perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
i
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS
TERREDUKSI DALAM ALJABAR MAKS-PLUS BESERTA
APLIKASINYA
oleh
BUDI AGUNG PRASOJO
M0105001
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2013
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
SKRIPSI
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS
TERREDUKSI DALAM ALJABAR MAKS-PLUS BESERTA
APLIKASINYA
yang disiapkan dan disusun oleh
BUDI AGUNG PRASOJO
NIM. M0105001
dibimbing oleh
Pembimbing I, Pembimbing II,
Drs. Siswanto, M.Si Supriyadi Wibowo, M.Si NIP. 19670813 199203 1 002 NIP. 19681110 199512 1 001
telah dipertahankan didepan Dewan Penguji
Pada hari Kamis, tanggal 21 Maret 2013
dan dinyatakan telah memenuhi syarat.
Anggota Tim Penguji Tanda Tangan
1. Drs. Santoso B. W., M. Si 1. . . . . . . . . . . . . . .
2. Irwan Susanto, S. Si, DEA 2. . . . . . . . . . . . . . .
Surakarta, 21 Maret 2013
Disahkan oleh
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dekan, Ketua Jurusan Matematika
Prof. Ari Handono Ramelan, M.Sc, Ph.D Irwan Susanto, S. Si, DEA NIP. 19610223 198601 1 001 NIP. 19710511 199512 1 001
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
iii
MOTO
Awali segala kegiatan dengan Basmalah dan diakhiri dengan Hamdalah.
Dibalik kesulitan pasti ada kemudahan.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
iv
PERSEMBAHAN
Tulisanku ini kupersembahkan untuk
1. Kedua orang tuaku Mardjono dan Darti sudiarti atas pengorbanan, doa,
bimbingan, dan dukungannya kepadaku,
2. Seluruh keluarga yang selalu menyemangati dan memberi motivasi kepadaku,
3. Teman-temanku egi, agus yulianto, dimas b, dan semuanya yang terus memberi
dukungan, semangat, dan masukan kepadaku.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
v
ABSTRAK Budi Agung Prasojo. 2013. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
MATRIKS TERREDUKSI DALAM ALJABAR MAKS-PLUS BESERTA
APLIKASINYA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Sebelas Maret.
Aljabar maks-plus yang dinotasikan adalah himpunan { }
dengan yang dilengkapi operasi maksimum ( ) dan operasi
penjumlahan ( ). Operasi dan menggantikan operasi penjumlahan (+) dan
pergandaan ( ) pada aljabar konvensional yang bersifat field, sedangkan pada
aljabar maks-plus bersifat semifield idempotent.
Tujuan penelitian ini adalah menentukan nilai eigen dan vektor eigen suatu
matriks terreduksi dalam aljabar maks-plus, dan menerapkannya ke dalam suatu
contoh kasus. Nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks terreduksi berkaitan erat
dengan perilaku periodik suatu sistem ( + 1) = ( ) dengan =0, 1, 2, …. Perilaku periodik berhubungan dengan vektor waktu cycle (sikel), jika
setiap komponen vektor waktu sikelnya sama maka nilai ini disebut dengan laju
pertumbuhan asimtotik dari sistem. Metodologi yang digunakan adalah studi
literatur dan dilakukan pengkajian ulang tentang nilai eigen dan vektor eigen
suatu matriks terreduksi dalam aljabar maks-plus dengan disertai contoh kasus
tentang sistem produksi sederhana.
Hasil dari penelitian ini adalah diperolehnya analog nilai eigen dan vektor
eigen matriks × dari bentuk persamaan linear ( + 1) = ( )
berturut-turut dalam aljabar maks-plus, yaitu
= dan = = 1 ( ( ) ( + 1)).
Kata kunci : Aljabar max-plus, Field, Semifield Idempotent, Nilai Eigen dan
Vektor Eigen, Matriks Terreduksi.
.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vi
ABSTRACT
Budi Agung Prasojo. 2013. EIGEN VALUE AND EIGEN VECTOR IN
REDUCIBLE MAX-PLUS ALGEBRAIC MATRIX WITH AN
APPLICATIONS. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret
University.
Max-plus algebra which is constructed by is the set { } with
with maximum ( ) and addition ( ) operation. and operation
replace addition (+) and multiplication ( ) in the conventional algebra has a
properties as field, where as max-plus algebra properties semifield idempotent.
Objective of this research is to determine the eigen value and eigen vector
in reducible max-plus algebraic matrix and apply in a applications. Eigen value
and eigen vector in reducible matrix occasion of periodic behavior system ( + 1) = ( ) where = 0, 1, 2, …. Periodical act has a relationship with
the cycle periode vector, when each component has same cycle periode vector
then the value is called asimptotic growth rapid of the system. The method of this
research is a literary study and we reviewed how to construct max-plus algebraic
eigen value and eigen vector on reducible matrix with an example of simple
production system.
This research results eigen value and eigen vector in reducible max-plus
algebraic matrix × from equation linear form ( + 1) = ( ),
there is = dan = = 1 ( ( ) ( + 1)).
Key word : Max-Plus Algebra, Field, Semifield Idempotent, eigen value and
eigen vector, Reducible Matrix.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vii
KATA PENGANTAR
Aljabar maks-plus telah digunakan untuk memodelkan dan menganalisis
secara aljabar masalah perencanaan, sistem produksi, komunikasi, sistem antrian
dengan kapasitas berhingga, dan lalu lintas [2]. Aljabar maks-plus mulai dikenal
karena sifatnya yang identik dengan aljabar konvensional. Banyak paper yang
menjelaskan tentang ekuivalensi teorema dalam aljabar linear konvensional di
aljabar maks-plus. Satu yang menarik perhatian penulis adalah karya Butkovic,
Farlow, dan Subiono yang membahas tentang nilai eigen dan vektor eigen matriks
terreduksi dalam aljabar maks-plus. Oleh karena itu, penulis bertujuan untuk
mengkaji ulang paper tersebut.
Skripsi ini dibagi menjadi 5 bagian. Bab 1 berisikan latar belakang
masalah, rumusan masalah, tujuan, dan manfaat dari penelitian ini. Pada bab 2
dipaparkan tentang penelitian-penelitian yang mendahului dan teori-teori
penunjang sebagai dasar penulisan. Kemudian, langkah-langkah penelitian
dirangkum dalam metodologi penelitian yang dipaparkan pada bab 3. Pada bab 4
diuraikan tentang hasil penelitian yang telah dilaksanakan. Terakhir, bab 5
berisikan tentang kesimpulan dan saran.
Skripsi ini tidak dapat selesai tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Drs. Siswanto, M.Si dan
Supriyadi Wibowo, M.Si sebagai pembimbing I dan pembimbing II atas
bimbingannya selama penulisan skripsi ini. Tak lupa penulis juga mengucapkan
terima kasih kepada teman-teman yang senantiasa memberikan dukungan, kritik,
dan saran kepada penulis. Walaupun tulisan ini jauh dari sempurna, penulis
berharap skripsi ini dapat bermanfaat.
Surakarta, 21 Maret 2013
Penulis
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
viii
DAFTAR ISI
JUDUL .................................................................................................................... i
PENGESAHAN ..................................................................................................... ii
MOTTO ................................................................................................................ iii
PERSEMBAHAN ................................................................................................. iv
ABSTRAK ............................................................................................................. v
ABSTRACT .......................................................................................................... vi
KATA PENGANTAR ......................................................................................... vii
DAFTAR ISI ....................................................................................................... viii
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................. x
DAFTAR NOTASI ............................................................................................... xi
I PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang Masalah ................................................................. 1
1.2 Perumusan Masalah ....................................................................... 3
1.3 Tujuan Penulisan ............................................................................ 3
1.4 Manfaat Penulisan .......................................................................... 3
II LANDASAN TEORI 4
2.1 Tinjauan Pustaka ............................................................................ 4
2.2 Teori-Teori Penunjang ................................................................... 5
2.2.1 Sistem Persamaan Linear dan Matriks ............................... 6
2.2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Suatu Matriks ..................... 7
2.2.3 Aljabar Maks-Plus .............................................................. 7
2.2.4 Matriks dalam Aljabar Maks-Plus...................................... 9
2.3 Kerangka Pemikiran ..................................................................... 10
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ix
III METODE PENELITIAN 11
IV PEMBAHASAN 12
4.1 Graf dalam Aljabar Maks-Plus ..................................................... 12
4.2 Matriks Terreduksi ....................................................................... 14
4.3 Contoh Kasus ............................................................................... 22
V PENUTUP 27
5.1 Kesimpulan .................................................................................. 27
5.2 Saran ............................................................................................. 28
DAFTAR PUSTAKA 29
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
x
DAFTAR GAMBAR
4.1 Graf Komunikasi ( ) ........................................................................... 14
4.2 Sistem Produksi Sederhana ...................................................................... 22
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
xi
DAFTAR NOTASI
: bilangan real
: operasi maksimum
: operasi penjumlahan
:
: 0
: aljabar maks-plus
: ( { }, , ) × : himpunan matriks dalam aljabar maks-plus berukuran ×
: matriks identitas terhadap operasi
: matriks identitas terhadap operasi ( ) : graf komunikasi dari = ( , ) : graf berarah
: matriks persegi
: elemen matriks [ ] : matriks dengan elemen-elemen
: pangkat dari matriks
: vektor di dalam aljabar maks-plus
: vektor di dalam aljabar konvensional
: bilangan asli
: transpose dari matriks = ( , ) : graf
: vertex / Titik
: edge / Busur
: path / Lintasan ( , , ) : himpunan path dari ke dengan panjang ( , ) : bobot busur ( , ) | | : panjang lintasan | | : bobot suatu lintasan
Top Related