otomatik kontrol

Otomatik Kontrol I

Laplace Dönüşümü

Vasfi Emre Ömürlü

By Vasfi Emre Ömürlü, Ph.D., 2007 2

Laplace Dönüşümü:ÖzellikleriTeoremleri

Kısmî Kesirlere Ayırma


Laplace TransformIt is advantageous to solveBy using, we can convert many common functions into

Operations like differentiation and integration can be replaced by algebraic equations.A linear differential equations can be transformed into an algebraic equation.If the algebraic equation in s is solved for the dependent variable, then the solution of the differential equation may be found by use of


Laplace dönüşümünün avantajı

Grafik tekniklerin kullanımına imkan verir

Diferansiyel denklemlerin çözümünü kolaylaştırır


Some dynamic systems and their mathematical representations

q1

Discharge valve

Discharge valve

Q4Q2 Q3

h1 h2

Automatic control valve to adjust the liquid levels of the tanks by controlling the flap angle ϕ

Valve to adjust the flow rate Q3 between tanks

Q1


Kompleks DeğişkenBir kompleks sayı gerçek ve imajiner kısımlardan oluşur. Bu iki kısım değişken olduğundan kompleks değişken ismini alır.

G(s) kompleks fonksiyonu gerçek ve imajiner kısımlardan oluşur, Gx ve Gy.

Doğrusal kontrol sistemlerinde kompleks fonksiyonlara çokça rastlarız ki bunlar s cinsinden fonksiyonlardır.


Euler`s Theorem

=θ=θ

sincos

Since

=θ+θ sincos j

...!4)(

!3)(

!2)()(1

432

+++++=xxxxex

Euler’s theorem

Also


(Ters) Laplace Dönüşümü Tanımı ve varlığı

{ } dtetfsFf(t) st∫∞

−⋅==0

)()(L

f(t)=s=

L=F(s)=

Ters laplace dönüşümü de mevcuttur ve L-1 ile gösterilir.

Genellikle Laplace dönüşümünün integral fonksiyonu yerine daha basit yöntemleri kullanırız.

f(t) fonksiyonunun laplace dönüşümü laplace integrali yakınsarsa mevcuttur. Bu da ancak f(t) fonksiyonu t>0 için her sonlu aralıkta sürekli ise ve t sonsuza giderken fonksiyon üstel bir hal alıyorsa mümkündür.


Bazı yaygın laplace dönüşümüörnekleri

Basamak fonksiyonu

⎩⎨⎧

≥<

=000

tforAtfor

f(t)

Yüksekliği bir olan basamak fonksiyonuna birim basamak fonksiyonu denir. t=to da gerçekleşen birim basamak fonksiyonu t-to ın fonksiyonu manasına 1(t-to) ile gösterilir.

step

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12

time(sec)

sign

al s

tren

gth

(sig

nal u

nit)


Bazı yaygın laplace dönüşümüörnekleri

Üstel fonksiyon

⎩⎨⎧

≥⋅<

= − 000

tforeAtfor

f(t) at

exp decay

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10 12

time(sec)

sign

al s

tren

gth

(sig

nal u

nit)


Bazı yaygın laplace dönüşüm örnekleri

Rampa fonksiyonu

{ } dtteAdtetAtf

tfortAtfor

f(t)

atst ∫∫∞

−∞

− ⋅⋅=⋅⋅=

⎩⎨⎧

≥⋅<

=

00

)(

000

L ramp

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12

time(sec)

sign

al s

tren

gth

(sig

nal u

nit)


Bazı genel laplace dönüşümüörnekleri

Sinüs fonksiyonu

( )tjtj eej

AtArecalltfortAtfor

f(t) ω−ω −=ω⎩⎨⎧

≥ω⋅<

=2

sin0sin00

sine

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 2 4 6 8 10 12

time(sec)

sign

al s

tren

gth

(sig

nal u

nit)


En çok kullanılan (kullanacağımız) dönüşümler

f(t) F(s)A

AtnAt

ateA −⋅

)sin( taA ⋅⋅)cos( taA ⋅⋅

)sin( taeA bt ⋅⋅ −

)cos( taeA bt ⋅⋅ −


Sinyal şekilleri

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 10 12

time(sec)

sign

al s

tren

gth

(sig

nal u

nit) A

At

nAt

ateA −⋅

)sin( taA ⋅⋅)cos( taA ⋅⋅

)sin( taeA bt ⋅⋅ −

)cos( taeA bt ⋅⋅ −


Laplace dönüşümü özellikleri -süperpozisyon

)()(

)()(

21

21

sFsF

tftff(t)

⋅β+⋅α=

⋅β+⋅α=

Ölçekleme özelliği { } )()( 11 sFtf ⋅=⋅ ααL


Laplace dönüşümü özelliği - gecikme


Laplace dönüşümü özelliği - gecikme

{ } ∫∞

− ⋅⋅−=0

1 )()( dtetftf stλL

Suppose f(t) is delayed by λ>0. The Laplase transform of the function,

Define a new variable, t’=t- λ, and then, dt’=dt, f(t)=0 for t<0

{ } )()( sFetf s ⋅=− −λλLt00

A/t0

f(t)

tλ+t0λ


Laplace dönüşümü özelliği – türev

)0()0(........)0()0()()(

)(

)(

)1()2(21

2

2

−−−− −−−−−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

nnnnnn

n

fsffsfssFstfdtd

tfdtd

tfdtd

&L

L

L

f(0) fonksiyonun başlangıç şartı ve df(0)/dt fonksiyonun türevinin başlangıç şartıdır.Mesela, fonksiyon mekanik sistemin konumunu veriyorsa, konum ve hız başlangıçşartları gibi.


Bazı laplace dönüşümü örnekleriDarbe fonksiyonu

{ }

)1(

)(1)(1)(1)(1)(

)(1)(1)(,00

0

00

000

00 0

000

00

000

0

00

stst

ststst

est

Aest

Ast

A

dtettdtettAdtett

tAt

tAtf

tttAt

tAtf

tttfor

ttfortA

f(t)

−−

∞∞ −−

∞−

−=−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−−⋅⋅=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−⋅=

−⋅−⋅=⎭⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

><

<<=

∫ ∫∫L

Burada, A ve t0 sabittir. Darbe fonksiyonu yüksekliği A/t0 olan, t=0 da başlayan bir basamak fonksiyonu ve t=t0 da negatif aynı şiddette bir basamak fonksiyonu ile birleşen bir toplam fonksiyon olarak düşünülebilir.

t00

A/t0

f(t)

t


Bazı laplace dönüşümü örnekleriDarbe fonksiyonu

{ }

[ ]

( )AsAs

stdtd

eAdtd

est

Atf

tttfor

ttfortA

f(t)

st

t

st

t

t

==−

=

−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

><

<<=

−

→

−

→

→

/)1(

lim

)1(lim)(

,00

0lim

00

0

0

00

0

00

0

0

0

0

0

0

L

Darbe fonksiyonun yüksekliği A/t0 ve süresi t0 olduğundan, bunun altındaki alan direk olarak A dır. t0 0 a yaklaştığında, alan A olarak kalır. Şu da hatırlanmalıdır ki darbe fonksiyonunun genliği altındaki alanla ölçülür.Darbe fonksiyonunun altındaki alan 1 e eşit ise buna birim darbe fonksiyonu veya Dirak Delta fonksiyonu denir.

0,t0

A/t0

f(t)

t


Laplace dönüşümü teoremleri – son değer teoremi

)(lim)(lim0

ssFtfst →∞→

=

Example: aşağıdaki sistemin kalıcı hal değerini y(∞) bulunuz.

=

+++

=

∞→

⋅−±−

)(lim

)102()2(3)(

210442:

2

ty

sssssY

t

poles

44 344 21


Laplace dönüşümü teoremleri – ilk değer teoremi ve DC kazanç

43421existshould

sssFf

−

∞→=+ )(lim)0(

)(lim0

sGGainDCs→

=−


Kısmî kesirlere ayırma

}

{

=

−

−=

++⋅+++⋅+⋅

==

∏

∏

=

=−

+−

n

jpolescalled

j

m

i

zeroscalled

i

rootspnwithpolynomialreen

nnn

rootszmwithpolynomialreem

mmm

ps

zsK

asasbsbsb

sAsBsF

jth

ith

1

1

.....deg

11

.....deg

11

21

)(

)(

............

)()()(

4444 34444 21

44444 844444 76

Neden ihtiyaç duyuyoruz?

Fonksiyonun s-ortamında paydasının köklerine bağlı olarak kısmî kesirlere ayırma üçayrı şekilde yapılır.1. Payda ayrık gerçek köklere sahipse, 2. paydada kompleks kökler varsa, 3. paydada tekrar eden kökler varsa.


Kısmî kesirlere ayırma – ayrık kökler

12

2

1

1 ,)(

...)()(

)( Cforps

Cps

Cps

CsF

n

n

−++

−+

−=

1)()( 11 ps

sFpsC→

⋅−=

npsnn sFpsC→

⋅−= )()(


Kısmî kesirlere ayırma – ayrık kompleks kökler

{

( )

=

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

++⇒

=⇒−=−=⇒=++++

⇒++

++++=

+++

+=++

=++

++=

++=

)(

)(

23)2/1(

2/12/1

)(1,111)1()1(1

1)1()1(1

1)1(

1

,1)1(

1)(

2

2

3232

2

23

22

232

2

1232

.

12

tf

sF

s

s

sFCCsCsCsss

sCsCssCsC

ssss

CssCsC

sC

ssssF

usualassolve

Bazı kökler kompleks ise

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10

time(sec)

sign

al s

tren

gth

(sig

nal u

nit)

stepsine decaycosine decayf(t)


Kısmî kesirlere ayırma – tekrar eden kökler

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )[ ]

( )[ ]

( ) ( )tt

s

etetfsss

sF

CsFsdsdagainatingdifferenti

sCsFsdsd

CCsCsdsdsFs

dsdalsoCsFs

CCsCssC

sC

sC

ss

sss

sC

sC

sC

ssssF

s

ss

−−

−→

+=⇒+

++

++

=

===⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

=+==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

++++=+==+

++++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

++

++=

+++

+

++

++

+=

+++

=

−→

−→−→

232

13

2

2

23

32123

31

3

3212

33

2213

3

23

33

221

3

2

)(1

21

01

1)(

1221)(1

21

022)(1

11)(1,2)(1

11111

1)1(

321

111)1(32)(

1

11

Bazı kökler tekrar ediyorsa

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10

time(sec)

sign

al s

tren

gth

(sig

nal u

nit) f(t)

e^-t

t^2*e^-t


Örnek: tank dinamiğiProseste kullanıla tank dinamiği şöyle veriliyor:

Q(s)

-h(t) yi bulunuz-h(t) nin t = 105 teki genliğini bulunuz


Örnek: tank dinamiği)(

101)( sQ

ssH ⋅

+=

I

II

III

IV


Örnek: tank dinamiği


Örnek: tank dinamiği=)(sH

=3C

=2C

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

=0

21 )(

ssHs

dsdC


Örnek: tank dinamiğitetth 10

1001

101001)( −++

−=

Bu sonuç sadece 1/s2 girişi içindir, ama diğer cevaplar süperpozisyon ve ölçeklendirme özelliği kullanılarak elde edilebilir.

h(t) for only 1/s^2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1time (sec)


Örnek: tank dinamiğiOverall system response is

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∞<≤

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−+−

++−+−

−+−+−

−++−

<≤

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−+−

−+−+−

−++−

<≤

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−+−

−++−

<⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ++−

=

−−

−−

−−

−

−−

−−

−

−−

−

−

tT

eTQ

TtTQTQ

eTQ

TtTQTQ

eTQ

TtTQTQ

eTQ

tTQTQ

TtT

eTQ

TtTQTQ

eTQ

TtTQTQ

eTQ

tTQTQ

TtTe

TQTtTQ

TQ

eTQ

tTQTQ

TtforeTQ

tTQTQ

th

Tt

Tt

Tt

t

Tt

Tt

t

Tt

t

t

3"

10/

)3)(/(10

/10

/)2)(/(

10/

10/

))(/(10

/10

/)/(

10/

32"

10/

)2)(/(10

/10

/))(/(

10/

10/

)/(10

/

2"

10/

))(/(10

/10

/)/(

10/

10/

)/(10

/

)(

)3(1000

0

)2(1000

0

)(1000

0

1000

0

)2(1000

0

)(1000

0

1000

0

)(1000

0

1000

0

1000

0

tank height, h(t)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 0,5 1 1,5time (sec)

heig

ht (m

)


Örnek: kütle-sönüm-yay sistemi

?

)(tfkxxbxm =++ &&&

Sistem matematik modeli


Örnek: dinamik sistem cevabının laplace dönüşümü

?t

1

u (t)=⎩⎨⎧01

∞<<<<

tt

110

G(s)=1/(s+2)

1 saniye süren bir darbe fonksiyonu için yukarıdaki sistemin cevabını bulunuz.


Örnek: dinamik sistem cevabının laplace dönüşümü

=Ι )(sY

=Ι )(sY

=ΙΙ )(sY One-second delayed of YI(s).

Response of the System to a second long pulse

00,10,20,30,40,5

0 1 2 3

time (sec)sy

stem

out

put

t

1


Ex-1

1 , 0 t 1u(t) 0 , 1 t 3

1 , 3 t

< <⎧ ⎫⎪ ⎪= < <⎨ ⎬⎪ ⎪− < < ∞⎩ ⎭

{ }u(t) ?=L

(Time delay)


Ex-1

{ } )()( sFetf s ⋅=− −λλL

s

s

1 0s

1U(s) e 1s1 e 3

s

− λ

− λ

⎧ ⎫λ =⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪= ⋅ λ =⎨ ⎬

⎪ ⎪−⎪ ⎪⋅ λ =⎪ ⎪⎩ ⎭

s 3s1 1 1U(s) e es s s

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⋅ − ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


Ex-2 (Differentation)

y 10 y 9y 5ty(0) 1

y(0) 2

•• •

•

− + == −

=

Find the Laplace Transform of thisequation…


Ex-2

)0()0(........)0()0()()(

)0()0()()(

)0()()(

)1()2(21

22

2

−−−− −−−−−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

nnnnnn

n

fsffsfssFstfdtd

fsfsFstfdtd

fssFtfdtd

&

&

L

L

L


Ex-2

{ }{ }{ }

{ }

2

2

y s Y(s) s y(0) y(0)

y s Y(s) y(0)

y Y(s)55ts

•• •

•

= ⋅ − ⋅ −

= ⋅ −

=

=

L

L

L

L2

2

2 2

5Y(s) s 10s 9 s 12s

5 s 12Y(s)s (s 9)(s 1) s (s 9)(s 1)

− + + − =⎡ ⎤⎣ ⎦

−= −

− − − −

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-2

0

2

4

6

8

10

12

time (sec)

mag

nitu

de

System ResponseHO1


Ex-3 (Distinct Poles)

s 2F(s)(s 9)(s 1)

+=

− −

Find the Inverse Laplace Transform of thisequation…


npsnn sFpsC=

⋅−= )()(

Ex-3

s 2 A BF(s)(s 9)(s 1) s 9 s 1

+= = +

− − − −

[ ]

[ ]

s 9

s 1

11A (s 9)F(s)83B (s 1)F(s)

8

=

=

= − =

−= − =


Ex-3

{ }1

9 t t

3118 8F(s)

s 9 s 1f (t) F(s)

11 3f (t) e e8 8

−

−= +

− −=

= −

L

Impulse Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

HO2


Ex-4 (Repeated poles)

2

s 25F(s) )s (s 5)

+=

−

2 2

s 25 A B CF(s) )s (s 5) s s s 5

+= = + +

− −

Find the Inverse Laplace Transform of thisequation…

HO3


Ex-4

[ ]s 5

2

s 0

2

s 0 s 0

2s 0 s 0

30 6C (s 5)F(s)25 5

B (s )F(s) 5

d d s 25A (s )F(s)ds ds s 5

d s 25 (s 5) (s 25) 30 6ds s 5 (s 5) 25 5

=

=

= =

= =

= − = =

= = −⎡ ⎤⎣ ⎦+⎧ ⎫ ⎧ ⎫= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎧ ⎫+ − − + − −⎧ ⎫ = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬− −⎩ ⎭ ⎩ ⎭


Ex-4

{ }2

1

5 t

6 655 5F(s)s s s 5

f (t) F(s)6 6f (t) 5t e5 5

−

= − −−

=

= − −

L

Impulse Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

2

4

6

8

10

12


Ex-5

L1/L2 =1/2

M=1 kg

R=60Nsec/m

K=800N/m

F(t)=1 N

- Find y(t)

12

2

Y(s) L 1F(s) L ms rs k

= ⋅+ +


Ex-5

0 0 0 0

st 2st 3st2 2 2 2

F F F FT T T T

F(s) e e es s s s

− − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − − +


12

2

12

2

2 2

Y(s) L 1F(s) L ms rs k

L 1Y(s) F(s)L ms rs k1 1 1Y(s)2 s 60s 800 s

= ⋅+ +

= ⋅ ⋅+ +

= ⋅ ⋅+ +

Ex-5

Common term for every sub-input

31 2 42 2 2

C1 1 1 C C CY(s)2 s 60s 800 s s s (s 40) (s 60)

= ⋅ ⋅ = + + ++ + + +


Ex-5

[ ]

[ ]

22 s 0

21 2

s 0

52 2

s 0

53 2s 40

s 40

4 2s 60s 40

1C s Y(s)1600

d d 1C s Y(s)ds ds s 60s 800

2s 60 9 10(s 60s 800)

1C (s 40)Y(s) 1,56 102s (s 60)

1C (s 60)Y(s) 6, 92s (s 40)

=

=

−

=

−

=−=−

=−=−

= =⎡ ⎤⎣ ⎦

⎧ ⎫ ⎧ ⎫= ⋅ ⋅ = ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ +⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎧ ⎫− −= = − ⋅⎨ ⎬+ +⎩ ⎭

⎡ ⎤= + = = ⋅⎢ ⎥+⎣ ⎦

⎡ ⎤= + = = − ⋅⎢ ⎥+⎣ ⎦

610−


Ex-5

5 t 6 t

5 4 5 6

2

5 4 1,56 10 6,9 10

9 10 6, 25 10 1,56 10 6, 9 10Y(s)s s s 40 s 60

y(t) 9 10 6, 25 10 t e e− −

− − − −

− − − ⋅ − ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅= + + +

+ += − ⋅ + ⋅ ⋅ + +


Ex-5

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

5 t 6 t

5 t T 6 t T

5 t 2 T 6 t 2 T

5 t 3T

5 4 1,56 10 6,9 10

5 4 1,56 10 6,9 10

5 4 1,56 10 6,9 10

5 4 1,56 10

I 9 10 6, 25 10 t e e

II 9 10 6, 25 10 t T e e

III 9 10 6, 25 10 t 2T e e

IV 9 10 6, 25 10 t 3T e e

− −

− − − −

− − − −

− −

− − − ⋅ − ⋅

− − − ⋅ − ⋅

− − − ⋅ − ⋅

− − − ⋅ −

= − ⋅ + ⋅ ⋅ + +

= − ⋅ + ⋅ ⋅ − + +

= − ⋅ + ⋅ ⋅ − + +

= − ⋅ + ⋅ ⋅ − + +( )6 t 3T6,9 10− −⋅

Overall system response:


Ex-5

Overall system response:

( )( )

( )

0

0

0

0

t T y(t) (F / T) IT t 2T y(t) (F / T) I II2T t 3T y(t) (F / T) I II III3T T y(t) (F / T) I II III IV

< = ⋅⎧ ⎫⎪ ⎪≤ ≤ = ⋅ −⎪ ⎪⎨ ⎬≤ ≤ = ⋅ − −⎪ ⎪⎪ ⎪≤ ≤ ∞ = ⋅ − − +⎩ ⎭


Ex-5

)(lim)(lim0

ssFtfst →∞→

=

Final value teorem:

{ }

{ }

5 t 6 t5 4 1,56 10 6,9 10

5

t

2 2

2s 0

t s 0

y(t) 9 10 6, 25 10 t e elim y(t) 9 10 1 1

1 1 1Y(s)2 s 60s 800 s

1 1 1 1lim sY(s)2 s 60s 800 s 0

lim y(t) lim sY(s)

− −− − − ⋅ − ⋅

−

→∞

→

→∞ →

= − ⋅ + ⋅ ⋅ + +

= − ⋅ + ∞ + + = ∞

= ⋅ ⋅+ +

= ⋅ ⋅ = = ∞+ +

=


Ex-5

Initial value teorem:

43421existshould

sssFf

−

∞→=+ )(lim)0(

{ }

2 2

2s

1 1 1Y(s)2 s 60s 800 s

1 1 1 1y(0 ) lim sY(s) 02 s 60s 800 s→∞

= ⋅ ⋅+ +

+ = = ⋅ ⋅ = =+ + ∞

otomatik kontrol

Documents

Transcript of otomatik kontrol