Statistika 3

© 2004 Goodrich, Tamassia

Varibel Random (Peubah Acak) dan Distribusi Peluang

1

© 2004 Goodrich, Tamassia 2

Ilustrasi Variabel Random

Ruang contoh bagi percobaan pelemparan uang logamsebanyak 3 kali

S={AAA, AAG, AGA, GAA, GGA, GAG, AGG, GGG}

Berapa kali sisi gambar muncul?

- Tidak ada yang muncul (0)

- 1 kali muncul (1)

- 2 kali muncul (2)

- 3 kali muncul (3)

Nilai 0, 1, 2, 3 merupakan besaran acakyang nilainya ditentukandr suatu percobaan

Variabel Acak

Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang contoh dinotasikan dengan huruf besar, huruf kecilnya merupakan salah satu

diantara nilai-nilainya


Contoh Variabel Random

Dua kelereng diambil berturut-turut dari sebuah kantong yang berisi 4 kelereng merah dan 3

kelereng hitam. Tentukan peubah acak yang menyatakan banyaknya kelereng merah yang

terambil.

jawab:

Misal Y adalah peubah acak banyaknya kelereng yang terambil,

maka Y={0, 1, 2}Ruang Contoh y

MM 2

MH 1

HM 1

HH 0

Bila sebuah dadu dilemparkan sampai munculnya bilangan 5, bagaimana nilai peubah acaknya

jawab:

Ruang contoh munculnya angka 5

S={Y, TY, TTY, TTTY, TTTTY,….}

Y=muncul angka 5, T=tidak muncul

Peubah acaknya takberhingga


1. Variabel Acak Diskrit

Varibel acak yang didefinisikan di atas ruang contoh diskrit

Ruang contoh diskrit:

bila ruang contoh mengandung jumlah titik contoh berhingga atau suatu barisan

unsur yang tdk pernah berakhir tapi nilainya sama dengan banyaknya bilangan

cacah

Contoh: banyaknya produk yang cacat, banyaknya kelahiran per tahun dalam suatu

kota

2. Variebl Acak Kontinu

Varibel acak yang didefinisikan di atas ruang contoh kontinu

Ruang contoh kontinu:

bila ruang contoh mengandung jumlah titik contoh yang tak berhingga banyaknya

titik contoh yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah ruas garis.

Contoh: tinggi, bobot, suhu, umur

Jenis-Jenis Variabel Acak


Distribusi Peluang Diskrit

Distribusi Peluang Kontinu

Distribusi (Sebaran) Peluang


Definisi

Sebuah tabel atau rumusan yang mencantumkan semua kemungkinan nilai

suatu peubah acak diskrit berikut nilai peluangnya.

Contoh:

Tentukan sebaran peluang bagi munculnya sisi gambar dari pelemparan uang

logam sebanyak tiga kali

Jawab:

S={AAA, AAG, AGA, GAA, GGA, GAG, AGG, GGG}

M menyatakan variabel acak munculnya sisi gambar, maka:

M={0, 1, 2, 3}

Sebaran Peluang M:

Distribusi (Sebaran) Peluang Diskrit

m 0 1 2 3

P(M=m) 1/8 3/8 3/8 1/8 ∑P(M=m)=1


Contoh Distribusi Peluang Diskrit

Tentukan sebaran peluang bagi jumlah bilangan bila sepasang mata dadu

dilempar.

Tentukan rumus bagi sebaran peluang bagi banyaknya kaset jazz yang

terambil, bila 4 kaset diambil dari sebuah rak yang terdiri dari 5 kaset jazz, 2

kaset klasik, 3 kaset pop. Nyatakan hasilnya dalam bentuk sebuah rumus.


Macam-macam Distribusi Peluang Diskrit

Distribusi Uniform (seragam)

Distribusi Binomial

Distribusi Multinomial

Distribusi Hipergeometri


Distribusi Uniform

Ciri-ciri Distribusi Uniform

Bila Nilai variabel random mempunyai peluang terjadi sama

Definisi Distribusi Uniform

Bila peubah acak binom X mempunyai nilai x1, x2, …xk dengan peluang yang

sama. Maka distribusi uniformnya diberikan oleh:

nxxxxuntukk

,...,,,1

x)P(X 21

Contoh

pelemparan sebuah dadu


Distribusi Binomial

Ciri-ciri Distribusi Binomial

Percobaanya terdiri atas n ulangan

Dalam setiap ulangan, hasilnya digolongkan sebagai berhasil atau gagal

Peluang sukses dinyatakan dg p,untuk tiap ulangan sama, tidak berubah-ubah

Ulangan2 tsb bersifat bebas satu sama lain

Definisi Distribusi Binomial

Bila suatu ulangan mempunyai peluang keberhasilan p, dan peluang kegagalan

q=1-p, maka sebaran peluang bagi peubah acak binom X (banyaknya

keberhasilan dalam n ulangan yang bebas adalah):

nxuntukqpxn xnx ,...,2,1,x)P(X


Distribusi Binomial

Contoh kasus:

a) Tentukan peluang mendapatkan tepat tiga bilangan 2 bila sebuah DADU

dilemparkan sebanyak 5 kali

b) Peluang seorang untuk sembuh dari penyakit darah adalah 0.4. bila 15 orang

diketahui menderita penyakit ini. Berapa peluang bahwa

- sekurang-kurangnya 10 orang sembuh

- antara 3-8 yang sembuh

- tepat 5 yang sembuh



Definisi

Banyaknya sukses dalam sampel acak berukuran n yang diambil dari N benda

yang mengandung k sukses dan N-k gagal

Ciri-ciri Distribusi Hipergeometri

Suatu contoh acak berukuran n diambil dari populasi yang berukuran N

k dari n benda diklasifikasi sukses dan N-k diklasifikasi gagal

kxuntuk

nN

xnkN

xk

,...,2,1,x)P(X



Contoh kasus:

a) Sebuah panitia yang terdiri dari 5 orang laki dan 3 perempuan diambil secara

acak sebanyak 5 orang.

- Carilah distribusi peluang bagi banyaknya perempuan dalam panitia itu.

- Berapa peluang 2 orang perempuan dalam kepanitiaan tsb

b) Bila 5 kartu diambil dari seperangkat kartu bridge,

- berapa peluang diperoleh 3 kartu hati

- tepat memperoleh 2 kartu face (king, queen, jack)


Distribusi POISSON

Definisi

Banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu / daerah tertentu

,...2,1,!

)P(x; xuntukx

e x

μ adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan selama selang waktu atau

daerah tertentu

Contoh: Rata-rata jumlah hari sekolah tutup karena hujan salju di musim

dingin di suatu kota tertentu adalah 4 hari. Berapa peluang bahwa sekolah

tersebut akan tutup selama 6 hari ?

Ciri-ciri Distribusi Poisson

Banyaknya hasil percobaan terjadi dalam suatu selang atau suatu daerah

tertentu


Distribusi Poisson

Contoh kasus:

a) Seorang sekretaris rata-rata melakukan 2 kesalahan ketik per halaman.

Berapa peluang bahwa pada halaman berikutnya ia membuat

- 4 atau lebih kesalahan

- Tidak satu pun kesalahan

b) Bila 5 kartu diambil dari seperangkat kartu bridge,

- berapa peluang diperoleh 3 kartu hati

- tepat memperoleh 2 kartu face (king, queen, jack)


Distribusi peluang kontinu tidak dapat dinyatakan dalam suatu tabel , tetapi

menggunakan suatu rumusan, yang merupakan fungsi nilai-nilai variabel acak kontinu,

sehingga dapat digambarkan sebagai suatu kurva

Fungsi peluang yang digambarkan oleh kurva disebut : Fungsi Kepekatan Peluang

(Probablity Density Function/PDF)

PDF dibuat sedemikian hingga luas daerah dibawah kurva diatas sumbu x sama dengan 1.

Bila luas daerah di bawah kurva antara x=a dan x=b menyatakan peluang X terletak antara

a dan b

Distribusi Peluang Kontinu

x=a x=b

f(x)

)xP(a)xP(a)xP(a)xP(a

1)()xP(a

bbbb

dxxfbb

a


Contoh Distribusi Peluang kontinu

Sebuah peubah acak kontinu X yang mengambil nilai antara x=2 dan x=4

mempunyai fungsi kepekatan peluang:

f(x)=(x+1)/8

a) Perlihatkan bahwa P(2<X<4)=1

b) Tentukan P(X<3.5)

c) Tentukan P(2.4<X<3.5)


Sebuah peubah acak kontinu X mempunyai fungsi kepekatan peluang:

a) Perlihatkan bahwa P(0<X<2)=1

b) Tentukan P(X<1.2)

lainnyaxuntuk0,2x1untukx,21x0untukx,

f(x)


Distribusi peubah acak kontinu yang memiliki nilai sebaran berbentuk genta seperti

pada gambar disebut dengan peubah acak normal.

Distribusi peluang KontinuDistribusi Normal

xuntukex

x

,2

1),;(n

2

2

1

Bila X adalah peubah acak normal dengan nilaitengah dan ragam , maka

persamaan kurva normalnya adalah:


Peluang peubah acak berdistribusi normal X yang mengambil nilai antara x=x1 dan

x=x2 sama dengan= luas daerah dibawah kurva yang dibatasi oleh x=x1 dan x=x2

Peluang Distribusi Normal

Nilai peluang peubah acak normal X dihitiung dengan peubah acak normal Z

dengan nilai Distribusi Normal baku0σdan1μ

xZ


Bila X berada diantara x=x1 dan x=x2, maka peubah acak Z akan berada diantara nilai-

nilaia pandanannya:

Peluang Distribusi Normal

Sehingga Nilai peluang peubah acak normal X dihitiung dengan :

σ

μxZdan

σ

μxZ 21

)zZ()xXP(x 2121 zP


Untuk sebaran normal dengan hitunglah

a) peluang bahwa X mengambil nilai antara 45 dan 62

b) Peluang bahwa X lebih besar dari 60

Contoh 1

Jawab a)

Nilai-nilai z yang berpadanan dengan x1=45 dan x2=62 adalah

2.110

0562

σ

μxZ

5.010

0554

σ

μxZ

22

11

0.57640.3085-0.88490.5)P(Z - 1.2)P(Z

1.2)Z0.5P( 62)XP(45)zZP(z)xXP(x 2121

01σdan05μ

Jadi ada 57.64% yang nilainya berada di 45 dan 62


Diberikan sebaran normal dengan hitunglah nilai x yang

a) luas daerah dibawahnya ada 38%

b) luas daerah diatasnya 5%

Contoh 2

6σdan04μ

Pada suatu nilai ujian , nilai rata-rata dari 30 mahasiswa adalah 75 dan simpangan

bakunya 8, Bila 20% diantara peserta ujian akan diberi nilai A, berapakah batas

terkecil bagi A ?

Contoh 3

Pada suatu nilai ujian , nilai rata-ratanya adalah 82 dan simpangan bakunya 5,

Mahasiswa yang mendapat nilai 88 samapi 94 mendapat B. Bila nilai ujian

menyebar normal dan 8 orang mendapat nilai B. Berapa banyak mahasiswa yang

mengikuti ujian

Contoh 4

Statistika 3

Documents

Transcript of Statistika 3