NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS …eprints.uns.ac.id/11605/1/317762009201301327.pdf ·...

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

i

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS

TERREDUKSI DALAM ALJABAR MAKS-PLUS BESERTA

APLIKASINYA

oleh

BUDI AGUNG PRASOJO

M0105001

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2013


commit to user

ii

SKRIPSI

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS

TERREDUKSI DALAM ALJABAR MAKS-PLUS BESERTA

APLIKASINYA

yang disiapkan dan disusun oleh

BUDI AGUNG PRASOJO

NIM. M0105001

dibimbing oleh

Pembimbing I, Pembimbing II,

Drs. Siswanto, M.Si Supriyadi Wibowo, M.Si NIP. 19670813 199203 1 002 NIP. 19681110 199512 1 001

telah dipertahankan didepan Dewan Penguji

Pada hari Kamis, tanggal 21 Maret 2013

dan dinyatakan telah memenuhi syarat.

Anggota Tim Penguji Tanda Tangan

1. Drs. Santoso B. W., M. Si 1. . . . . . . . . . . . . . .

2. Irwan Susanto, S. Si, DEA 2. . . . . . . . . . . . . . .

Surakarta, 21 Maret 2013

Disahkan oleh

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Dekan, Ketua Jurusan Matematika

Prof. Ari Handono Ramelan, M.Sc, Ph.D Irwan Susanto, S. Si, DEA NIP. 19610223 198601 1 001 NIP. 19710511 199512 1 001


commit to user

iii

MOTO

Awali segala kegiatan dengan Basmalah dan diakhiri dengan Hamdalah.

Dibalik kesulitan pasti ada kemudahan.


commit to user

iv

PERSEMBAHAN

Tulisanku ini kupersembahkan untuk

1. Kedua orang tuaku Mardjono dan Darti sudiarti atas pengorbanan, doa,

bimbingan, dan dukungannya kepadaku,

2. Seluruh keluarga yang selalu menyemangati dan memberi motivasi kepadaku,

3. Teman-temanku egi, agus yulianto, dimas b, dan semuanya yang terus memberi

dukungan, semangat, dan masukan kepadaku.


commit to user

v

ABSTRAK Budi Agung Prasojo. 2013. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

MATRIKS TERREDUKSI DALAM ALJABAR MAKS-PLUS BESERTA

APLIKASINYA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Sebelas Maret.

Aljabar maks-plus yang dinotasikan adalah himpunan { }

dengan yang dilengkapi operasi maksimum ( ) dan operasi

penjumlahan ( ). Operasi dan menggantikan operasi penjumlahan (+) dan

pergandaan ( ) pada aljabar konvensional yang bersifat field, sedangkan pada

aljabar maks-plus bersifat semifield idempotent.

Tujuan penelitian ini adalah menentukan nilai eigen dan vektor eigen suatu

matriks terreduksi dalam aljabar maks-plus, dan menerapkannya ke dalam suatu

contoh kasus. Nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks terreduksi berkaitan erat

dengan perilaku periodik suatu sistem ( + 1) = ( ) dengan =0, 1, 2, …. Perilaku periodik berhubungan dengan vektor waktu cycle (sikel), jika

setiap komponen vektor waktu sikelnya sama maka nilai ini disebut dengan laju

pertumbuhan asimtotik dari sistem. Metodologi yang digunakan adalah studi

literatur dan dilakukan pengkajian ulang tentang nilai eigen dan vektor eigen

suatu matriks terreduksi dalam aljabar maks-plus dengan disertai contoh kasus

tentang sistem produksi sederhana.

Hasil dari penelitian ini adalah diperolehnya analog nilai eigen dan vektor

eigen matriks × dari bentuk persamaan linear ( + 1) = ( )

berturut-turut dalam aljabar maks-plus, yaitu

= dan = = 1 ( ( ) ( + 1)).

Kata kunci : Aljabar max-plus, Field, Semifield Idempotent, Nilai Eigen dan

Vektor Eigen, Matriks Terreduksi.

.


commit to user

vi

ABSTRACT

Budi Agung Prasojo. 2013. EIGEN VALUE AND EIGEN VECTOR IN

REDUCIBLE MAX-PLUS ALGEBRAIC MATRIX WITH AN

APPLICATIONS. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret

University.

Max-plus algebra which is constructed by is the set { } with

with maximum ( ) and addition ( ) operation. and operation

replace addition (+) and multiplication ( ) in the conventional algebra has a

properties as field, where as max-plus algebra properties semifield idempotent.

Objective of this research is to determine the eigen value and eigen vector

in reducible max-plus algebraic matrix and apply in a applications. Eigen value

and eigen vector in reducible matrix occasion of periodic behavior system ( + 1) = ( ) where = 0, 1, 2, …. Periodical act has a relationship with

the cycle periode vector, when each component has same cycle periode vector

then the value is called asimptotic growth rapid of the system. The method of this

research is a literary study and we reviewed how to construct max-plus algebraic

eigen value and eigen vector on reducible matrix with an example of simple

production system.

This research results eigen value and eigen vector in reducible max-plus

algebraic matrix × from equation linear form ( + 1) = ( ),

there is = dan = = 1 ( ( ) ( + 1)).

Key word : Max-Plus Algebra, Field, Semifield Idempotent, eigen value and

eigen vector, Reducible Matrix.


commit to user

vii

KATA PENGANTAR

Aljabar maks-plus telah digunakan untuk memodelkan dan menganalisis

secara aljabar masalah perencanaan, sistem produksi, komunikasi, sistem antrian

dengan kapasitas berhingga, dan lalu lintas [2]. Aljabar maks-plus mulai dikenal

karena sifatnya yang identik dengan aljabar konvensional. Banyak paper yang

menjelaskan tentang ekuivalensi teorema dalam aljabar linear konvensional di

aljabar maks-plus. Satu yang menarik perhatian penulis adalah karya Butkovic,

Farlow, dan Subiono yang membahas tentang nilai eigen dan vektor eigen matriks

terreduksi dalam aljabar maks-plus. Oleh karena itu, penulis bertujuan untuk

mengkaji ulang paper tersebut.

Skripsi ini dibagi menjadi 5 bagian. Bab 1 berisikan latar belakang

masalah, rumusan masalah, tujuan, dan manfaat dari penelitian ini. Pada bab 2

dipaparkan tentang penelitian-penelitian yang mendahului dan teori-teori

penunjang sebagai dasar penulisan. Kemudian, langkah-langkah penelitian

dirangkum dalam metodologi penelitian yang dipaparkan pada bab 3. Pada bab 4

diuraikan tentang hasil penelitian yang telah dilaksanakan. Terakhir, bab 5

berisikan tentang kesimpulan dan saran.

Skripsi ini tidak dapat selesai tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Drs. Siswanto, M.Si dan

Supriyadi Wibowo, M.Si sebagai pembimbing I dan pembimbing II atas

bimbingannya selama penulisan skripsi ini. Tak lupa penulis juga mengucapkan

terima kasih kepada teman-teman yang senantiasa memberikan dukungan, kritik,

dan saran kepada penulis. Walaupun tulisan ini jauh dari sempurna, penulis

berharap skripsi ini dapat bermanfaat.

Surakarta, 21 Maret 2013

Penulis


commit to user

viii

DAFTAR ISI

JUDUL .................................................................................................................... i

PENGESAHAN ..................................................................................................... ii

MOTTO ................................................................................................................ iii

PERSEMBAHAN ................................................................................................. iv

ABSTRAK ............................................................................................................. v

ABSTRACT .......................................................................................................... vi

KATA PENGANTAR ......................................................................................... vii

DAFTAR ISI ....................................................................................................... viii

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................. x

DAFTAR NOTASI ............................................................................................... xi

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah ................................................................. 1

1.2 Perumusan Masalah ....................................................................... 3

1.3 Tujuan Penulisan ............................................................................ 3

1.4 Manfaat Penulisan .......................................................................... 3

II LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka ............................................................................ 4

2.2 Teori-Teori Penunjang ................................................................... 5

2.2.1 Sistem Persamaan Linear dan Matriks ............................... 6

2.2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Suatu Matriks ..................... 7

2.2.3 Aljabar Maks-Plus .............................................................. 7

2.2.4 Matriks dalam Aljabar Maks-Plus...................................... 9

2.3 Kerangka Pemikiran ..................................................................... 10


commit to user

ix

III METODE PENELITIAN 11

IV PEMBAHASAN 12

4.1 Graf dalam Aljabar Maks-Plus ..................................................... 12

4.2 Matriks Terreduksi ....................................................................... 14

4.3 Contoh Kasus ............................................................................... 22

V PENUTUP 27

5.1 Kesimpulan .................................................................................. 27

5.2 Saran ............................................................................................. 28

DAFTAR PUSTAKA 29


commit to user

x

DAFTAR GAMBAR

4.1 Graf Komunikasi ( ) ........................................................................... 14

4.2 Sistem Produksi Sederhana ...................................................................... 22


commit to user

xi

DAFTAR NOTASI

: bilangan real

: operasi maksimum

: operasi penjumlahan

:

: 0

: aljabar maks-plus

: ( { }, , ) × : himpunan matriks dalam aljabar maks-plus berukuran ×

: matriks identitas terhadap operasi

: matriks identitas terhadap operasi ( ) : graf komunikasi dari = ( , ) : graf berarah

: matriks persegi

: elemen matriks [ ] : matriks dengan elemen-elemen

: pangkat dari matriks

: vektor di dalam aljabar maks-plus

: vektor di dalam aljabar konvensional

: bilangan asli

: transpose dari matriks = ( , ) : graf

: vertex / Titik

: edge / Busur

: path / Lintasan ( , , ) : himpunan path dari ke dengan panjang ( , ) : bobot busur ( , ) | | : panjang lintasan | | : bobot suatu lintasan


commit to user

xii

| | : bobot rata-rata lintasan

: norma dari = ( , ) : reduce graf ( ) : himpunan node / vertex ( ) : himpunan arc / edge

: vektor waktu sikel : node dapat ditempuh dari node

: nilai eigen

: vektor eigen

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS …eprints.uns.ac.id/11605/1/317762009201301327.pdf ·...

Documents

Transcript of NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS …eprints.uns.ac.id/11605/1/317762009201301327.pdf ·...