

22

4 4

3! 6

6 6 sas s

F

f s L F Ls s

eL F t e f s e

s s

b.4. Pen-Skalaan

Sifat ini dapat dinyatakan sebagai

Jika Transformasi Laplace dari f t adalah f s , maka untuk 0a transformasi dari

f at adalah 1 s

Fa a

Bukti dari sifat ini dapat langsung diperoleh dari definisinya. Dengan mengganti peubah t

menjadi at , maka transformasi laplace dari f at adalah :

0 0 0

1 1s s

st a as

f at e dt f e d f e d Fa a a a




6

Contoh Soal :

sin3 ...L t

Misal :

3

3

3

t

t

ddt

Jadi :

2

2 2 2

2 2

sin 3

sin

1sin

1

1 1 9

3 911

93

1 1 9 3sin 3

3 3 3 9 9

L t

F t t

f s L ts

sf

s ss

sL t f

s s

PDF - Transformasi Laplace

Documents

Transcript of PDF - Transformasi Laplace