MODUL STATISTIKAKegunaan Statistika dalam bidang ekonomi yaitu • Bidang produksi • Bidang...

MODUL

STATISTIKA

Oleh:

Ai Ilah Warnilah,S.T.,M.Kom

UNIVERSITAS BINA SARANA INFORMASTIKA

FAKULTAS TEKNOLOGI DAN INFORMASI

PROGRAM STUDI SISTEM INFORMASI

TASIKMALAYA

2020

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT., yang telah

memberikan nikmat lahir maupun batin kepada kami sehingga modul

Statistika ini dapat selesai dengan tepat waktu. Selanjutnya modul ini

disusun pegangan Mahasiswa Pada Statistika.

Modul ini berisikan tentang Dasar dasar Statistika. Dimana isi dari

modul ini didalamnya tercantum contoh kasus dan penyelesaian kasus ,

sehingga akan memudahkan pembelajaran statistika bagi pembacanya.

Kami mengucapkan terima kasih banyak kepada semua pihak yang

telah membantu dengan tenaga dan pikirannya, terima kasih juga kepada

teman-teman yang telah membantu dalam proses penyusunan modul ini.

Kami menyadari masih banyak kekurangan dalam penyusunan modul

ini. Untuk itu saran dan kritik yang membangun sangat kami harapkan guna

perbaikan dan pengembangan modul ini di masa yang akan datang. Akhir

kata kami berharap semoga modul pemrograman java ini dapat bermanfaat

bagi pembacanya.

Tasikmalaya, Juni 2019

Ai ilah Warnilah

PERTEMUAN I

1.1. Pengertian Statistik Dan Statistika

Statistika adalah Suatu ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, pengolahan,

penyajian dan analisis data serta cara pengambilan kesimpulan secara umum

berdasarkan hasil penelitian yang tidak menyeluruh. Dalam arti sempit Statistik

adalah data ringkasan berbentuk angka (kuantitatif)

Sebagai suatu bidang studi, statistik memiliki dua bagian utama, yaitu :

1. Statistika Deskriptif adalah ilmu statistika yang mempelajari tentanpengumpulan,

pengolahan, dan penyajian data.

2. Statistika Inferensi (Statistika Induktif) adalah ilmu statistika yang mempelajari

tentang cara pengambilan kesimpulan secara menyeluruh (populasi) berdasarkan

data sebagian (sampel) dari populasi tersebut. Kegunaan Statistika dalam bidang

ekonomi yaitu

• Bidang produksi

• Bidang akuntansi

• Bidang pemasaran

Pengetahuan tentang statistik membantu untuk :

1. Menjelaskan hubungan antar variabel.

2. Membuat keputusan lebih baik.

3. Mengatasi perubahan-perubahan.

4. Membuat rencana dan ramalan.

5. Dan masih banyak manfaat yang lain.

Tahap-tahap dalam statistik

1. Mengidentifikasikan persoalan.

2. Pengumpulan fakta-fakta yang ada.

3. Mengumpulkan data asli yang baru.

4. Klasifikasi data.

5. Penyajian data.

6. Analisa data.

1.2 Populasi, Sampel dan Data.

Populasi adalah seluruh elemen yang akan diteliti. Sampel adalah elemen yang

merupakan bagian dari populasi.

Data adalah fakta-fakta yang dapat dipercaya kebenarannya Jenis-jenis pengambilan

sampel yaitu :

1. Random sederhana (simple random sampling) Adalah pengambilan sampel secara

acak sehingga setiap anggota populasi mempunya kesempatan yang sama untuk

menjadi sampel, misalnya dengan cara undian.

2. Random berstrata (Stratified Random Sampling) Adalah pengambilan sampel

yang populasinya dibagi-bagi menjadi beberapa bagian/stratum. Anggota-anggota

dari stratum dipilih secara random, kemudian dijumlahkan, jumlah ini membentuk

anggota sampel

3. Sistematis (Systematic Sampling) Adalah pengambilan sampel berdasarkan

urutan tertentudari populasi yang telah disusun secara teratur dan diberi nomer

urut.

4. Luas/Sampel Kelompok (Cluster sampling) Adalah pengambilan sampel tidak

langsung memilih anggota populasi untuk dijadikan sampel tetapi memilih

kelompok terlebih dahulu. Yang termasuk sebagai sampel adalah anggota yang

berada dalam kelompok terpilih tersebut. Jika kelompok-kelompok tersebut

merupakan pembagiandaerah-daerah geografis, maka cluster sampling ini disebut

juga area sampling.

Pembagian data dapat dibedakan menurut :

1. Sifatnya

a. Data kualitatif adalah data yang disajikan bukan dalam bentuk angka, misalnya

agama, jenis kelamin, daerah, suku bangsa, pangkat pegawai, jabatan pegawai dan

sebagainya.

b. Data kuantitatif adalah data yang disajikan dalam bentuk angka.

Data ini terbagi menjadi :

1) Data kontinu adalah data yang satuannya bisa dalam pecahan.

2) Data diskret adalah data yang satuannya selalu bulat dalam bilangan asli, tidak

berbentuk pecahan.

2. Waktunya.

a. Data silang (Cross Section) adalah data yang dikumpulkan pada suatu waktu

tertentu yang bisa menggambarkan keadaan /kegiatan pada waktu tersebut,

misalnya jumlah warga DKI Jakarta menurut asal dan agama pada tahun 2011

b. Data Berkala (Time Series) adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu,

misalnya data angka kematian dan kelahiran dari tahun ke tahun di Indonesia yang

cenderung membesar atau mengecil

3. Cara memperolehnya.

a. Data primer adalah data yang didapatkan langsung dari responden.Contoh : data

pegawai negeri sipil di BKN, data registrasi mahasiswa di suatu universitas dan

sebagainya.

b. Data Sekunder adalah data yang diambil dari data primer yang telah diolah, untuk

tujuan lain, Contoh : data perkawinan antara umur 17 s/d 20 tahun di Indonesia yang

diambil dari Departemen Agama untuk tujuan analisa pola perkawinan setiap suku

bangsa di Indonesia.

4. Sumbernya.

a. Data Internal adalah data yang menggambarkan dari keadaan di dalam suatu

organisasi. Contoh : dari suatu universitas adalah data dosen, jumlah mahasiswa,

data kelulusan dan sebagainya.

b. Data Eksternal adalah data yang dibutuhkan dari luar untuk kebutuhan suatu

organisasi tersebut. Contoh: data orang tua mahasiswa BSI untuk keperluan

beasiswa.

Syarat Data yang baik adalah

1. Benar/Obyektif.

2. Mewakili/Wajar (representative).

3. Dipercaya, artinya kesalahan bakunya kecil.

4. Tepat waktu (up to date).

5. Relevan (data yang dikumpulkan ada hubungannya dengan permasalahannya)

1.3 Pengukuran dan Jenis-jenis Skala Pengukuran.

Variabel (peubah) adalah karakteristik - karakteristik yang terdapat pada elemen-

elemen dari populasi tersebut. Contoh : Pada masyarakat, elemennya adalah

manusia, karakteristiknya misalnya penghasilan, umur, pendidikan, jenis kelamin

dan status perkawinan yang merupakan variabel-variabel dalam penelitian. Variabel

terbagi atas :

1. Variabel kualitatif (kategori). Contoh:Tingkat Pendidikan ,Jenis kelamin dsb.

2. Variabel kuantitatif (Numerik). Contoh : Penghasilan, umur, jumlah keluarga, dsb

Untuk analisa data penelitian, diperlukan macam-macam ukuran skala yaitu :

1. Skala Nominal (Skala Klasifikasi) adalah skala yang paling sederhana dimana

angka yang diberikan kepada obyek sebagai label saja dan tidak menunjukkan

tingkatan apa-apa. contoh: jenis kelamin, no urut absen

2. Skala Ordinal Adalah skala yang diberikan kepada obyek sebagai label dan

menunjukkan tingkatan. contoh: tingkat pendidikan

3. Skala Interval Adalah suatu pemberian angka kepada set dari obyek yang

mempunyai sifat-sifat ukuran ordinal dan ditambah 1 sifat lain yaitu jarak yang

sama. contoh : data nilai , berat badan

4. Skala Rasio. Adalah suatu pemberian angka pada set obyek yang mempunyai sifat-

sifat ukuran ordinal, mempunyai jarak yang sama dan ditambah 1 sifat yaitu nilai

absolut dari obyek yang diukur. contoh : suhu badan

PERTEMUAN II

NOTASI SIGMA DAN UKURAN GEJALA PUSAT BELUM DI

KELOMPOKAN

2.1 Notasi Sigma

2.2. Ukuran Gejala Pusat Data Belum Dikelompokkan

a. Rata-rata hitung

adalah nilai yang mewakili sekelompok data.

∑xi =1/N {x1+x2+...xn}

Keterangan:

�̅� = rata-rata hitung

𝑥𝑖 = nilai hitung ke-i

𝑛 = jumlah sampel

Contoh Soal :

Y= 8, 20, 12, 7, 7, 9, 13, 16, 20, 10, 5, 7, 13,2, 1

Tentukan rata-rata hitungnya !

Jawab : Y = 8, 20, 12, 7, 7, 9, 13, 16, 20, 10, 5, 7, 13,2, 1

15

= 150

15 = 10 (C)

b. Rata-rata geometrik

adalah akar ke-n dari hasil perkalian unsur-unsur datanya. Secara

matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:

Keterangan :

G = rata-rata ukur (rata-rata geometrik)

N = banyaknya sampel

Rata-rata geometrik sering digunakan dalam bisnis dan ekonomi

untuk menghitung rata-rata tingkat perubahan, rata-rata tingkat

pertumbuhan, atau rasio rata-rata untuk data berurutan tetap atau

hampir tetap atau untuk rata-rata kenaikan dalam bentuk persentase.

G=N√X1.X2. ...XN atau

Log G=(∑log X1)/N

Contoh:

Diketahui data suku bunga tabungan beberapa bank adalah sebagai

berikut:

6.75, 5.75, 6.50, 6.25, 6.25, 6.10, 5.70, 5.90, 6.25, 5.60

Berapa rata-rata ukur (geometrik) suku buka bank tersebut?

Jawab:

G=𝑛. √. 𝑥2. 𝑥3….. 𝑥𝑛

G=10. √6,75 . 5,75 . 6.50 . 6,25 . 6,25 . 6,10 . 5,70 . 5,90 . 6,25 . 5,60

G=10. √70757056,11

G=6,095

c. Rata-rata harmonik dari seperangkat data

Rata-rata harmonik (harmonic average) adalah rata-rata yang

dihitung dengan cara mengubah semua data menjadi pecahan,

dimana nilai data dijadikan sebagai penyebut dan pembilangnya

adalah satu, kemudian semua pecahan tersebut dijumlahkan dan

selanjutnya dijadikan sebagai pembagi jumlah data. Rata-rata

harmonik ini sering disebut juga dengan kebalikan dari rata-rata

hitung (aritmatik). Secara matematis rata-rata harmonik dirumuskan

sebagai berikut.

Keterangan:

H = rata-rata harmonik

n = jumlah data sampel

http://www.rumusstatistik.com/2013/07/rata-rata-mean-atau-rataan.html

http://www.rumusstatistik.com/2013/07/rata-rata-mean-atau-rataan.html

http://2.bp.blogspot.com/-GDQMHrmqoDg/UhKsVwt1ApI/AAAAAAAABys/UdQyBYxl4CE/s1600/rata-rata+harmonik.png

xi = nilai data ke-i

Contoh:

Suatu pertandingan bridge terdiri dari 10 meja. Pada pertandingan

tersebut ingin diketahui rata-rata lama bermain dalam 1 set kartu

bridge. Pada pertandingan pertamanya dihitung lama bermain untuk

setiap set kartu di setiap meja. Hasilnya adalah sebagai berikut (dalam

menit).

7, 6, 8, 10, 8, 8, 9, 12, 9, 11

Berapakah rata-rata harmonik lama pertandingan tersebut?

Jawab:

Dari rumus dapat dihitung rata-rata harmonik adalah sebagai

berikut.

H =10

17 +

16 +

18 +

110 +

18 +

18 +

19 +

112 +

19 +

111

H =10

1,180988456= 8,46

d. Rata-rata tertimbang

Rata-rata tertimbang/terbobot (weighted average) adalah rata-rata

yang dihitung dengan memperhitungkan timbangan/bobot untuk

setiap datanya. Setiap penimbang/bobot tersebut merupakan

pasangan setiap data.

Rumus rata-rata tertimbang/terbobot adalah sebagai berikut.

�̅� =∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖−1 𝑤𝑖

∑ 𝑤𝑖𝑛𝑖−1

Keterangan:

= rata-rata tertimbang

𝑥𝑖 = nilai data ke-i

𝑤𝑖 = bobot data ke-i

n = jumlah data

Contoh penggunaan rata-rata tertimbang

Sebuah perguruan tinggi membuka penerimaan mahasiswa baru.

Dalam rangka penerimaan, perguruan tinggi tersebut melaksanakan

ujian masuk untuk calon mahasiswa baru. Calon mahasiswa baru

diwajibkan mengkuti tes kemampuan 3 mata pelajaran, yaitu

matematika, bahasa inggris dan pengetahuan umum.

Untuk memberikan penilaian yang lebih baik, perguruan tinggi

tersebut membobot setiap mata pelajaran yang diujiankan.

Matematika diberi bobot 50, bahasa Inggris 30 dan pengetahuan

umum 20.

Setelah ujian dilaksanakan, seorang calon mahasiswa baru

mendapatkan nilai sebagai berikut. Matematika 65, bahasa inggris 70

dan pengetahuan umum 80. Berapakah nilai rata-rata calon

mahasiswa tersebut?

Jawaban :

Diketahui bahwa penilaian bersifat terbobot, oleh karena itu

penghitungan nilai mahasiswa tersebut menggunakan rumus rata-rata

tertimbang.

Dengan menggunakan rumus rata-rata tertimbang maka

penghitungan nilai mahasiswa tersebut adalah sebagai berikut.

�̅� =(65x50) + (70x30) + (80x20)

50 + 30 + 20=

6950

100= 69,5

Jadi, nilai rata-rata calon mahasiswa baru tersebut adalah 69,5.

e. Median (Nilai Tengah)

Pengertian median adalah salah satu teknik penjelasan kelompok

yang didasarkan atas nilai tengah dari kelompok data yang telah

disusun urutannya dari yang terkecil sampai yang terbesar, atau

sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil.

1. Median data tunggal

Contoh:

Hasil observasi umur pegawai di kantor X adalah :

20, 45, 60, 56, 45, 45, 20, 19, 57, 45, 45, 51, 35

Untuk dapat mencari mediannya maka data umur diatas harus

disusun terlebih dahulu urutannya. Setelah disusun, menjadi

sebagai berikut :

19, 20, 20, 35, 45, 45, 45, 45, 45, 51, 56, 57, 60

Nilai tengah data diatas berada pada urutan ke 7 yaitu 45. Jadi

mediannya adalah 45.

2. Median data berkelompok

Me = Tb+p[𝑛

2−𝐹

𝑓]

Keterangan:

Me = median

Tb = tepi bawah kelas median

p = panjang kelas

n = banyak data

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas median

F = frekuensi kelas median

Data Frekuensi FK

11-20 5 5

21-30 3 8

31-40 8 16

41-50 7 23

51-60 4 27

61-70 9 36

Jumlah 36

Penyelesaian:

Me = Tb+p[𝑛

2−𝐹

𝑓]

= 40,5+10[36

2−16

7]

= 40,5+10[18−16

7] = 40,5+2,86 = 43,36

karena banyaknya data adalah 36 maka median terletak di antara

data ke-18 dan data ke-19 sehingga diperoleh kelas yang

mengandung median adalah 4-40. Dengan demikian, Tb = 41- 0,5

= 40,5; p = 10(11-20); f = 7; F = 16.

f. Modus (Nilai Yang Paling Banyak Muncul)

Pengertian modus adalah teknik penjelasan kelompok yang

didasarkan atas nilai yang sedang populer (yang sedang menjadi

mode) atau nilai yang sering muncul dalam kelompok tersebut.

1. Modus data tunggal

Contoh Modus Pada Data Kuantitatif :

Umur pegawai kantor Y adalah :

20, 45, 60, 56, 45, 45, 20, 19, 57, 45, 45, 51, 35

Dari data diatas, dapat dilihat bahwa yang paling banyak muncul

adalah umur 45. Munculnya sebanyak 5 kali, jadi dapat dijelaskan

bahwa kelompok pegawai kantor Y sebagian besar berumur 45

tahun.

2. Modus data tergolong

Mo = Tb+p[𝑑

𝑑1+𝑑2]

Keterangan:

Mo = modus

Tb = tepi bawah kelas modus

P = panjang

𝑑1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

𝑑2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

Contoh:

Data Frekuensi

11-20 5

21-30 3

31-40 8

41-50 7

51-60 4

61-70 9

Jumlah 36

Jawab:

Karena kelas dengan frekuensi terbanyak 9 maka modus terletak

diantara kelas 51-60; tb=51-0,5=50,5; p =10(11-20); 𝑑𝑖=9-4=5; F=16.

Penyelesaian:

Me = Tb+p[𝑑

𝑑1+𝑑2]

= 50,5+10[2

2+5]

= 50,5+2,28 = 53,36

Jadi, modusnya adalah 53,36

g. Kuartil

Kuartil adalah nilai yang membagi suatu data terurut menjadi

empat bagian yang sama. Kuartil dilambangkan dengan Q . Jenis

kuartil ada 3, yaitu kuartil pertama (Q1) , kuartil kedua (Q2), dan

kuartil ketiga (Q3).

1. Kuartil untuk Data Tunggal

𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄1 =i(n+1)

4

Keterangan :

𝑄1 = kuartil ke i

n= banyaknya data

Tentukan Q1 , Q2 dan Q3 dari data : 7,3,8,5,9,4,8,3,10,2,7,6,8,7,2,6,9,

Jawab :

Data terurut : 2,2,3,3,4,5,6,6,7,7,7,8,8,8,9,9,10

n = 17

𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄1 =1(17 + 1)

4=

18

4= 4,5

𝑄1 = 𝑋4 + 0,5 (𝑋5 + 𝑋4)

= 3 + 0,5 (4-3) = 3,5

𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄2 =2(17 + 1)

4=

36

4= 9

𝑄2 = 𝑋9 = 7

𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄3 =3(17 + 1)

4=

54

4= 13,5

𝑄3 = 𝑋13 + 0,5 (𝑋14 + 𝑋13)

= 8 + 0,5 (8 – 8) = 8

2. Kuartil untuk data Bergolong (Berkelompok)

Menentukan letak kuartil untuk data berkelompok

𝑄𝑖 = 𝑇𝑏 + 𝑝 (

𝑖. 𝑛4 − 𝐹

𝑓)

Keterangan :

Qi = kuartil ke-i n = banyak data

Tb = tepi bawah kelas kuartil f = frekuensi kelas

kuartil

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil p = panjang kelas

Tentukan Qi dari data berikut:

Data F

11-20 2

21-30 7

31-40 4

41-50 6

51-60 5

61-70 6

Jawab

Data F

11-20 2

21-30 7

31-40 4

41-50 6

51-60 5

61-70 6

𝑄𝑖 = 𝑇𝑏 + 𝑝 (

𝑖. 𝑛4 − 𝐹

𝑓)

= 20,5 + 10 (7,5−2

7)

= 20,5 + 7,86 = 28,36

h. Desil

Desil merupakan nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian

sama besar. Desil sering dilambangkan dengan D. jenis ada 6, yaitu D1

, D2 , D3, ….,…,…,D9.

1. Desil untuk data tunggal

𝑳𝒆𝒕𝒂𝒌 𝑫𝟏 = 𝑖(𝑛−1)

10

Keterangan :

Di = desil ke-i

n = banyaknya data

Tentukan desil ke-8 dari data : 6,3,8,9,5,9,9,7,5,7,4,5,8,3,7,6,.

Jawab:

n = 16

data terurut = 3,3,4,5,5,5,6,6,7,7,7,8,8,9,9,9.

𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝐷8 =8(16 − 1)

10 = 13,6

𝐷8 = 𝑋13 + 0,6 (𝑋14 + 𝑋13)

= 8 + 0,6 (9-8) = 8,6

2. Desil untuk data Bergolong ( berkelompok)

Menentukan letak desil untuk data berkelompok

𝐷𝑖 = 𝑇𝑏 + 𝑝 (

𝑖. 𝑛10 − 𝐹

𝑓)

Keterangan :

D1 = desil ke-i F = frekuensi kumulatif sebelum

Tb = tepi bawah kelas kuartil kelas kuartil

p = panjang kelas f = frekuensi kelas kuartil

n = banyak data

Contoh soal :

Tentukan nilai D6 dari data berikut

Data F

11 – 13 5

14 – 16 6

17 – 19 3

20 – 22 5

𝐷𝑖 = 𝑖

10 × 𝑛

= 6

10 × 30

=18

Jawab:

𝐷6 = 𝑇𝑏 + 𝑝 (

6𝑛10 − 𝐹

𝑓)

= 19,5 + 3 (18 − 14

5)

= 19,5 + 2,4 = 21,9 Jadi, nilai D6 adalah 21,9

i. Persentil

Persentil merupakan nilai yang membagi data menjadi seratus

bagian sama besar. Persentil sering dilambangakan dengan P. jenis

persentil ada 99, yaitu P1, P2, P3 … P99.

1. Data tunggal

𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑃𝑖 = 𝑖(𝑛 − 1)

100

23 – 25 7

26 – 28 4

Data F 𝑭𝒌

11 – 13 5 5

14 – 16 6 11

17 – 19 3 14

20 – 22 5 19

23 – 25 7 26

26 – 28 4 30

Keterangan :

Pi = pesentil ke-i

n = banyaknya data

Tentukan persentil ke-65 dari data : 6,5,8,7,9,4,5,8,4,7,8,5,8,4,5.

Jawab:

n = 15

data terurut : 4,4,4,5,5,5,5,6,7,7,8,8,8,8,9.

𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑃65 = 65(15 − 1)

100 = 10,4

𝑃65 = 𝑋10 + 0,4 (𝑋11 + 𝑋10)

= 7 + 0,4 (8-7) = 7,4

Jadi, nilai persentil ke-65 adalah 7,4.

2. Data bergolong (Berkelompok)

Menetukan letak persentil untuk data berkelompok

𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑃𝑖 = 𝑖(𝑛 − 1)

100

Keterangan :

Pi = persentil ke-i

Tb = tepi bawah kelas persentil

p = panjang kelas

n = banyak data

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil

f = frekuensi kelas persentil

Tentukan P30 dari data berikut

𝑃𝑖 = 𝑖

100 × 𝑛

= 30

100 × 30

= 9

Jawab:

𝑃30 = 𝑇𝑏 + 𝑝 (

30𝑛100 − 𝐹

𝑓)

= 14,5 + 5 (9 − 5

6)

= 14,5 + 3,33 = 17,83

2.3. Pembuatan Statistik Deskriptif dengan Program Ms. Excel

2007/2010

Jika sudah mengaktifkan Analysis Toolpack langkah langkah dalam

pembuatan Distribusi Frekuensi dan Histogram dengan excel 2007/2010

adalah sbb :

Data F 𝑭𝒌

10 – 4 4 4

15 – 19 6 10

20- 24 5 15

25 – 29 7 22

30 – 34 3 25

35 – 39 5 30

1. Masukan data

2. Pilih Data pada menu utama

3. Pilih Data Analysis

4. Pilih Deskriptive Statistics pada Analysis Tools

5. Ketika kotak dialog muncul,

Pada kotak Input Range, selanjutnya blok/sorot range data

Pada kotak output range, arahkan kursor pada kolom kosong

Berikan tanda check pada “Summary Statistics”

Klik OK

BAB IV

UKURAN DATA DIKELOMPOKAN

4.2.. Pengertian Data Dikelompokkan

Data yang dikelompokkan adalah data yang sudah disusun ke dalam

sebuah distribusi frekuensi sehingga data tersebut mempunyai interval kelas

yang jelas dan mempunyai titik tengah kelas.

4.2.1 Macam-Macam Ukuran Gejala Pusat

Ukuran pemusatan data yang termasuk ke dalam analisis

statistika deskriptif adalah rata-rata hitung (mean), median, modus,

dan fraktil (kuartil, desil, persentil).

Berikut ini adalah macam-macam ukuran gejala pusat data yang

sudah di kelompokkan, yaitu:

1. Rata-Rata Hitung (mean)

Istilah mean dikenal dengan sebutan angak rata-rata. Nilai rata-

rata hitung (mean) adalah total dari semua data yang diperoleh dari

jumlah seluruh nilai data dibagi dengan jumlah frekuensi yang ada.

Untuk mencari rata-rata hitung berupa data kelompok, maka terlebih

dahulu harus ditentukan titik tengah dari masing-masing kelas.

Rumus rata-rata hitung (mean):

Keterangan : fi = frekuensi ke-i

mi = titik tengah kelas ke-i

2. Median

Median merupakan sebuah nilai data yang berada di tengah-

tengah dari rangkaian data yang telah tersusun secara teratur.

Hasil median sama dengan hasil dari kuartil kedua.

Rumus median :

Keterangan: Lm = tepi bawah kelas median

N = jumlah frekuensi

∑f = frekuensi kumulatif di atas kelas median

fm = frekuensi kelas median

c = interval kelas median

3. Modus

Modus merupakan nilai data yang memiliki frekuensi

terbesar atau nilai data yang paling sering muncul.

Rumus modus :

Keterangan: Lmo = tepi bawah kelas modus

d1 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan

frekuensi kelas sebelum modus

d2 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan

frekuensi kelas sesudah modus

c = interval kelas modus

4. Kuartil

Pada prinsipnya, pengertian kuartil sama dengan median.

Perbedaanya hanya terletak pada banyaknya pembagian kelompok

data. Median membagi kelompok data atas 2 bagian, sedangkan

kuartil membagi kelompok data atas 4 bagian yang sama besar,

sehingga akan terdapat 3 kuartil yaitu kuartil ke-1, kuartil ke-2 dan

kuartil ke-3, dimana kuartil ke-2 sama dengan median.

Rumus Kuartil:

Keterangan: Qi = kuartil ke-i

LQ= tepi bawah kelas kuartil, desil, persentil


∑f = frekuensi kumulatif “dari atas” pada kelas sebelum

kelas

f = frekuensi kelas kuartil

c = interval kelas kuartil

5. Desil

Desil adalah suatu rangkaian data yang membagi suatu

distribusi menjadi 10 bagian yang sama besar.

Rumus Desil:

Keterangan: Di = desil ke-i

L = tepi bawah kelas kuartil, desil, persentil



kelas

f = frekuensi kelas desil

c = interval kelas desil

6. Persentil

Persentil adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi

menjadi 100 bagian yang sama besar.

Rumus Persentil:

Keterangan: Pi = persentil ke-i

L = tepi bawah kelas kuartil, desil, persentil



kelas

f = frekuensi kelas kuartil, desil, persentil

c = interval kelas kuartil, desil, persentil

7. Jangkauan (range)

Jangkauan atau range adalah selisih antara data

pengamatan terbesar dengan data pengamatan terkecil yang

terdapat pada kumpulan suatu data tersebut. Rumus jangkauan (range):

R = Xmax - Xmin

Keterangan : R = jangkauan Xmax = nilai maksimum Xmin = nilai minimum

CONTOH KASUS

Contoh soal :

Berikut ini adalah data nilai dari 80 mahasiswa kelas 11.2A.04:

Dari data diatas, buatlah: 1. Rata-rata hitung

2. Median

3. Modus

4. Kuartil ke-1

5. Kuartil ke-2

6. Desil ke-2

7. Desil ke-8

8. Persentil ke-10

9. Persentil ke-60

10. Range (Jangkauan)

2.3. PEMBAHASAN KASUS

1. Rata-Rata Hitung (Mean)

𝒙 =∑𝒇𝒊.𝒙𝒊

∑𝒇𝒊=

𝟔𝟐𝟗𝟎

𝟖𝟎= 𝟕𝟖, 𝟔

2. Median

Letak median = X(N/2) = X(80/2) = X40

Letak median pada data ke 40 yaitu pada nilai 70-79

𝑀𝑒𝑑 = 𝐿𝑚 +

𝑁2 − ∑𝑓

𝑓𝑚 𝑥 𝑐

= 69,5 +40−16

25 𝑥 10

= 69,5 +24

25 𝑥 10

= 69,5 + 9,6 = 79,1

3. Modus

Modusnya terletak pada nilai 70-79 dengan frekuensi 25

𝑀𝑜𝑑 = 𝐿𝑚𝑜 +𝑑1

𝑑1 + 𝑑2 𝑥 𝑐

= 69,5 +16

16 + 3 𝑥 10

= 69,5 +16

19 𝑥 10

= 69,5 + 8,4

= 77,9

4. Kuartil Ke-1

Letak Q1 = ¼ (N+1) = ¼(80+1) = 20,25

Berarti posisi nya pada kelas ke 3

𝑄1 = 𝐿𝑄 +𝑖

𝑁4 − ∑𝑓

𝑓𝑞𝑐

= 69,5 +1

804 − 16

2510

= 69,5 +20 − 16

2510

= 69,5 + 1,6 = 71,1

5. Kuartil Ke-2

Letak Q1 = 2/4 (N+1) = ½ (80+1) = ½(81) = 40,5

Berarti posisinya pada kelas ke 3

𝑄2 = 𝐿𝑄 +𝑖

𝑁4 − ∑𝑓

𝑓𝑞𝑐

= 69,5 +2

804 − 16

2510

= 69,5 +40 − 16

2510

= 69,5 + 9,6 = 79,1

Terbukti bahwa Q2=median

6. Desil Ke-2

Letak D2 = 2

1080 =

1

580 = 16

Berarti posisinya pada data ke 16 dan kelas 60-69

𝐷2 = 𝐿𝐷 +𝑖

𝑁10 − ∑𝑓

𝑓𝑑𝑐

= 59,5 +2

8010 − 7

910

= 59,5 +16 − 7

910

= 59,5 + 10 = 69,5

7. Desil Ke-8

Letak D8 = 8

1080 = 64

Berarti letaknya pada data ke 64 dan kelas 90-99

𝐷8 = 𝐿𝐷 +𝑖

𝑁10 − ∑𝑓

𝑓𝑑𝑐

= 89,5 +8

8010 − 63

1710

= 89,5 +64 − 63

1710

= 89,5 + 0,6 = 90,1 8. Persentil Ke-10

Letak P10 = 10

10080 =

1

1080 = 8

Berarti posisinya pada data ke 8 kelas 60-69

𝑃10 = 𝐿𝑃 +𝑖

𝑁100 − ∑𝑓

𝑓𝑝𝑐

= 59,5 +10

80100 − 7

910

= 59,5 +8 − 7

910

= 59,5 + 1,1 = 60,6

9. Persentil Ke-60

Letak P60 = 60

10080 =

30

5080 = 48

Berarti letaknya pada data ke 48 dan kelas 80-89

𝑃60 = 𝐿𝑃 +𝑖

𝑁100

− ∑𝑓

𝑓𝑝𝑐

= 79,5 +60

80100 − 41

2210

= 79,5 +48 − 41

2210

= 79,5 + 3,2 = 82,7

10. Jangkauan (Range)

R = Xmax - Xmin = 99 -50 = 49

4.2 Menentukan Ukuran Statistik Deskriptif Menggunakan Excel

Microsoft Excel menyediakan fasilitas untuk mengolah data statistik

yaitu dengan memanfaatkan fungsi-fungsi statistik yang ada, dan perintah

analisis yang merupakan perintah tambahan (add-ins) sehingga tidak

ditampilkan pada menu utama Microsoft Excel.

Sebelum dapat menggunakan perintah data analisis, langkah

pertama yang harus dilakukan adalah mengaktifkan referensi tools

yang disediakan oleh Microsoft Excel , di mana langkah-langkahnya

sebagai berikut :

1. Aktifkan program Microsoft Excel hingga

terdapat worksheet kosong.

2. Klik Office button yang berada di ujung kiri atas jendela utama.

3. Klik Menu Excel Options. 4. Sebuah kotak dialog Excel Options ditampilkan, dan klik menu add-

ins yang ada di jendela sebelah kiri, dan klik Analysis ToolPack pada daftar aplikasi add-ins.

5. Klik tombol Go, dan sebuah kotak dialog add-ins ditampilkan.

6. Berikan tanda check (lihat gambar) pada kotak check analysis tool

pack.

7. klik tombol OK dan tunggu beberapa saat sampai proses instalasi

berakhir.

8. Kini dalam Ribbon “Data“, akan muncul menu baru “Data

Analysis“, yang bila ditekan akan memunculkan kotak dialog pilihan

untuk melakukan kalkulasi statistika.

Beberapa langkah yang dapat dilakukan dalam

melakukan analysis data statistik adalah sebagai berikut :

1. Dari menu utama Microsoft Excel klik menu Data dan pilih

menu Data Analysis.

2. Pilih menu Descriptive Statistics lalu klik OK.

3. Klik button pada Input Range dan masukkan data batas atas kelas

kedalam kolom Input Range dengan cara mem-blok data tersebut.

4. Klik button Output Range dan tempatkan pointer pada tempat

yang kosong.

5. Pilih Summary Statitstics dan klik OK.

http://blog.fastncheap.com/tag/aplikasi/

PERTEMUAN IV

KEMIRINGAN KERUNCINGAN DAN ANGKA INDEKS

4.1. KEMIRINGAN

Kemiringan (skewness) dari suatu distribusi adalah derajat

kesetangkupan (derajat simetris) dari distribusi tersebut (Sartono, 1997).

Adapun ukuran kemiringan adalah ukuran yang menyatakan derajat

ketidaksimetrisan suatu lengkungan halus (kurva) dari suatu distribusi

frekuensi. Dapat pula dikatakan bahwa ukuran kemiringan adalah harga yang

menunjukkan seberapa jauh distribusi itu menyimpang dari simetris. Jika

kita tinjau berdasarkan kemiringan, suatu kurva distribusi dapat

dikelompokkan menjadi tiga bagian, yaitu sebagai berikut:

Distribusi Positif Distribusi Simetrik Distribusi Negatif

Menurut Pearson, dari hasil koefisien kemiringan diatas ada tiga kriteria

untuk mengetahui model distribusi dari sekumpulan data (baik data tidak

berkelompok maupun data berkelompok), yaitu:

1. Jika koefisien kemiringannya lebih kecil dari nol (<0), model

distribusinya negatif

2. Jika koefisien kemiringannya sama dengan nol (= 0), model

distribusinya simetris

3. Jika koefisien kemiringannya lebih besar dari nol (> 0), model

distribusinya positif.

Ada beberapa rumus untuk menghitung koefisien kemiringan, yaitu:

a. Koefisien kemiringan pertama dari Pearson

Koefisien kemiringan =�̅�−Mo

s

Keterangan : �̅� = rata

Mo = modus

S = simpangan baku

b. Koefisien kemiringan kedua dari Pearson

Koefisien kemiringan =3 (�̅�−Me)

s

Keterangan : �̅� = rata-rata

Me = median

S = simpangan baku

c. Koefisien kemiringan menggunakan nilai kuartil

Koefisien kemiringan = 𝑄3−2 𝑄2 + 𝑄1

𝑄3− 𝑄1

dengan 𝑄1 = kuartil pertama

𝑄2 = kuartil kedua

𝑄3 = kuartil ketiga.

d. Koefisien kemiringan menggunakan nilai persentil

Koefisien kemiringan = 𝑃90−2 𝑃50 + 𝑃10

𝑃90− 𝑃10

dengan 𝑃90 = Persentil ke 90

𝑃50 = Persentil ke 50


Contoh :

Misalkan berat badan bayi (dicatat dalam kg) yang baru lahir selama

seminggu tertentu di rumah sakit bersalin “Sehat” dapat dilihat dalam tabel

berikut.

Berat Badan bayi yang Baru Lahir

Selama Seminggu tertentu di Rumah Sakit Bersalin

Berat Badan (Kg) Banyak Bayi

2,5 – 2,6 2

2,7 – 2,8 3

2,9 – 3,0 5

3,1 – 3,2 7

3,3 – 3,4 6

3,5 -3,6 5

Jumlah 28

Hitung koefisien kemiringannya dengan menggunakan nilai kuartil.

Penyelesaian :

1. Menggunakan rumus kemiringan pertama dari pearson

Untuk memudahkan mencari koefisien kemiringan, maka kita

gunakan tabel dibawah ini

Berat

Badan

(Kg)

Banyak

Bayi

(Fi)

Nilai

Tenga

h (xi)

Fi .xi Fk µ d F. d F.d²

2,5 – 2,6 2 2,55 5,1 2 - 0,6 -3 -6 36

2,7 – 2,8 3 2,75 8,25 5 -0,4 -2 -6 36

2,9 – 3,0 5 2,95 14,75 10 -0,2 -1 -5 25

3,1 – 3,2 7 3,15 22.05 17 0 0 0 0

3,3 – 3,4 6 3,35 20,1 23 0,2 1 6 36

3,5 -3,6 5 3,55 17,75 28 0,4 2 10 100

Jumlah 28 88 19 233

Koefisien kemiringan pertama dari pearson = �̅� − 𝑀𝑜

𝑠

�̅� = ∑𝐹. 𝑥𝑖

∑𝐹 =

88

28 = 3,14

Modus = Tb Mo + p (𝑑1

𝑑1+𝑑2)

Keterangan : tbm = tepi bawah kelas modus

p = panjang kelas

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

Berdasarkan frekuensi kelas modus terletak di kelas keempat. Jadi tbm =

3,1 – 0,05 = 3,05, p =0,2, d1= 7-5 = 2, d2 = 7-6 = 1.

Modus = tbm + p (𝑑1

𝑑1+𝑑2)

= 3,05+ 0,2 (2

2+1)

= 3,05+ 0,13

= 3,18

S = P √∑𝐹𝑖.𝑑2

𝑛−

√(∑𝐹𝑖.𝑑)2

𝑛

= 0,2 √61

28−

√(−1)²

28

= 0,2 √61

28−

√1

784

= 0,2 √1708

784−

√1

784

= 0,2 √1707

784

= 0,2 √2,17

= 0,2 . 1,47

= 0,294

Koefisien kemiringan pertama dari pearson = �̅�− 𝑀𝑜

𝑠

= 3,14−3,18

0,294

= −0,04

0,294

= -0,13

Karena koefisien kemiringannya -0,13 yaitu kurang dari 0, maka model

distribusinya adalah distribusi negatif.

2. Koefisien kemiringan kedua dari Pearson


s

Sebelumnya kiita sudah ketahui :

�̅� = 3,14 , s = 0,294

Median = 𝑛

2 =

28

2 = 14 , terletak dikelas interval ke-4.

Jadi tbm = 3,1 – 0,05 = 3,05, p = 3,1 – 2,9 = 0,2, F =

Me = Tb Me + p (𝑛

2−𝐹

𝐹𝑚𝑒)

= 3,05+ 0,2 (28

2−10

7)

= 3,05 + 0,2 ( 4

7 )

= 3,05 + 0,11

= 3,16


s

= 3 (3,14−3,16)

0,294

= 3 (−0,02)

0,294

= − 0,06

0,294

= - 0,204

Karena koefisien kemiringannya -0,204 yaitu kurang dari 0, maka model

distribusinya adalah distribusi negatif.

3. Koefisien kemiringan menggunakan nilai kuartil

Rumus yang digunakan adalah:

dengan

𝑄1 = kuartil pertama

𝑄2 = kuartil kedua

𝑄3 = kuartil ketiga.

Sebelumnya kita harus mencari terlebih dahulu nilai-nilai 𝑄1(kuartil

pertama), 𝑄2(kuartil kedua, 𝑄3(kuartil ketiga)

Untuk 𝑸𝟏(kuartil pertama)

Kelas kuartil pertama adalah sebuah kelas interval yang frekuensinya apabila

dijumlahkan dati frekuensi kelas interval pertama mencapai paling sedikit 1

4

n, yaitu 1

4 x 28 orang = 7 orang.

Ternyata kelas kuartil pertama terletak pada kelas interval ketiga, karena

jumlah frekuensinya (2 + 3 + 5) orang = 10 orang. Sehingga kita bisa

menghitung besaran-besaran yang diperlukan dalam rumus kuartil pertama,

yaitu

𝑇𝑏𝑄1 = 2,9 – 0,05 = 2, 85


𝑄3− 𝑄1

p = 0,2

F = 2 + 3 = 5

f𝑄1 = 5

𝑄1 = 𝑇𝑏𝑄1 + p ( 1

4 𝑛 − 𝐹

f𝑄1)

= 2,85 + 0,2 ( 7 − 5

5)

= 2,85 + 0,08

= 2,93

Untuk 𝑸𝟐 (kuartil kedua)

Letak 𝑄2 ada pada data ke- 1

2 =

1

2 x 28 orang = 14 orang, yaitu pada kelas ke-4, interval

3,1 – 3,2 sehingga:

𝑇𝑏𝑄2 = 3,1 – 0,05 = 3,05; p = 0,2; F = 10; dan f𝑄2 = 7.

𝑄2 = 𝑇𝑏𝑄2 + p ( 1

2 𝑛 − 𝐹

f𝑄2)

= 3,05 + 0,2 ( 14 − 10

7)

= 3,05 + 0,11

= 3,16

Untuk 𝑸𝟑 (kuartil ketiga)

Letak Q3 ada pada data ke- 3

4 n =

3

4 x 28 orang = 21, yaitu pada kelas ke-5, interval 3,3 –

3,4 sehingga:

𝑇𝑏𝑄3 = 3,3 – 0,05 = 3,25; p = 0,2; F = 17; dan f𝑄3 = 6.

𝑄3 = 𝑇𝑏𝑄3 + p ( 3

4 𝑛 − 𝐹

f𝑄3)

= 3,25 + 0,2 ( 21 − 17

6)

= 3,25 + 0,2 ( 4

6 )

= 3,25 + 0,13

= 3,38

Diperoleh koefisien kemiringan

= 𝑄3−2 𝑄2 + 𝑄1

𝑄3− 𝑄1

= 3,38−2.3,16+2,93

3,38−2,93

= −0,01

0,45

= -0,022

Karena koefisien kemiringannya -0,022 yaitu kurang dari 0, maka model distribusinya

adalah distribusi negatif.

4. Koefisien kemiringan menggunakan nilai persentil


𝑃90− 𝑃10

Untuk persentil ke 90, 𝑷𝟗𝟎

Kelas persentil ke 90 adalah sebuah kelas interval yang frekuensinya apabila

dijumlahkan dari frekuensi kelas interval pertama mencapai paling sedikit 90

100 n. yaitu

90

100 x 28 orang = 25,2 orang.

Ternyata kelas persentil ke 90 terletak pada interval keenam, karena jumlah

frekuensinya mencapai (2 + 3 + 5 + 7 + 6 + 5) orang = 28 orang sehingga kita bisa

menghitung besar-besaran yang diperlukan dalam rumus persentil ke 90, yaitu b = 3,5

– 0,05 = 3,45; p = 0,2; F= 2 + 3 + 5 + 7 + 6 = 23; dan 𝑓90= 5

Jadi: 𝑃90 = Tb𝑃90 + p (90

100𝑛 – 𝐹

𝑓 𝑃90)

= 3,45 + 0,2 (25,2 – 23

5)

= 3,45 + 0,2 (2,2

5)

= 3,45 + 0,088

= 3.538

Untuk persentil ke 50, 𝑷𝟓𝟎



100 n, yaitu

= 50

100 x 28 orang = 14 orang.

Ternyata kelas persentil ke 50 terletak pada kelas interval keempat, karena jumlah

frekuensinya mencapai (2+3+5+7) orang = 17 orang. Sehingga kita bisa menghitung

besar-besaran yang diperlukan dalam rumus persentil ke 50, yaitu b = 3,1 – 0,05 = 3,05;

p = 0,2, F = 10 ; 𝑓𝑝50 = 7

Jadi : 𝑃50 = Tb𝑃50 + p (50

100𝑛 – 𝐹

𝑓 𝑃50)

= 3,05 + 0,2 (14−10

7)

= 3,05 + 0,2 (4

7)

= 3,05 + 0,11

= 3,16

Untuk persentil ke 10, 𝑷𝟏𝟎



100 n, yaitu

= 10

100 x 28 orang = 2,8 orang.

Ternyata kelas persentil ke 10 terletak pada kelas interval kedua, karena jumlah

frekuensinya mencapai (2 + 3) orang = 5 orang. Sehingga kita bisa menghitung besar-

besaran yang diperlukan dalam rumus persentil ke 10, yaitu b = 2,7 – 0,05 = 2,65; p = 2,9

– 2,7 = 0,2; F = 2; 𝑓𝑝10 = 3

Jadi : 𝑃10 = Tb𝑃10 + p (10

100𝑛 – 𝐹

𝐹𝑃 10)

= 2,65 + 0,2 (2,8−2

3)

= 2,65 + 0,2 (0,8

3)

= 2,65 + 0,053

= 2,703

Koefisien kemiringan

= 𝑃90−2 𝑃50 + 𝑃10

𝑃90− 𝑃10

= 3,538−2 (3,16)+2,703

3,538−2,703

= 3,538−6,32+2,703

3,538−2,703

= − 0,079

0,835

= - 0,094

Karena koefisien kemiringannya -0,094 yaitu kurang dari 0, maka model distribusinya

adalah distribusi negatif.

4.3.2. UKURAN KERUNCINGAN (Kurtosis)

Selain kemiringan, kita perlu juga mengetahui keruncingan/kelancipan (kurtosis)

suatu distribusi. Kurtosis (peadkedness) dari suatu distribusi adalah derajat kelancipan

dari distribusi tersebut dibandingkan terhadap distribusi normal (kurva normal).

Ditinjau dari segi kelancipannya, suatu distribusi dapat dibedakan menjadi tiga :

Leptokurtik Platikurtik Mesokurtik

1. Jika suatu distribusi (kurva) lebih landai atau lebih tumpul dibandingkan terhadap

kurva normal, distribusinya disebut platikurtis

2. Jika suatu distribusi (kurva) normal, distribusinya disebut mesokurtis

3. Jika suatu distribusi (kurva) lebih lancip ataulebih ramping dibandingkan terhadap

kurva normal, distribusinya disebut leptokurtis.

Untuk mengetahui apakah sekumpulan data mengikuti distribusi leptokurtik,

platikurtik atau mesokurtik, hal ini dapat dilihat berdasarkan nilai koefisien

kurtosisnya. Untuk menghitung koefisien kurtosis digunakan rumus koefisien kurtosis,

yaitu :

dengan : 𝑄1 = Kuartil kesatu

𝑄3 = Kuartil ketiga



K =

1

2 ( 𝑄3− 𝑄1)

𝑃90− 𝑃10

Dari hasil koefisien kurtosis diatas, ada tiga kriteria untuk mengetahui model distribusi

dari sekumpulan data, yaitu :

1. jika koefisien kurtosisnya kurang dari 0,263 (< 0,263), maka distribusinya adalah

platikurtis

2. jika koefisien kurtosisnya sama dengan 0,263 (=0,263), maka distribusinya adalah

mesokurtis

3. jika koefisien kurtosisnya lebih dari 0,263 (>0,263), maka distribusinya adalah

leptokurtis

Contoh:

Lihat data dalam daftar (1), yaitu mengenai berat badan bayi yang baru lahir selama

seminggu tertentu dari rumah sakit bersalin “Sehat”. Hitung koefisien kurtosisnya.

Penyelesaian:

Rumus yang digunakannya adalah :

Kita sudah menghitung : 𝑄1 = 2,93, 𝑄 = 3,38, 𝑃10 = 2,703 dan 𝑃90= 3,538

Berarti: K = 1

2 ( 𝑄3− 𝑄1)

𝑃90− 𝑃10

= 1

2 ( 3,38 −2,93 )

3,538−2,703

= 0,225

0,835

= 0,269

Karena koefisien keruncingannya lebih dari 0,263 (>0,263), maka distribusinya adalah

leptokurtis.

Q =

1

2 ( 𝑄3− 𝑄1)

𝑃90− 𝑃10

Soal latihan :

1. Tentukan koefisien kemiringan data berat badan 100 orang dibawah ini

menggunakan rumus pertama dari pearson dan tentukan jenis distribusinya !

Berat Badan (kg) Banyaknya (orang)

25-29 8

30-34 12

35-39 26

40-44 16

45-49 15

50-54 9

55-59 14

Jumlah 100

2. Dari data soal no. 1 di atas, tentukanlah koefisien kemiringannya dengan

menggunakan rumus kedua dari pearson dan tentukan jenis distribusinya !


menggunakan nilai kuartilnya dan tentukan jenis distribusinya !


menggunakan nilai persentilnya dan tentukan jenis distribusinya !

5. Dari data soal no. 1 di atas, tentukanlah koefisien keruncingannya dan termasuk

jenis distribusi apakah nilai koefisien keruncingan tersebut ?

Kunci jawaban :

Penyelesaian :

Berat

Badan

(Kg)

F

xi Fi .xi Fk µ d F. d F.d²

25-29 8 27 216 8 -10 -2 -16 32

30-34 12 32 384 20 -5 -1 -12 12

35-39 26 37 962 46 0 0 0 0

40-44 16 42 672 62 5 1 16 16

45-49 15 47 705 77 10 2 30 60

50-54 9 52 468 86 15 3 27 81

55-59 14 57 798 100 20 4 56 224

Jumlah 100 4205 101 425

1. Koefisien kemiringan pertama dari pearson = �̅� − 𝑀𝑜

𝑠

�̅� = ∑𝐹 − 𝑥𝑖

∑𝐹 =

4205

100 = 42,05


𝑑1+𝑑2)

Keterangan : tbm = tepi bawah kelas modus

p = panjang kelas

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

Berdasarkan frekuensi kelas modus terletak di kelas ketiga. Jadi tbm = 35 – 0,5 = 34,5,

p = 5, d1= 26-12 = 14, d2 = 26-16 = 10.


𝑑1+𝑑2)

= 34,5 + 5 (14

14+10)

= 34,5 + 2,916

= 37,416

S = P √∑𝐹𝑖.𝑑2

𝑛−

√(∑𝐹𝑖.𝑑)2

𝑛

= 5 √425

100−

√(101)²

100

= 5 √425

100−

√10201

10000

= 5 √42500

10000−

√10201

10000

= 5 √32299

10000

= 5 √3,2299

= 5 . 1,79

= 8,95

Koefisien kemiringan pertama dari pearson = �̅�− 𝑀𝑜

𝑠

= 42,05− 37,416

8,95

= 4,634

8,95

= 0,517

Karena koefisien kemiringannya 0,517 yaitu lebih dari 0, maka model distribusinya

adalah distribusi positif.

2. Diketahui :Kita sudah mendapatkan hasil �̅� = 42,05, s = 8,95

Ditanya : Berapa nilai koefisien kemiringan kedua dari Pearson ?

Penyelesaian : Koefisien kemiringan =3 (�̅�−Me)

s

Median = 𝑛

2 =

100

2 = 50 , terletak dikelas interval ke-4.

Jadi, tbMe = 40 – 0,5 = 39,5, p = 5, F = 8+12+26 = 46, F𝑄2 = 16

Me = Tb Me + p (𝑛

2−𝐹

𝐹𝑚𝑒)

= 39,5 + 5 ( 50−46

16)

= 39,5 + 1,25

= 40,75

Koefisien kemiringan kedua dari pearson =3 (�̅�−Me)

s

= 3 (42,05−40,75)

8,95

= 3 (1,3)

8,95

= 3,9

8,95

= 0,435



3. Diketahui : 𝑄2 = 40,75

Ditanya :Berapa nilai koefisien kemiringannya menggunakan nilai kuartil?

Penyelesaian : Koefisien kemiringan menggunakan nilai kuartil


𝑄3− 𝑄1

Letak 𝑄1 = 1

4 . n

= 1

4 . 100

= 25 terletak dikelas interval ke 3.

Jadi tb𝑄1 = 35 – 0,5 = 34,5, p= 5, F = 8+12 = 20, F𝑄1 = 26

𝑄1 = tb𝑄1 + p (1

4𝑛−𝐹

𝐹 𝑄1)

= 34,5 + 5 (1

4.100−20

26)

= 34,5 + 5 (25−20

26)

= 34,5 + 0,961

= 35,461

Median = 𝑄2

= 40,75

Letak 𝑄3 = 3∑F

4 =

3.100

4 = 75 terletak dikelas interval ke 5.

Jadi tb𝑄3= 45 –0,5= 44,5, p = 5, F =8+12+26+16 = 62, F𝑄3 =15

𝑄3 = tb𝑄3 + p (3.∑𝐹

4−𝐹

𝐹 𝑄3)

= 44,5 + 5 (75−62

15)

= 44,5 + 4,3

= 48,5


𝑄3− 𝑄1

= 48,5−2 (40,75)+35,461

48,5− 35,461

= 48,5−81,5+35,461

48,5− 35,461

= 2,461

13,039

= 0,188


adalah distribusi positif

4. Penyelesaian : Nilai koefisien kemiringan menggunakan nilai persentil


𝑃90− 𝑃10

Letak 𝑃90 = 90 .∑𝐹

100 =

90 .100

100 = 90 terletak dikelas interval ke 7.

Jadi tb𝑃90= 55 –0,5= 54,5, p = 5, F =8+12+26+16+15+9 = 86, F𝑃90 =14

𝑃90 = tb 𝑃90+ p (90.∑𝐹

100−𝐹

𝐹 𝑃90)

= 54,5 + 5 (90−86

14)

= 54,5 + 1,42

= 55,92

Letak 𝑃50 = 50 .∑𝐹

100 =

50 .100

100 = 50 terletak dikelas ke 4.

Jadi tb𝑃50= 40 –0,5= 39,5, p = 5, F =8+12+26 = 46, F𝑃50 =16

𝑃50 = tb 𝑃50+ p (50.∑𝐹

100−𝐹

𝐹 𝑃90)

= 54,5 + 5 (50−46

16)

= 39,5 + 1,25

= 40,75

Letak 𝑃10 = 10 .∑𝐹

100 =

10 .100

100 = 10 terletak dikelas ke 2.

Jadi tb𝑃10= 30 –0,5= 29,5, p = 5, F =8, F𝑃10 =12

𝑃10 = tb 𝑃10+ p (10.∑𝐹

100−𝐹

𝐹 𝑃10)

= 29,5 + 5 (10−8

12)

= 29,5 + 0,83

= 30,33


𝑃90− 𝑃10

= 55,92−2 (40,75)+30,33

55,214 − 30,33

= 55,92−81,5+30,33

55,92 − 30,33

= 4,75

25,59

= 0,185



5. Diketahui : 𝑄1= 35,461, 𝑄3 = 48,5 , 𝑃90 = 55,214 , 𝑃10 = 30,33

Ditanya : Berapa nilai koefisien keruncingannya dan termasuk jenis distribusi

apa ?

Penyelesaian :

K = 1

2 ( 𝑄3− 𝑄1)

𝑃90− 𝑃10

= 1

2 ( 48,5−35,461)

55,92− 30,33

= 1

2 ( 13,039)

25,59

= 6,5159

25,59

= 0,254

Karena nilai koefisien kurtosisnya kurang dari 0,263 (< 0,263), maka distribusinya

adalah platikurtil.

4.3. Indeks Tertimbang

4.3.1 Angka Indeks Tertimbang

Menurut Sansubar Saleh, Indeks tertimbang merupakan angka indeks yang

mencerminkan pentingnya suatu angka penimbang (bobot atau weight) terhadap

angka-angka lainnya, sedangkan pemberian bobot angka penimbang tersebut

ditentukan berdasarkan pentingnya barang/ komoditi tersebut secara subyektif. Rumus

yang digunakan untuk menghitung indeks tertimbang :

I = [(ΣPn x W) / (ΣPo x W)] x 100%.

Terkait dengan indeks tertimbang, disamping menggunakan angka penimbang

secara subyektif dapat juga memperhatikan kuantitas atau jumlah barang sebagai

pengganti angka penimbang tersebut, sehingga sering disebut dengan Indeks

Kuantitas. Dalam menghitung indeks kuantitas tersebut variabel yang sangat penting

untuk menjadi pertimbangan adalah kuantitas dari masing - masing komoditi. Secara

umum indeks kuantitas dapat dihitung dengan lima model, yaitu Indeks Laspeyres,

Indeks Paasche, Indeks Drobisch, Indeks Fisher dan Indeks Edgeworth.

Indeks Laspeyres, yaitu model penghitungan indeks dengan menggunakan

kuantitas pada tahun dasar (Qo) sebagai faktor penimbang. Dirumuskan :

IL = [(ΣPn x Qo) / (ΣPo x Qo)] x 100%

Indeks Paasche, yaitu model penghitungan indeks dengan menggunakan

kuantitas pada tahun ke-n (Qn) sebagai faktor penimbang. Dirumuskan :

IP = [(ΣPn x Qn) / (ΣPo x Qn)] x 100%

Indeks Drobisch, merupakan kombinasi dari Indeks Laaspeyres dengan

Indeks Paasche atau rata-rata dari kedua indeks tersebut. Indeks Drobisch ini

untuk memperkecil perbedaan dari Indeks Laaspeyres dan Indeks Paasche.

Dirumuskan :

ID = (IL + IP)/2

Indeks Fisher, merupakan rata-rata dari Indeks Laaspeyres dan Indeks Paasche,

tetapi dengan jalan mengakarkan hasil perkalian kedua indeks tersebut.

Dirumuskan :

IF = √(IL x IP)

Indeks Edgeworth, yaitu model penghitungan indeks dengan menjumlahkan

kuantitas dari tahun ke-n dengan kuantitas tahun dasar atau (Qo + Qn) dan

digunakan sebagai faktor penimbang. Dirumuskan :

IL = [(ΣPn x (Qn + Qo)) / (ΣPo x (Qn + Qo))] x 100%

Contoh :

Perkembangan Komoditi tahun 2001 – 2002

3

omoditi P.01 P.02 Q.01 Q.02 PoQo PnQo PoQn PnQn

A 10 12 100 120 1.000 1.200 1.200 1.440

B 42 43 80 85 3.360 3.440 3.570 3.655

C 12 14 50 60 600 700 720 840

D 14 16 70 75 980 1.120 1.050 1.200

E 25 27 60 80 1.500 1.620 2.000 2.160

F 17 20 40 50 680 800 850 1.000

JUMLAH 8.120 8.880 9.390 10.295

Berdasarkan tabel di atas, untuk mencari indeks tahun 2002 dengan tahun dasar 2001

dengan model Indeks Laspeyres (IL), Indeks Paasche (IP), Indeks Drobisch (ID), Indeks

Fisher (IF) dan Indeks Edgeworth (IE) adalah sebagai berikut :

IL=(8.880/8.120)x100%=109,35%

IP=(10.295/9.390)x100%=109,63%

ID=(109,35%+109,63%)/2=109,49%

IF=√(109,35%+109,635)=109,49%

Perkembangan Komoditi tahun 2001 – 2002

Komodit

i

P.0

1

P.0

2

Q.0

1

Q.0

2

Q.01+Q.0

2

P.01(Q.01+Q.02

)

P.02(Q.01+Q.02

)

A 10 12 100 120 220 2.200 2.640

B 42 43 80 85 165 6.930 7.095

C 12 14 50 60 110 1.320 1.540

D 14 16 70 75 145 2.030 2.320

E 25 27 60 80 140 3.500 3.780

F 17 20 40 50 90 1.530 1.800

JUMLAH 17.510 19.175

IE = (19.175 / 17.510) x 100% = 109,50

4..3.2Angka Indeks Tidak Tertimbang

Menurut DR. Winardi, angka indeks merupakan sebuah alat angka matematik

yang digunakan untuk menyatakan tingkat harga, volume perniagaan dan sebagainya

dalam periode tertentu, dibandingkan dengan tingkat harga, volume perniagaan suatu

periode dasar, yang nilainya dinyatakan dengan 100. Sedangkan menurut Samsubar

Saleh, angka indeks merupakan suatu analisis data statistik yang terutama ditujukan

untuk mengukur berapa besarnya fluktuasi perkembangan harga dari berbagai macam

komoditas selama satu periode waktu tertentu. Dalam suatu analisis perekonomian,

angka indeks mempunyai peranan yang sangat besar, karena dapat digunakan untuk

mengetahui besarnya laju inflasi mapun deflasi yang terjadi di negara tertentu.

Angka indeks dapat sebagai indikator yang penting untuk menentukan kebijakan

apa yang harus diambil oleh pemerintah guna mengatasi permasalahan dalam

perekonomian. Misalnya, dengan mengetahui perkembangan produksi suatu produk

tahun sekarang dibandingkan produksi tahun yang lalu atau perkembangan penduduk

tahun sekarang dibandingkan tahun yang lalu, maka pemerintah akan dapat

mengambil kebijakan untuk mengembangkan produksi produk tersebut dan mengatasi

pertumbuhan penduduk yang terlau cepat.

Dalam menghitung angka indeks, waktu atau tahun yang lalu disebut sebagai

tahun dasar (base periods atau base year), yaitu waktu atau tahun yang dijadikan dasar

untuk menentukan perkembangan suatu harga atau berfungsi sebagai waktu atau tahun

pembanding. Penentuan tahun dasar untuk menghitung angka indeks perlu

memperhatikan tiga faktor, yaitu:

a) Tahun dasar hendaknya dipilih pada waktu kondisi perekonomian yang relatif

stabil;

b) Jarak antara tahun dasar dengan tahun sekarang tidak terlalu jauh; dan

c) Penentuan tahun dasar hendaknya memperhatikan kejadian-kejadian penting,

misalnya tahun pada saat terjadinya kenaikan harga BBM, kenaikan tarif dasar

listrik dan lain-lain.

Metode angka indeks tidak tertimbang digunakan untuk mengetahui perkembangan

suatu harga, yaitu terfokus hanya pada harga dan tidak mempertimbangkan

kuantitasnya. Metode angka indeks tertimbang dibagi menjadi tiga, yaitu :

1. Angka Indeks Relatif, yaitu untuk mengukur perbedaan “satu” macam

nilai/harga/ kualitasnya saja dalam waktu yang berbeda.

2. Angka Indeks Aggregate Sederhana, yaitu membandingkan jumlah dari harga-

harga barang persatuan untuk tiap-tiap tahun. Rumus yang digunakan adalah :

I = (ΣPn/ΣPo) x 100%

Keterangan :

I = Angka Indeks

Pn = Jumlah harga tahun yang dicari indeksnya dan

Po = Jumlah harga tahun dasar

3. Angka Indeks Rata-Rata Relatif, yaitu dimulai dengan mencari angka relatif dari

masing-masing barang dan kemudian dicari rata-rata dari angka relatif tersebut.

Rumus yang digunakan adalah :

I = [(Σ(Pn/Po) x 100%) / (k)]

Keterangan :

I = Angka Indeks

Pn = Jumlah harga tahun yang dicari indeksnya

Po = Jumlah harga tahun dasar dan

k = Jumlah barang.

Contoh :

Angka Indeks Relatif : Perkembangan Harga Beras

Tahun Harga per

kg

Penghitungan Indeks

1998 Rp. 2.500 sebagai tahun dasar 100 %

1999 Rp. 2.750 (2.750 / 2.500) x 100 % 110 %

2000 Rp. 2.900 (2.900 / 2.500) x 100 % 116 %

2001 Rp. 3.000 (3.000 / 2.500) x 100 % 120 %

2002 Rp. 3.100 (3.100 / 2.500) x 100 % 124 %

Indeks relatif tahun 2001 adalah sebesar 120 %, artinya dibandingkan tahun 1998 harga

beras per kg pada tahun 2001 mengalami kenaikan sebesar 20 %.

Angka Indeks Aggregate Sederhana : Perkembangan Harga Komoditi

Komoditi Harga 2001 Harga 2002 Indeks 2002

A 2.000 2.100 I = (7.650/7.300) x 100%

B 1.500 1.750 = 104,79%

C 2.000 1.900

D 1.800 1.900

JUMLAH 7.300 7.650

Indeks aggregate sederhana pada tahun 2002 sebesar 104,79% atau mengalami

kenaikan sebesar 4,79% dibandingkan dengan harga pada tahun 2001.

Angka Indeks Rata-Rata Relatif : Perkembangan Harga Komoditi

Komoditi Harga

2001

Harga

2002 Indek per komoditi

A 2.000 2.100 (2.100 / 2.000) x 100% = 105 %

B 1.500 1.750 (1.750 / 1.500) x 100% = 116,67 %

C 2.000 1.900 (1.900 / 2.000) x 100% = 95 %

D 1.800 1.900 (1.900 / 1.800) x 100% = 105,56 %

JUMLAH 422,23 %

Indeks rata-rata relatif tahun 2002 sebesar 422,23% / 4 = 105,56%. Dengan menggunakan

angka indeks rata-rata relatif, pada tahun 2002 terjadi kenaikan harga komoditi A, B, C

dan D sebesar 5,56% dibandingkan tahun tahun 2001.

PERTEMUAN V

REGRESI DAN KORELASI

5.1.Pengertian Regresi

Secara umum, analisis regresi pada dasarnya adalah studi mengenai ketergantungan

satu variabel dependen (terikat) dengan satu atau lebih variabel independent (variabel

penjelas/bebas), dengan tujuan untuk mengestimasi dan/ atau memprediksi rata-rata

populasi atau niiai rata-rata variabel dependen berdasarkan nilai variabel independen

yang diketahui. Pusat perhatian adalah pada upaya menjelaskan dan mengevalusi

hubungan antara suatu variabel dengan satu atau lebih variabel independen.

Hasil analisis regresi adalah berupa koefisien regresi untuk masing-masing variable

independent. Koefisien ini diperoleh dengan cara memprediksi nilai variable dependen

dengan suatu persamaan.

Regresi merupakan suatu alat ukur yang juga dapat digunakan untuk mengukur

ada atau tidaknya korelasi antarvariabel. Jika kita memiliki dua buah variabel atau lebih

maka sudah selayaknya apabila kita ingin mempelajari bagaimana variabel-variabel itu

berhubungan atau dapat diramalkan. Analisis regresi mempelajari hubungan yang

diperoleh dinyatakan dalam persamaan matematika yang menyatakan hubungan

fungsional antara variabel-variabel. Hubungan fungsional antara satu variabel prediktor

dengan satu variabel kriterium disebut analisis regresi sederhana (tunggal), sedangkan

hubungan fungsional yang lebih dari satu variabel disebut analisis regresi ganda.

Jika dalam analisis korelasi peneliti hanya tertarik pada derajat asosiasi atau

kecenderungan umum dua buah peubah atau lebih, maka dalam analisis regresi peneliti

ingin memperoleh hubungan fungsional antara dua peubah yang dinyatakan dalam

bentuk, Y a bX = + yang merupakan penduga dari fungsi yang ada pada populasi yang

biasa dinotasikan dengan 0,1. Regresi mengukur seberapa besar suatu variabel

mempengaruhi variabel yang lain, sehingga dapat digunakan untuk melakukan

peramalan nilai suatu variabel berdasarkan variabel lain. Analisa regresi ada dua :

Analisa Regresi Sederhana dan Analisis Regresi Berganda.

Analisis regresi linier berganda adalah hubungan secara linear antara dua atau lebih

variabel independen (X1, X2,….Xn) dengan variabel dependen (Y). Analisis ini untuk

mengetahui arah hubungan antara variabel independen dengan variabel dependen

apakah masing-masing variabel independen berhubungan positif atau negatif dan

untuk memprediksi nilai dari variabel dependen apabila nilai variabel independen

mengalami kenaikan atau penurunan. Data yang digunakan biasanya berskala interval

atau rasio.

Analisis regresi sederhana hanya terdiri atas satu peubah bebas (peubah

penjelas/eksplanatori) X dan satu peubah terikat (respon) Y dengan hubungan linier.

Kedua peubah ini merupakan peubah kuantitatif, khusus untuk Y harus dengan skala

interval atau rasio. Dengan visualisasi secara geometris dapat ditafsirkan bahwa dengan

analisis regresi kita ingin menduga garis populasi yang sesungguhnya tidak pernah

diketahui (garis lurus putus-putus) berdasarkan sampel pasangan data pada sampel.

Persoalanvini merupakan persoalan estimasi uji inferensi daam regresi. Garis regresi

penduga ini dapat dipergunakan untuk meramal (prediksi) rentang rata-rata nilai Y

pada saat nilai X diketahui, demikian juga rentang nilai-nilai Y pada saat nilai tertentu

dari X .

Persamaan regresi linier dari Y terhadap X dirumuskan sebagai berikut: Y = a + b X

Keterangan :

Y = nilai yang diukur/dihitung pada variabel tidak bebas

x = nilai tertentu dari variabel bebas

a = intersep/perpotongan garis regresi dengan sumbu y

b = koefisien regresi /kemiringan dari garis regresi/untuk mengukur

kenaikan atau penurunan y untuk setiap perubahan satu-satuan x /untuk

mengukur besarnya pengaruh x terhadap y kalau x naik satu unit.

Rumus untuk mencari a dan b ialah sebagai berikut :

5.2.Pengertian Korelasi

Korelasi merupakan teknik analisis yang termasuk dalam salah satu teknik

pengukuran asosiasi / hubungan (measures of association). Pengukuran

asosiasi merupakan istilah umum yang mengacu pada sekelompok teknik dalam

statistik bivariat yang digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan antara dua

variabel.

Analisis korelasi sederhana (Bivariate Correlation) digunakan untuk mengetahui

keeratan hubungan antara dua variabel dan untuk mengetahui arah hubungan yang

terjadi. Koefisien korelasi sederhana menunjukkan seberapa besar hubungan yang

terjadi antara dua variabel. Dalam SPSS ada tiga metode korelasi sederhana (bivariate

correlation) diantaranya Pearson Correlation, Kendall’s tau-b, dan Spearman

Correlation. Pearson Correlation digunakan untuk data berskala interval atau rasio,

sedangkan Kendall’s tau-b, dan Spearman Correlation lebih cocok untuk data berskala

ordinal.

Dalam korelasi sempurna tidak diperlukan lagi pengujian hipotesis, karena kedua

variabel mempunyai hubungan linear yang sempurna. Artinya variabel X

mempengaruhi variabel Y secara sempurna. Jika korelasi sama dengan nol (0), maka

tidak terdapat hubungan antara kedua variabel tersebut. Dalam korelasi sebenarnya

tidak dikenal istilah variabel bebas dan variabel tergantung. Biasanya dalam

penghitungan digunakan simbol X untuk variabel pertama dan Y untuk variabel kedua.

Dalam contoh hubungan antara variabel remunerasi dengan kepuasan kerja, maka

variabel remunerasi merupakan variabel X dan kepuasan kerja merupakan variabel Y.

Analisis korelasi sederhana (Bivariate Correlation) digunakan untuk mengetahui

keeratan hubungan antara dua variabel dan untuk mengetahui arah hubungan yang

terjadi. Koefisien korelasi sederhana menunjukkan seberapa besar hubungan yang

terjadi antara dua variabel

Korelasi digunakan untuk mengukur kekuatan keeratan hubungan antara dua variabel

melalui sebuah bilangan yang disebut koefisien korelasi. Dalam analisis korelasi, kita

menghitung derajat asosiasi antara satu peubah peubah lain (misalnya antara berat

badan dan tinggi badan, antara berat dengan kolesterol, antara nilai IQ dengan

perolehan nilai ujian mata matematika dan sebagainya). Ada dua jenis ukuran korelasi

yang banyak yaitu:

1. Korelasi produk momen Pearson untuk mengukur derajat asosiasi beberapa

peubah dengan skala interval atau rasio.

2. Korelasi Spearman untuk mengukur derajat asosiasi antara beberapa dengan

skala ordinal (rank).

Koefisien korelasi linier ( r ) adalah ukuran hubungan linier antara dua

variabel/peubah acak X dan Y untuk mengukur sejauh mana titik-titik

menggerombol sekitar sebuah garis lurus regresi. Berikut ini adalah rumus dari

Korelasi :

Koefisien korelasi atau derajat asosiasi dua peubah (dinotasikan dengan

r). Besarnya r berkisar antara -1<.r<1. Ilustrasi grafik sebaran data dengan

berbagai nilai korelasi dapat disajikan dalam bentuk diagram pencar.

Kegunaan diagram pencar : variabel.

1. Membantu menetapkan tipe persamaan yang menunjukkan hubungan

antara kedua variabel tersebut.

2. Menentukan persamaan garis regresi atau mencari nilai-nilai konstan.

Koefisien Determinasi ( r2 )

1. nilainya antara 0 dan 1

2. untuk menyatakan proporsi keragaman total nilai-nilai peubah Y yang dapat

dijelaskan oleh nilai-nilai peubah X melalui hubungan linier tersebut.

3. Contoh : r = 0,6 artinya 0,36 atau 36 % diantara keragaman total nilai-nilai Y

dapat dijelaskan oleh hubungan liniernya dengan nilai-nilai X. atau Besarnya

sumbangan X terhadap naik turunnya Y adalah 36 % sedangkan 64 %

disebabkan oleh faktor lain.

Berikut ini adalah rumus dari Korelasi :

korelasi atau derajat asosiasi dua peubah (dinotasikan dengan r). Besarnya r

berkisar antara -1<.r<1. Ilustrasi grafik sebaran data dengan berbagai nilai korelasi

dapat disajikan dalam bentuk diagram pencar.

5.3. Analisis Korelasi dan Regresi dengan Excel

1. Untuk dapat menggunakan perintah data analisis :

Aktifkan program Microsoft Excel hingga terdapat worksheet kosong.

Klik File, Klik Menu Options,

Sebuah kotak dialog Excel Options ditampilkan, dan klik menu add-ins,

Dibagian bawah terdapat kotak Manage: Excel Add-ins. Klik icon Go.

Check list Anaylsis Tool Pak dan klik Go

2. Analisis Regresi

Analisis regresi bertujuan untuk melihat pengaruh satu variabel terhadap

variabel lainnya.

Langkah-langkah membuat Regresi dengan menggunakan excel:

1. Ketik data X pada kolom B dan data Y pada kolom C


3. Pilih Data Analysis

4. Pilih Regression

5. Klik OK Setelah muncul kotak dialog

3. Analisis Korelasi

Analisis korelasi juga dapat digunakan dalam Excel.

Korelasi menunjukkan keeratan hubungan antar variabel

Keeratan tersebut dicerminkan dari nilai korelasi yang semakin tinggi.

Nilai korelasi berada di antara 0 hingga 1

Tanda nya dapat positip dan negatif

Positip menunjukkan hubungan dua variabel searah sedang negatif

menunjukkan hubungan kedua variabel berlawanan.

Langkah-langkahnya membuat korelasi dengan menggunakan excel:


2. Pilih Data analysis

3. Pilih Correlation

4. Klik OK Setelah muncul kotak dialog

4. Membuat grafik regresi linier

Pilih menu Insert – Scatter, pilih type scatter only mark. Pada Chart Layout

dimenu bar, pilih Layout ke 3.Silakan Tampilkan Hasilnya

5.4. Perbedaan Regresi dan Korelasi

Pernyataan yang sering kita dengan adalah bahwa regresi dimengerti

dengan kata kunci pengaruh, dan korelasi dimengerti dengan kata kunci

hubungan. Pengertian sederhana itu tidaklah salah, akan tetapi, tidak ada

salahnya juga kita memahami secara lebih lanjut tentang regresi dan korelasi.

Analisis korelasi berkaitan erat dengan regresi, tetapi secara konsep berbeda

dengan analisis regresi. Analisis korelasi adalah mengukur suatu tingkat atau

kekuatan hubungan linear antara dua variabel. Koefisien korelasi adalah mengukur

kekuatan hubungan linear. Sebagai contoh, kita tertarik untuk menemukan korelasi

antara merokok dengan penyakit kanker, berdasarkan penjelasan statistik dan

matematika, pada anak sekolah dan mahasiswa (dst). Dalam analisis regresi, kita

tidak menggunakan pengukuran tersebut. Analisis regresi mencoba untuk

mengestimasi atau memprediksikan nilai rata-rata suatu variabel yang sudah

diketahui nilainya, berdasarkan suatu variabel lain yang juga sudah diketahui

nilainya. Misalnya, kita ingin mengetahui apakah kita dapat memprediksikan nilai

rata-rata ujian statistik berdasarkan nilai hasil ujian matematika.

Regresi mempelajari bentuk hubungan antar variabel mealui suatu

persamaan. Persamaan yang digunakan untuk melihat hubungan antar variabel

adalah Regresi Linear Sederhana (RLS), Regresi Linear Berganda (RLB), dan Regresi

non Linear. Regresi bisa berupa hubungan sebab akibat. Regresi mengukur seberapa

besar suatu variabel mempengaruhi variabel yang lain, sehingga dapat digunakan

untuk melakukan peramalan nilai suatu variabel berdasarkan variabel lain.

Korelasi juga mempelajari hubungan antar variabel, tetapi digunakan untuk

melihat seberapa erat hubungan antar dua variabel kuantitatif dilihat dari besarnya

angka dan bukan dari tandanya. Dengan menggunakan korelasi, kita dapat

mengetahui arah hubungan yang terjadi dalam dua variabel. Jika korelasi bertanda

positif artinya berbanding lurus dan jika bertanda negatif maka berbanding terbalik.

Korelasi tidak bisa menyatakan hubungan sebab akibat meskipun angka

korelasinya tinggi. Misal ada dua pernyataan:

1. Tanaman mati kekeringan di musim kemarau

2. Pupuk kompos diberikan saat musim kemarau

Dari kedua pernyataan di atas, kita tidak dapat mengatakan bahwa pupuk kompos

menyebabkan tanaman mati meskipun korelasinya tinggi.

5.5. Manfaat Korelasi dan Regresi

Kegunaan Analisis Korelasi dan Regresi. Dalam kebanyakan fenomena alam,

menaksir rerata populasi, atau menguji perbedaan dua rerata dengan teknik uji

statistika, baik yang memerlukan asumsi sebaran khusus (parametrik) mau pun

yang tidak ketat asumsi sebarannya (nonparametrik) menjadi tidak efisien dan tidak

efektif lagi. Hal ini disebabkan oleh banyaknya peubah yang berhubungan dan saling

menjelaskan antara yang satu dengan yang lainnya. Misalnya, kita akan

memperkirakan nilai jual sebuah rumah di suatu daerah tertentu. Kita dapat

mengambil sampel acak dari ratusan rumah yang ada dalam daerah tersebut,

kemudian kita menghitung rerata harga jualnya. Tetapi, menggunakan metode ini,

kita mengabaikan informasi yang mudah diamati, misalnya luas lantai, banyaknya

kamar tidur, banyaknya kamar mandi, dan umur rumah tersebut. Informasi ini akan

lebih bermanfaat kalau digunakan menaksir nilai jual rumah yang bersangkutan.

Dari latar belakang yang kita perhatikan di atas, metode atau analisis korelasi

dan regresi merupakan topik penting untuk dibicarakan. Metode korelasi dapat

mengukur kuatnya hubungan antara dua peubah yang sifat hubungannya simetris

atau timbal balik Seperti metode korelasi; metode regresi sudah menjadi bagian

integral dari setiap analisis data yang memperhatikan hubungan antara satu peubah

tanggapan (response variable) dengan satu atau lebih peubah penjelas (explanatory

variables). Istilah peubah tanggapan kadang-kadang juga disebut peubah terikat

atau terikat (dependent variable), dan peubah penjelas disebut peubah penaksir

(predictor variable) atau peubah bebas (independent variable). Penggunaan istilah

ini biasanya disesuaikan dengan situasi peubah-peubah yang dipelajari

hubungannya, dan juga selera penggunanya.

Pertama-tama kita akan membicarakan masalah yang berkaitan dengan nilai

rerata suatu peubah terikat Y (katakanlah harga jual rumah) terhadap suatu peubah

bebas X (misalnya luas lantai rumah) dengan menggunakan hubungan linear. Model

ini disebut model linear karena semua peubah yang muncul dalam model itu

berpangkat satu. Kalau dilihat dari banyaknya peubah bebas dalam model, maka

model itu disebut model linear sederhana, karena hanya mempunyai satu peubah

bebas.

Dalam hal mempelajari hubungan antarpeubah, regresi linear bukan satu-

satunya model yang harus digunakan, kita juga dapat menggunakan model

nonlinear, seperti model kuadratik, kubik, eksponen, logaritma, dan lain-lain.

Penentuan model tergantung pada sifat peubah atau Pemilihan Peubah dalam

Model populasi tempat data diambil. Sebelum menentukan model pilihan, kita perlu

mengadakan suatu diagnosis terhadap data yang diperoleh. Diagram pencar adalah

salah satu alat diagnosis untuk mendapatkan gambaran tentang hubungan antara

peubah bebas dan peubah terikat. Dari diagram pencar itu, kita dapat

memperkirakan bahwa model yang relevan adalah linear atau nonlinear

Selanjutnya, kalau kita memasukkan lebih dari satu peubah bebas dalam model,

maka diperoleh model regresi ganda (multiple regression model). Seperti model

sederhana, model regresi ganda dapat juga dibedakan atas model regresi linear

ganda dan model regresi nonlinear ganda. Dalam hal ini, kita dapat membangun

model satu peubah tanggapan Y (katakanlah nilai jual rumah) sebagai fungsi dari

peubah-peubah kuantitatif (seperti luas lantai, umur rumah, luas pekarangan, dan

banyaknya kamar), atau sebagai fungsi dari peubah-peubah kualitatif (seperti jenis

konstruksi, dan lokasi).

Penggunaan Paket Komputer dalam StatistikaTersedianya paket statistika

sebagai perangkat lunak komputer memudahkan banyak peneliti dalam

penggunaan analisis statistik terhadap data yang diperoleh. Ketersediaan fasilitas ini

memudahkan dan sangat menguntungkan karena beberapa faktor :

1. Proses analisis, terutama perhitungan dapat dilakukan dengan cepat sekali tanpa

ada kesalahan hitung.

2. Peneliti dapat menghindari pekerjaan hitung yang memerlukan waktu lama

apabila dikerjakan dengan cara manual, yang akibatnya bisa melelahkan dan

terjadinya kesalahan.

3. Peneliti sudah dapat memiliki waktu yang cukup memadai untuk berpikir dan

mengembangkan masalah penelitiannya, menafsirkan hasil analisis data yang

diperolehnya, dan mengimplementasikan serta menindaklanjuti rekomendasi

dari temuan-temuannya.

Di samping kemudahan dan sejumlah keuntungan lain yang diberikan oleh

fasilitas komputer yang tersedia, ada peringatan keras agar peneliti memilih paket

statistika dengan lebih hati-hati. Paling sedikit tiga situasi yang memerlukan kehati-

hatian dengan penggunaan paket statistika dalam komputer, yaitu:

1. Ketika menganalisis data dan tidak memiliki pengetahuan statistika yang cukup

untuk mengerti secara lengkap hasil (out put) komputer yang diperoleh;

2. ketika mengajarkan penggunaan paket statistika dalam suatu pelatihan yang

terpisah dari pengajaran statistika;

3. ketika menggunakan paket statistika dalam pengajaran bidang tertentu tanpa

memerlukan metode statistika yang menunjang paket tersebut.

PERTEMUAN VI

ANALISA DATA BERKALA

6.1 Pengertian Analisa Data Berkala

Data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan

perkembangan suatu kegiatan (perkembangan produksi, harga, hasil

penjualan, jumlah penduduk, jumlah kecelakaan, jumlah kesehatan dsb).

Deret berkala atau runtut waktu adalah serangkaian pengamatan

terhadap peristiwa, kejadian atau variabel yang diambil dari waktu ke waktu,

dicatat secara teliti menurut urut-urutan waktu terjadinya, kemudian

disusun sebagai data statistik.

Dari suatu runtut waktu akan dapat diketahui pola perkembangan

suatu peristiwa, kejadian atau variabel. Jika perkembangan suatu peristiwa

mengikuti suatu pola yang teratur, maka berdasarkan pola perkembangan

tersebut akan dapat diramalkan peristiwa yang bakal terjadi dimasa yang

akan datang. Jika nila variabel atau besarnya gejala (peristiwa)

dalam runtut waktu (serangkaian waktu) diberi simbol Y1, Y2, ..Yn dan

waktu-waktu pencatatan nilai variabel (peristiwa) diberi simbol X1, X2, ..Xn

maka rutut waktu dari nilai variabel Y dapat ditunjukan oleh persamaan Y = f

(X) yaitu besarnya nilai variabel Y tergantung pada waktu terjadinya

peristiwa itu.

6.2.Komponen Data Berkala

Pola gerakan runtut waktu atau deret berkala dapat dikelompokan

kedalam 4 (empat) pola pokok. Pola ini bisanya disebut sebagai komponen

dari deret berkala (runtut waktu). Empat komponen deret berkala itu adalah

:

a. Trend, gerakan yang berjangka panjang yang menunjukkan adanya

kecenderungan menuju ke satu arah kenaikan dan penurunan

secara

keseluruhan dan bertahan dalam jangka waktu yang digunakan

sebagai ukuran adalah 10 tahun keatas.

b. Variasi Musim, ayunan sekitar trend yang bersifat musiman serta

kurang lebih teratur

c. Variasi Sikli, ayunan trend yang berjangka lebih panjang dan agak

lebih teratur.

d. Variasi Random/Residu, yaitu gerakan yang tidak teratur sama sekali.

Gerakan/variasi sebagai bentuk perubahan dari data berkala terdiri dari

empat komponen, sebagai berikut :

a. Gerakan trend jangka panjang atau trend sekuler (Long term

movement or secular trend), suatu gerakan yang menunjukan arah

perkembangan secara umum (kecenderungan menaik atau menurun)

dan bertahan dalam jangka waktu yang digunakan sebagai ukuran

adalah 10 tahun ke atas.

b. Gerakan/variasi sikli atau siklus (Cyclical movement or

variations), gerakan/variasi jangka panjang disekitar garis trend.

c. Gerakan/vaiasi musiman (Seasonal movement or variations),

yang berayun naik dan turun, secara periodik disekitar garis trend dan

memiliki waktu gerak yang kurang dari 1 (satu) tahun, dapat dalam

kwartal, minggu atau hari.

d. Gerakan/variasi random/residu (Irregular or random movement

or variations), gerakan atau variasi yang sporadis sifatnya. Faktor

yang dominan dalam gerakan ini adalah faktor-faktor yang bersifat

kebetulan misalnya perang, pemogokan, bencana alam dll

6.3.Ciri Trend Sekuler

Trend (T) atau Trend Sekuler ialah gerakan dalam deret berkala yang

berjangka panjang, lamban dan berkecenderungan menuju ke satu arah, arah

menaik atau menurun. Umumnya meliputi gerakan yang lamanya 10 tahun

atau lebih. Trend sekuler dapat disajikan dalam bentuk :

a. Persamaan Trend, baik persamaan linier maupun persamaan non linier b. Gambar atau grafik yang dikenal dengan garis atau kurva Trend,

baik garis lurus maupun garis melengkung. c. Trend juga sangat berguna untuk membuat ramalan yang sangat

diperlukan bagi perencanaan misalnya : Menggambarkan hasil penjualan Jumlah peserta KB Perkembangan produksi harga Volume penjualan dari waktu ke waktu.

6.4 Metode Least Square (Kuadrat terkecil)

Metode ini paling sering digunakan untuk meramalkan Y, karena perhitungannya lebih teliti.

Persamaan garis trend yang akan dicari

Y ‘ = a + bx a = ( ΣY ) / n b = ( ΣXY ) / Σ

dengan :

Y ‘ = data berkala (time series) = taksiran nilai trend.

a = nilai trend pada tahun dasar.

b = ratarata pertumbuhan nilai trend tiap tahun.

x = variabel waktu (hari, minggu, bulan atau tahun).

Untuk melakukan penghitungan, maka diperlukan nilai tertentu pada

variabel waktu (x) sehingga jumlah nilai variabel waktu adalah nol atau

Σx=0.

Untuk n ganjil maka n = 2k + 1 X k+1 = 0

o Jarak antara dua waktu diberi nilai satu satuan.

o Di atas 0 diberi tanda negative

o Dibawahnya diberi tanda positif.

Untuk n genap maka n = 2k X ½ [k+(k+1)] = 0

o Jarak antara dua waktu diberi nilai dua satuan.

o Di atas 0 diberi tanda negatif

o Dibawahnya diberi tanda positif

6.5 Contoh Kasus

6.5.1 Contoh I (untuk jumlah data ganjil):

Ramalan Penjualan Metode Least Square

Data Penjualan (Ribu Unit) Smartphone di Indonesia Tahun 2010-2014

No. Tahun Penjualan

(Y)

1. 2010 250

2. 2011 357

3. 2012 528

4. 2013 752

5. 2014 975

Dari data tersebut akan dibuat ramalan penjualan

menggunakan Metode Least Square.

Penyelesaian:

2.5.2. Analisis Data menggunakan Metode Least Square

No. Tahun Penjualan X X2 XY

(Y)

1. 2010 250 -2 4 -500

2. 2011 357 -1 1 -357

3. 2012 528 0 0 0

4. 2013 752 1 1 752

5. 2014 975 2 4 1950

Jumlah 2862 0 10 1889

2.5.1.2. Mencari nilai a dan b

a = ∑Y / n

a = 2862 / 5 = 572,4

b = ∑XY / ∑X2

6

b = 1889 / 10

b = 188,9

Setelah mengetahui nilai variabel a dan b maka persamaan

trendnya dapat diketahui yaitu :

Y = 572,4 + 188,9X

Dari persamaan fungsi Y diatas maka nilai trend dari tahun

2010 sampai dengan 2014 dapat diketahui :

No. Tahun Penjualan

(Y)

1. 2010 194.6

2. 2011 383,5

3. 2012 572,4

4. 2013 761,3

5. 2014 950,2

Dengan cara tersebut dapat dihitung pula ramalan untuk

tahun – tahun berikutnya.

2.5.2. Contoh II (untuk jumlah data genap):

Ramala Penjualan Metode Least Square

Data Penjualan (Ribu Unit) Smartphone di Indonesia Tahun 2010-2015

No. Tahun Penjualan

(Y)

1. 2010 250

2. 2011 357

3. 2012 528

4. 2013 752

7

5. 2014 975

6. 2015 1158

Dari Data tersebut akan dibuat ramalan penjualan

dengan

menggunakan Metode Least Square.

Penyelesaian:

6.5.2 Analisis Data menggunakan Metode Least Square

No. Tahun Penjualan X X2 XY

(Y)

1. 2010 250 -5 25 -1250

2. 2011 357 -3 9 -1071

3. 2012 528 -1 1 -528

4. 2013 752 1 1 752

5. 2014 975 3 9 2925

6. 2015 1158 5 25 5790

Jumlah 4020 0 70 6618

6.5.2 Mencari nilai a dan b

a = ∑Y / n

a = 4020 / 6 = 670

b = ∑XY / X2

b = 6618 / 70

b = 94,5

Setelah mengetahuinilai variabel a dan b maka persamaan trendnya dapat

diketahui yaitu :

Y = 670 + 94,5X

Dari persamaan fungsi Y diatas maka nilai trend dari tahun 2010 sampai

dengan 2015 dapat diketahui

Tahun Penjualan

(Y)

2010 197,5

2011 386,5

2012 575,5

2013 764,5

2014 953,5

2015 1142,5

Dengan cara tersebut dapat dihitung pula ramalan untuk tahun – tahun

berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA

1. Anoname. 2009.SPSS untuk Pengolahan Data Statistik.Yogyakarta: Andi Offset

2. Kuswadi, dan Mutiara, Erna. 2004. Statistik Berbasis Komputer untuk Orang-Orang

Non-Statistik. Jakarta: Elex Media Komputindo

3. Nazir, Moh. 2005.Metode Penelitian. Bogor: Ghalia Indonesia.

Pendukung:

1. Riana, Dwiza.2008. Statistika Deskriptif itu Mudah. Tanggerang: Jelajah Nusa

MODUL STATISTIKAKegunaan Statistika dalam bidang ekonomi yaitu • Bidang produksi • Bidang...

Documents

Transcript of MODUL STATISTIKAKegunaan Statistika dalam bidang ekonomi yaitu • Bidang produksi • Bidang...