ANALISIS STRUKTUR 5

MERANGKUM TUGAS BAB IV

ABDUL MUBARAK

1309025039

PROGRAM STUDI S-1 TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS MULAWARMAN

SAMARINDA

2015

RANGKA BATANG DENGAN METODE KEKAKUAN LANGSUNG__________________________________________________________

Perilaku Tekan dan Batang Tarik Murni

Pembahasan ringkas mengenai pemodelan mengawali pembahasan struktur rangka

batang. Pemodelan struktur adalah upaya untuk mendekati struktur sebenarnya

sesignifikan mungkin. Pemodelan juga berusaha menghilangkan kerumitan yang struktur

nyatanya tetapi tidak mempengaruhi subtansi perhitungan secara signifikan. Oleh karena

itu pemodelan berarti juga penyederhanaan dari struktur nyatanya menjadi model analisis

untu keperluan perhitungan

Contoh struktur tiang pada kasus nyatanya adalah struktur menara air dalam keadaan

angin yang bertiup relatif kecil dapat dianggap sebagai struktur tiang yang pada

kenyataanya dominan menerima gaya tekan akibat berat tandon dan isinya serta berat

strukturnya sendiri

Untuk menyederhanakan permasalahannya maka struktur dimodelkan sebagai struktur batang yang hanya menerima gaya tekan (tekan murni). Model ini tentu saja hanya sekedar ilustrasi untuk menggambarkan model struktur yang dapat dimodelkan tersusun dari satu atau lebih elemen-elemen batang. Pengertian elemen batang (bar) disini adalah elemen struktur yang disederhanakan dari kauss nyatanya yang 3D menjadi elemen 1D dan hanya menerima gaya tekan saja dan tidak pernah melentur signifikan selama riwayat pembebanannnya sehingga dapat diabaikan dalam perhitungan.

Struktur menara air dapat dimodelkan sebagai model struktur batang dengan berbagai pilihan model pembebanan. Struktur nyatanya haruslah struktur 3D. Struktur 3D dapat disederhanakan menjadi strukr 2D. Pembebanan dan evaluasi model 2D bersifat kontinu seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 4.1.a. Evaluasi disini adalah perhitungan tegangan-tegangan per satuan panjang pada penampang-penampang tiang. Penampang disini adalah istial potongan model 3D sehingga untuk model 2D disebut garis potongan. Kontinu berarti evaluasi dapat dilakukan secara langsung dipenampang manapun yang dipilih sepanjang ketinggian tiang. Gambar 4.1.b. menunjukkan model struktur 2D kontinu tetapi dengan pembebanan diskrit. Berat pias atas tandon diwakili oleh beban

terdistribusi (q6) yang bekerja pada garis horisontal ditengah pias. Berat pias bagian bawah diwakili q5, berat 4 pias yang mewakili tiang diwakili oleh q1 ,q2 ,q3 ,q4.

Gambar 4.1.c adalah model yang menyederhanakan model fisik menara yaitu dengan menghilang fisik tandon dan sepenuhnya diwakili oleh beban terdistribusi q5. Model pada Gambar 4.1.d membuat pembebanan menjadi sangat sederhana. Konsekuensi dari penyederhanaan adalah evaluasi yang lebih sederhana juga. Evaluasi gaya dalam contoh 4.1.a membutuhkan kalkulus dan variasi gaya dalam dapat ditinjau dimana saja. Contoh 4.1.b membutuhkan 7 potongan, contoh 4.1.c membutuhkan lima potongan dan contoh 4.1.d hanya membutuhkan satu potongan untuk melihat variasi gaya-gaya dalam.

dz2

dz1

q5

q5

q

P

q4

q4

dz3

q3

q3

q2

q2

z3

z

q1

z

q1

qR

qR

qR

qR

R

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

.

Gambar 4.1. Proses penyederhanaan pembebanan pada model kontinu 2D dan 1D

Bagaimana penyederhanaan suatu kasus dapat diterima atau tidak tergantung dari tujuan analisis. Contoh pada Soal dan penyelesaian No.1 pada Bab 4 ini akan mendiskusikan masalah ini melalui perhitungan gaya-gaya dalam.

Model-model struktur pada Gambar 4.1. baik yang 2D maupun 1D merupakan model

kontinu. Evaluasi gaya-gaya dalam dapat dievaluasi pada potongan dimana saja

disepanjang ketinggian struktur

Metode Kekakuan Langsung pada Model Tiang

Metode kekakuan langsung merujuk pada suatu metode diskrit yang menjadikan kekakuan sebagai suatu besaran yang mewakili perilaku elemen struktur baik dari segi material maupun konfigurasi geometrinya. Metode ini diturunkan langsung melalui analisis berdasarkan analisis visual geometri model-model struktur batang atau rangka batang .

Dengan analisis diskrit, evaluasi hanya dilakukan pada titik-titik simpul yang tepat berada pada ujung-ujung model elemen batang 1 Dimensi (1D). Elemen 1D merujuk pada hasil penyederhanaan dari elemen 2D atau bahkan 3D. Penyederhanan dari analsis dari 3D ke 2D dari struktur menara adalah dengan menyederhanakan analisis kontinu menjadi analisis diskrit. Setiap satuan luas pada penampang di ujung yang satu pada elemen 3D tegak lurus sampai ujung lainnya disederhanakan mempunyai harga material yang homogen atau sama, dalam hal ini modelus elastisitas, E. Dengan membuat harga rata-rata nilai E diseluruh penampang maka analis dapat disederhanakan menjadi analisis 1D.

Bila ditinjau model diskrit elemen batang 1D maka material dan geometri elemen diantara dua titik diskrit harus diwakili oleh suatu besaran. Pada kondisi aktualnya, sebagai koneskuensi material dengan harga modulus elsatisitas rata-rata maka struktur yang menerima gaya tekan dominan akan megalami deformasi dalam bentuk perpendekan struktur. Untuk mendapatkan besaran tersebut maka model elemen 1D yang mewakili struktur menara menerima beban pada titik diskrit dianalogkan dengan suatu pegas yang akan memendek atau memanjang selaras dengan gaya tekan atau tarik yang bekerja. Sifat pegas ditentukan berdasarkan kekakuannya sehingga elemen 1D juga diwakili oleh kekakuannya.

Metode Kekakuan Langsung pada Model Rangka Batang

1. Rangka batang

Pada analisis dengan metode klasik yang umumnya bersifat manual, struktur yang disusun dari elemen-elemen batang yang paling populer adalah struktur rangka batang statis tertentu. Untuk mempermudah perhitungan, proporsi jumlah elemen dan simpul serta kekangan diatur sedemikan rupa sehingga analisis dapat dilakukan dengan perhitungan yang relatif mudah secara manual.

Syarat lainnya agar elemen-elemen rangka batang berperilaku batang murni adalah dengan menyederhanakan hubungan antara elemen batang satu dengan lainnya menjadi sendi tanpa gesekan. Syarat terakhir adalah dengan mengatur sedemikian sehingga hanya gaya terpusat saja yang bekerja dan diatur sehingga bekerjanya hanya pada titik-titik simpul.

Sebagai contoh, struktur jembatan sederhana diatas dua tumpuan banyak yang mengambil bentuk rangka batang. Jembatan-jembatan rangka batang era klasik dimodelkan berdiri diatas perletakan sendi di satu sisi dan perletakan rol disisi lainnya. Beban dari lantai kendaraan dibuat sedemikian rupa sehingga tepat bekerja pada sambungan

Struktur nyata

disederhanakan

hubungan antara batang

tidak murrni sendi

tetap ada beban terdistribusi

& bekerja pada elemen

1

tidak murni tumpuan sendi & rol

Gambar 4.6. Model struktur jembatan sederhana pada analisis klasik

Pada kenyataannya pada perletakan rol yang nyata gaya gesek tetap bekerja walaupun tidak signifikan. Demikian halnya dengan sendi yang juga tidak lepas dari gesekan putar yang tidak memungkinkan batang-batang berputar bebas 100%. Tidak juga dapat ditemukan pembebanan yang sepenuhnya hanya bekerja pada simpul kerena minimal berat sendiri batang-batang idealnyat dimodelkan sebagai beban terdistribusi merata.

Model struktur rangka batang statis tertentu mengandung banyak penyederhanaan. Seberapa jauh penyederhanaan itu dapat diterima tergantung dari seberapa jauh model analisis dapat mendekati struktur nyatanya. Oleh karena itu para insinyur di masa lalu sebelum teknologi komputasi belum berkembang, detail struktur yang diaplikasikan dilapangan dibuat semirip mungkin dengan model analisisnya. Kuantifikasi ”seberapa jauh” diserahkan pada engineering judgement insinyurnya.

Jika syarat-syarat diatas tidak dipenuhi, maka analisis rangka batang menjadi lebih rumit untuk diselesaikan secara manual. Sejalan dengan berkembangnya teknologi komputasi, analisis rangka batang dengan komputer dapat dilakukan dengan cakupan yyang lebih luas. Sebagai contoh, analisis dapat mencakup kondisi kombinasi perletakan tetap apapun.

Rangka batang dengan Metode Kekakuan Langsung

Masalah rangka batang dengan elemen-elemen berperilaku batang juga dapat diselesaikan dengan metode kekakuan langsung. Bantuan aplikasi komputer hampir mutlak dibutuhkan pada metode ini. Untuk mendapatkan formulasi prosedur penyelesaiannnya, tinjau struktur rangka batang sangat sederhana pada Gambar 4.7

PZ

2

u2(1)

a.

struktur sistem dalam

3

koordinat global.

PX

b.1. elemen (1) tidak bero-

1

2

3

tasi tetapi memanjang

2

pada simpul lokal 2

4

u2(1)

sebesar u2(1)

1

1

2

1

b.2. elemen (1) dipandang

1

2

dari sistem koordinat

5

lokal cartesian

u2(2)

v2(2)

c.1. elemen (2) berotasi

2

6

θ(2) dan memanjang

θ(2)

2

pada simpul lokal 2

u2(2)

7

sebesar u2(2)

2

8

c.2. elemen (2) dipandang

dari sistem koordinat

1

1

lokal cartesian

9

uv2FB

v1(3)

u1(3)

d.1. elemen (3) bergerak

1

bebas atau free body

10

U1(3)

θ(3)

1

motion, uv2FB

kemudian berotasi

θ(3) sekaligus meman-

11

3

u2(3)

jang pada simpul

lokal 2 sebesar u1(3)

12

2

d.2. elemen (1) dipandang

2

dari sistem koordinat

uv2FB

v2(3)

13

lokal

Gambar 4.7. Ilustrasi Deformasi Model Struktur Rangka Batang

Setiap elemen struktur memungkinkan dapat berperilaku sebagai elemen batang dengan

membuat hubungan antara elemen sedemikian sehingga berperilaku sebagai sendi.

Elemen-elemen yang dihubungkan dengan sendi (pin) dapat berotasi bebas sedemikian

14

sehingga momen tidak terinduksi pada sambungan. Gambar 4.7-c menunjukkan elemen batang 2 berotasi terlebih dahulu dan kemudian memanjang bertepatan atau searah dengan sumbu baru elemen yang dapat direpresentasikan oleh sebuah pegas.

Rotasi dan kemudian translasi sejajar pada sumbu baru elemen setelah pembebanan dapat juga dinyatakan dengan kombinasi translasi dari sumbu sejajar dan tegak lurus elemen sebelum dibebani. Sistem koordinat yang mengakomodasi pergerakan elemen dengan sumbu referensi sejajar dan tegak lurus elemen merupakan sistem koordinat lokal. Sistem koordinat lokal elemen berubah-ubah setiap elemennya tergantung dari orientasi elemen.

Jika diambil satu sumbu referensi bersama misalnya sumbu x maka sumbu referensi elemen 1 berhimpitan dengan sumbu referensi bersama tersebut (sumbu x). Sumbu refrensi elemen 2 membentuk sudut dengan sumbu refrerensi bersama. Demikian juga hal nya dengan sumbu referensi elemen 3 yang juga membentuk sudut dengan sumbu referensi bersama.

Jika dipandang dari sistem sumbu referensi bersama maka translasi ujung-ujung elemen yang tidak terkekang dapat juga dinyatakan sebagai kombinasi translasi searah dan tegak lurus sumbu referensi bersama. Sistem koordinat yang mengakomodasi pergerakan elemen dengan sumbu referensi sejajar dan tegak lurus sumbu referensi bersama merupakan sistem koordinat lokal.

15

u2

PY

x’

3

′

16

′

′

(

− ⁄ )

3

PX

17

z

18

PY

P

2

3

19

1

z’

20

1

2

2

21

PX

x

22

23

24

25

′

26

.

Gambar 4.8. Deformasi Model Struktur Rangka Sangat Sederhana

Karena elemen-elemn batang hanya dimungkinkan untuk translasi searah sumbunya maka kekakuan elemen-elemennya yang dalam hal ini matriks kekakua elemnnya disusun berdasarkan sistem koordinat masing-masing elemen atau koordinat lokal. Jika translasi ujung-ujung elemen dapat dinyatakan oeh sistem koordinat lokal maupun global maka

27

dapat disusun hubungan antara kedua sistem koordinat tersebut. Dengan mentransformasikan translasi ujung-ujung elemen dari sistem koordinat lokal ke sistem koordinat global maka analisis elemen-elemen yang membentuk struktur dapat dilakukan dalam satu sistem koordinat bersama atau sistem koordinat global

Dalam bentuk operasi matriks dapat dituliskan sebagai

Analisis struktur dengan metode kekakuan langsung didahului dengan menyusun matriks kekakuan elemen atau lokal yang tentunya disusun dalam sistem koordinat lokal. Setiap elemen akan dirakit menjadi matriks kekakuan struktur. Matriks kekakuan lokal yang sistem koordinatnya berbeda dengan sistem koordinat global harus ditransformasikan terlebih dahulu ke sistem koordinat global sebelum perakitan.

Pada struktur tiang dengan elemen-elemen hanya berdeformasi pada satu sumbu. Elemen pada suatu rangka batang yang membentuk sudut dengan sistem sumbu referensi maka ujung-ujung elemen atau simpul-simpul akan berdeformasi sedemikian sehingga deformasinya merupakan kombinasi dari sumbu-sumbu yang saling tegak lurus. Oleh karena itu, sistem koordinat struktur rangka batang atau global pada setiap simpul harus diekspansikan seperti yang ditunjukkan Gambar 4.9.c

Gambar 4.9.a dan 4.9.b menunjukkan bahwa sistem koordinat 1 sumbu elemen batang lokal juga harus diekspansikan menjadi sistem koordinat 2 sumbu yang saling tegak lurus, menyesuaikan sistem sumbu global. Vektor perpindahan dan matriks kekakuan dengan sistem koordinat lokal agar bersesuaian dengan sistem koordinat global dengan diekspansikan ditunjukkan oleh Gambar 4.9.b

28

Dari persamaan yang ada yaitu persamaan gaya pada ujung atau simpul i suatu elemen, gaya yang bekerja pada sistem sumbu lokal yang diekspansikan adalah dan dapat dijadikan

29

Matriks kekakuan elemen dengan sistem koordinat lokal ditansformasikan ke sistem koordinat global melalui transformasi sesuai persamaan 4.15. Ilustrasi matriks kekakuan elemen global ditunjukkan oleh Gambar 4.8.c.

Struktur tiang tidak membutuhkan transformasi koordinat karena sumbu elemen selalu bersesuaian dengan sumbu global atau sumbu referensi. Disamping itu proses perakitan juga sederhana karena nomor-nomor simpul elemen dapat diatur selalu berurutan antara satu elemen dan elemen berikutnya. Perakitan dengan pola teratur ini diilustrasikan oleh kotak-kotak berisi matriks kekakuan pada Gambar. 4.5

Pada kasus rangka batang, matriks kekakuan elemen lokal diekspansikan terlebih dahulu agar sesuai sistem koordinat dengan dua sumbu pada rangka batang seperti yang ditunjukkan Gambar 4.8.a dan 4.8.b. Hasil transformasi ditunjukkan oleh Gambar 4.8.c.

30

Untuk contoh struktur rangka batang pada Gambar 4.7.a, detail transformasi matriks kekakuan elemen lokal menjadi global ditunjukkan oleh Gambar 4.9. Selanjutnya, penomoran DoF dalam sistem lokal (elemen ) dirubah ke sistem global (struktur) dengan ekspansi dimensi matriks dari lokal (4 x 4) menjadi global (6 x 6) serta menata ulang penomoran agar sesuai dengan penomoran DoF dalam sistem global.

Matriks kekakuan elemen diekspansikan sehingga mempunyai ukuran sama dengan matriks struktur sehingga perakitan dapat dilakukan dengan operasi matriks. Ukuran matriks struktur adalah ∑DoF x ∑DoF dimana ∑DoF adalah jumlah DoF pda struktur.

31

Dari Gambar 4.9 ilustrasi yang menunjukkan proses perakitan matriks dapat dilihat bahwa setiap matriks kekakuan elemen terdiri dari 4 blok. Setiap blok ditempatkan pada matriks kekakuan elemen yang telah diekspansikan sesuai penomoran DoFnya pada sistem global atau strukturnya. Matriks kekakuan struktur adalah hasil dari penjumlahan matriks-matriks kekauan elemen yang masing-masing telah diekspansikan

Dari Gambar 4.10 ilustrasi yang menunjukkan proses perakitan matriks dapat dilihat bahwa setiap matriks kekakuan elemen terdiri dari 4 blok. Setiap blok ditempatkan pada matriks kekakuan elemen yang telah diekspansikan sesuai penomoran DoFnya pada sistem global atau strukturnya. Matriks kekakuan struktur adalah hasil dari penjumlahan matriks-matriks kekauan elemen yang masing-masing telah diekspansikan

32

Aplikasi Rangka Batang menggunakan MATLAB untuk pemula

33

Pemrograman untuk pemula berisikan pemrograman yang belum mengerahkan semua fasilitas yang ada di MATLAB. Pemrograman dibuat dalam satu jendela editor tanpa dilengkapi sub routine (fungsi-fungsi) dan input data dalam penyimpan data teks seperti notepad. Pemrograman ini harus hanya berlaku untuk satu kasus rangka batang. Untuk kasus rangka batang lainnya, input pada jendela editor harus dirubah.

1. Pemrograman pemula

Pemrograman untuk pemula berisi pemrograman yang belum mengerahkan semua fasilitas yang ada di MATLAB. Pemrograman dibuat dalam satu jendela editor tanpa dilengkapi sub routine (fungsi-fungsi) dan input data dalam penyimpan data teks seperti notepad. Pemrograman ini hanya sesuai digunakan untuk satu kasus batang sederhana batang. Pemrograman juga hanya berlaku untuk satu kasus. Untuk kasus rangka batang lainnya, input pada jendela editor harus dirubah.

Pemrograman diawali dengan pembentukan matriks kekakuan elemen yang telah diekspansikan. Input modulus elastisitas elemen (E), Luas penampang elemen (A), panjang elemen (L) perlu dinyatakan terlebih dahulu agar penulisan matriks kekakuan lebih ringkas.

Selanjutnya pembentukan matriks transformasi diaplikasikan pada program untuk keperluan transformasi matriks kekakuan elemen dari koordinat lokal ke koordinat global sesuai persamaan 4.15. Sebelum perakitan dilakukan, matriks kekakuan elemen hasil transformasi harus diekspansikan untuk penyesuaian dengan sistem penomoran DoF global atau struktur.

Aplikasi Rangka Batang menggunakan MATLAB yang lebih sistematis

Pemrograman yang mencakup rangka batang dibawah ini disusun berdasarkan algoritma yang merujuk pada fasilitas-fasilitas pemrograman yanga ada pada MATLAB. Cara kerja

34

MATLAB tidak jauh berbeda dengan bahasa pemrograman lain yang populer digunakan seperti C++, Visual Basic, Fortan dan lain-lain sehingga algoritmanya dapat juga digunakan dengan sedikit modifikasi

Input awal variabel

Input dari masalah batang dengan metode kekakauan langsung meliputi variabel-variabel input yang dapat disusun dengan lebih ringkas dibandingkan metode klasik dimana input geometri rangka batang tidak dikaitkan dengan teknik solusi. Input geometri rangka batang diawali dengan memasukkan data-data geometri titik-titik simpul seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 4.10.

3 m

35

Input koordinat

36

nodes (simpul)

37

38

39

300 kgf

400 kgf

E,A

40

41

4

no.

x

z

42

3

43

5

44

45

3 m

2

E,A 3

E,A

4

E,A

1

0.0

0.0

46

z

47

2

3.0

0.0

48

3

1.5

3.0

49

1

E,A

x

50

2

4

4.5

3.0

51

52

3 m

1

53

54

55

56

57

Input konektifitas

Input properti

58

59

Elemen(member)

3

E,A

4

60

no. simpul ke-

E

A

61

no.el

i

j

5

62

63

2

3

64

E,A

4

E,A

2.109

65

1

1

2

0.09

66

E,A

z

2

1

67

3

2.109

0.09

E,A

x

68

1

2

3

2

3

2.109

0.09

69

1

70

4

2

4

2.10

9

0.09

71

72

73

74

5

3

4

2.109

0.09

Gambar 4.11 Input awal (a) model analisis (b) Penomoran simpul & elemen

(c) koordinat (d). Konektifitas & properti elemen (e). Gaya (f). kekangan

Input konektivitas struktur mempunyai bentuk yang hampir sama dengan yang terdapat pada metode klasik, hanya saja konektivitas (connectivity) diperluas dengan juga memasukkan informasi material dan penampang untuk menghitung kekakuan elemen nantinya. Input konektivitas sekaligus informasi batang ditunjukkan oleh Gambar 4.11.c

75

Input lainnya adalah gaya-gaya luar yang bekerja yang merupakan input yang disesuaikan dengan model struktur yaitu dengan menyesuaikan vektor beban dengan titik-titik diskrit yang ada. Input lainnya adalah dimana perletakan struktur diadakan.

Input awal non variabel

Input non variabel adalah input yang tetap pada suatu program yang mencakup jenis struktur tertentu seperti rangka batang misalnya. Input wala non variabel pada kasus rangka batang adalah

Jumlah simpul tiap elemen

Jumlah DoF tiap simpul atau DoF yang diaktifkan

Dari data awal ini dapat diolah menjadi data-data lanjutan yang dibutuhkan.

jumlah DoF struktur sebelum dikekang, dibutuhkan untuk menentukan dimensi matriks kekakuan struktur dan vektor gaya.

Dari informasi koordinat dapat dikembangkan data panjang elemen, orientasi

elemen (sudut antara sumbu elemen dengan sumbu referensi)

Nilai-nilai awal

Nilai-nilai awal pada program ini meliputi

Matriks kosong (elemen-elemennya berharga nol) berdimensi jumlah DoF x jumlah DoF

76

Vektor gaya awal berdimensi jumlah DoF x 1, jika pada data awal variabel gaya hanya berisi informasi simpul tempat gaya bekerja berikut DoF yang diberi gaya pada simpul tersebut.

Vektor indeks untuk perakitan matriks-matriks kekakuan

77