Fungsi Rasional dan Pecahan ParsialFungsi rasional diekspresikan sbb

Untuk menghitung integral fungsi rasional, perlu dilakukan dekomposisi pecahan-parsial dari fungsi rasional tersebut.

Metode pecahan parsial adalah suatu tehnik aljabar dimana R(x) didekomposisi menjadi jumlahan suku-suku:

Contoh

Faktor-faktor LinierJika Q(x) adalah (ax +b)n ( kelipatan n dari faktor ax +b), maka dekomposisinya

Jika Q(x) adalah faktor-faktor linier dengan kelipatan n = 1,

Contoh

Faktor KuadratikJika Q(x) adalah (ax2 + bx + c)n (kelipatan n dari faktor kuadratik ax2 + bx + c), dimana ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan i.e. b2 4ac

Jika faktor-faktor kuadratik mempunyai kelipatan n=1, maka dekomposisi

Jika Q(x) kombinasi dari faktor linier dan kuadratik, gunakan dekomposisi yang sesuai untuk masing-masing faktor.

Contoh

INTEGRAL TAK-WAJARBeberapa aplikasi calculus melibatkan integral dimana1. Interval integrasi tidak terbatas: [a,+), (- , a], atau (- , + )2. Integran adalah fungsi diskontinu tak-hingga di suatu titik c di dalam selang [a, b]: limxc f(x) =

Contoh:1. 2.

Limit tak-hingga dari integralDefinisi:

Jika limitnya ada, dikatakan integral tak-wajar (kiri) tsb. convergen;Jika limitnya tidak ada, dikatakan integral tak-wajar tsb. Divergen.

Hal yang sama berlaku untuk

Contoh: 1. 2.

Integran tak-hinggaDefinisi:

Jika limitnya ada: konvergen sebaliknya: divergen

Hal yang sama:

Jika f kontinu disetiap titik pada [a,b] kecuali di titik c(a,b) dan salah satu atau kedua2 limit sepihak f di c adalah tak-hingga maka

ContohSelidiki integral tak-wajar berikut