BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Lebih dari 3000 tahun yang lalu pada zaman Mesir Kuno dan Babilonia serta peradaban Lembah Indus adalah awal trigonometri dapat dilacak Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Sekitar 150 SM matematikawan Yunani Hipparchus menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga. Dan dilanjutkan oleh Ptolemy yang juga merupakan matematikawan yunani sekitar tahun 100 yang mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut. Kemudian pada tahun 1595 matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa NInggris dan Perancis. Hingga saat ini trigonometri telah digunakan oleh pembuat jalan, pembuat jembatan dan mereka yang menghasilkan bangunan.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunanitrigo non = tiga sudut danme tro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi Trigonometri kseperti sinus, cosinus, dan tangen.

Ada banyak aplikasi trigonometri salah satunya adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.

Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging farmasi, kimia, teori angka seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dangeodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, tekniksipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.

Fungsi trigonometri adalah hal yang sangat penting dalam sains, teknik, arsitektur dan bahkan farmasi.

Trigonometri merupakan bagian dari ilmu matematika yang membahas berbagai fungsi menurut aturan trigono ( tiga sudut )

B. Pengukuran Sudut

Sudut adalah suatu daerah yang dibatasi oleh dua sinar (garis) yang bersekutu pada titik pangkalnya. Kedua potongan sinar (garis) ini dinamakan sisi awal dan sisi terminal. Bila rotasinya bersifat berlawanan arah jarum jam, sudutnya positif. Jika searah jarum jam, sudutnya negatif.

Pada umunya ada dua ukuran yang digunakan untuk menentukan besar suatu sudut, yaitu derajat dan radian. (“o” dan “rad”). Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360°) = 2π radian

Singkatnya, 1 putaran penuh = 360 o , atau 1o didefenisikan sebagai besarnya sudut yang dibentuk oleh kali putaran penuh. Cermati gambar berikut ini:

C. Nilai Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut

Trigonometri terdiri dari sinus(sin), cosinus(cos), tangens(tan), cotangens(cot), secan(sec), dan cosecan(cosec). Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang dapat didefinisikan pada koordinat Cartesius atau segitiga siku-siku.

Catatan:

Sin = sinus

Cos = cosinus

Tan/Tg = tangens

Sec = secans

Cosec/Csc = cosecans

Cot/Ctg = cotangensDari gambar tersebut juga dapat diperoleh:

(sec merupakan kebalikan dari cos, cosec merupakan kebalikan dari sin, dan cot merupakan kebalikan dari tan)

1. Rumus Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa

Di dalam trigonometri ada 5 sudut yang dikategorikan sudut istimewa. Kelima sudut tersebut adalah sudut-sudut yang besarnya 0O , 30O, 45O , 60O , 90O . Nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa ini disajikan pada tabel berikut:

0o

30o

45o

60o

90o

Sin

0

1

Cos

1

0

Tan

0

1

2. Rumus Identitas Trigonometri

Dari nilai fungsi trigonometri tersebut kemudian diperoleh identitas trigonometri. Identitas trigonometri adalah suatu persamaan dari fungsi trigonometri yang bernilai benar untuk setiap sudutnya dengan kedua sisi ruasnya terdefinisi. Identitas trigonometri terbagi 3, yaitu Identitas Kebalikan, Identitas Perbandingan dan Identitas Phytagoras yang masing-masing memiliki fungsi dasar, yaitu:

Identitas Kebalikan

Identitas Perbandingan

Identitas Phytagoras

Cosec A = 1/sin A

Tan A = sin A / cos A

Cos2 A + sin2 A = 1

Sec A = 1/cos A

Cot A = cos A / sin A

1 + tan2 A = sec2 A

Cot A = 1/tan A

1 + cot2A = cosec A

3. Kuadran

Sumbu-sumbu pada koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat daerah yang disebut dengan kuadran. Sehingga besar sudut α dapat dikelompokkan menjadi 4 daerah seperti yang terlihat pada gambar berikut :

4.

Y

Kuadran II

Kuadran I

( -x, y)

( x, y)

900 – 1800

00 – 900

X

1800 – 2700

2700 - 3600

Kuadran III

Kuadran IV

( -x, - y)

( x, - y)

Pembagian sudut pada tiap kuadran :

Kuadran I

=

0o

< α < 90o

Kuadran II

=

90o

< α < 180o

Kuadran III

= 180o

< α < 270o

Kuadran IV

= 270o

< α < 360o

Dari gambar tersebut nilai (tanda) perbandingan trigonometri di berbagai kuadran dapat dilihat pada tabel berikut:

Perbandingan Trigonometri

Kuadran I

Kuadran II

Kuadran III

Kuadran IV

Sin

+

+

.

-

Cos

+

-

.

+

Tan

+

-

+

-

Cosec

+

+

.

-

Secan

+

-

.

+

Cot

+

-

+

-

4. Sudut Berelasi

a. Sudut di kuadran I (00 < x < 900)

sin (900 – a) = cos a0

cos (900 – a) = sin a0

tan (900 – a) = cot a0

b. Sudut di kuadran II (900 < x < 1800)

Sin (1800 – a) = sin a0

Cos (180o – a) = - cos a0

Tan (1800 – a) = - tan a0

c. Sudut di kuadran III (1800 < x < 2700)

Sin (1800 + a) = - sin a0

Cos (180o + a) = - cos a0

Tan (1800 + a) = tan a0

d. Sudut di kuadran IV (2700 < x < 3600)

Sin (3600 – a) = - sin a0

Cos (360o – a) = cos a0

Tan (3600 – a) = - tan a0

5. Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub/Polar

a. Merubah koordinat cartesius ke koordinat kutub

Dengan segitiga OAP siku-siku di A

r = ; tan a0 =

a0 = arc tan (

b. Merubah koordinat kutub ke koordinat cartesius

Sin a0 = cos a0 =

y = r sin a0 x = r cos a0

D. Aturan Sinus, Cosinus dan Luas Segitiga

a. Aturan Sinus

Untuk segitiga sembarang ABC, didapatkan rumus:

b. Aturan Cosinus

Untuk segitiga sembarang ABC, didapatkan rumus:

a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A

b2 = a2 + c2 – 2 ac cos B

c2 = a2 + b2 – 2 ab cos C

c. Luas Segitiga

Untuk segitiga sembarang ABC, didapatkan rumus:

Luas = ab sin C = ac sin B = bc sin A

Luas segitiga ABC dapat pula ditentukan apabila panjang ketiga sisinya diketahui, yaitu:

L =

Dengan s = keliling = (a + b + c)

E. Rumus-Rumus Fungsi Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

Cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Sin (A + B) = sin A cos B – cos A sin B

Sin (A – B) = sin A cos B + cos A sin B

Tan (A + B) =

Tan (A – B) =

F. Rumus-Rumus Sudut Rangkap

Sin 2A = 2 sin A cos A

Cos 2A = cos2 A – sin2 A

= 2 cos2 A – 1

= 1 – 2 sin2 A

Tan 2A =

G. Rumus Perkalian Cosinus Dan Sinus

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

-2 sin A sin B = cos (A + B) - cos (A – B)

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)

2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A – B)

H. Rumus Jumlah dan Selisih Cosinus dan Sinus

Sin A + sin B = 2 sin (A + B) cos (A- B)

Sin A - sin B = 2 cos (A + B) sin (A- B)cos A + cos B = 2 cos (A + B) cos (A- B)

cos A - cos B = - 2 sin (A + B) sin (A - B)

I. Grafik Fungsi Trigonometri

a. Grafik Baku Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri merupakan fungsi periodik. Grafi baku fungsi trigonometri merupakan grafik paling sederhana pada fungsi trigonometri, yaitu untuk fungsi f(x)=sinx,f(x)=cosx, dan f(x)=tanx. Salah satu hal penting yang harus kita ketahui dalam grafik fungsi trigonometri adalah periode dan amplitudo.

Periode adalah jarak terjadinya pengulangan grafik fungsi trigonometri dari titik acuan awal ke titik pengulangan yang pertama. Satu periode pada fungsi trigonometri khususnya fungsi y=sinx dan cosx biasanya terdiri dari satu lembah dan satu bukit.

Amplitudo adalah simpangan terjauh titik pada suatu grafik fungsi trigonometri terhadap garis horizontalnya (misalkan sumbu X).

y = sin x

y = cos x

y = tan x

b. Grafik Tidak Baku Fungsi Trigonometri

Grafik fungsi non standar maksudnya adalah grafik fungsi trigonometri yang lebih kompleks. Bentuk fungsi yang lebih kompleks adalah : *) f(x)=a sin k (x ± b) ± c → periode =2πk, amplitudo = |a| *) f(x)=a cos k (x ± b) ± c→ periode =2πk, amplitudo = |a| *) f(x)=a tan k (x ± b) ± c→ periode = πk dengan nilai π = 180∘

Langkah-langkah dalam membuat grafik fungsi trigonometri yang lebih kompleks, yaitu:

1. Gambar grafik baku fungsi f(x) = sin x, f(x) = cos x, dan f(x) = tan x.

2. Gambar grafik fungsi f(x) =a sin x, f(x) =a cos x, dan f(x) = a tan x , dengan mengubah amplitudonya menjadi sebesar a . Jika nilai a negatif, maka cerminkan grafik baku terhadap sumbu X.

3. Ubah periode fungsi sesuai rumus besar periode masing-masing sehingga diperoleh grafik fungsi f(x) = a sin kx, f(x) = a cos kx, dan f(x) = a tan kx

4. Gambar grafik fungsi f(x) = a sin k (x ± b), f(x) = a cos (x ± b), dan f(x) = a tan(x ± b) dengan cara menggeser grafik nomor 3 di atas sejauh b∘. Jika tandanya positif (x + b) maka geser kekiri sejauh b dan jika tandanya negatif (x − b) maka geser kekanan sejauh b.

5. Gambar grafik fungsi f(x) = a sin k (x ± b) ± c, f(x) = a cos (x ± b) ± c, dan f(x) = a tan (x ± b) ± c dengan cara menggeser grafik nomor 4 di atas sejauh c . Jika tandanya positif (+c ) maka geser ke atas sejauh c dan jika tandanya negatif (−c) maka geser ke bawah sejauh c .

c. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri

Untuk fungsi sin dan cos, cara menentukan nilai maksimum dan minimumnya adalah sama. Sementara untuk fungsi tan memiliki nilai maksimum tak hingga (∞) dan nilai minimum negatif tak hingga (−∞). Sebenarnya untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi trigonometri dapat menggunakan metode grafik, maksudnya kita gambar dulu grafiknya, titik puncak pada bukit adalah nilai maksimumnya dan titik terendah pada lembahnya adalah nilai minimum. Hanya saja akan butuh waktu yang lama jika kita harus menggambar grafiknya terlebih dahulu. Kali ini kita akan menentukan nilai maksimum dan minimumnya dengan rumus.

Misalkan fungsi f(x) = a sin g(x) + c dan f(x) = a cos g(x) + c , Nilai maksimum = |a| + c

Nilai Minimum = − |a| + c

Nilai maksimum dan minimumnya dapat digunakan untuk menentukan nilai amplitudonya. Amplitudo = (nilai maksimum − nilai minimum )

d. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri dalam Bentuk Fungsi Kuadrat

Dari nilai maksimum fungsi trigonometri di atas, dapat disimpulkan rentang nilai sin g(x) dan cos g(x) adalah −1 ≤ sin g(x) ≤ 1 dan −1 ≤ cos g(x )≤ 1.

Misalkan ada bentuk fungsi kuadrat : f(x) = ax2 + bx + c ,

Jika nilai a > 0, maka diperoleh nilai minimum pada saat x =

Jika nilai a < 0, maka diperoleh nilai maksimum pada saat x = Pada fungsi trigonometri, bentuk f(x) = ax2 + bx + c, variabel x diganti dengan sin, atau cos, atau tan (misal : f(x)=a sin2 x + b sin x + c). Nilai maksimum atau nilai minimum fungsi trigonometri bentuk fungsi kuadrat :

1. Menggunakan nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat (x = ) Metode ini digunakan untuk kasus :

*). Pertanyaan sesuai nilai a ( jika a > 0 yang ditanya nilai minimum, jika a < 0 yang ditanya nilai maksimum), dan

*). Nilai sin dan cos nya ada pada interval −1 ≤ sin g(x) ≤ 1 dan −1 ≤ cos g(x) ≤ 1 .

2. Menggunakan metode kuadrat sempurna. Metode ini digunakan jika tidak memenuhi kondisi:

Bentuk Kuadrat sempurna :

x2 + bx = (x + b)2 − (b)2 dan x2 – bx = (x − b)2 − (b)2 artinya bentuk fungsi awal dan bentuk kuadrat sempurnanya tetap bernilai sama.

J. Soal-Soal Latihan

1. UN 2016

Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 2x + sin x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah ...

A. {60°, 120°, 150°}

B. {60°, 150°, 300°}

C. {90°, 210°, 300°}

D. {90°, 210°, 330°}

E. {120°, 250°, 330°}

2. UN 2017

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x = -cos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah ...

A. {π/3, π, 5π/3}

B. {2π/3, π, 4π/3}

C. {0, 2π/3, 4π/3, 2π}

D. {0, π/3, 5π/3, 2π}

E. {0, π/3, 4π/3, 2π}

3. SBMPTN 2016

Jika dan adalah solusi dari sec x – 2 -15 cos x = 0 dengan 0 ≤ x ≤ π, ≠ maka = ...

A. -20

B. -15

C. -10

D. -5

E. 0

4. SBMPTN 2017

Jika dan adalah solusi dari 2(cot 2x) (cot x) + cot x = 1, maka (cot ) . (cot ) = ...

A. -2

B. -1

C. 1

D. 2

E. 3

5. Jika dan adalah solusi dari , maka tan ( + ) = ....

A.

B.

C.

D.

E.

6. SBMPTN IPA MATEMATIKA 2017

Persamaan yang sesuai dengan grafik diatas adalah ....

A. y = 3 sin + 1

B. y = 3 sin + 2

C. y = 3 cos + 1

D. y = 2 cos + 2

E. y = cos

7. UTUL UGM 2017

Jika 0 < x < 2π dan cot²x + 2 csc x + 2 = 0. Maka cos = ...

A. -1

B.

C.

D.

E. 1

8. UM UNDIP 2018

Diketahui x + y = , π < 0, jika tan x = (x + y), maka sin (x + 3y) = ...

A.

B.

C.

D.

E. 1

9. UM UGM 2016

Jika cos A = dan π < A < 2π, maka nilai - = ...

A.

B.

C.

D.

E. 2

10. UM UGM 2017

Jika cos² = maka sin = ...

A.

B.

C.

D.

E.

11. SIMAK UI 2018

Jika dan memenuhi persamaan 2 sin² - cos = 1, 0 ≤ ≤ π, nilai + adalah ....

A.

B.

C. π

D.

E.

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Trigonometri (dari bahasa Yunanitrigo non = tiga sudut danme tro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi Trigonometri kseperti sinus, cosinus, dan tangen.

Fungsi trigonometri adalah hal yang sangat penting dalam sains, teknik, arsitektur dan bahkan farmasi.

Trigonometri merupakan bagian dari ilmu matematika yang membahas berbagai fungsi menurut aturan trigono ( tiga sudut ).

Pada umunya ada dua ukuran yang digunakan untuk menentukan besar suatu sudut, yaitu derajat dan radian. (“o” dan “rad”). Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360°) = 2π radian

Singkatnya, 1 putaran penuh = 360 o , atau 1o didefenisikan sebagai besarnya sudut yang dibentuk oleh kali putaran penuh.

B. Saran

Kami mengharapkan para pembaca agar dapat mengkoreksi isi makalah apabila terjadi kesalahan, karena kami yakin bahwa masih terdapat banyak kekurangan terurtama dari sisi referensi, untuk itu kami membutuhkan saran dan kritik bagi pembaca.

DAFTAR PUSTAKA

Ganesha Operation, Kumpulan Rumus Lengkap

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2013. Matematika. Jakarta.

Sulistyowati, Nuning. 2011. Modul Matematika.Pasuruan: E-Learning Gratis.

http://nuz4nt.blogspot.com/2013/10/makala-matematika-

trigonometri.html#!/tcmbck.

18