Modul Opsi Dan Manajemen Keuangan

1

Modul1Teori Bunga,Anuitas, Obligasi

Tujuan Pembelajaran dari matakuliah ini adalah :

Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa

1.Memahami arti konsep teori bunga secara umum

2.Memahami konsep nilai sekarang suatu aliran dana

3.Memahami konsep nilai sekarang untuk aplikasi dalam matematika

4.Memahami konsep Obligasi dan Yield

5.Memahami konsep formula harga Obligasi

Sedangkan capain pembelajaran matakuliah ini adalah agar mahasiswa

1.Mampu mengaplikasikan teori bunga

2.Mampu menghitung nilai sekarang dari suatu aliran dana

3.Mampu mengaplikasikan kombinasi nilai sekarang dan anuitas

4.Mampu menurunkan formula obligasi

5.Mampu menghitung nilai yield

6.Mampu menghitung harga obligasi

Pada bab 1 ini akan dibahas tentang teori bunga secara singkat sebagai bahan

dasar penyegaran dalam matakuliah ini, nilai sekarang atau present value, anuitas

dan obligasi. Aplikasi teori bunga banyak digunakan dalam teori penentuan harga

opsi dan pemodelan matematika keuangan lainnya, seperti obligasi.

1.1Bunga Majemuk

1.1.1 Bunga Nominal

Jenis bunga tunggal adalah bunga yang diberikan sekali dalam setahun, dan

bunga tersebut tidak mendapat bunga lagi untuk perhitungan bunga periode

berikutnya. Bunga tunggal sudah jarang sekali dipakai di dunia perbankan.

Kebanyakan bank-bank sekarang menghitung dan membayar bunga dengan

frekuensi bulanan, atau mingguan, bahkan harian. Selanjutnya bunga tersebut

akan diakumulasikan ke dalam rekening kita, dan diperhitungkan mendapat bunga

2

periode berikutnya. Jadi bunga dibayarkan lebih sering atau beberapa kali dalam

setahun. Suku bunga jenis ini disebut dengan suku bunga nominal. Simbol untuk

suku bunga nominal yang dibayarkan m kali setahun adalah i(m) , dimana m adalah

bilangan bulat positip >1. Dengan suku bunga nominal sebesar i(m)setahun, kita

artikan deposito atau tabungan akan mendapat suku bunga sebesar i(m)/m yang

dibayarkan m kali setahun, bukan i(m) . Sebagai contoh, suku bunga nominal 6%

konversi 3 bulanan (m = 4) tidak berarti setiap 3 bulan diberi bunga 6%, akan

tetapi bunga yang diberikan adalah 6/4=1,5% setiap 3 bulan. Demikian juga

dengan suku bunga nominal 6% konversi 1 bulanan. Artinya bunga diberikan

setiap bulan sebesar 6%/12 = 0,5%.

Sekarang kita bangun formula matematika untuk bunga majemuk tersebut.

Misalkan dipunyai bunga majemuk konversi 3 bulanan. Bunga majemuk 3

bulanan dengan suku bunga tahunan i, maksudnya adalah suku bunga i/4

diberikan setiap 3 bulan sekali. Uang yang ditabungkan selama 3 bulan dibank,

akan bertambah 1+ i(4)/4 kali. Jika uang tersebut dibiarkan lagi selama 3 bulan

berikutnya, maka uang tersebut akan bertambah menjadi (1+ i(4)/4)2. Setelah satu

tahun uangnya akan bertambah menjadi (1+ i(4)/4)4 kali. Dapat dibuktikan bahwa

untuk sebarang i > 0, nilai (1+ i(4)/4)4> (1+ i(4)). Ini berarti bahwa pada tingkat

suku bunga yang sama, bunga majemuk 3 bulanan akan memberikan pertambahan

yang lebih besar dibandingkan dengan bunga 1 tahunan

Dari ilustrasi di atas, dapat dibuat generalisasi formula nilai akumulasi

untuk bunga majemuk m kali setahun. Selama setahun uang kita akan bertambah

(1+ i(m)/m)m kali.

Contoh 1.1Anda mempunyai rekening tabungan 1 juta rupiah di bank ABC. Bank

memberikan suku bunga nominal 10%. Hitunglah uang anda setelah 1 tahun jika

dihitung dengan menggunakan bunga majemuk tahunan dan bunga majemuk

konversi 3 bulanan.

3

Jawab. Dengan menggunakan formula suku bunga majemuk tahunan, uang anda

setelah satu tahun akan membesar menjadi 1.100.000 rupiah. Sedangkan jika

dihitung dengan menggunakan bunga majemuk 3 bulanan adalah

AV=1.000 .000(1+ 0.104 )

4

=1.103 .813

Dapat anda lihat bahwa suku bunga nominal 10% konversi tiga bulanan,

memberikan suku bunga efektif 10,3813%, yang nilainya lebih besar dari suku

bunga tahunan. Cobalah anda hitung dengan bunga majemuk konversi 1 bulanan.

Tentu saja akan memberikan suku bunga efektif tahunan yang lebih besar dari

suku bunga konversi 3 bulanan.

Bagaimana formula atau rumus untuk bunga nominal dengan waktu

investasi lebih dari 1 tahun? Formula untuk nilai akumulasi At pada suku bunga

nominali(m) konversim/12 tahun selama t tahun secara umum adalah

At=(1+ i(m )

m )mt

, dengan t menyatakan tahun.

Contoh 1.2.Melanjutkan soal no di atas, nilai akumulasi deposito setelah 2 tahun.

At=2=1.000 .000(1+ 0.104 )

2 × 4

=1.218 .403

1.1.2 Bunga Majemuk Kontinu

Selain pemberian bunga setiap bulan, minggu, atau setiap hari seperti yang

dikatakan di atas, proses pemberian dan pemajemukan bunga dapat diberikan

setiap jam, setiap menit, setiap detik dan seterusnya (setiap saat), atau dengan kata

lain bunga diberikan terus menerus secara kontinu. Pemajemukan yang dilakukan

secara terus menerus ini disebut pemajemukan kontinu (continuous

compounding). Secara matematika, nilai m→∞, dan diperoleh nilai pemajemukan

sebagai berikut :

4

limm→ ∞

(1+ i(m )

m )mt

=ei(m )t

Bukti :

Akan dibuktikan bahwa limm→ ∞

(1+ i(m )

m )mt

=ei(m )t

limm→ ∞

(1+ i (m )

m )mt

= limm→∞ (1+ 1

mi ( m) )

mi (m )

i( m) t

¿ ( limmi (m ) →∞ (1+

1mi ( m) )

m

i (m ))i ( m) t

¿ ei ( m) t

Sehingga rumus untuk pemajemukan kontinu adalah At=A0 e i (m )t

, dengan e adalah

bilangan natural yang nilainya 2.7183… dan A0 adalah nilai awal rekening.

Sebagai contoh, anggaplah kita punya uang sebesar Rp.1 juta, i = 10% dan n=5

tahun.

Pada berbagai periode pemajemukan per tahun, kita mendapatkan nilai akumulasi

5 tahun ke depan sebagai berikut :

Periode Formula Future Value

TahunanFV=1000.000 (1 + 0.1/1)1×5

1.610.510

Setengah tahunanFV=1000.000 (1 + 0.1/2)2×5

1.628.895

BulananFV=1000.000 (1 + 0.1/12)12×5

1.645.309

HarianFV=1000.000 (1 +

0.1/365)365×5

1.648.608

KontinuFV=1000.000e0.10×5

1.648.721

5

Terlihat bahwa semakin sering periode pemajemukan, semakin besar nilai

akumulasi akhir karena bunga atas bunga diperoleh lebih sering, apalagi jika uang

yang dibungakan sangat besar, perbedaan pemajemukan yang dihasilkan oleh

bunga kontinu akan semakin besar dibandingkan dengan pemajemukan bulanan.

Jika uang yang dibungakan relatif kecil, maka perbedaan antar pemajemukan

tidak akan signifikan.

Latihan

1. Rekening P mendapat bunga tunggal sebesar 4% setahun. Sementara itu

rekening Q mendapat bunga tunggal sebesar i% pertahun. Uang sebesar 1 juta

ditabungkan di rekening P dan 2 juta di rekening Q. Setelah 5 tahun, uang di

kedua rekening P dan Q sama. Tentukan besarnya suku bunga i.

2. Anda meminjam uang 1 juta rupiah selama 90 hari dengan suku bunga efektif

8,5%. Berapakah total pembayaran yang harus anda sediakan untuk melunasi

pokok dan bunga hutang anda ?

3. Hisam meminjam uang 200 juta untuk memperbesar usaha perkayuannya. Dia

melunasi pinjaman di atas 4 tahun kemudian sebesar 260 juta. Berapakah suku

bunga efektif tahunan dari pinjaman Hisam ?

4. Didi menginvestasikan uangnya 200 juta dalam dua usaha dengan bunga

tunggal masing-masing 8% dan 7%. Jika total pendapatan pertahun dari dua

investasi tersebut sebesar 15,175 jt, berapa juta kah modal yang diinvestasikan

pada masing-masing usaha?

5. Misal anda mendepositokan 100 juta dengan suku bunga 6% (convertible

quaterannualy). Enam bulan berikutnya anda mendepositokan lagi 200 juta.

Berapa jutakah uang anda setelah dua tahun dari deposito yang kedua?

1.2 Nilai Sekarang (Present Value )

Selain kita bisa menentukan akumulasi nilai dari suatu investasi di masa yang

akan datang, kita bisa juga menentukan nilai sekarang dari suatu nilai di

6

masa yang akan datang. Kita sudah melihat bahwa uang sebesar 1 satuan akan

menjadi 1+i pada akhir 1 tahun. Besaran 1+i sering disebut dengan faktor

akumulasi , karena besaran tersebut mengakumulasikan dana sekarang ke dana

masa yang akan datang. Jadi nilai sekarang sebesar 1 akan menjadikan uang kita

menjadi sebesar 1+i pada akhir tahun.

Marilah kita buat pertanyaan dari kejadian di atas. Berapa uang yang harus

disediakan di awal tahun, agar pada akhir tahun uangnya menjadi 1+i. Jawabnya

adalah 1. Berapakah uang yang harus anda sediakan (v), agar satu tahun lagi uang

anda menjadi 1 ?

Marilah kita formulasikan secara matematis konsep nilai sekarang di atas. Dari

formula 1= v(1+i)1, diperoleh v = (1+i)-1. Jadi uang sebesar (1+i)-1 jika

diinvestasikan dengan suku bunga i selama 1 tahun akan menjadi 1. Sekarang kita

gunakan simbol v = (1+i)-1 sebagai faktor diskon, karena besaran ini mendiskonto

nilai investasi pada akhir periode ke nilai pada awal investasi.

Sekarang kita bisa menggeneralisasi hasil di atas untuk periode waktu lebih besar

dari 1, yaitu berapa modal yang harus disediakan di awal periode agar pada akhir

periode t, modalnya menjadi sebesar A.

1. Bunga majemuk. Untuk bunga majemuk kita punya hubungan A= k(1+i)t,

sehingga dipunyai nilai sekarang k = a-1(t) = A(1+i)-t = Av-t.

2. Bunga kontinu. Dengan menggunakan suku bunga kontinu diperoleh k =

Ae-rt.

Nilai sekarang banyak digunakan dalam pemodelan harga opsi. Dalam mencari

harga opsi sendiri, kita menggunakan prinsip nilai sekarang. Harga opsi adalah

nilai sekarang dari harga harapan keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo.

Dengan memahami lebil awal konsep nilai sekarang, akan menjadi modal yang

signifikan untuk mempelajari teori harga opsi.

7

Contoh 1.3. Carilah nilai sekarang yang harus anda investasikan pada suku bunga

9%, agar nanti 3 tahun ke depan uang anda menjadi 1 milyard.

Jawab. Perhitungan present value di atas akan diperbandingkan menggunakan

dua metode

1. Bunga majemuk. Dengan menggunakan bunga majemuk, besarnya nilai

sekarang yang dibutuhkan adalah

a−1 (3 )=1.000 .000 .000

(1+0.09 )3=772.183 .480

2. Bunga kontinu,

a−1 (3 )=1.000 .000 .000

e0,09 ×3=763.379 .494

Contoh 1.4. Dipunyai suku bunga konstan 5%. Anda akan menerima uang tunai

sebesar $500 satu tahun ke depan dan $1.500 dua tahun ke depan. Carilah nilai

sekarang dari kedua arus uang tersebut.

Jawab.

PV = 500×(1/1.05)-1 + 1500(1/1.05)-2

= $1836.73

Contoh 1.5.Dengan menggunakan j12 = 12%, hitunglah nilai diskonto dari uang

sejumlah Rp 100.000.000 yang jatuh tempo :

a. 10 tahun lagi

b. 25 tahun lagi

Jawab. Dengan bunga nominal 12% setahun, maka diperoleh bunga perbulan

adalah 1%.

a. Untuk jangka waktu 10 tahun, berarti ada 120 bulan, sehingga diperoleh

nilai sekarangnya adalah P = 100juta ×(1,01)-120 = 30, 299.477 juta

b. Untuk jangka waktu 25 tahun, berarti ada 300 bulan, sehingga diperoleh

nilai sekarangnya adaah P = 100juta ×(1,01)-120 = 5,053.448 juta

8

Contoh 1.6. Berapa banyaknya uang yang harus disediakan agar dalam waktu

kontinu ∆t, uang kita menjadi sebesar B rupiah ?

Jawab. Misalkan uang tersebut adalah K, maka K = e-r∆t B

Latihan Soal

1. Astri mendepositokan uangnya sebesar 1 juta dengan suku bunga nominal i

(majemuk konversi enam bulanan). Sedangkan Andi mendepositokan uangnya

sebesar 1,5 juta pada bank yang berbeda dan mendapat suku bunga tunggal i.

Keduanya mendapatkan jumlah bunga yang sama selama 6 bulan terakhir

pada tahun ke delapan. Hitunglah nilai i.

2. Hitunglah suku bunga nominal, konversi semesteran, yang memberikan suku

bunga efektif tahunan i = 10%.

3. Dengan suku bunga tahunan tertentu, investasi sebesar 1 akan bertambah

menjadi 2 dalam x tahun, investasi sebesar 2 akan bertambah menjadi 3 dalam

y tahun, dan investasi sebesar 3 akan bertambah menjadi 15 dalam z tahun.

Selanjutnya investasi sebesar 6 akan bertambah menjadi 10 dalam n tahun.

Carilah hubungan n terhadap x,y,z.

4. Pak Dwimenabung sebesar Rp 1000.000,00 dengan suku bunga majemuk

sebesar 5%. Pada saat yang sama Pak Tri juga menabung sebesar Rp

630.000,00 tetapi bunga yang ia peroleh berdasar suku bunga tunggal sebesar

k%. Uang Pak Dwi pada tahun kedua akan sama besar dengan uang Pak Tri

pada tahun kelima. Berapakah besar suku bunga dari tabungan Pak Tri (k)?

5. Ayah anda mempunyai uang 50 juta dan ingin ditabungkan. Ayah anda

berharap dalam waktu 15 tahun uang tersebut dapat menjadi 3 kali lipat. Bank

dengan suku bunga tahunan berapa yang akan Anda rekomendasikan ?

1.3.Anuitas

Harga obligasi dapat diterangkan sebagai nilai present value dari rangkaian

pembayaran besarnya kupon dan pokok yang akan diterima pemegang obligasi.

Untuk itu perlu diterangkan tentang teori anuitas atau rangkain

9

pembayaran.Anuitas yang pembayarannya pada akhir periode disebut dengan

anuitas akhir atau annuity-immediate.Anuitas akhir sering juga disebut dengan

anuitas biasa atau anuitas ordinary. Pada anuitas akhir ini, suku bunga perperiode

juga dilambangkan dengan i. Sekarang kita lihat suatu anuitas dengan pembayaran

1 rupiah yang dibayarkan pada akhir periode selama n periode. Nilai sekarang

(present value) dari anuitas akhir ini dilambangkan dengan . Nilai ini adalah

nilai yang dibayarkan diawal untuk mendapatkan pembayaran sebesar 1 rupiah

tiap akhir periode selama n periode.Nilai present value inilah yang digunakan

sebagai dasar perhitungan produk anuitas.

Kita dapat menurunkan formula nilai sekarang suatu anuitas akhir sebagai

suatu present value dari masing-masing pembayaran.

1. Present value dari pembayaran 1 rupiah di akhir periode pertama

adalah v.

2. Sedangkan present value dari pembayaran 1 rupiah yang dilakukan

pada akhir periode ke dua adalahv2 .

3. Proses ini berlanjut sampai present value dari pembayaran 1 rupiah

pada akhir periode ken adalah vn.

4. Nilai akumulasi total dari present value sama dengan jumlahan

dari present value tiap-tiap pembayaran, yaitu

(1.1)

Formula present value anuitas akhir (1.1) di atas dapat disederhanakan

menggunakan deret geometri dan diperoleh hasil

=ν1−νn

1−ν=ν

1−νn

iν=1−νn

i (1.2)

Contoh. Hitunglah

a. Nilai sekarang dari pembayaran 1 rupiah di setiap akhir tahun selama 10 tahun, nilai i = 5% (< 10)

10

b. Nilai akumulasi dari pembayaran 1 rupiah di akhir tahun selama n = 10 dan i = 5% (> 10)

Contoh 1.3. Carilah nilai sekarang atau nilai tunai (present value) dari suatu

anuitas yang membayar 4 juta pada akhir tengah tahunan selama 16 tahun dengan

suku bunga 8% (convertible semiannually atau konversi 6 bulanan)

Jawab.Nilai yang dicari adalah present value dari suatu anuitas selama 32 periode

dengan suku bunga 4% dan pokok 4 juta rupiah.

Jadi jika anda membayar 71,4942 juta rupiah sekarang kepada lembaga

penyelenggara program anuitas yang menerapkan bunga 8%, maka selama 16

tahun anda akan mendapat pembayaran 4 juta rupiah setiap akhir tengah tahunan.

Tentu saja perhitungan di atas tidak termasuk biaya administrasi dan biaya

marketing yang bisa merubah angka-angka di atas.

1.4. Obligasi

Return yang akan diperoleh dari investasi obligasi disebut yield. Sebelum

memutuskan untuk berinvestasi obligasi, investor harus mempertimbangkan

besarnya yield obligasi, sebagai faktor pengukur tingkat pengembalian tahunan

yang akan diterima. Ada 2 (dua) istilah dalam penentuan yieldyaitu :

a. Currrent yield

adalahyield yang dihitung berdasarkan jumlah kupon yang diterima selama

satu tahun terhadap harga obligasi tersebut.

Current yield=bunga tahunanharga obligasi

11

Contoh:

Jika obligasi PT XYZ memberikan kupon kepada pemegangnya sebesar 17%

per tahun sedangkan harga obligasi tersebut adalah 98% untuk nilai nominal

Rp 1.000.000.000, maka:

Current Yield=Rp 170.000 .000Rp 980.000 .000

atau17 %98 %

¿17.34 %

b. Yield to maturity (YTM)

adalah tingkat pengembalian atau pendapatan yang akan diperoleh investor

apabila memiliki obligasi sampai jatuh tempo. Formula YTM yang seringkali

digunakan oleh para pelaku adalah YTM approximation atau pendekatan nilai

YTM, sebagai berikut:

YTM approximation=C+ R−P

nR+P

2

x100%

Keterangan:

C = kupon

n = periode waktu yang tersisa (tahun)

R = redemption value (nilai Par)

P = harga pembelian (purchase value)

Contoh.Obligasi XYZ dibeli pada 5 September 2003 dengan harga 94.25%

memiliki kupon sebesar 16% dibayar setiap 3 bulan sekali dan jatuh tempo

pada 12 juli 2007. Berapakah besar YTM approximationnya ? Dari

keterangan di atas diperoleh nilai-nilai

C = 16%

n = 3 tahun 10 bulan 7 hari = 3.853 tahun

P = 94.25%

12

R = 100%

YTM approximation=16+ 100−94.25

3.853100+94.25

2

x100 %

¿18.01 %

Hubungan antara Yielddengan Harga Obligasi

Yield dan harga obligasi adalah 2 hal penting yang tidak dapat dipisahkan

dalam teori estimasi kurva yield obligasi. Para investor akan selalu

mempertimbangkan harga obligasi dengan yield yang akan diperoleh. Secara

matematis, harga obligasi dapat dituliskan sebagai berikut :

dimana

P = harga obligasi

Ct = kupon obligasi pada periode t

Mn = nilai par dari obligasi

r = tingkatyield yang diharapkan

Contoh.Dipunyai obligasi 150 juta, dengan kupon 10% pertahun, diketahui yield

12% pertahun. Berikut harga obligasinya

Disimulasikan untuk nilai yield 10%

13

Sedangkan untuk nilai yield 8%

Terlihat bahwa jika nilai yield sama dengan kupon, maka harga teori obligasi akan

sama dengan nilai pokoknya, sedangkan jika nilai yield lebih kecil dari kupon rate

yang diberikan, harga obligasi akan lebih besar dari nilai pokoknya. Sebaliknya,

jika nilai yield lebih besar dari kupon rate, harga obligasi lebih kecil dibandingkan

nilai pokoknya.

Contoh. Carilah harga obligasi yang bernilai par $1000 selama 10 tahun dengan

kupon 8.4% yang dibayar setiap 6 bulanan, dengan nilai redeemed $1050.

Obligasi memberikan yield 10% konvertibel 6 bulanan.

Jawab.

Latihan

1. Jika anda menginginkan mempunyai uang 1 M 10 tahun lagi, berapakah uang yang harus anda siapkan sekarang ?

2. Jika anda tidak kuat menyediakan uang sebesar yang harus disediakan hasil perhitungan pada no 1, dan anda hanya kuat menabung tiap tahun, berapakah uang yang anda depositkan tiap tahun ?

14

3. Suatu suatu obligasi memberikan bunga/kupon 10% selama 5 tahun. Jika diketahui yield sebesar 12%, berapakah harga obligasi di atas.

4. Bagaimana pengaruh yield terhadap harga obligasi di pasar ?

5. Disebut apakah Obligasi yang tidak memberikan kupon

6. Bagaimana penilaian harga obligasi tanpa bunga ?

15

Modul 2Mekanisme Perdagangan Opsi



1.Memahami arti konsep berbagai jenis opsi

2.Memahami konsep Waktu jatuh tempo, keuntungan opsi, dll

3.Memahami konsep harga opsi


1.Mampu menghitung keuntungan opsi

2.Mampu menguraikan harga opsi

2.1 TIPE-TIPE OPSI

Opsi adalah produk derivative saham dimana pemegang kontrak opsi

tersebut dapat membeli atau menjual saham pada waktu dan harga tertentu.Dalam

perdagangan opsi, terdapat bermacam-macam tipe opsi, baik yang secara resmi

maupun yang tidak secara resmi diperdagangkan di bursa. Tipe opsi yang paling

umum dikenal orang adalah tipe opsi berdasarkan haknya, yaitu opsi call (beli)

dan opsi put (jual) seperti yang sudah disebutkan di Bab 2.

1. Opsi Call (Beli)

Akan lebih mudah memahami mekanisme opsi call berdasarkan contoh.

Misalkan seorang investor membeli kontrak opsi call tipe Eropa dengan harga

kontrak $100 terhadap saham eBay. Harga saham eBay sekarang adalah $98 dan

waktu jatuh tempo dari opsi call tersebut adalah 4 bulan atau 0.33 tahun. Harga

opsi call tipe Eropa ini adalah $5. Karena opsi ini adalah opsi tipe Eropa, maka

investor hanya bisa menjalankan opsi call nya pada waktu (tanggal) jatuh tempo

saja.

Jika harga saham pada waktu jatuh tempo kurang dari harga kontrak $100,

investor memilih tidak akan menjalankan opsi callnya (jika opsi itu dijalankan

16

oleh investor, maka investor harus membeli saham eBay seharga $100, padahal di

pasaran harganya lebih kecil dari $100). Pada kondisi ini, investor akan merugi

sebesar $5 (besarnya harga premi opsi yang dibayar di awal).

Jika harga saham di atas $100 pada waktu jatuh tempo, maka investor akan

menjalankan opsi call tersebut. Misalkan harga saham pada waktu jatuh tempo

adalah $115. Dengan menjalankan opsi call tersebut, investor dapat membeli

saham eBay seharga $100 dari counterpart-nya dan sesegera mungkin menjual

saham eBay tersebut dengan harga $115. Investor mendapatkan keuntungan $15

per lembar opsi. Jika transaksi di atas melibatkan 100 lembar opsi, maka

keuntungan yang diperoleh investor adalah $1500. Selanjutnya jika investasi awal

diperhitungkan, keuntungan bersih yang diperoleh investor menjadi $1500 - $500

= $1000. Dapat dilihat di sini bahwa keuntungan pemegang kontrak opsi dapat

dirumuskan secara matematika dalam max(0, ST-K).

Dari uraian di atas, dapat disebutkan peranan dari partisipan opsi call

sebagai berikut: 1. Penjual kontrak opsi call mengeluarkan kontrak opsi dan

menerima uang premi opsi. 2. Pembeli kontrak opsi call membayar premi opsi dan

memegang kontrak opsi.

2. Opsi Put (Jual)

Investor yang membeli opsi call seperti dijelaskan di atas, berharap harga

saham pokok akan naik. Berbeda dengan opsi call, investor yang membeli opsi

put berharap harga saham pokok akan turun, karena dia dapat mengambil

keuntungan dari kondisi tersebut. Misalkan seorang investor membeli opsi put

tipe Eropa untuk menjual 100 lembar saham IBM, dengan harga kontrak $70.

Misalkan harga saham IBM sekarang $70. Misalkan harga saham sekarang adalah

$65, dan waktu jatuh tempo opsi put tersebut adalah 3 bulan atau 0.25 tahun.

Harga opsi put tersebut adalah $7. Investasi awal adalah $700. Karena tipe opsi

put ini adalah tipe Eropa, maka opsi hanya bisa dijalankan 3 bulan lagi, jika harga

saham di bawah $70.

Misalkan harga saham IBM pada waktu jatuh tempo adalah $55. Investor

pemegang opsi put, dapat menjual saham IBM seharga $70, kepada counterpart-

17

nya. Keuntungan opsi put tersebut sebesar $70 - $55 = $15 per lembar opsi put.

Jika ada 100 lembar opsi, maka keuntungan opsi adalah $1500, tanpa

memperhitungkan investasi awal. Jika investasi awal diperhitungkan, maka

keuntungan bersih menjadi $1500 - $700 = $800. Jika harga saham pada waktu

jatuh tempo naik di atas $70, maka opsi put berlalu tanpa bernilai apapun, dan

investor pembeli opsi merugi sebesar $700. Dapat dilihat di sini bahwa

keuntungan pemegang kontrak opsi dapat dirumuskan secara matematika dalam

max(0, K-ST).

Dari uraian di atas, dapat disebutkan peranan dari partisipan opsi put (jual)

sebagai berikut: 1. Penjual kontrak opsi put mengeluarkan kontrak kepada

pembelidan menerima uang premi harga opsi. 2. Pembeli kontrak opsi put

membayar uang premi harga opsi dan memegang kontrak opsi put.

3.Keuntungan Opsi

Bagaimana formula untuk keuntungan opsi call? Keuntungan opsi

merupakan fungsi dari harga kontrak opsi K dan harga saham pada waktu jatuh

tempo ST dilihat dari sisi pembeli opsi. Biasanya uang yang dibayarkan untuk

membeli opsi beli tidak diperhitungkan dalam perhitungan keuntungan opsi. Jika

pada waktu jatuh tempo ST > K, maka pihak pemegang opsi akan menerima

keuntungan sebesar ST-K. Sedangkan jika harga saham pada waktu jatuh tempo

ST< K, maka pihak pemegang opsi tidak akan menerima keuntungan alias

keuntungannya nol. Jadi secara matematika, keuntungan opsi dari sisi pemegang

opsi call adalah max(ST - K, 0). Sebaliknya, keuntungan penjual opsi call adalah

- max(ST - K, 0) = min(K - ST, 0)

Bagaimana dengan opsi put? Pemegang opsi put akan menjalankan

opsinya jika harga saham pada waktu jatuh tempo ST< K, dan memperoleh

keuntungan sebesar K-ST. Jika pada waktu jatuh tempo harga saham ST> K,

pemegang opsi put tidak akan menjalankan opsinya dan otomatis keuntungannya

nol. Jadi secara matematis keuntungan opsi put dari sisi pemegang kontrak opsi

adalah max(K - ST , 0) dan keuntungan dari sisi penjual opsi put adalah

- max(K - ST , 0) = min(ST - K, 0)

18

2.2 Opsi Saham

Aset pokok (underlying asset) yang dapat dijadikan dasar untuk

dikeluarkannya opsi relatif banyak, bahkan semua aset bisa dijadikan aset dasar

produk derivatif opsi. Dari sekian banyak aset dasar tersebut, ada beberapa aset

yang relatif populer di pasar bursa, yaitu saham, mata uang, indeks, future serta

swap.

Kebanyakan perdagangan opsi dilakukan di bursa. Di Amerika, bursa

perdagangan opsi dilakukan di bursa Chicago Board Options Exchange

(www.cboe.com), Philadelphia Stock Exchange (www.ptux.com), American

Stock Exchange (www.amex.com), Pacific Exchange (www.pacifex.com), dan

International Securities Exchange (www.iseoptions.com). Option diperdagangkan

pada lebih dari 1,000 saham yang berbeda. Satu kontrak opsi memberikan hak

untuk membeli atau menjual 100 lembar saham.

2.2.1Spesifikasi Opsi Saham

Pada bab ini, kita akan menfokuskan pembahasan pada opsi saham.

Seperti yang sudah disebutkan, opsi saham yang diperjualbelikan di berbagai

bursa adalah tipe Amerika. Detail dari kontrak —waktu jatuh tempo (T), harga

kontrak (K), bagaimana jika dividend dikeluarkan, dan sebagainya—

dispesifikasikan oleh bursa. Spesifikasi opsi saham dapat diterangkan satu-persatu

sebagai berikut:

1. Strike Price atau Harga Kontrak

Bursa biasanya menyediakan beberapa harga kontrak untuk suatu opsi

saham, dengan selisih $2.50, $5, atau $10. Bursa akan menyediakan harga

kontrak dengan gradasi $2.50 ketika harga saham berada diantara $5 dan $25,

gradasi $5 ketika harga saham berada diantara $25 dan $200, dan gradasi $10

untuk harga saham di atas $200.

Untuk penentuan harga kontrak suatu opsi, biasanya dua atau tiga harga

kontrak yang paling dekat dengan harga saham ditawarkan oleh bursa. Jika harga

19

saham bergerak keluar dari range harga kontrak terendah dan tertinggi, bursa akan

mengeluarkan harga kontrak baru. Sebagai ilustrasi aturan ini, kita misalkan suatu

saham dengan harga S0 = $84. Harga kontrak opsi call dan put yang ditawarkan

dari saham tersebut kemungkinannya adalah $80, $85, and $90. Jika harga saham

naik di atas $90, maka harga kontrak baru $95 akan ditawarkan; dan jika harga

saham jatuh di bawah $80, maka harga kontrak baru $75 akan ditawarkan.

2. Deviden

Ketika ada pembagian dividen yang cukup besar (lebih dari 10% dari

harga saham), Komite Options Clearing Corporation (OCC) di Bursa CBOE

(Chicago Board Options Exchange) dapat memutuskan untuk membuat

penyesuaian terhadap opsi yang dijual di bursa. Contohnya dapat dilihat sebagai

berikut.Pada tanggal 28 Mei, 2003, Gucci Group NV (GUC) menyatakan

membagikan deviden sebesar 13.50 euros (sekitar $15.88) untuk setiap sahamnya

dan keputusan ini disetujui opada rapat umum pemegang saham tahunan 16 Juli

2003. Dividen ini bernilai sekitar 16% dari harga saham pada saat diumumkan.

Pada kasus ini, Komite OCC memutuskan untuk menyesuaikan harga opsi.

Pemegang kontrak opsi call membayar 100 kali harga kontrak pada waktu

jatuh tempo, dan menerima uang tunai $1.588 sebagai tambahan dari 100 lembar

saham. (harga kontrak dikurangi $15,88 perlembar saham). Pemegang kontrak

opsi put menerima 100 kali harga kontrak pada waktu jatuh tempo dan membayar

uang tunai $1.588 sebagai tambahan dari 100 lembar saham. Penyesuaian ini

memberikan pengaruh mengurangi harga kontrak sebesar $15,88.

Penyesuaian untuk dividen yang besar tidak selalu dilakukan oleh bursa.

Sebagai contoh, Deutsche Terminborse memilih untuk tidak menyesuaikan

struktur opsi yang diperdagangkan di bursa ketika Daimler-Benz secara

mengejutkan pada tanggal 10 Maret 1998 mengeluarkan dividen sebesar 12% dari

harga saham.

3. Komisi

20

Tipe dari pemesanan atau types of orders yang dapat didelegasikan kepada

broker atau pialang untuk perdagangan opsi sama seperti pada perdagangan

future. Penugasan market order akan dijalankan secepatnya, limit order akan

dijalankan pada harga terendah yang masih menguntungkan dan sebagainya.

Misalnya seorang investor yang membeli kontrak opsi call dengan strike

price K = $50 ketika harga saham S0 = $49, dengan harga opsi call adalah

C=$4.50, sehingga untuk 100 opsi call bernilai $450. Dari tabel 3.1, pembelian

atau penjualan dari satu kontrak (100 opsi) selalu memerlukan biaya $30 (komisi

maximum dan minimum $30 untuk kontrak pertama). Misalkan harga saham

meningkat dan pada waktu jatuh tempo mencapai $60. Diasumsikan investor

membayar komisi 1.5% dari perdagangan saham, komisi yang dibayar ketika opsi

call dijalankan adalah 0.015 x $60 x 100 = $90. Total komisi yang dibayarkan

adalah 30+90= $120, dan keuntungan bersih dari investor $1,000 - $450 - $120 =

$430.

Selain biaya komisi di atas, ada juga biaya yang harus dikeluarkan oleh

investor opsi call yaitu perbedaan atau selisih harga jual dan harga beli yang

berlaku di pasar. Misalkan pada contoh di atas, harga penjualan adalah $4.00 dan

harga pembelian adalah $4.50 pada waktu investor membeli opsi call. Kita dapat

mengasumsikan bahwa harga opsi yang wajar atau fair adalah $4.25, yaitu rata-

rata dari harga beli dan harga jual. Biaya tambahan untuk pembeli dan penjual

opsi menurut sistem pasar opsi adalah selisih rata-rata selisih harga beli dan harga

jual, yaitu $0.25 per opsi atau $25 per kontrak opsi.

Tabel 2.1. Skedul komisi untuk pialang atau broker

Volum perdagangan Komisi*< $2,500 $20 + 2% dollar $2,500 to $10,000 $45 + 1% dollar > $10,000 $120 + 0.25% dollar

* Maximal komisi adalah $30 per kontrak untuk lima kontrak pertama plus $20

untuk setiap tambahan kontrak. Minimal komisi adalah $30 per kontrak, dan $2

untuk setiap tambahan kontrak.

21

2.2 Harga dan Nilai Opsi

2.2.1 Harga Opsi

Harga opsi merupakan salah satu bahasan yang sangat menarik untuk

dikaji. Orang selalu ingin mengetahui apakah harga opsi yang ditawarkan di

pasaran cukup fair, murah, atau relatif mahal. Untuk tujuan itu, banyak sekali

pakar matematika dan ekonomi keuangan yang berusaha memodelkan harga opsi

sesuai dengan kondisi yang berlaku di pasaran. Kemudian mereka

membandingkan harga opsi di pasaran dengan harga opsi menurut model mereka.

Tentu saja model yang dianggap baik adalah model yang bisa memprediksi harga

opsi di pasaran dekat dengan harga opsi yang dihasilkan oleh model tersebut.

2.2.2 Nilai Opsi

Dalam harga Opsi, terdapat dua komponen, yaitu Nilai Intrinsik dan Nilai

Waktu. Jika kita tulis dalam bentuk persamaan matematika, maka :

Harga Opsi = Nilai Intrinsik + Nilai Waktu

Banyak definisi yang digunakan untuk menjelaskan apa itu Nilai Intrinsik dalam

opsi. Di sini akan dipakai ‘definisi’ yang bisa dipakai baik untuk opsi Call

maupun Put. Mari kita lihat sebuah ilustrasi opsi Call :

Harga saham perusahaan XYZ adalah S0 = 3946. Misal ada Opsi Call

dengan harga kontrak K = 3500. Tanpa memiliki opsi tersebut, jika kita ingin

membeli saham XYZ, kita harus membayar harga 3946 atau 446lebih mahal dari

harga kontrak. Jika kita lihat situasi di atas, saat ini opsi tersebut sudah

mempunyai ‘manfaat’ sebesar 446. Nilai manfaat sebesar446 inimerupakan Nilai

Intrinsik dari opsi call tersebut pada waktu sekarang. Misalkan minggu

depan, harga saham XYZ naik menjadi 4500, maka Opsi Call akan mempunyai

‘manfaat’ sebesar 1000, dan nilai Intrinsiknya pun menjadi 1000.

22

Bagaimana dengan Nilai Waktu opsi? Mari kita kembangkan contoh di atas. Misal

opsi call dijual seharga 600.Dari persamaan matematika di atas, diperoleh

Harga = Nilai Intrinsik + Nilai Waktu

Nilai Waktu= Harga – Nilai Intrinsik

Nilai Waktu opsi call saham XYZ di atas adalah 154 (didapat dari 600-446).

Jika Nilai Intrinsik dari opsi menggambarkan ‘manfaat’ opsi tersebut ’saat

ini’, Nilai waktu menggambarkan adanya ‘waktu’ dan ‘harapan’ bahwa Nilai

Intrinsik opsi tersebut masih bisa naik mengingat masih ada waktu jatuh tempo.

Semakin dekat dengan waktu jatuh temponya, Nilai Waktu opsi akan semakin

menurun. Nilai Waktu suatu opsi sama dengan 0 pada waktu jatuh tempo, karena

saat itu opsi tersebut telah tidak mempunyai ‘waktu’ dan ‘harapan’ lagi.

Latihan Soal

1. Harga saham XYZ saat ini adalah $39,46. Harga opsiput dengan K = 35

adalah $2,4 dan harga opsi put dengan K = 42,5 saat ini adalah $6,2.

Berapakah Nilai Waktu dan Intrinsik opsi ?

2. Seorang arbitraser ingin menghitung yield deviden pada suatu saham

ketika melihat opsi call dan put 5 tahun dengan data sebagai berikut:

Harga saham $85, harga kontrak $90, suku bunga bebas resiko 5%, harga

opsi call $10, dah harga opsi put $15. Berapakah yield deviden kontinu

dari saham tersebut?

a. 2.48%b. 4.69%c. 5.34%d. 7.71%

23

Modul3Sifat-Sifat Harga Opsi



1.Memahami konsep batas bawah dan atas harga opsi call

2.Memahami konsep batas bawah dan atas harga opsi put

3.Memahami konsep penurunan formula put-call paritas


1.Mampu menghitung batas bawah dan atas harga opsi call

2.Mampu menghitung batas bawah dan atas harga opsi put

3.Mampu menghitung harga opsi berdasar prinsip put-call paritas

3.1 Batas Bawah dan Atas Harga Opsi

Harga suatu opsi yang melebihi batas, akan mengundang kesempatan bagi

para arbitraseruntuk selalu mengambil keuntungan. Demikian juga jika harga

suatu opsi berada di bawah harga minimalnya, akan ada kesempatan bagi para

arbitraser untuk menciptakan strategi yang selalu menguntungkan mereka. Untuk

itu, harga opsi harus berada di antara interval harga minimal dan maksimalnya,

agar tidak muncul para arbitraser yang selalu dapat bermain dalam situasi

tersebut.

3.1.1Batas Atas Harga Opsi Call

Opsi call tipe Amerika atau Europa memberikan hak kepada pemegangnya

untuk membeli saham pada harga kontrak tertentu (K). Dalam kondisi apapun,

harga opsi baik tipe Eropa dan Amerika tidak pernah melebihi harga saham

pokoknya S0. Jadi, harga saham pokok merupakan batas atas dari harga opsi.

Batas ini tentu saja sangat wajar mengingat opsi merupakan produk derivatif dari

saham, sehingga diperoleh hubungan sebagai berikut

c ≤ S0 and C ≤ S0

24

Jika hubungan ini dilanggar, maka seorang arbitraser dengan gampang

akan membuat langkah yang jelas-jelas selalu menguntungkan dengan cara

membeli saham dan menjual opsi call saham tersebut. Logikanya sebagai berikut :

Dengan membeli saham pokok, dan menjual opsi yang harganya lebih mahal

dari harga saham, dia sudah mendapat keuntungan dari selisih harga saham dan

opsi. Sementara dia masih memegang saham pokok. Pada waktu jatuh tempo,

apapun yang terjadi pada harga saham, dia tinggal menyerahkan saham pokok

kepada pembeli opsi call-nya.

Contoh 4.1.Misalkan harga saham $10, dan harga opsi call untuk saham itu

adalah $12.Seseorang dapat membeli saham seharga $10 dan mengeluarkan opsi

untuk mendapatkan $12, sehingga mendapat keuntungan $2. Selanjutnya, apapun

status kondisi opsi tersebut, baik in the money atau pun out of the money, dia

akan selalu memperoleh keuntungan. Karena pada saat jatuh tempo, apapun yang

terjadi, dia tinggal menyerahkan sahamnya kepada pembeli opsi call-nya dan dia

mendapat keuntunganbersih sebesar $2 ditambah saham atau uang sebesar harga

saham.

3.1.2 Batas Bawah Harga Opsi Call

Harga minimal opsi call tanpa adanya pembayaran dividen saham adalah

S0 - Ke-rT. Apabila suatu opsi call dijual lebih murah dari harga di atas, maka

akan ada seorang arbitraser yang dapat menciptakan strategi sehingga selalu

memperoleh keuntungan. Maka harga opsi call memenuhi

c ≥ S0 - Ke-rT

Pertama-tama kita lihat contoh numeriknya dan kemudian kita pikirkan suatu

alasan yang lebih general.

Contoh 4.2.Misalkan ada opsi call saham dengan data-data sebagai berikut: S0 =

$20, K = $18, r = 10% per tahun, dan T = 1 tahun. Pada kasus ini, dapat dihitung

25

nilai S0 - Ke-rT = 20 - 18e-0.1*1 = $3.71. Berdasarkan hasil hitungan di atas, harga

opsi minimal adalah $3.71.

Bagaimana jika ada orang yang menjual opsi call lebih murah dari harga di atas ?

Misalkan ada opsi call seperti di atas dan dijual seharga $3.00. Seorang arbitraser

dapat bermain pada kondisi seperti ini. Dia dapat meminjam untuk menjual saham

atau short saham pokok dan membeli opsi call, sehingga dia memperoleh dana

sebesar$20.00 - $3.00 = $17.00. Selanjutnya dia akan menginvestasikan uang

tersebut pada tingkat suku bunga 10% per tahun, dan setahun kemudian uangnya

berkembang menjadi 17e0.1 = $18.79.

Satu tahun berikutnya, opsi memasuki waktu jatuh tempo. Kita lihat dua kondisi

sebagai berikut :

1. Harga saham pada waktu jatuh tempo lebih besar dari harga kontrak

K=$18.00. Arbitraser akan menjalankan opsinya, membeli saham pokok

seharga $18.00, dan mengembalikan saham pinjaman. Pada kondisi ini dia

akan dapat membuat keuntungan sebesar $18.79-$18.00 = $0.79.

2. Harga saham pada waktu jatuh tempo lebih kecil dari harga kontrak K =

$18.00. Arbitraser tidak menjalankan opsi callnya, dan keuntungan yang

diperolehnya adalah = $18.79 - ST. Keuntungan pada kondis ini lebih besar

dari pada kondisi pertama > $18.79-$18 = $0.79. sebagai contoh jika harga

saham $17.50, arbitraser dapat memperoleh keuntungan $18.79-$17.50 =

$1.29. Jika harga saham $17.00, keuntungan arbitraser $ 1.79.

Untuk alasan yang lebih formal, kita lihat dua portofolio berikut:

Portfolio A : Satu opsi call Eropa dan uang tunai sebesar Ke-rT , Bernilai c + Ke-rT

Portfolio B : Satu saham, bernilai S0

Dalam portofolio A, uang tunai Ke-rT, jika diinvestasikan pada suku bunga bebas

resiko r, pada waktu jatuh tempo T akan berkembang K.

26

1. Jika ST> K, opsi call dijalankan. Uang sebesar K digunakan untuk

membayar saham, dan portofolio A akan bernilai ST . (Portofolio A, di

waktu awal dipunyai cash Ke-rT, pada waktu ekspirasi, uang berkembang

menjadi K. Jika kondisi opsi in the money, Uang tersebut digunakan

untuk menjalankan opsi, membeli saham seharga K, mendapatkan saham

seharga ST).

2. Jika ST< K, opsi call tidak dijalankan, dan portofolio A bernilai K.

Jadi pada waktu jatuh tempo T, portfolio A akan bernilai max(ST, K)dan portfolio

B selalu bernilai ST pada waktu jatuh tempo T.

Dari ilustrasi di atas, dapat diambil kesimpulan bahwa portofolio A selalu

bernilai sama atau lebih besar dari portfolio B pada waktu jatuh tempo (Jika ST>

K, maka portfolio A bernilai ST = portfolio B, jika ST< K, maka portfolio A

bernilai K > portfolio B). Selanjutnya dengan menggunakan prinsip tidak ada

kesempatan melakukan arbitrase, kondisi pada waktu jatuh tempo juga akan

berlaku pada waktu sekarang. Jadi

Portofolio A c + Ke-rT ≥ S0 Portofolio B

atau c ≥ S0 - Ke-rT

Karena harga opsi tidak mungkin negatif, c ≥ 0, maka harga call opsi minimal

dapat dirumuskan sebagai berikut

c ≥ max(S0 - Ke-rT, 0)

Example 4.3.Misalkan ada opsi call Eropa dari suatu saham dengan data sebagai

berikut :S0 = $51, K =$50, T = 0.5, dan r = 0.12. Dapat dihitung batas bawah

harga opsi minimal adalah S0 - Ke-rT, or 51-50e-0.12*0.5 = $3.91.Jadi jika ada bursa

yang menjual opsi tersebut di atas dengan harga di bawah batas minimal di atas,

anda dapat memikirkan untuk melaksanakan strategi arbitrase seperti di atas.

27

3.1.3 Batas Atas Harga Opsi Put

Opsi put tipe Amerika atau Eropa memberikan hak kepada pemegangnya

untuk menjual saham pokok pada harga kontrak tertentu, K. Tidak peduli

seberapa harga saham akan turun, harga opsi put tidak akan lebih besar dari K.

Jadi dipunyai hubungan,

p≤ K and P ≤ K

Untuk opsi put tipe Eropa, kita tahu bahwa pada waktu jatuh tempo, opsi put tidak

dapat bernilai lebih dari K (Jika ST = 0, maka opsi put bernilai K-0 = K), sehingga

harga opsi put (sekarang) tidak akan melebihi nilai sekarang (present value) K:

p ≤ Ke-rT

Jika hubungan ini dilanggar, maka akan ada seorang arbitraser yang dapat

mengambil keuntungan dengan cara mengeluarkan atau menjual opsi put dan

menaruh uang hasil penjualan opsinya pada bunga bebas resiko.

Contoh 4.1.2Misalkan ada opsi put Eropa dengan harga kontrak 10, T = 0.5 tahun

dan r = 1%. Dipunyai nilai Ke-rT = 10exp(-0.5*0.01) = 9.95. Jadi harga opsi put

tidak boleh melebihi 9.95.

Selanjutnya misal ada opsi put untuk kasus di atas dengan harga $10. Investor

dapatmengeluarkan opsi jual untuk mendapat uang $10 dan menyimpannya di

rekening bank dengan bunga 1%. Pada waktu jatuh tempo uang tersebut menjadi

$10.05. Sekarang kita lihat kondisi pada waktu jatuh tempo

1. Jika opsi put dalam kondisi in the money (opsi put dijalankan), maka

investor tersebut harus membeli saham pokok sebesar $10, dan dia masih

mempunyai keuntungan sebesar $0.05 + saham.

2. Jika opsi put dalam kondisi out of the money (opsi put tidak dijalankan),

keuntungannya $10,05,

3.1.4 Batas Bawah Harga Opsi Put

Untuk opsi put tipe Eropa yang sahamnya tidak memberikan pembayaran

dividen, batas bawah untuk harga opsi tersebut adalah

28

Ke-rT - S0

Sekali lagi, pertama-tama akan diberikan contoh numerik dan selanjutnya kita

lihat alasan atau argumen yang lebih formal. Misalkan dipunyai opsi put dengan

karakteristik sebagai berikut : S0 = $37, K = $40, r = 5% per tahun, dan T = 0.5

tahun. Pada kasus ini diperoleh,

Ke-rT - S0 = 40e-0.05*0.5 - 37 = $2.01

Mari kita lihat situasi dimana harga opsi put Eropa $1.00, yang lebih murah

dibandingkan harga teoritis of $2.01. Seorang arbitraser dapat menjalankan

strategi meminjam uang $38.00 selama 6 bulan untuk membeli saham dan opsi

put. Pada waktu jatuh tempo, arbitraser membutuhkan uang untuk membayar

hutang sebesar 38e0.05*0.5 = $38.96. Sekarang kita lihat kondisi harga saham

1. Jika harga saham dibawah harga kontrak K=$40.00, arbitraser akan

menjalankan opsinya dengan menjual saham seharga $40.00. Selanjutnya

dia membayar hutangnya , dan memperoleh keuntungan sebesar $40.00-

$38.96 = $1.04.

2. Jika harga saham di atas harga kontrak K = $40.00, arbitraser tidak akan

menjalankan opsi put-nya. Dia dapat menjual sahamnya di luar dengan

harga di atas harga kontak K, dan membayar hutangnya. Keuntungan

arbitraser pada kondisi ini lebih banyak dibandingkan dengan kondisi I.

Sebagai contoh jika harga saham $42.00, keuntungan arbitraser $42.00-

$38.96 = $3.04

Argumen Formal

Selain bukti secara empiris di atas, dapat juga diberikan bukti secara

analisis yang lebih formal sebagai berikut. Kita berikan dua portofolio C dan D.

Pada waktu T = 0, atau waktu sekarang atau waktu pembelian kontrak opsi, kedua

portofolio di atas adalah sebagai berikut.

Portfolio C: Satu saham pokok dan satu opsi put Eropa (p + S0)

Portfolio D: Uang tunai sebesar Ke-rT

Sekarang kita lihat situasi pada waktu jatuh tempo, T.

29

1. Jika ST< K, maka opsi put pada portofolio C akan dijalankan, saham dijual

seharga K, jadi portofolio C bernilai K (Opsi put dilaksanakan, saham

dijual seharga K).

2. Jika ST> K, maka opsi put tidak dijalankan, dan saham bernilai ST. Jadi

portofolio C akan bernilai ST .

Jadi portfolio C berharga max(ST, K) pada waktu jatuh tempo T.

Selanjutnya kita lihat portofolio D. Uang tunai sebesar Ke-rT yang diinvestasikan

pada suku bunga bebas resiko akan bernilai K pada waktu jatuh tempo T. Dapat

diambil kesimpulan di sini bahwa portfolio C selalu bernilai sama dengan atau

lebih besar dari portfolio D pada waktu jatuh tempo T. Selanjutnya dengan

menggunakan prinsip bebas dari kesempatan arbitrase, portofolio C harus bernilai

lebih besar atau sama dengan portfolio D pada saat sekarang, atau

p + S0 ≥ Ke-rT

p ≥ Ke-rT - S0

Selanjutnya karena harga opsi put tidak mungkin negatif, maka secara matematis

harga opsi put tipe Eropa dapat dituliskan sebagai berikut :

p ≥ max(Ke-rT - S0, 0)

Contoh 4.4.Misalkan ada opsi put tipe Eropa dari suatu saham dengan data

sebagai berikut S0 = 38$, K = 40$, T = 0.25 tahun atau 3 bulan , dan , r = 0.10.

Dapat dihitung batas bawah atau harga terendah secara teori dapat dihitung

sebagai berikut :Ke-rT – S0 = 40e-0.1*0.25 -38 = $1.01.

3.2 Put Call Parity

Sekarang kita akan menurunkan hubungan penting antara harga opsi call

dan harga opsi put dalam suatu persamaan matematis yang disebut dengan put-call

parity. Marilah kita lihat dua portofolio yang sudah kita gunakan di atas, yaitu

portofolio A dan C sebagai berikut :

Portfolio A: Satu opsi call Eropa dan uang tunai sebesar Ke-rT , Bernilai c + Ke-rT

Portfolio C: Satu saham pokok dan satu opsi put Eropa (p + S0)

30

Dari penjelasan di atas, portofolio A dan C bernilai max(ST, K) pada waktu

jatuh tempo opsi. Karena tipe opsi ini adalah opsi Eropa yang tidak dapat

dijalankan sebelum waktu jatuh tempo, maka kedua portofolio ini juga akan

bernilai sama pada waktu sekarang. Jadi diperoleh hubungan matematis c + Ke -rT

= p + S0. Hubungan matematis ini dikenal dengan nama put-call parity. Dari

persamaan di atas, jika harga opsi call tipe Eropa diketahui, maka harga opsi put

tipe Eropa dengan harga kontrak yang sama dan dari saham yang sama, dapat

ditentukan. Begitu juga sebaliknya.

Jika put call parity suatu opsi tidak terpenuhi, maka akan mucul

kesempatan arbitrase. Marilah kita lihat kondisi berikut. Misalkan harga suatu

saham S0= $31, harga kontrak K = $30, suku bunga bebas resiko r =10% per

tahun, harga opsi call tipe Eropa 3-bulan C = $3, dan harga opsi put Eropa 3 bulan

p = $2.25. Pada kasus ini, c + Ke-rT = $32.26, dan p + S0 = $33.25.Portfolio C

lebih mahal relatif terhadap portfolio A. Stategi arbitrase untuk kondisi ini adalah

membeli portfolio A dan melakukan short portfolio C. Jadi strateginya adalah

membeli opsi dan shorting opsi put dan saham, menghasilkan arus uang positif

sebesar $30.25 (beli opsi $3, mengeluarkan put $2.25 dan meminjam saham $31)

-3 + 2.25 + 31 = $30.25. Uang sebesar $30.25 kita taruh di rekening selama 3

bulan dengan bunga 10% akan menjadi $31.02. Selanjutnya kita lihat dua kondisi

pada waktu jatuh tempo

1. Jika harga saham melebihi $30, opsi call akan dijalankan (call dijalankan,

dapat saham seharga K = $30, selanjutnya saham pinjaman dikembalikan.

Opsi put yang dikeluarkan tidak dijalankan oleh pihak pembeli. Ia

mendapat keuntungan $31.02-$30.00 = $1.02 ).

2. Jika harga saham dibawah $30, opsi put akan dijalankan (Call tidak

dijalankan.Pembeli put akan menjalankan opsinya dan menjual saham ke

arbitraser seharga $30. Selanjutnya arbitraser mengembalikan saham

pinjaman. Dia mendapat keuntungan $31.02-$30.00 = $1.02 ).

Sebagai contoh, misalkan harga opsi call $3 dan harga opsi put $ 1. Pada

kasus ini diperoleh hubungan c + Ke-rT = 3 + 30e-0.1*0.25 = $32.26 dan p + S0 =

31

1+31 =$32.00. Dari hasil perhitungan di atas dapat dilihat bahwa Portfolio A lebih

mahal dibandingkan dengan portfolio C. Seorang arbitraser dapat melakukan

proses short terhadap sekuritas di portfolio A dan membeli sekuritas di portfolio

C untuk mengunci keuntungan. Strategi tersebut adalah melakukan short terhadap

opsi call dan membeli opsi put dan saham dengan nilai investasi awal $31 + $1 -

$3 = $29. Selanjutnya modal tersebut selama 3 bulan dengan suku bunga 10%

akan menjadi 29*exp(0.10*0.25) = $29.73. Selanjutnya kita lihat dua kejadian

yang mungkin pada waktu jatuh tempo

1. Jika harga saham di atas $30, maka opsi put-nya tidak dijalankan,

sahamnya dibeli oleh pemegang opsi call seharga $30. Sang Arbitraser

harus membayar hutang sebesar $29.73 dan mendapat keuntungan $0.27.

2. Jika harga saham di bawah $30, maka arbitraser menjalankan opsi put-

nya, menjual saham seharga $30, membayar hutang sebesar $29.73 dan

mendapat keuntungan $0.27.

Pada dua kondisi di atas, dapat dilihat keuntungan sang arbitraser adalah $30.00-

$29.73 = $0.27. Kondisi di atas dapat ditabelkan sebagai berikut:

Table 3.1Peluang Arbitrase ketika put-call parity tidak terpenuhi.Harga saham = $31; interest rate = 10%; harga opsi call = $3. Kedua opsi call dan put mempunyai harga kontrak $30 dan waktu jatuh tempo 3 bulan.

Harga opsi put 3 bulan = $2.25 Harga opsi put 3 bulan = $1

Aksi Sekarang : Aksi Sekarang: Beli opsi call $3 Pinjam $29 untuk 3 bulanShort opsi put menghasilkan $2.25 Short opsi call menghasilkan $3Short saham menghasilkan $31 Beli opsi put $1Investasikan $30.25 selama 3 bulan Beli saham $31

Tiga bulan ke depan

Aksi jika ST> 30: Aksi jika ST> 30:Terima $31.02 dari investasi Call dieksekusi: jual saham $30Eksekusi call untuk beli saham $30 Bayar pinjaman $29.73 Keuntungan bersih = $1.02 Keuntungan bersih = $0.27

Aksi jika ST< 30: Aksi jika ST< 30:

32

Terima $31.02 dari investasi Jalankan opsi put : jual saham $30Put tereksekusi: beli saham $30 Bayar hutang $29.73 Keuntungan bersih = $1.02 Keuntungan bersih = $0.27

3.3. Opsi Tipe Amerika

Put-call parity hanya berlaku untuk opsi tipe Eropa.Walaupun begitu,

masih dimungkinkan menurunkan sifat-sifat harga opsi tipe America.Dapat

ditunjukkan bahwaselisih harga opsi call dan put tipe Amerika adalah sebagai

berikut:

S0 –K ≤ C- P ≤ S0 - Ke-rT (4)

Contoh 4.Diketahui Opsi call tipe Amerika dengan harga kontrak K= $20 dan

waktu jatuh tempo 5 bulan serta harga opsi sebesar $1.50. Misalkan harga saham

S0 = $19 dan suku bunga bebas resiko adalah r = 10% per tahun. Dari persamaan

di atas, diperoleh -1 ≤ C- P ≤-0.18 or 0.18 ≤P-C≤1, menunjukkan bahwa P-C

terletak diantara $1dan $0.18. Dengan nilai harga opsi call $1.50, harga opsi put

amerika P harus terletak diantara $1.68 dan $2.50. Dengan kata lain, batas atas

dan bawah harga opsi put tipe amerika di atas adalah $2.50 dan $1.68.

3.3.1 Menjalankan Opsi Call Pada Awal Periode

Bagian ini menunjukkan bahwa opsi call tipe amerika tidak akan pernah

optimal dijalankan sebelum waktu jatuh tempo. Sebagai ilustrasi dimisalkan suatu

opsi call tipe amerika dengan waktu jatuh tempo 1 bulan, harga saham berjalan

$50 dan harga kontrak $40. Opsi call ini pada posisi in the money, dan pemegang

kontrak opsi akan tergoda untuk segera menjalankan opsi callnya. Jika pemegang

kontrak opsi menjalankan opsinya, ini bukanlah pilihan yang terbaik. Keuntungan

dengan tetap memegang kontrak opsi call, ada peluang harga saham akan semakin

meningkat sehingga keuntungan pemegang kontrak opsi call semakin besar.

Argumen ini menunjukkan bahwa tidak ada keuntungan menjalankan opsi

lebih awal jika investor berniat memegang saham selama sisa waktu ekspirasi.

Bagaimana jika investor berpikir harga saham terlalu tinggi ?Apakah menjalankan

opsi dan menjual saham pokok merupakan langkah yang tepat?Pada kasus ini

33

lebih baik investor menjual opsi tersebut dibandingkan dengan menjalankannya.

Opsi tersebut akan dibeli oleh investor lain yang menginginkan mempunyai

saham. Investor seperti ini pasti ada : Jika tidak harga saham sekarang tidak akan

mencapai $50.

Untuk argumen yang lebih formal, kita gunakan persamaan :

c ≥ S0 – Ke-rT

Selanjutnya, karena pemilik opsi call amerika mempunyai semua keuntungan

untuk mengexercise opsi kapan saja dibanding tipe eropa, diperoleh C ≥ S0 – Ke-

rT. Dengan nilai r > 0, dan nilai e-rT> 1, diperoleh C > S0 - K. Jika menjalankan

opsi amerika di awal itu adalah tindakan yang optimal, maka C akan sama dengan

S0 - K. Dapat kita simpulkan di sini bahwa menjalankan opsi tipe amerika di awal

waktu tidak akan pernah optimal.

Dapat diringkas di sini, ada dua alasan opsi tipe amerika seharusnya tidak

dijalankan di awal waktu.

1. Nilai waktu atas uang. Dari perspektif pemegang kontrak opsi, membayar

harga kontrak opsi di akhir lebih bernilai dibandingkan dengan membayar

di awal.

2. Jaminan perlindungan dari penurunan harga saham. Sekali opsi call

tersebut dijalankan, dan harga kontrak ditukar dengan harga saham,

jaminan perlindungan dari penurunan harga saham akan hilang.

3.3.2 Menjalankan Opsi Put Pada Awal Periode

Menjalankan opsi put tipe Amerika di periode awal sebelum jatuh tempo

dapat menjadi pilihan yang optimal. Untuk opsi put tipe Amerika, disarankan jika

kondisi in the money sudah terpenuhi, maka kontrak opsi put segera dijalankan.

Sebagai ilustrasi, pandanglah situasi ekstrim sebagai berikut. Misalkan suatu opsi

put tipe Amerika mempunyai harga kontrak $10 dan harga saham sekarang $0.

Dengan menjalankan kontrak opsi sesegera mungkin, investor tersebut akan

mendapatkan keuntungan $10. Jika investor menunggu, keuntungannya

kemungkinan menjadi berkurang karena harga saham naik, dan juga

34

keuntungannya tidak mungkin lebih dari $10, karena tidak ada harga saham

negatif.Lebih jauh, menerima $10 sekarang lebih disukai dibandingkan

menerimanya nanti.Ini menunjukkan bahwa opsi harus sesegera mungkin

dijalankan.

Seperti opsi call, opsi put juga dapat dipandang sebagai perlindungan bagi

investor dari penurunan harga saham dibawah level tertentu. Ada beberapa

kondisi dimana menjalankan kontrak opsi put tipe Amerika di awal periode lebih

disukai. Hal ini menuntun pada konsekuensi logis, harga opsi put tipe Amerika

selalu lebih mahal dibandingkan dengan opsi put tipe Eropa.

Latihan Soal

1. Dipunyai opsi put tipe eropa dari suatu saham yang berharga S0 = $50.

Opsi put tersebut mempunyai harga kontrak $40, waktu jatuh tempo 6

bulan. Sedangkan suku bunga bebas resiko dari bank central adalah 5%.

Batas bawah dan atas dari harga opsi tersebut adalah

a. $10 dan $40

b. $10 dan $39.01

c. $0 dan $40

d. $0 dan $39.01

2. Dipunyai opsi put tipe Eropa dengan waktu jatuh tempo 1 tahun yang

dijual seharga $5 dari suatu saham seharga S0 = $25 dengan harga kontrak

K = $27.5. Suku bunga bebas resiko satu tahun adalah 6%. Harga opsi call

mana yang lebih dekat ?

a. $0.00

b. $3.89

c. $4.10

d. $5.00

3. Dipunyai opsi call dan put tipe amerika dari suatu saham yang sama.

Kedua opsi tersebut mempunyai waktu jatuh tempo 1 tahun dan harga

kontrak $45. Harga saham pada waktu kontrak adalah $50 dan suku bunga

tahunan 10%. Selisih harga kedua opsi tersebut adalah

35

a. $4.95

b. $7.95

c. $9.35

d. $12.5

4. Sesuai dengan put call parity opsi Eropa, membeli sebuah opsi put pada

saham ABC akan ekuivalen dengan

a. Membeli opsi call, saham ABC dan ZCB (Zero Coupon Bond)

b. Membeli opsi call, menjual saham ABC dan membeli ZCB (Zero Coupon Bond)

c. Menjual opsi call dan saham ABC serta membeli ZCB (Zero Coupon Bond)

d. Membeli opsi call, menjual saham ABC dan ZCB (Zero Coupon Bond)

5. Yang mana yang mengakibatkan penurunan nilai opsi call tipe Eropa dari

saham XYZ?

I. XYZ mengeluarkan stock split 3 untuk 1

II. XYZ meningkatkan dividen tiga bulanan dari $0.15 to $.17 perlembar saham

III. Federal menurunkan suku bunga 0.25% dalam rangka menstimulasi ekonomi

IV. Investor percaya volatilitas saham XYZ menurun a. I dan IIb. I dan IIIc. II dan IVd. II,III, dan IV

36

Modul 4Strategi Perdagangan Opsi



1.Memahami konsep strategi perdagangan opsi

2.Memahami konsep perbedaan antar strategi


1.Mampu menghitung keuntungan dan kerugian strategi opsi

2.Mampu membandingkan kelebihan dan kekurangan antar strategi

3.Mampu menganalisis strategi opsi yang cocok dengan suatu keadaan

Para pakar perdagangan opsi telah menciptakan beberapa strategi portofolio

bermain opsi dan saham yang dapat kita adopsi. Kebanyakan strategi yang mereka

ciptakan dimaksudkan untuk menghindari kerugian yang besar, dengan

konsekuensi keuntungan yang mereka peroleh relatif kecil. Bagi pemula dalam

perdagangan opsi, disarankan untuk mengikuti beberapa strategi yang akan

dibahas dengan harapan menghindari kerugian yang relatif besar. Jika sudah

mahir dalam teori dan perdagangan opsi, anda dapat menciptakan satu atau

beberapa strategi yang mungkin lebih baik dibandingkan dengan strategi-strategi

yang sudah ada. Beberapa dari strategi akan kita jelaskan dan ilustrasikan sebagai

berikut :

4.1. Protective Put

Strategi protective put adalah strategi investasi memegang posisi long

(membeli) suatu aset sekuritas, dan melindunginya dengan membeli opsi put

sekuritas tersebut. Tujuan dari strategi ini adalah, melindungi aset (saham) dari

penurunan harga yang sangat tajam. Strategi ini tetap mengandalkan perolehan

keuntungan dari kenaikan harga aset (saham), sedangkan opsi put digunakan

hanya untuk berjaga-jaga ketika harga aset (saham) turun. Modal yang

dibutuhkan untuk menjalankan strategi ini adalah S0 + P.

37

Ilustrasi keuntungan dari strategi ini dapat digambarkan sebagai berikut. Selama

harga saham dibawah nilai K+P, strategi ini belum mampu memberikan

keuntungan. Strategi protektif put ini akan memberi keuntungan jika harga saham

di atas K+P. Strategi ini hanya layak dibandingkan dengan strategi membeli

saham underlying saja, bukan membandingkannya dengan strategi membeli opsi

put.

Secara matematis, keuntungan investasi dengan strategi protektif put sebagai

berikut :

a. Untuk membeli saham dan put dia membutuhkan dana sebesar S0 + P

b. Sahamnya pada waktu jatuh tempo akan menjadi ST. Dari opsi put

yang dibelinya dia mendapatkan keuntungan sebesar max(0,K-ST).

c. Keuntungannya totalnya adalah

Profit = -S0–P +ST+ max(0,K-ST)

Contoh4.1.Dipunyai strategi protektive (investor mempunyai saham dan

melindunginya dengan membeli put seharga P =$3) dengan harga kontrak K =

$20 dan S0 = $20.

a. Jika pada waktu jatuh tempo, harga saham di bawah harga kontrak

K=$20, maka investor dengan opsi put-nya dapat menjual saham

dengan harga K =20, dan dia hanya rugi sebesar harga opsi put (P).

b. Jika harga saham berada di antara harga K=$20 dan K+P=$23,

investor mengalami kerugian bervariasi dari (0,P). Jika harga saham di

atas harga K + P =$23, investor mulai mendapat keuntungan.

Tabel 4.1. Perbandingan Protektif Put dan Saham

38

P 3 S0 20K 20ST Protective Put Saham Saham

10 -3 -10 -1015 -3 -5 -517 -3 -3 -320 -3 0 021 -2 1 123 0 3 327 4 7 735 12 15

Dari ilustrasi tabel di atas dapat kita lihat bahwa strategi protektive put

mampu memperkecil resiko investasi, kerugian investasi karena harga saham

turun dapat dikontrol hanya sebesar harga opsi put. Berbeda dengan investasi pada

saham tunggal, kerugiannya cukup besar mengikuti penurunan harga saham.

Tentu saja sebagai akibat pengontrolan resiko tersebut, ada harga yang harus

dibayar, yaitu tingkat keuntungan ketika harga saham naik masih dikoreksi

dengan harga opsi put.

4.2. Covered call

Strategi lainnya yang umum digunakan adalah untuk melindungi dari

penurunan harga adalah covered call, yaitu suatu strategi membeli saham dan

mengeluarkan atau menjual opsi call atas saham pokok. Strategi ini dilakukan

oleh investorketika melihat ada kekuatiran turunnya harga saham, sehingga dia

melindunginya dengan menjual opsi call. Secara matematis, keuntungan investasi

dengan strategi covered call adalah sebagai berikut :

d. Untuk membeli saham dia membutuhkan dana sebesar S0, dan dari

menjual opsi call dia dapat premi C.

e. Sahamnya pada waktu jatuh tempo menjadi ST. Dari opsi yang

dijualnya itu dia harus menyediakan keuntungan untuk pembelinya

sebesar -max(0,ST-K).

f. Keuntungan totalnya adalah

Profit = ST-S0 + C - max(0,ST-K)

39

Contoh4.2 Berikut ini diberikan contoh strategi covered call : C = 3, K = 50, S0 =

50. Tabel di bawah memberikan ilustrasi keuntungan strategi ini dibandingkan

dengan membeli saham saja.

Tabel 4.2. Perbandingan Covered Call dan SahamC 3K 50

ST Saham Covered40 -10 -7

45 -5 -246 -4 -147 -3 050 0 355 5 360 10 370 20 3

Jika harga saham pada waktu jatuh tempo ST = 45, maka opsi beli tidak

dijalankan, dan investor covered call masih mengalami kerugian 45-50 + 3 = -2.

Kerugian ini masih lebih kecil dibandingkan jika investor tidak menjual opsi call,

karena dia akan mengalami kerugian sebesar 5.Jika harga saham pada waktu jatuh

tempo ST = 55, maka opsi beli dijalankan, dan investor covered call menjual

saham seharga K = 50. Investor covered call tidak mendapat keuntungan dari

kenaikan harga saham, keuntungannya hanya dari menjual opsi call sebesar 3 .

Dari ilustrasi pada tabel di atas, dapat dilihat strategi covered call mampu

mengurangi resiko investasi, dan sebagai konsekuensinya keuntungan strategi ini

juga lebih terbatas dibandingkan dengan strategi membeli saham saja.

Perbandingan : Secara umum Strategi Protektif put lebih bagus/efisien

dibandingkan dengan covered call, karena keuntungan Protektif put lebih besar

dibandingkan dengan covered call, sedangkan kerugiannya juga lebih kecil.

4.3. Bull Call Spread, Bear Call Spread dan Butterfly Spread

40

Bull Call Spread. Dalamstrategi ini, investor mengkombinasikan pembelian opsi

call pada harga kontrak yang rendah, KLow, dan menjual opsi call yang lain

(saham sama) pada harga kontrak yang lebih tinggi, KHigh (ingat ! Bukan membeli

opsi pada harga kontrak yang rendah dan menjualnya pada harga kontrak yang

tinggi). Investor yang menerapkan strategi iniberharap harga saham akan naik,

akan tetapi dia tidak percaya kenaikan harga saham akan berada di atas harga KH.

Strategi ini didisain untuk mengambil profit dari kenaikan harga saham, sesuai

dengan namanya yaitu ”bull” strategy. Investor Amerika mengilustrasikan kondisi

bull adalah kondisi harga saham sedang bergairah, harga saham sedang naik,

sesuai dengan tanduk banteng yang melengkung ke atas. Harapan saham berada

Klow< ST< Khigh

Contoh 4.3.Seoranginvestor membeli opsi call pada harga CLow = 3$ dengan harga

kontrak KL = 40. Dia juga menjual opsi call yang lain dengan harga opsi call CHigh

=1 dengan harga kontrak KH = 50 (ingat, harga opsi call dengan harga kontrak

yang lebih tinggi, akan lebih murah). Hitunglah keuntungan menerapkan strategi

bull call spread ketika harga saham pada saat jatuh tempo ST = 45.

Jawab. Secara matematis, keuntungan investasi dengan strategi bull call spread

adalah sebagai berikut :

g. Untuk membeli opsi call pada harga kontrak yang rendah, investor

membutuhkan dana sebesar CL, dan dari opsi call tersebut, ada

peluang keuntungan sebesar max(0,ST-KL).

h. Investor menjual opsi call pada harga kontrak KH, dia mendapatkan

uang sebesar CH. Dari opsi yang dijualnya itu dia harus menyediakan

keuntungan untuk pembelinya sebesar -max(0,ST-KH).

i. Keuntungannya totalnya adalah

Profit = max(0,ST-KL)-max(0,ST-KH)-CL+CH

41

Ketika harga saham pada saat jatuh tempo ST = 45, maka keuntungan yang

diperolehnya adalah = 5 – 0 – 3 +1 = $3.

Ketika harga saham pada saat jatuh tempo ST = 40, maka profit yang diperoleh

adalah -2. Ketika harga saham pada saat jatuh tempo ST = 55, maka keuntungan

yang diperoleh investor adalah

Profit = max(0,ST-KL)-max(0,ST-KH)-CL+CH

= 15 –5 – 3 +1 = $8

Bagaimana jika harga saham pada saat jatuh tempo 60? Keuntungan yang

diperoleh investor adalah = 20-10-3+1 = $8.

Jadi dapat kita simpulkan di sini, ketika harga saham makin naik, keuntungan

yang diperoleh dari strategi ini juga makin besar, akan tetapi keuntungan

maksimumnya $8.

Tabel 4.3. Perbandingan Covered dan Bull SpreadK-H 50

ST Bull C-Low30 -2 -340 -2 -342 0 -145 3 250 8 752 8 960 8 17

Apabila kita lihat analisa keuntungan menggunakan strategi Bull di atas, maka

resiko investasi dapat diminimalisir, sementara itu investor masih bisa berharap

untuk mendapatkan keuntungan yang relatif baik. Akan tetapi jika dibandingkan

dengan strategi hanya membeli opsi call pada harga kontrak KLow, terlihat lebih

strategi Bull Spread kurang begitu menarik.

Bear Call Spread. Selain strategi bull call spread, para peneliti mengembangkan

juga strategi bear call spread. Pada strategi ini, investor membeli opsi call dengan

harga kontrak yang relatif tinggi KHigh dan menjual opsi call yang lainnya pada

42

harga kontrak yang relatif rendah KLow . Strategi ini dirancang untuk mengambil

keuntungan dari penurunan harga saham, sesuai dengan namanya yaitu ”bear”

strategy. Investor Amerika mengilustrasikan kondisi bear adalah kondisi harga

saham sedang bergerak turun, sesuai dengan beruang yang menghujamkan

cakarnya menukik ke bawah.

Contoh 4.4. Seorang investor menerapkan strategi bear call spread dengan

membeli opsi CH = 1$ pada harga kontrak KH = 50 dan menjual opsi CL = 3 pada

harga kontrak KL = 40. Hitung keuntungan investor ketika harga saham pada saat

jatuh tempo = 40.

Jawab. Keuntungan strategi ini dapat diberikan sebagai berikut:

Profit = max(0,ST-KH)-max(0,ST-KL)+CL-CH

Ketika harga saham pada saat jatuh tempo = 40, maka profit investor adalah = 0 –

0 + 3 -1 = $2. Demikian juga ketika harga saham pada saat jatuh tempo = 35,

keuntungan investor juga = 0-0+3-1 = $2.

Dapat diambil kesimpulan di sini, keuntungan investasi menggunakan strategi ini

adalah 2. Sekarang kita lihat ketika harga saham pada saat jatuh tempo = 55,

keuntungan investasi adalah

Profit = max(0,ST-KH)-max(0,ST-KL)+CL-CH

= 5 –15 + 3-1 = -$8

Jadi dapat kita simpulkan di sini, ketika harga saham makin tinggi, kerugian dari

strategi ini juga makin besar.

Tabel 4.3. Perbandingan Covered dan Bull SpreadST Bear C-Low

30 2 340 2 342 0 145 -3 -250 -8 -752 -8 -960 -8 -17

43

Butterfly Spread.Berikutnya akan kita perkenalkan dengan strategi perdagangan

opsi yang melibatkan tiga macam transaksi. Strategi ini dinamakan dengan

butterfly spreads. Strategi ini melibatkan pembelian opsi pada harga kontrak

rendah KL, dan juga pembelian opsi pada harga kontrak tinggi KH, serta menjual 2

opsi call pada harga kontrak medium KM. Investor dari strategi butterfly spread ini

berharap harga saham akan tetap dekat pada angka KM.

Keuntungan total dari strategi ini adalah

Profit = max(0,ST-KL)-2max(0,ST-KM)+max(0,ST-KH) - CL+2CM - CH

Contoh 4.5.Seorang investor menerapkan stragegi butterfly sebagai berikut:

j. Membeli opsi call CL = 7$ dengan harga kontrak KL = 55

k. Membeli opsi call CH = 2$ dengan harga kontrak KH = 65

l. Menjual 2 opsi call CM = 4$ dengan harga kontrak KM = 60

Hitunglah keuntungan investor ketika harga saham pada waktu jatuhtempo sama

dengan 60.

Profit = max(0,ST-KL)-2max(0,ST-KM)+max(0,ST-KH) - CL+2CM - CH

= 5-2.0+0-7+2.4-2 = 4.

Bagaimana jika harga saham pada saat jatuh tempo kurang dari atau sama dengan

55 (KL)? Keuntungan dari investasi adalah -1. Sedangkan jika harga saham 65,

keuntungan dari investasi = 10 –2*5+0-7+2*4-2 = -$1

Berikut tabel perhitungannya

Tabel 4.4. Keuntungan Strategi Butterfly

44

CL 7 KL 55CM 4 KM 60CH 2 KH 65

ST CL 2CM CH Butterfly45 0 0 0 -155 0 0 0 -1

57.5 2.5 0 0 1.560 5 0 0 4

62.5 7.5 5 0 1.565 10 10 0 -170 15 20 5 -1

4.4. Straddle, Strangle dan Collar.

Straddle. Strategi berikut yang akan kita bahas adalah strategi Straddle. Strategi

ini didesain dengan membeli opsi call dan opsi put pada harga kontrak dan waktu

ekspirasi yang sama.

Keuntungan total adalah

Profit = max(0,ST-K)+max(0,K-ST)-C-P

Contoh 4.6.Seorang investor opsi menerapkan strategi Straddle dengan membeli

opsi call pada harga C = 3$ dengan harga kontrak K = 45, dia juga membeli opsi

put seharga P =2 dengan harga kontrak yang sama. Hitunglah keuntungan opsi

menggunakan strategi straddle ketika harga opsi pada waktu jatuh tempo 35.

Jawab. Pada waktu jatuh tempo harga saham adalah 35, maka diperoleh

keuntungan

Profit = max(0,ST-K)+max(0,K-ST)-C-P

= 0+10 – 3-2 = $5

Ketika harga saham pada waktu jatuh tempo lebih kecil atau sama dengan 40,

keuntungan strategi ini sama dengan 0. Ketika harga saham pada saat jatuh tempo

sama dengan 55, keuntungan investor menjadi 5.

45

Simulasi keuntungan strategi ini secara lengkap dapat anda lihat pada tabel di

bawah ini

Tabel 4.5. Perbandingan Call, Put dan Straddle

ST Call Put Straddle35 0 10 5

37.5 0 7.5 2.540 0 5 0

42.5 0 2.5 -2.545 0 0 -5

47.5 2.5 0 -2.550 5 0 0

52.5 7.5 0 2.555 10 0 5

Dapat kita lihat dari tabel keuntungan di atas, strategi ini akan memberikan

keuntungan jika harga saham pada waktu jatuh tempo relatif kecil dibawah harga

kontrak atau relatif tinggi di atas harga kontrak. Jadi strategi ini didesain jika

investor merasa yakin harga saham akan turun atau naik drastis jauh dari harga

kontrak.

Strangle. Strategi berikutnya yang akan kita perkenalkan adalah strategi strangle.

Strategi ini agak mirip dengan strategi straddle, hanya saja strategi ini didesain

dengan membeli opsi call dan juga membeli opsi put pada harga kontrak yang

tidak sama.

Keuntungan totalnya adalah

Profit = max(0,ST-KC)+max(0,KP-ST)-C-P

Contoh 4.7. Seorang investor opsi menerapkan strategi strangle dengan membeli

opsi call seharga C = 1.5$ dengan harga kontrak KC = 42 dan dia juga membeli

opsi put seharga P =2 dengan harga kontrak KP = 45. Hitunglah keuntungan opsi

dengan strategi strangle ketika harga saham pada saat jatuh tempo 40.

Jawab: Keuntungan investor pada saat jatuh tempo adalah


= 0+5 –1.5-2 = $1.5

46

Keuntungan investor jika harga saham pada saat jatuh tempo = 35

Keuntungan investor pada saat jatuh tempo adalah


= 0+10 –1.5-2 = $6.5




= 0+8 –1.5-2 = $4.5




= 1+2 –1.5-2 = -$0.5

Secara lengkap, keuntungan strategi ini dapat dibuat dalam tabel sebagai berikut :

Tabel 4.6. Perbandingan Call, Put dan StrangleC 1.5 KC 42P 2 KP 45

ST Call Put Strangle35 0 10 6.5

37.5 0 7.5 440 0 5 1.5

42.5 0.5 2.5 -0.545 3 0 -0.5

47.5 5.5 0 250 8 0 4.5


keuntungan jika harga saham pada waktu jatuh tempo relatif kecil dibawah harga

kontrak atau relatif tinggi di atas harga kontrak. Jadi strategi ini didesain jika

investor merasa yakin harga saham akan turun atau naik drastis jauh dari harga

kontrak.

Collar. Strategi berikutnya yang akan kita perkenalkan adalah strategi collar.

Strategi ini dijalankan dengan membeli saham underlying, menjual opsi call pada

47

harga kontrak yang relatif tinggi, dan membeli opsi put pada harga kontrak yang

lebih rendah.

Keuntungan totalnya adalah

Profit = ST-S0- max(0,ST-KCall)+max(0,KPut-ST)

Contoh 4.7. Seorang investor opsi menerapkan strategi collar dengan

1. membeli saham seharga $40.5

2. menjual opsi call pada harga kontrak Kcall= $50 seharga $9,8

3. membeli opsi put pada harga kontrak Kput = $40 seharga $9,5

Hitunglah keuntungan opsi dengan strategi collar ketika harga saham pada saat

jatuh tempo $20.

Jawab: Modal awal yang diperlukan adalah 40,2. Pada saat jatuh tempo

modalnya menjadi 20 – 0 + (40-20) = 40. Keuntungan investor pada saat jatuh

tempo adalah

Profit = ST-S0- max(0,ST-KCall)+max(0,KPut-ST) + C-P

= 20-40.5 -0+40-20 + 0.3 = -0.2

Keuntungan jika harga saham pada waktu jatuh tempo adalah 50.

Jawab: Modal awal yang diperlukan adalah 40,2. Pada saat jatuh tempo

modalnya menjadi 50 – 0 + 0 = 50. Keuntungan investor pada saat jatuh tempo

adalah

Profit = ST-S0- max(0,ST-KCall)+max(0,KPut-ST) + C-P

= 50-40.5 -0+0 + 0.3 = 9.8

Secara lengkap, keuntungan strategi ini dapat dibuat dalam tabel sebagai berikut :

Tabel 4.7. Perbandingan Call,Put,Collar

48

C 9.8 KC 50P 9.5 KP 40

ST Call Put Collar35 0 5 -0.2

37.5 0 2.5 -0.240 0 0 -0.2

42.5 0 0 2.345 0 0 4.8

47.5 0 0 7.350 0 0 9.8

52.5 2.5 0 9.855 5 0 9.8


keuntungan jika harga saham pada waktu jatuh tempo naik di atas harga kontrak

opsi put.

Latihan Soal

1. Seorang investor sangat percaya bahwa suatu saham akan berubah secara

signifikan selama beberapa bulan ke depan. Akan tetapi arah perubahan

harganya tidak diketahui. Pasangan strategi mana yang paling mungkin

menghasilkan keuntungan jika pergerakan harga saham seperti yang

diharapkan?

I. Short Butterfly spread

II. Bearish calendar spread

III. Long at the money straddle

IV. Short Strangle

a. I dan III

b. I dan IV

c. II dan III

d. II dan IV

Jawab : Strategi short butterfly spread akan menghasilkan keuntungan

yang tertinggi dan strategi long straddle juga akan menghasilkan profit

49

yang signifikan jika terdapat volatilitas yang tinggi pada harga saham.

Sedangkan short strangle akan mengundang kerugian yang besar jika

pergerakan harga saham bergerak terlalu tajam.

2. Strategi mana yang akan menciptakan bear spread?

a. Membeli opsi call dengan strike price 45 dan menjual opsi call dengan harga kontrak 50

b. Membeli opsi call dengan strike price 50 dan membeli opsi put dengan harga kontrak 55

c. Membeli opsi put dengan strike price 45 dan menjual opsi put dengan harga kontrak 50

d. Membeli opsi call dengan strike price 50 dan menjual opsi call dengan harga kontrak 45

Strategi bear spread melibatkan pembelian opsi call dengan harga kontrak tinggi dan menjual opsi call dengan harga kontrak yang rendah.

3. Seorang investor yakin bahwa suatu saham akan naik atau turun sangat

besar dalam beberapa bulan ke depan. Akan tetapi dia cenderung percaya

harga saham akan turun. Strategi mana yang terbaik untuk investor ini?

a. Protektif put

b. At the money strip

c. At the money strap

d. Kombinasi top vertikal

4. Seorang investor membuat strategi long straddle dengan membeli opsi call

April $30 seharga $4 dan put April $30 seharga $3. Jika harga saham pada

waktu jatuh tempo $27, berapakah keuntungan dari strategi ini ?

a. -$4

b. -$2

c. $2

d. $3

Jumlah dana yang diperlukan untuk menjalankan strategi ini adalah $7.

Jika pada waktu jatuh tempo harga saham $27, maka opsi call tidak

50

dijalankan, otomatis keuntungannya nol. Sedangkan menjalankan opsi put

akan memberikan keuntungan $3. Jadi nilai dari strategi ini adalah -$4.

5. Dipunyai strategi opsi dimana seorang investor membeli satu opsi beli

dengan harga kontrak $55 seharga $7, menjual 2 opsi call dengan harga

kontrak $60 seharga $4 dan membeli satu opsi beli dengan harga kontrak

$65 seharga $2. Jika harga saham turun menjadi $25, berapakah

keuntungan atau kerugian strategi ini?

a. -$3

b. -$1

c. $1

d. $2

Jawab. Strategi di atas adalah strategi butterfly spread dimana investor

membeli suatu opsi call dengan harga kontrak rendah dan tinggi, dan

menjual 2 opsi call dengan harga kontrak diantaranya. Jika harga saham

pada waktu jatuh tempo $25, maka semua opsi call tidak dijalankan.

Keuntungannya adalah sama dengan -$7-$2+2×$4 = -$1.

a. Seorang manager portofolio ingin melindungi portofolio obligasinya dari

perubahan suku bunga. Dia ingin membeli opsi put dengan harga kontrak di

bawah harga sekarang portofolio untuk melindungi dari kenaikan suku bunga.

Dia juga ingin menjual opsi call dengan harga kontrak di atas harga portofolio

sekarang untuk mengurangi biaya pembelian opsi put. Strategi apa yang

direncanakan oleh manager tersebut?

a. Bear Spread

b. Strangle

c. Collar

d. Straddle

b. Statement mana dari strategi perdagangan opsi yang tidak benar?

51

i. Long strangle meliputi membeli opsi call dan opsi put dengan

harga kontrak yang sama

ii. Short bull spread adalah strategi menjual opsi call pada harga

kontrak yang rendah dan menjual opsi call lain pada harga

kontrak yang lebih tinggi

iii. Vertical spread adalah strategi yang dibentuk dengan opsi yang

mempunyai waktu jatuh tempo yang berbeda-beda

iv. Long butterfly spread dibentuk dengan membeli dua opsi pada

harga kontrak yang berbeda dan menjual dua opsi lain pada

harga kontrak yang sama.

a. i saja

b. i dan iii

c. i dan ii

d. iii dan iv

c. Strategi bearish dengan membeli opsi put pada harga kontrak $50 seharga $7,

menjual dua opsi put pada harga kontrak $42 masing-masing seharga $4, dan

membeli satu opsi put pada harga kontrak $37 seharga $2. Semua opsi put di

atas mempunyai waktu jatuh tempo yang sama. Hitunglah keuntungan akhir

perlembar saham dari strategi di atas jika harga saham $33

a. $1 per lembar

b. $2 per lembar

c. $3 per lembar

d. $4 per lembar

Modal yang dibutuhkan adalah -7+2.4-2 = -1. Sedangkan keuntungannya adalah

17-2.9+4 = 3. Jadi total keuntungan perlembar saham adalah -1+3 = $2 perlembar.

52

Modul 5Volatilitas Harga Saham



1.Memahami konsep volatilitas harga saham

2.Memahami konsep volatilitas tersirat suatu opsi


1.Mampu menghitung nilai volatilitas suatu saham

2.Mampu menghitung nilai volatilitas tersirat

Volatilitas Harga Saham

Volatilitas atau volatilitireturn saham yang dinyatakan dengan

σmerupakan standar deviasi dari logreturn saham pada periode tahunan.

Volatilitas ini sering digunakan untuk mengukur tingkat resiko dari suatu saham.

Nilai volatilitas berada pada interval yang positif yaitu antara 0 sampai dengan tak

terhingga (0≤σ≤∞ ). Walaupun volatilitas bisa bernilai besar sekali, pada

kenyataannya, nilai volatilitas jarang lebih besar dari 1. Nilai volatilitas yang

tinggi menunjukkan bahwa harga saham berubah (naik dan turun) dengan range

yang sangat lebar. Sedangkan volatilitas dikatakan rendah jika harga saham

jarang berubah atau cenderung konstan. Ada dua cara dalam mengestimasi

volatilitas, yaitu dengan menggunakan data historis atau historical volatility dan

menggunakan informasi volatilitas pasar hari ini atau implied volatility.

5.1 Estimasi VolatilitasHistoris Harga Saham

Salah satu metode untuk mengestimasi volatilitas saham berkaitan dengan

opsi adalah volatilitas historis, yaitu volatilitas yang dihitung berdasarkan pada

harga-harga saham masa lalu, dengan anggapan bahwa perilaku harga saham di

masa lalu dapat mencerminkan perilaku saham di masa mendatang.

53

Teknis untuk menghitung volatilitas historis adalah dengan mengambil

n+1 harga saham, dihitung nlog returnnya (tingkat keuntungan yang diperoleh

dari akibat melakukan investasi) sebagai berikut:

Rt=ln( S t

S t−1)

dimanaSt dan St-1 menotasikan harga pasar saham pada waktu ke t dan t-1.

Selanjutnya dihitung rata-rata return saham:

R̄t=1n∑t=1

n

Rt

dan variansi atau kuadrat standar deviasi :

s2= 1n−1

∑t=1

n

(Rt−R̄ t )2

Volatilitas tahunan dihitung dengan rumus sebagai berikut:

(5.1)

Dimana k = banyaknya periode perdagangan dalam satu tahun. Jika datanya

harian maka periode perdagangannya juga harian, k =252 hari. Jika datanya

mingguan, maka periode perdagangannya juga mingguan, k = 52 minggu. Begitu

juga dengan data bulanan. Biasanya cukup diambil antara 90 sampai dengan 180

data hari perdagangan untuk teknik estimasi volatilitas.

Lambang umum untuk volatilitas saham adalah σ, yang dalam ilmu

statistika digunakan untuk melambangkan parameter standard deviasi suatu

populasi. Padahal nilai volatilitas dihitung dari sampel, jadi dari sisi penggunaan

lambang σ untuk nilai volatilitas seperti menyalahi aturan statistika, akan tetapi

perlu diingat bahwa hal ini sudah menjadi kebiasaan bagi para praktisi maupun

peneliti opsi. Sebaiknya kita yang perlu menyesuaikan diri dengan perubahan ini.

Contoh 5.1.Berikut ini diberikan ilustrasi penghitungan volatilitas menggunakan

data historis dari suatu saham.

Tabel 5.1.Data harga saham dan returnTanggal Saham return ln

54

return10/11/200

6 73.23 10/12/200

6 75.261.02772

10.02734

410/13/200

6 75.020.99681

1 -0.0031910/16/200

6 75.41.00506

50.00505

310/17/200

6 74.290.98527

9 -0.0148310/18/200

6 74.531.00323

10.00322

510/19/200

6 78.991.05984

2 0.0581210/20/200

6 79.951.01215

3 0.0120810/23/200

6 81.461.01888

70.01871

110/24/200

6 81.050.99496

7 -0.0050510/25/200

6 81.681.00777

30.00774

310/26/200

6 82.191.00624

40.00622

410/27/200

6 80.410.97834

3 -0.021910/30/200

6 80.421.00012

40.00012

410/31/200

6 81.081.00820

70.00817

311/1/2006 79.16 0.97632 -0.02397

: : : :VoL 0,3229

5.2 Implied Volatiliti.

Sejauh ini, perhatian difokuskan pada penghitungan harga opsi teoritis

berdasarkan estimasi parameter-parameternya seperti harga saham dasar, nilai

volatilitas, suku bunga bebas resiko dan waktu ekspirasi. Sekarang coba anda lihat

apa yang terjadi dalam praktek di pasar bursa, harga opsi pasar kebanyakan akan

berbeda dari harga opsi teoritis. Bagaimana ini bisa terjadi?Salah satu alasannya

adalah beberapa faktor tidak mengikuti model dengan baik Untuk mengatasi hal

ini, kita membutuhkan model yang lebih baik dalam hal estimasi nilai volatilitas.

Estimasi volatilitas baru yang akan diperkenalkan di sini adalah implied volatiliti.

55

Implied volatiliti adalah volatilitas pasar yang dipandang lebih realistik

dibandingkan dengan volatilitas historis.

Di pasar sudah tersedia data harga opsi, harga saham, harga kontrak, dan

suku bunga bebas resiko serta waktu jatuh tempo.Tidak ada informasi mengenai

nilai volatilitas, walaupun pada kenyataannya ada. Dengan menggunakan formula

Black Scholes, nilai volatilitas opsi tersebut akan diestimasi. Untuk mendapatkan

nilai volatilitas ini, dapat digunakan metode coba-coba maupun metode-metode

ilmiah seperti interpolasi.

Contoh5.2.Opsi saham Midwest secara teoritis dihitung menggunakan formula

BS adalah 14.98 pence.Dari data, dihitung volatilitas historis 30%.Harga saham

Midwest sekarang adalah 148 dan opsi tersebut mempunyai harga kontrak

150.Waktu ekspirasi 180 hari (1 tahun ada 365 hari kalender) dan suku bunga

bebas resiko adalah 10%. Jika harga opsi di pasar 17 pence, berapa implied

volatiliti dari opsi tersebut?

Jawab. Dengan metode trial and error, nilai volatilitas 35,05% bersesuaian

dengan harga opsi call teoritis BS sebesar 17 pence. Jadi implied volatiliti pasar

untuk saham Midwest pada tanggal tersebut di atas adalah 35.05%. (Anda bisa

mencoba memasukkan nilai volatilitas di sekitar 35, setelah mendapat interval

yang paling mendekati, anda bisa memfokuskan pada nilai volatilitas antara 3 dan

3,1, dan akhirnya mendapatkan nilai estimasi 35,05% )

Banyak praktisi menyakini menggunakan implied volatiliti lebih informatif

dibandingkan dengan volatilitas historis.

5.3. Estimasi Implied Volatiliti Dengan Interpolasi

Salah satu metode untuk mengestimasi implied volatilitas adalah metode

interpolasi linier.Metode ini cukup sederhana karena menggunakan kesamaan

segitiga sebangun.

56

Gambar 5.1 Interpolasi linear untuk volatilitas

Misalkan di pasaran dipunyai informasi pasangan harga opsi dan volatilitasnya

sebagai berikut: (σn , C(σn); σn+1 , C(σn+1)). Dipunyai juga informasi suatu harga

opsi sebesar C(σ*). Ingin dicari volatilitas yang bersesuaian dengan harga opsi

tersebut. Dengan menggunakan interpolasi linear dibentuk segitiga besar ABCDE

dan berdasarkan sifat 2 segitiga ABC dan ADE diperoleh :

Selanjutnya diperoleh kesamaan dalam harga opsi dan nilai volatilitas sebagai

berikut :

σ n+1−σ∗¿

σn+1−σ n

=C (σn+1)−C ¿¿¿¿¿

Nilai volatilitas dapat dihitung dari kesamaan di atas.

σ∗¿σ n+1−C (σn+1 )−C ¿¿¿¿

Contoh5.3. Diketahui harga opsi perusahaan komputer Apple pada tanggal 1

januari 2007 adalah $4, dengan harga saham $ 40, harga kontrak $45, tingkat suku

ABAD

= BCDE

57

bunga 4%, dan batas waktu opsi 6 bulan. Dengan menggunakan rumus Black

Scholes diperoleh harga teoritis :

Tabel 5.2. Perbandingan Volatilitas dan Harga Opsi

Volatilitas Harga opsi

0,2 0,8599

0,4 2,9528

0,5 4,02473

0,8 7,4469

Harga opsi di pasar $4. Dari perhitungan rumus BS pada tabel di atas diperoleh

2,9528 ≤ 4 ≤ 4,02473, yang berarti volatilitasnya terletak diantara 0,4 dan 0,5.

Dengan menggunakan metode interpolasi diperoleh:

0,5− σ∗¿0,5−0,4

= 4 , 02473−44 ,02473−2 ,9528

¿

0,5− σ∗¿0,5−0,4

=0 ,02307 ¿

σ∗¿0,5−0 , 002307=0 , 4936

Jadi dengan menggunakan metode interpolasi linier diperoleh nilai implied

volatilitas dari harga opsi perusahaan komputer Apple pada tanggal 1 januari 2007

sebesar $4 adalah 49,36%.

Estimasi Interpolasi Kuadratik. Dengan menggunakan interpolasi kuadratik

dan mengambil pasangan data volatilitas dan harga opsi (0,2;0,8599),(0,4;2.9528),

(0,8;7,446) diperoleh persamaan kuadratik sebagai berikut

1.2846 σ 2+9.69367 σ−1.130

Selanjutnya dengan menyamadengankan 4, kita peroleh σ=0.4939. Jadi dengan

metode interpolasi kuadratik diperoleh implied volatiliti sebesar 49,39%. Hasil ini

sedikit berbeda dengan metode interpolasi linear.

Latihan Soal.

1. Apakah implied volatilitas itu? Bagaimana volatilitas ini dihitung?

58

2. Carilah nilai implied volatilitas saham Midwest pada soal no 7.2 dengan

menggunakan metode Interpolasi linier

3. Hitunglah volatilitas harga saham Indosat, Bank Mandiri, dan Astra saat

ini. Anda bisa mendownload harga saham ketiganya melalui website

yahoo_finance.com atau sumber lainnya. Anda bisa menggunakan data

harga saham 3 bulan, atau 6 bulan atau 1 tahun dari sekarang.

4. Bisakah nilai volatilitas suatu saham yang didefinisikan dengan formula

(7.1) di atas bernilai negatif ? Atau bernilai lebih besar dari angka 1?

5. Volatilitas dari suatu saham adalah 30% pertahun. Berapakah standard

deviasi dari prosentase perubahan harga dalam satu hari?

59

Modul 6Lemma Ito dan Simulasi Monte Carlo



1.Memahami konsep model matematika harga saham

2.Memahami konsep penggunaan simulasi dalam penentuan harga opsi


1.Mampu menurunkan formula harga saham dari model Lemma Ito

2.Mampu menghitung harga saham dari simulasi model gerak brown

3.Mampu melakukan simulasi monte carlo untuk opsi eropa

4.Mampu melakukan simulasi monte carlo untuk opsi amerika

6.1 Proses Ito Untuk Harga Saham

Proses Wiener tergeneralisasi untuk suatu variabel random x dapat

didefinisikan dalam dz sebagai

dx = adt + bdz

dengan a dan b adalah konstan. Model ini tidak cocok digunakan dalam ilmu

keuangan untuk menggambarkan pergerakan harga saham. Kenapa proses Wiener

tergeneralisir tidak cocok untuk menggambarkan pergerakan harga saham ?

Ternyata model ini gagal dalam menangkap aspek kunci dari harga saham, yaitu

ketidakpastian dari besarnya harga saham di masa mendatang proporsional

terhadap harga saham.

Proses ito merupakan proses Wiener tergeneralisir dimana parameter a dan b

merupakan fungsi dari nilai variabel underlying x dan waktu t. Proses Ito dapat

ditulis secara aljabar sebagai berikut :

dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz (6.1)

di mana dz = ε√dt. Untuk waktu diskrit, dimana Δt0, pada interval waktu yang

pendek antara t dan t +Δt, perubahan variabel dari x ke x+Δx adalah

60

Δx = a(x, t)Δt + b(x, t) ε√Δt

Diasumsikan bahwa drift dan variansi dari x tetap konstan, masing-masing sama

dengan a(x, t) dan b(x, t)2 selama interval waktu antara t dan t + Δt.

Proses Harga Saham

Model Wiener tergeneralisis gagal menggambarkan pergerakan harga

saham. Karena tidak mampu mengakomodasi perubahan harga saham dipengaruhi

oleh harga saham itu sendiri. Jelas bahwa asumsi expected drift rate yang konstan

tidak cocok dan perlu diganti dengan asumsi bahwa nilai harapan keuntungan

saham (expected return), yaitu expected drift dibagi dengan harga saham adalah

constant. Jika S adalah harga saham pada waktu t, maka expected drift rate dari

S adalah μS untuk suatu parameter μ yang konstan. Ini berarti bahwa dalam suatu

interval waktu yang pendek, Δt, harapan pertambahannya adalah μSΔt. Parameter

μ adalah nilai harapan pengembalian (expected rate of return) saham. Selanjutnya

jika volatilitas dari harga saham selalu sama dengan nol, maka model ini akan

menjadi

ΔS = μSΔt

Dalam pengertian limit, ketika Δt0, dS = μSdt atau dS/S = μdt. Dengan

mengambil integral persamaan diferensial di atas antara waktu 0 dan T, kita

peroleh hubungan

ST = S0eμT (6.2)

∫ dS/S = μt , t=0 sd T

Ln ST – ln S0 = μT

ST = S0eμT

Dimana S0 dan ST adalah harga saham pada waktu 0 dan T. Persamaan (6.2)

menunjukkan bahwa, ketika variansi rate sama dengan nol, harga saham akan

tumbuh atau berkembang secara bunga berbunga kontinu dengan rate μ per satuan

waktu.

Dalam praktek, jelas bahwa harga saham mengandung volatilitas. Asumsi

yang masuk akal adalah bahwa variabilitas dari prosentase return dalam suatu

periode waktu yang pendek, Δt, adalah sama tanpa memandang harga

61

saham. Dengan kata lain, seorang investor sama tidak pastinya mengenai

prosentase return ketika harga saham $50 maupun ketika harga saham $10. Hal

ini menuntun kepada pemikiran bahwa standard deviasi dari perubahan dalam

periode waktu yang pendek Δt harus proporsional terhadap harga saham

dan hal ini menuntun kepada model

dS = μSdt + σSdz atau dS/S = μdt + σdz

dS/S = μdt + σ√dt ε (6.3)

dimana µ adalah nilai harapan keuntungan dan σ adalah volatilitas.

6.2 Simulasi Monte Carlo untuk Harga Saham

Suatu simulasi Monte Carlo dari proses stokastik dapat digunakan untuk

mengembangkan beberapa pengertian alamiah mengenai proses harga saham pada

persamaan (6.3).

Contoh 6.3.Misalkan bahwa nilai harapan keuntungan dari suatu saham adalah

14% pertahun dan volatilitasnya ( standard deviasi dari return ) 20% per tahun.

Dalam notasi kita punya µ = 0.14 dan σ = 0.20. Selanjutnya misalkan Δt = 0.01,

yang berarti bahwa perubahan harga saham terjadi dalam interval waktu 0.01

tahun atau 3,65 hari. Dari persamaan (6.3), dipunyai ΔS = 0.14 × 0.01 S +

0.2√0.01 Sε atau ΔS = 0.0014S + 0.02Sε.

Dengan mengetahui harga saham sekarang, serta mengambil angka random untuk

ε dari software statistik, perubahan harga dapat kita hitung secara dinamik

beberapa periode waktu ke depan. Suatu jalur untuk harga saham dapat

disimulasikan dengan sampling secara berulang untuk ε dari N(0,1) dan

mensubstitusinya ke persamaan (6.3). Perintah atau ekspresi =RAND() di

software Excel menghasilkan suatu angka random antara 0 dan 1. Selanjutnya kita

dapat menggunakan perintah NORMSINV untuk invers dari distribusi kumulatif

62

normal. Jadi perintah untuk menghasilkan sampel random dari distribusi normal

standard dalam Excel adalah =NORMSINV(RAND()).

Contoh 6.4. Misalkan dipunyai harga saham sekarang adalah $20. Dari contoh

6.3 dipunyai ΔS = 0,028 + 0,4ε. Untuk periode pertama, diperoleh dari sampel, ε

sama dengan 0.52. Dari persamaan (6.3), perubahan harga saham selama periode

waktu pertama adalah

ΔS = 0.0014 x 20 + 0.02 x 20 x 0.52 = 0.236.

Maka 3,65 hari lagi, harga saham menjadi 20 + 0.236 = $20,236. Selanjutnya nilai

dari sampel ε untuk periode berikutnya adalah 1.44. Dari persamaan (3),

perubahan selama periode waktu kedua adalah ΔS = 0.0014 x 20.236 + 0.02 x

20.236 x 1.44 = 0.611. Jadi, 3,65 hari berikutnya, harga saham menjadi

20,236+0.611 = $20,847; dan begitu seterusnya. Berikut diberikan hasil simulasi

pada tabel 6.1 di bawah.

Table 6.1. Simulasi harga saham untuk µ = 0.14 dan σ = 0.20 dengan periode waktu 0.01 tahun.

Harga Saham Sampel Random Perubahan harga saham Awal Periode untuk ε Perperiode20.000 0.52 0.23620.236 1.44 0.61120.847 -0.86 -0.32920.518 1.46 0.62821.146 -0.69 -0.26220.883 -0.74 -0.28020.603 0.21 0.11520.719 -1.10 -0.42720.292 0.73 0.32520.617 1.16 0.50721.124 2.56 1.111

6.3Formula Ito Untuk Harga Saham

Seorang ilmuwan Jepang, K Ito menemukan hubungan stokastik untuk

formula harga saham. Misalkan variabel x mengikuti proses Ito sebagai berikut :

dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz, (6.4)

63

dimana dz merupakan proses Wiener, a dan b adalah fungsi dari x dan t. Variabel

x mempunyai drift rate a dan variansi rate b. Ito mengusulkan jika G suatu fungsi

dari x dan t, maka dipunyai ekspansi deret Taylor sebagai berikut

∆ G=( δGδx )∆ x+( δG

δt )∆ t+ 12 ( δ2 G

δ 2 x )∆ x2+ 12 ( δ2 G

δ 2t )∆ t 2+ 12 ( δ 2G

δxδt )∆ x∆ t

Dengan mengabaikan suku yang berorder di atas Δt (Δt0, demikian juga dengan

suku berorde di atas Δt) diperoleh

∆ G=( δGδx )∆ x+( δG

δt )∆ t+ 12 ( δ2 G

δ 2 x )∆ x2(6.5)

Selanjutnya dengan melihat persamaan (4), diperoleh Δx = aΔt + bε√Δt , dan

persamaan (5) menjadi

∆ G = ( δGδx )∆ x+( δG

δt )∆ t+ 12 ( δ2 G

δ 2 x )( a2 Δt2+b2 ε2 Δt+2 abε Δt √ Δt )

= ( δGδx )∆ x+( δG

δt )∆ t+ 12 ( δ2 G

δ 2 x )( b2 ε2 Δt )

Diketahui E(ε2Δt) = Δt, karena nilai dari E(ε2) = 1.Ini dapat diartikan bahwa nilai

ε2Δt mendekati nilai Δt, sehingga diperoleh

ΔG = ( δGδx )∆ x+( δG

δt )∆ t+ 12 ( δ2 G

δ 2 x )( b2 Δt ) (6.6)

Dengan mengambil limit dari persamaan (6.9) diperoleh,

dG=( δGδx )dx+( δG

δt )dt+ 12 ( δ2 G

δ 2 x )b2 dt (6.7)

selanjutnya, kita substitusi persamaan diferensial (4) dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz ke

persamaan (7)dan diperoleh

dG=(( δGδx )a+( δG

δt )+ 12 ( δ 2G

δ2 x )b2)dt+( δGδx )b dz (6.8)

Ternyata dapat kita lihat, bahwa proses G juga mengikuti proses Ito, dengan drift

rate( δGδx )a+( δG

δt )+ 12 ( δ2G

δ 2 x )b2 dan standard deviasi ( δG

δx )b.

64

Proses G diatas dapat kita aplikasikan untuk model persamaan differensial harga

saham. Dipunyai dari persamaan (3), dS = μSdt + σSdz, mempunyai nilaia = μS,

dan b = σS. Model harga saham ini merupakan model yang reasonable untuk

menggambarkan pergerakan harga saham. Dengan mengganti persamaan

diferensial dx dengan dS pada persamaan diferensial dG, diperoleh

dG=(( δGδS )μS+( δG

δt )+12 ( δ 2G

δS2 )σ2 S2)dt +( δGδS )σS dz (6.9)

Contoh 6.5. Model Harga Saham Lognormal. Sekarang kita akan menggunakan

lemma Ito untuk menurunkan proses Ln S. Diketahui model persamaan diferensial

harga saham dS = μSdt + σSdz .

Jawab. Dari persamaan diferensial harga saham di atas, disederhanakan menjadi

dS/S = μdt + σdz. Sisi kanan dari model harga saham sudah tidak mengandung

unsur S lagi. Selanjutnya Kita definisikan G = lnS, dan diperoleh δG/δS = 1/S ;

δ2G/δS2 = -1/S2 ; δG/δt = 0. Dengan lemma Ito diperoleh

dG=(( δGδS )μS+( δG

δt )+12 ( δ 2G

δS2 )σ2 S2)dt +( δGδS )σS dz

= (μ+0-½σ2)dt + σdz.

d lnS = (μ- ½ σ2) dt + σdz ;

Karena μ dan σ konstan, persamaan ini mengindikasikan bahwa G = Ln S

mengikuti proses Wiener tergeneralisir. Proses ini mempunyai drift rate yang

konstan (μ-0.5σ2)T dan variansi rate konstan σ2T. Perubahan pada Ln S antara

waktu 0 dan T berdistribusi normal dengan mean (μ-0.5σ2)T dan variansi σ2T. Ini

berarti,

Dengan mengambil integral dari dua sisi dari 0 sampai dengan t diperoleh

65

Jadi solusi dari PDS tersebut terhadap harga saham adalah

St=S0 e(μ−0.5σ2 ) t+σ W t

yang mengikuti suatu proses geometric Brownian motion. Selanjutnya dapat

dibuktikan juga bahwa

Ln ST — Ln S0 ~ N((μ -0.5σ2)T; σ2T)

Ln ST ~ N(Ln S0 + (μ -0.5σ2)T; σ2T)

Persamaan di atas menunjukkan kepada kita bahwa Ln ST berdistribusi normal.

Suatu variabel mempunyai distribusi lognormal jika log natural dari variabel

tersebut berdistribusi normal. Jadi ST berdistribusi lognormal.

Model dari perilaku harga saham yang telah kita kembangkan pada bab ini

mengimplikasikan bahwa harga saham pada waktu T, berdistribusi lognormal.

Standar deviasi dari log harga saham σ√T. Nilai ini sudah proporsional terhadap

akar kuadrat panjang waktu yang diinginkan.

Selanjutnya diperoleh Ln ST = ln S0 + (µ-0.5σ2)T +σWT

6.4 Metode Monte Carlo Standar Opsi put Eropa

Kita dapat memprediksi harga opsi di pasaran dengan berbagai

metode.Salah satu metode yang digunakan adalah metode simulasi Monte Carlo.

Berikut diberikan algoritma atau langkah-langkah menentukan harga opsi put

Eropa menggunakan metode simulasi MC. Misalkan suatu opsi dari suatu saham

menghasilkan keuntungan opsi ataupayoff di waktu T. Dengan asumsi suku bunga

konstan, kita dapat menilai harga opsi tersebut dengan langkah-langkah :

1. Simulasikan lintasan harga saham S secara random

2. Hitung keuntungan opsi

66

3. Diskontokan ekspektasi payoff pada suku bunga bebas risiko untuk

mendapatkan estimasi harga opsi.

4. Ulangi langkah 1-3 sebanyak M kali

5. Hitung rata-rata M harga opsi sebagai harga opsi MC

Contoh 6.1.Seperti telah dijelaskan sebelumnya, simulasi harga saham akan

menggunakan persamaan (6.3) . Diketahui S0 = 300.000, dan K = 400.000. Dari

simulasi tersebut kita dapatkan matriks S berikut :

Tabel6.1. Contoh matriks harga saham

Lintasan S1 S2 S31 358,715 360,240 403,9442 244,769 264,284 251,3793 374,912 426,973 337,8134 265,729 403,955 457,6945 364,138 483,065 526,5616 236,772 329,832 414,6107 298,120 292,504 310,2278 354,810 395,449 512,3079 259,262 254,813 282,399

10 331,194 304,204 403,741

Dari simulasi lintasan harga saham, kemudian dihitung keuntungan opsi

ataupayoff pada waktu jatuh tempo. Opsi put tipe Eropa menggunakan formula

K-ST dengan K=400.000 adalah harga kontrak.

Tabel 6.2 Matriks payoff opsiEropa

67

Lintasan S3 Payoff1 403,944 02 251,379 148,6213 337,813 62,1874 457,694 05 526,561 06 414,610 07 310,227 89,7738 512,307 09 282,399 117,601

10 403,741 0

Sebagai contoh, nilai 148.621 pada tabel diatas didapat dari 400.000 -

251.379.Nilai 0 pada tabel 6.2 di atas diperoleh karena harga saham lebih besar

dibandingkan harga eksekusi (S ≥ K).

Dari tabel 6.2 keuntungan opsi di atas, kemudian dihitung harga opsi dengan

mendiskonto semua payoff kewaktu t0dan mengambil nilai rata-rata sebagai harga

opsi simulasi MC.

Tabel 6.3. Perhitungan diskonto ditiap-tiap lintasan untuk opsi put Eropa.

Lintasan Payoff Harga Opsi1 0 - 2 148,621 144,952 3 62,187 60,652 4 0 - 5 0 - 6 0 - 7 89,773 87,556 8 0 - 9 117,601 114,697

10 0 -

Maka estimasi harga opsi simulasi monte carloadalah

68

Dari hasil perhitungan, didapat bahwa estimasi nilai opsi put sebesar 40.786.

Artinya, harga wajar menurut hasil perhitungan dengan metode Monte Carlo

Standar dari sebuah opsi put Eropa dengan data parameter yang telah diberikan

adalah sebesar 40.786.Hasil di atas diperoleh dari simulasi singkat dan

sederhana.Tentu saja untuk kondisi yang real di perdagangan sehari-hari, anda

membutuhkan perulangan yang banyak dan untuk masing-masing lintasan

terdapat banyak perubahan harga saham.

6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi Put Amerika(Sub bab ini ditulis bersama Andri Laksono Wibowo)

Pada sub bab ini dijelaskan metode MCKTyang digunakan untuk

mengaproksimasi harga opsi put Amerika. Metode ini terdiri dari tiga tahap

sekuensial, pertama adalah mensimulasikan lintasan dari harga saham,

menghitung matriks keuntungan opsi, menghitung waktu optimal eksekusi untuk

tiap-tiap lintasan dan yang terakhir adalah menentukan harga opsi. Sebelum

contoh penerapan akan diberikan skema sederhana metode MCKT ini.

Algoritma Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil

Berikut adalah skema ilustrasi metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil yang telah

dijelaskan :

1. Simulasi short rate

2. Simulasi harga saham menggunakan input dari nilai short rate yang

telah disimulasikan terlebih dahulu

3. Menghitungkeuntungan opsi pada tiap-tiap waktu tiap lintasan

4. Menghitung waktu optimal untuk mengeksekusi opsi amerika

69

a. Menentukan nilai YT-1 = e-rtfT , nilai diskonto keuntungan opsi pada

waktu jatuh tempo T ke waktu T-1, untuk semua lintasan .

b. Meregresikan YT-1 dengan nilai ST-1 dan rT-1 , selanjutnya diperoleh

nilai YT-1(hat).

c. Bandingkan nilai YT-1(hat) dengan fT-1. Jika nilai YT-1(hat) > fT-1

opsi tidak segera dieksekusi, dilanjutkan karena nilai harapannya

lebih besar, dan sebaliknya.

d. Ulangi proses 4-7 sampai waktu t =1.

e. Untuk masing-masing lintasan diperoleh waktu yang optimal dan

keuntungan opsi pada waktu tersebut. Harga opsi untuk masing-

masing lintasan adalah nilai diskonto dari keuntungan optimal

tersebut.

5. Hitung rata-rata harga opsi semua lintasan sebagai harga opsi MCKT.

Contoh Penerapan

Misalkan terdapat sebuah opsi put Amerika dengan assetinduk berupa

saham. Diketahui S0= $30, σ = 30% dan tingkat hasil dividen sebesar 2%. Opsi

tersebut dapat dieksekusi pada harga K = $40 pada saat t1, t2, dan t3, dimana saat

t3adalah masa berakhirnya hak opsi, jadi panjang intervalnya adalah 1/3.Diketahui

pula bahwa tingkat suku bunga bebas risiko saat ini adalah sebesar 2% ,memiliki

volatilitas sebesar 5%. Simulasi akan dilakukan sebanyak 10 kali.

Berikut ini langkah demi langkah bagaimana metode MCKT menentukan

harga opsi put Amerika.

Langkah 1 : Simulasi harga saham

Seperti telah dijelaskan sebelumnya, simulasi harga saham danshort rate.

Diperoleh hasil sebagai berikut :

Tabel6.4. Contoh matriks harga saham

Waktu

S1 S2 S3

70

Sim

ula

si

1 35.8715 36.0240 40.39442 24.4769 26.4284 25.13793 37.4912 42.6973 33.78134 26.5729 40.3955 45.76945 36.4138 48.3065 52.65616 23.6772 32.9832 41.46107 29.8120 29.2504 31.02278 35.4810 39.5449 51.23079 25.9262 25.4813 28.239910 33.1194 30.4204 40.3741

yang terkait dengan matriks r berikut :

Tabel 6.5. Contoh matriks short rate

Waktu

r1 r2 r3

Sim

ula

si

1 0.0287 0.0325 0.03082 0.0287 0.0296 0.03053 0.0177 0.0239 0.02224 0.0248 0.0174 0.01735 0.0208 0.0200 0.03016 0.0204 0.0229 0.02507 0.0145 0.0083 0.01618 0.0190 0.0111 0.01029 0.0251 0.0313 0.035010 0.0255 0.0322 0.0262

Nilai 0.0287 (2,87%) pada baris dan kolom pertama matriks diatas didapat dari

perhitungan berikut

Nilai yang terambil pada perhitungan tersebut adalah 0.8644.

Selanjutnya nilai 0.0287, digunakan untuk mendapatkan nilai 35.8715

pada baris dan kolom pertama matriks harga saham. Yaitu

Nilai yang terambil pada perhitungan tersebut adalah 0.316.

71

Langkah 2 : Menghitung matriks payoff

Dari matriks S yang diperoleh, kemudian dihitung matriks payoff yang didapat

apabila opsi dieksekusi segera dimasing-masing waktu yang ada dengan

menggunakan formula dengan K = $40.

Tabel 6.6. Matriks payoff jika opsi dieksekusi segera

Waktu

f1 f2 f3

Sim

ula

si

1 4.1285 3.9760 02 15.5231 13.5716 14.86213 2.5088 0 6.21874 13.4271 0 05 3.5862 0 06 16.3228 7.0168 07 10.1880 10.7496 8.97738 4.5190 0.4551 09 14.0738 14.5187 11.760110 6.8806 9.5796 0

Sebagai contoh, nilai 4.1285 pada tabel diatas didapat dari $40 - 35.8715.Nilai 0

pada Tabel 3.6 di atas diperoleh karena harga saham lebih besar dibandingkan

harga eksekusi (S≥K).Contohnya nilai 0 pada baris pertama dan kolom ketiga,

$40.3944>$40.

Tujuan yang ingin dicapai pada langkah 2 ini adalah untuk menemukan

waktuoptimal yang memaksimumkan keuntungan opsi di tiap-tiap lintasan.Untuk

tujuan tersebut, metode MCKT bekerja dari belakang (backward).Jika opsi put

dalamkondisi in the money pada saat t2, pemegang opsi harus memutuskan apakah

mengeksekusi pada saat tersebut atau menunggu hingga t3.

Perlu diingat bahwa pada langkah ini hanya akan digunakan lintasan yang

in the money karena membuat fungsi ekspektasi bersyarat dapat diestimasi lebih

baik, dan hal ini juga meningkatkan efisiensi algoritma MCKT. Dari Tabel 3.6

72

yang merujuk pada matriks harga saham pada Tabel 3.4 dapat kita simpulkan

bahwa terdapat 7 lintasan yang berada dalam kondisi in the money pada t2.

Misalkan S2menyatakan harga saham pada t2dan r2menyatakan short rate

pada t2. Hitung sebagai diskonto f3dari t3 ke t2apabila opsi tidak dieksekusi

pada t2. Formula dan hasilnya adalah sebagai berikut

Tabel 6.7.Formula Y2

Lintsn

f3 r3Rumus Y2

e-r3(1/3)*f3 Y2

1 0 0.0308 0*exp(-0.0308*(1/3)) 02

14.8621 0.030514.8621*exp(-0.0305*(1/3))

14.712

3 6.2187 0.0222 6.2187*exp(-0.0222*(1/3)) 6,172854 0 0.0173 - -5 0 0.0301 - -6 0 0.0250 0*exp(-0.0250*(1/3)) 07 8.9773 0.0161 8.9773*exp(-0.0161*(1/3)) 8.92928 0 0.0102 0*exp(-0.0102*(1/3)) 09

11.7601 0.035011.7601*exp(-0.0350*(1/3))

11.6238

10 0 0.0262 0*exp(-0.0262*(1/3)) 0

Selanjutnya regresikan data Y2 sebagai variabel tak bebas (dependent) terhadap

S2,r2sebagai regressor. Matriks sesuai dengan persamaan (3.4) pada data regresi

tabel adalah

73

Dari matriks diatas kemudian dapat dihitung koefisien fungsi

ekspektasibersyarat sebagai berikut

Hasilnya, kita mendapatkan aproksimasi fungsi ekspektasi bersyarat berikut:

Persamaan (3.8) merupakan aproksimasi fungsi ekspektasi bersyarat untuk

keseluruhan kemungkinan lintasan pada menuju dengan menggunakan

sampel data tabel 3.7 yang hanya sebanyak 7 lintasan. Oleh karena itu, semakin

banyak sampel lintasan yang diambil akan semakin akurat hasil yang diperoleh.

Bandingkan nilai Y2(hat) dengan f2. Jika nilai Y2(hat) > f2 opsi tidak segera

dieksekusi, dilanjutkan karena nilai harapannya lebih besar, dan sebaliknya.

Berikut diberikan table perbandingan keuntungan segera dan keuntungan opsi

apabila dilanjutkan

Tabel 6.8. Nilai immediate exercise dan continuation saat .

Lintasan f2 Y2(hat) keputusan

1 3.9760 -0.0283 eksekusi di t2

213.571

611.9277 eksekusi di t2

3 - - -4 - - -5 - - -6 7.0168 0.8706 eksekusi di t2

710.749


74

8 0.4551 -0.1977 eksekusi di t2

914.518


10 9.5796 -0.2048 eksekusi di t2

Pada lintasan pertama, nilai 3.9760 pada kolom kedua adalah hasil dari

$40-$36.0240, sedangkan nilai -0.0283pada kolom ketiga adalah hasil substitusi

S2 = 36.0240 dan r2= 0.0325 kedalam persamaan (3.8).

Pada lintasan pertama, nilai ekspektasi masa datang sebesar 0, lebih kecil

dibandingkan nilai 3.9760 yang didapat apabila opsi dieksekusi pada saat ,

sehingga mengeksekusi opsi pada dilintasan pertama adalah keputusan optimal.

Dari tabel 3.8,terlihat bahwa semua keputusan optimal pada saat . Hal

ini membuat kita mendapatkan matriks pada tabel 3.9. Pada matriks tersebut, opsi

yang dieksekusi pada saat , fungsi keuntungannya pada harus bernilai 0,

karena opsi hanya dapat dieksekusi satu kali sepanjang masa opsi berlaku.

Tabel 6.9.Matriks payoff hasil perbandingan dan t3.

t1 t2 t3

- 3.9760 0- 13.5716 0- 0 6.2187- 0 0- 0 0- 7.0168 0- 10.7496 0- 0.4551 0- 14.5187 0- 9.5796 0

Langkah selanjutnya, kita lakukan kembali proses metode MCKT langkah kedua

yang sama diatas pada waktu , untuk menentukan apakah opsi harus dieksekusi

pada waktu .

75

kemudianY1 = e-rt f2 menyatakan diskonto keuntungan opsi pada waktu t2

ke t1apabila opsi tidak dieksekusi. Selanjutnya regresikan Y1 dengan S1 dan r1 dan

didapatkoefisien estimasi fungsi fungsi ekspektasi bersyarat seperti berikut.

Hasilnya, kita mendapatkan aproksimasi fungsi ekspektasi bersyarat berikut

Selanjutnya akan dibandingkan payoff yang didapat jika mengeksekusi pada

(immediate exercise), yang ditunjukkan pada kolom kedua tabel 3.11, dengan nilai

ekspektasi payoff (continuation) yang diberikan pada kolom ketiga tabel

3.11.dengan aturan jika nilai Y1(hat) > f1 opsi tidak segera dieksekusi, dilanjutkan

karena nilai harapannya lebih besar, dan sebaliknya.

Tabel 6.10. Perbandingan nilai immediate exercise dan continuation saat .

Lintasan F1 Y1(hat) keputusan1 4.1285 5.3446 lanjutkan hak

215.523


3 2.5088 3.6216 lanjutkan hak

413.427


5 3.5862 1.6534 eksekusi di t1

616.322


710.188

010.5745 lanjutkan hak

8 4.5190 3.4076 eksekusi di t1

76

914.073


10 6.8806 4.5321 eksekusi di t1

Dari tabel 3.10, terlihat bahwa, keputusan optimal mengeksekusi di terjadi pada

lintasan ke 2, 4, 5, 6, 8, 9 dan 10.Hal ini membuat kita mendapatkan matriks

payoff berikut.

Tabel 6.11. Matriks payoff

lintasan t1 t2 t3

1 0 3.9760 02 15.5231 0 03 0 0 6.21874 13.4271 0 05 3.5862 0 06 16.3228 0 0 7 0 10.7496 08 4.5190 0 09 14.0738 0 010 6.8806 0 0

Pada Tabel 3.11, dilintasan kedua, keempat, kelima, keenam, delapan,

sembilan dan sepuluh keputusan optimal untuk mengeksekusi opsi terjadi pada t1.

Sedangkan untuk lintasan pertama dan ketujuh terjadi pada t2.Untuk lintasan

ketiga, keputusan optimal terjadi pada saat terakhir opsi berlaku yaitu t3.

Langkah 3 : Menentukan nilai opsi

Dari matriks payoff Tabel 3.12 tersebut, kemudian nilai opsi dapat diperoleh

dengan mendiskonto semua payoff ke saat t0dan merata-ratakannya dengan

banyaknya lintasan seperti pada tabel 3.13 berikut.

Tabel 6.12. Perhitungan diskonto ditiap-tiap lintasan untuk opsi put Amerika.

Lintasan

Rumus nilai diskontoNilai

diskonto1 3.9760*exp(-0.0325*(1/3)+(-0.0287*(1/3))) 3.89572 15.5231*exp(-0.0287*(1/3)) 15.3751

77

36.2187*exp(-0.0222*(1/3)+(-0.0239*(1/3))+(-

0.0177*(1/3)))6.0878

4 13.4271*exp(-0.0248*(1/3)) 13.31665 3.5862*exp(-0.0208*(1/3)) 3.56146 16.3228*exp(-0.0204*(1/3)) 16.2127 10.7496*exp(-0.0083*(1/3)+(-0.0145*(1/3))) 10.66828 4.5190*exp(-0.0190*(1/3)) 4.49049 14.0738*exp(-0.0251*(1/3)) 13.956810 6.8806*exp(-0.0255*(1/3)) 6.8223

Pada lintasan pertama, opsi dieksekusi pada t2, sehingga nilai 3.9760 darimatriks

payoff (Tabel 3.12) didiskonto ke t0 (saat ini). Diketahui dari matriks short rate

(Tabel 3.5), nilai short rate lintasan pertama pada t2adalah 0.0325 (3,25%) dan

t1adalah 0.0287 (2.87%). Nilai saat ini dari 3.9760 adalah

Maka estimasi nilai opsi yang diperoleh adalah

Dari hasil perhitungan, didapat bahwa estimasi nilai opsi sebesar $9.4386.Artinya,

harga wajar menurut hasil perhitungan dengan metode Monte Carlo Kuadrat

Terkecil dari sebuah opsi dengan data parameter yang telah diberikan adalah

sebesar $9.4386.

78

Modul7Model Black-Scholes-Merton



1.Memahami konsep model harga saham BSM

2.Memahami konsep penentuan harga opsi model BSM

3.Memahami konsep formula harga opsi BSM


1.Mampu menurunkan formula Opsi Call model BSM

2.Mampu menurunkan formula Opsi Put model BSM

3.Mampu menghitung harga opsi call model BSM

4.Mampu menghitung harga opsi put model BSM

7.1 Formula Harga Opsi Model Black Scholes

7.1.1. Distribusi Probabilitas Harga Saham

Model yang digunakan untuk mengembangkan model BSM

mengasumsikan harga saham berdistribusi lognormal. Dengan menggunakan sifat

transformasi variabel random, diketahui bahwa ln dari variabel random

berdistribusi lognormal akan berdistribusi normal, jadi diperoleh ln harga saham

berdistribusi normal sebagai berikut

ln ST N ( ln S0+(μ−σ2

2 )T , σ2 T ) (7.1)

Dimana

ST = harga saham pada waktu T

S0 = harga saham pada waktu 0

µ = harapan keuntungan saham per tahun

σ = volatilitas saham pertahun

79

Contoh7.1. Penghitungan mean and standard deviasi. Misalkan suatu saham

mempunyai harga awal S0 = $25, harapan tingkat pengembalian 12%, dan

volatilitas tahunan 20%. Hitunglah mean dan standard deviasi dari distribusi harga

saham dalam 3 bulan ke depan.

Jawab. Diketahui bahwa T = 3/12 = 0.25 tahun. Distribusi harga saham 3 bulan

ke depan mengikuti

ln ST N [(ln 25+(0.12−0.22

2 )0.25) ,0.22 ×0.25 ]Ln ST~N(3.244; 0.1).

Karena Ln STberdistribusi normal, 95% nilai-nilainya akan berada dalam interval

1.96 standard deviasi dari mean-nya. Jadi, Ln STakan terletak antara 3.244 ±

1.96*0.1, atau

exp3.244-1.96*0.1< ST< exp3.244+1.96*0.1

21.073 < ST< 31.187.

Contoh 7.2Distribusi return. Misalkan suatu saham mempunyai harapan

pengembalian tahunan 12% dan volatilitas tahunan 20%. Hitunglah mean dan

standard deviasi dari distribusi probabilitas untuk rata-rata tingkat pengembalian

majemuk kontinu selama 4 tahun.

Jawab. Dari data yang disebutkan sebelumnya, kita dapat menghitung

mean = = 0.12-0.22/2 = 0.10,

dan standard deviasi = = 0.2/√4 = 0.10.

7.1.2 Expected Value.

Dengan menggunakan sifat dari distribusi lognormal (ingat kembali

ekspektasi distribusi normal dan lognormal), ST akan berdistribusi lognormal dan

kita dapat menunjukkan bahwa nilai harapan dari ST ,

E ( ST )=eln S 0+(μ−

σ 2

2 )T +12

σ2 T

=S0 eμT

80

Sedangkan variansinya adalah

Var(ST)= S02 e2μT (eσ^2*T - 1)

dimana µ = nilai harapan tingkat pengembalian.

Contoh 7.3.Nilai harapan harga saham. Misalkan suatu saham sekarang

berharga 25 dengan nilai harapan pengembalian tahunan 20% dan volatilitas 40%.

Hitunglah nilai harapan harga saham 6 bulan ke depan.

Jawab. Nilai harapan harga saham dapat dihitung sebagai berikut

E(ST) = $25*e0.2*0.5

= $27.63.

Hasil ini cocok dengan definisi dari µsebagai nilai harapan tingkat pengembalian.

Nilai variansi dari ST , var(ST), dapat ditunjukkan

Var(ST) = S02 e2μT (eσ^2*T - 1)

= 625*e2*0.2*0.5*(e0.2*0.2*0.5-1)

= 63,58.

Contoh 7.4. Misalkan suatu saham dimana harganya adalah $20, dan nilai

harapan pengembaliannya adalah 20% pertahun serta volatilitas 40% per tahun.

Dapat dihitung nilai-nilai harapan dan variansi

E(ST) = 20*e0.2*1 = 24.43

dan

Var(ST) = 400* e2*0.2*1 *(e0.4*0.4*1 -1)

=103.54.

Standard deviasi harga saham dalam 1 tahun adalah $10,18.

7.1.3 Distribusi Return Saham

81

Sifat lognormal dari harga saham dapat digunakan untuk mencari

informasi distribusi probabilitas return saham atau tingkat pengembalian majemuk

kontinu dari suatu saham antara waktu 0 dan T. Jika kita mendefinisikan tingkat

pengembalian majemuk kontinu antara waktu 0 dan T sebagai x, maka diperoleh

ST= S0exT

Sehingga

x = 1T

lnST

S0

Dari persamaan (7.1) diketahui jika ln ST berdistribusi normal dengan mean lnS0 +

(μ-σ2/2)T dan variansi σ2T, maka dapat dibuktikakn juga bahwa x berdistribusi

normal dengan mean

E(X) = E( 1T

lnST

S0)= 1

TE ( ln ST−ln S0 )

=1T [ E (ln ST )−ln S0 ]

= μ−σ 2

2

Dan variansinya adalah

V(X) = V ( 1T

lnST

S0)= 1

T 2 V (ln ST−ln S0 )

= σ2

T

Sehingga dapat dituliskan

X~N(μ-σ2/2,σ2/T)

Jadi,tingkat pengembalian majemuk kontinu pertahun berdistribusi normal dengan

mean (μ-σ2/2)dan standard deviasi σ/√T.

Selanjutnya, dapat dihitung persamaan :

E (ST) = S0eµT

Ln E (ST) = ln S0 + μT

82

Mungkin kita tergoda untuk membuat manipulasi aljabar Ln E (ST) = ELn (ST),

sehingga E [Ln (ST)-ln S0] = μT, atau E [Ln (ST/S0 )] = μT, yang akan menuntun

kita pada E(R) = μ. Kita tidak dapat melakukan hal tersebut karena ln bukan

fungsi linear. Faktanya adalah Ln E (ST) > ELn E(ST), sehingga E[ln(ST/S0)]

<μT, yang menuntun pada E(x) <μ. (Seperti yang sudah ditunjukkan di atas, E(x)

= μ-σ2/2).

Contoh 7.5. Misalkan suatu saham dengan nilai harapan pengembalian 17% per

tahun dan volatilitas 20% per tahun. Distribusi probabilitas untuk rata-rata tingkat

pengembalian selama 3 tahun adalah normal, dengan mean (0.17 -0.22/2) = 0.15

dan standard deviasi 0.2/√3 = 0.1155 per tahun. Selanjutnya kita dapat melihat

interval konfidensi 95% bahwa rata-rata return pertahun dalam 3 tahun mendatang

0.15 – 1.96*0.1155 <μ< 0.15 + 1.96*0.1155-7.6% <μ< 37.6%

7.1.4. Volatilitas

Volatilitas suatu saham adalah suatu ukuran ketidakpastian dari return atau

tingkat pengembalian dari suatu saham. Suatu saham biasanya mempunyai

volatilitas antara 15% and 60%.Volatilitas suatu harga saham dapat didefinisikan

sebagai standarddeviasi dari return saham dalam 1 tahun ketika return

diekspresikan menggunakan pemajemukan kontinu.

Ketika nilai T cukup kecil, persamaan (1) menunjukkan bahwa σ√Tsecara

aproksimasi sama dengan standard deviasi dari persentase perubahan harga saham

pada waktu T. Misalkan σ = 0.3, atau 30%per tahun, dan harga saham sekarang

adalah $50. Standard deviasi dari persentase perubahan harga saham dalam 1

minggu adalah 30 × 1/√52 = 4.16%. Standard-deviasi harga saham dalam 1

minggu dapat dihitung 50 ×0.0416 = $2.08.

Persamaan (7.1) menunjukkan bahwa ketidakpastian terhadap harga saham

ke depan, yang diukur dengan standard deviasi-nya meningkat sebanding dengan

akar kuadrat panjang waktu ke depan-nya. Sebagai contoh, standard deviasi harga

saham dalam 4 minggu sama dengan 2 kali standard deviasi dalam 1 minggu.

83

7.1.5. Hari Perdagangan versus Hari Kalender

Hal lain yang penting adalah masalah waktu jatuh tempo, apakah waktu

jatuh tempo seharusnya diukur dalam hari kalender atau hari perdagangan ketika

mengestimasi volatilitas. Riset menunjukkan bahwa volatilitas membesar ketika

bursa dibuka untuk perdagangan dibandingkan ketika bursa ditutup. Sebagai

hasilnya, praktisi cenderung mengabaikan hari-hari ketika bursa ditutup pada

waktu mengestimasi volatilitas dari data historis dan ketika menghitung umur

opsi. Volatilitas pertahun dihitung dari volatilitas perhari perdagangan dengan

menggunakan formula

Volatilitas per tahun = standard deviasi return harian/252.

Banyaknya hari perdagangan dalam 1 tahun biasanya diasumsikan 252

untuk saham. Waktu hidup opsi juga biasanya diukur menggunakan hari

perdagangan dibandingkan dengan hari kalender. Banyaknya hari perdagangan

dihitung sebagai T tahun, dimana

T = banyaknya hari perdagangan sampai waktu jatuh tempo/ 252.

Cukup wajar mengasumsikan bahwa volatilitas dari suatu saham disebabkan oleh

informasi baru yang sampai ke pasar. Informasi baru ini menyebabkan orang

untuk merevisi pendapat atau pandangan tentang harga saham. Harga saham

berubah dan secara otomatis akan memunculkan angka volatilitas.

7.2 Formula BLACK-SCHOLES untuk Opsi Call

Model penentuan harga opsi yang paling terkenal dan banyak digunakan

orang adalah model Black Scholes. Hasil perhitungan harga opsi beli model Black

Scholes untuk tipe Eropa sama dengan tipe Amerika. Untuk alasan di atas, di sini

akan diturunkan formula matematis harga opsi beli tipe Eropa dengan fungsi

keuntungan opsi fT = (ST-K)+ = maks(ST-K,0). Harga rasional premi opsi Black

ScholesCBSadalah :

CBS=S0 N (d1)– K erT N (d2) (7.2)

84

dengan

d1=ln (S0/ K )+T (r+σ 2/2 )

σ √T

d2=ln (S0/ K )+T (r−σ2 /2 )

σ √T=d1−σ √T

(7.3)

dan adalah nilai kumulatif distribusi normal standard.

Pembuktian formula Black-Scholes secara matematik tidaklah mudah.

Black-Scholes sendiri membuktikan formulanya dengan pendekatan PD parsial

yang relatif panjang dan tidak mudah untuk dipahami. Pada materi kuliah ini,

formula harga opsi model Black-Scholes di atas akan dibuktikan melalui

pendekatan statistika, dengan menggunakan distribusi variabel random lognormal

dan normal. Pendekatan ini relatif lebih sederhana dan mudah untuk dipahami.

Fungsi densitas dari ST yang berdistribusi lognormal dapat ditulis sebagai

berikut

g( ST )=¿ { 1ST σ √2 π

e−

12 (ln ST−μ

σ )2

, ST ¿0 ¿ ¿¿¿

Secara umum harga kontrak opsi dapat dituliskan dalam bentuk harga harapan

keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo yang terdiskon oleh suku bunga bebas

resiko r.

CBS=e−rT E [maks(ST−K , 0)]

dimana STadalah harga saham pada waktu T dan E menunjukkan nilai harapan. Di

bawah proses stokastik diasumsikan oleh Black-Scholes bahwa ST berdistribusi

lognormal. Diasumsikan harga saham mengikuti proses random gerak brownian

geometrik ST = S0 exp [ (r-0.5σ2)T +σWT ] , di mana WT adalah proses brownian

berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan variansi T. Terlihat bahwa ST

merupakan fungsi eksponen dari WT, sehingga ST berdistribusi lognormal.

85

Selanjutnya diperoleh Ln ST = ln S0 +(r-0.5σ2)T +σWT merupakan fungsi linear

dari WT sehingga ln ST berdistribusi normal. Rata-rata dan variansi dari ln ST

masing-masing

E(ln ST) = m = ln S0 + (r-0.5σ2)T ; Var(ln ST) = σ2 T

Deviasi standar dari ln ST adalah σ√T. Dengan transformasi diperoleh

ln ST−m

σ √T=Z N (0 ;1) (7.4)

Dan diperoleh hubungan ln ST= Zσ√T+m atau ST = eZσ√T+m.

Selanjutnya ekspektasi fungsi keuntungan opsi dapat dijabarkan dalam bentuk

integral sebagai berikut

Dari nilai maks(ST-K,0), yang dihitung integralnya adalah nilai ST yang lebih

besar dari K. Sedangkan untuk nilai ST yang lebih kecil dari K, keuntungan

opsinya akan sama dengan nol. Integral dari fungsi nol sama dengan nol.

Harga harapan keuntungan opsi di atas mengandung dua integral, Integral I dan II.

Integral I akan dibawa ke variabel random Z dengan transformasi normal standard

(7.4) di atas. Batas bawah ST = K menjadi ln K−m

σ √T. Integralnya menjadi

∫K

∞

ST g ( ST ) d ST=¿ ∫ln K−m

σ √T

∞

ezσ √T +m f ( z )dz ¿

Sekarang kita lihat

ezσ √T +m f ( z )=ezσ √T +m 1

√2 πe−0,5 z2

¿ 1

√2 πe0,5 (−( z−σ √T )2+σ2 T +2 m )

¿e ln S0+rT 1

√2 πe0,5 (−( z−σ√T )2)

¿ S0 erT f (z−σ √T ) (7.5)

Selanjutnya diperoleh

86

∫K

∞

ST g ( ST ) d ST=¿S0erT ∫ln K −m

σ √T

∞

f ( z−σ √T ) dz¿

Misalkan z-σ√T = y, dz = dy, batas bawah z dikurangi σ√T. Dengan

menggunakan sifat sifat distribusi normal 1-N(-a) = N(a), integral di atas menjadi

S0 erT [1−N ( ln K−ln S0−rT + 12

σ 2T

σ √T− σ2 T

σ √T )]¿ S0 erT [1−N (−ln

S0

K+rT+0.5 σ2T

σ √T)]

¿ S0 erT N [ lnS0

K+rT+0.5 σ2T

σ √T ]¿ S0 erT N (d1) (7.6)

Untuk integral yang kedua II

∫K

∞

Kg ( ST ) d ST=K ∫ln K −m

σ√T

∞

f ( z ) dz

¿ KN (−ln K−mσ √T )

¿ KN ( lnS0

K+rT−0.5 σ2T

σ √T )¿ KN (d2) (7.7)

dengand1dan d2 seperti persamaan (7.3). Selanjutnya dengan memasukkan faktor

diskonto selama waktu jatuh tempo T tahun ke dalam formula harga opsi,

diperoleh rumus harga opsi beli model Black Scholes sebagai nilai present value

dari harapan keuntungan opsi call seperti pada persamaan (7.2) di atas.

CBS=e−rT E [ maks ( ST−K ,0 ) ]

87

¿e−rT [ S0 erT N ( d1)−KN ( d2 ) ]¿ S0 N (d1 )−K e−rT N (d2 )

Contoh7.6Sebagai contoh dapat dilihat opsi saham Barnes Group Inc. yang

ditawarkan di situs www.yahoo.finance. Pada tgl 26 nov 2009, harga saham

perusahaan tersebut S0 = 15,92$. Kita pilih opsi dengan harga kontrak K = 12.5$.

Opsi tersebut di pasaran dijual dengan harga 4.73$. Bagaimana harga opsi

menurut Black Scholes?

Berikut diberikan informasi harga opsi

Menurut BlackScholes, dengan nilai volatilitas 20%, tingkat suku bunga r

=0,25%, harga opsinya adalah sebagai berikut:

Nilai yang bersesuaian untuk distribusi normal kumulatif dapat ditentukan N(d1) =

0.999973783, dan N(d2) = 0.999966147. Selanjutnya harga opsi beli dapat dihitung

dengan menggunakan rumus

CBS = 15,92 x 0.999973783 – 12.5 × e-0.0025*22/365 × 0.999966147 = 3.421883474

http://www.yahoo.finance/

88

Bagaimana dengan harga yang ditawarkan di pasar untuk opsi tersebut? Apakah

harga opsi di pasar tidak terlalu berbeda dengan harga opsi model Black Sholes?

7.1.7 Formula BLACK-SCHOLES untuk Opsi Put

Dengan cara yang sama dapat diturunkan formula harga opsi jual model

Black Scholes. Secara matematis harga opsi jual merupakan present value dari

nilai harapan keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo dengan suku bunga bebas

resiko r dan waktu jatuh tempo T tahun, atau dapat dituliskan dalam bentuk p = e-

rT E[maks(K-ST,0)]. Selanjutnya ekspektasi fungsi keuntungan opsi dapat

dijabarkan dalam bentuk integral sebagai berikut

E [maks ( K−S T ,0 ) ]=∫0

K

(K−ST ) g ( ST ) d ST

¿∫0

K

Kg (ST ) d ST−∫0

K

ST g (ST ) d ST

Pembuktian rumus harga opsi put di atas diberikan sebagai berikut. Dari nilai

maks(K-ST,0), yang dihitung integralnya adalah nilai ST yang lebih kecil dari K.

Sedangkan untuk nilai ST yang lebih besar dari K, nilai maksimalnya akan sama

dengan nol. Integral dari fungsi nol akan sama dengan nol. Penjabaran Secara

matematisnya dapat dilihat sebagai berikut:

Untuk integral yang pertama

∫0

K

g ( ST ) d ST=Pr (0<ST <K )=¿Pr (−∞< ln ST<ln K )¿

¿ Pr (−∞<ln S0+(r−0.5 σ 2 ) T+σ W T< ln K )¿ Pr (−∞<(r−0.5 σ 2 )T +σ W T <ln K−ln S0 )

Kita tahu bahwa (r-0.5σ2)T+σWT ~ N((r-0.5σ2)T,σ2T). Dengan transformasi

variabel random diperoleh

Z=(r−0.5 σ 2 ) T+σ W T−(r−0.5 σ 2 )T

σ √T=

W T

√TN (0 ;1)

89


Untuk Integral yang kedua dibawa ke variabel random Z dengan transformasi

normal standard (7.4) di atas. Batas atas ST = K menjadi ln K−m

σ √T. Integralnya

menjadi

∫0

K

ST g ( ST ) d ST=¿ ∫−∞

ln K−mσ √T

ezσ √T +m f ( z )dz ¿

Dari persamaan (7.5) di atas diperoleh

ezσ √T +m f ( z )=S0 erT f (z−σ √T )


∫0

K

ST g ( ST ) d ST=¿S0erT ∫−∞

ln K −mσ √T

f ( z−σ √T ) dz¿

Misalkan z-σ√T = y, dz = dy, batas atas z dikurangi σ√T. Dengan menggunakan

sifat sifat distribusi normal integral di atas menjadi

S0 erT N ( ln K−ln S0−rT+ 12

σ2 T

σ √T− σ 2T

σ √T )=S0 erT N (−lnS0

K+rT +0.5 σ2 T

σ √T )=S0 erT N (−d1)

dengand1dan d2 seperti persamaan (7.3).

90

Diperoleh rumus harga opsi jual model Black Scholes sebagai berikut:

PBS=e−rT E [maks ( K−ST ,0 ) ]¿e−rT [ KN (−d2 )−S0erT N (−d1 ) ]

¿ K e−rT N (−d2 )−S0 N (−d1 )

Dapat diringkas, harga opsi call dan opsi put tipe Eropa model Black-Scholes,

tanpa pembayaran dividen adalah sebagai berikut :

C = S0N(d1) – Ke-rTN(d2)dan

P = Ke-rTN(–d2)– S0N(–d1)

Contoh 7.7. Harga saham 6 bulan dari waktu ekspirasi suatu opsi adalah $42, dan

harga kontrak opsi tersebut $40, suku bunga bebas resiko 10% per tahun,

danvolatilitas 20% per tahun. Ini berarti S0 = 42, K = 40, r = 0.1, σ = 0.2,T = 0.5,

d1 = (ln(42/40) + (0.1 + 0.22/2)0.5)/(0.2*sqrt(0.5)) = 0.7693

d2 = 0.7639- )/(0.2*√0.5) = 0.6278

Untuk opsi call tipe Eropa, harga opsinya adalah c = 4.76, sedangkan untuk opsi

put, harga opsinya adalahp = 0.81.

Contoh 7.8 Suatu perusahaan dengan 1 juta lembar saham seharga masing-

masing $40 sedang mempertimbangkan mengeluarkan 200,000warrant yang

memberikan pemegangnya hak untuk membeli 1 lembar saham dengan harga $60

dalam 5 tahun. Ingin diketahui biaya untuk hal ini. Tingkat suku bunga 3% per

tahun, volatilitas 30% per tahun. Tidak ada deviden yang dibagikan. Dari

persamaan (13.20), harga dari opsi call tipe Eropa 5 tahun adalah $7.04. Pada

kasus ini, N = 1,000,000 dan M = 200,000, sehingga harga warrant adalah

1,000,000/(1,000,000 + 200,000)*7.04 = $5.87.

Biaya total dari warrant adalah 200,000 ×5.87 = $1.17 million. Assuming the

market perceives no benefits from the warrant issue, we expect the stock price to

decline by $1.17 to $38.83.

91

Soal Latihan

1. Opsi put tipe Eropa mempunyai karakteristik sebagai berikut : S0 = $50, K

=$45, r = 5%, T= 1 tahun dan volatilitas 25%. Berapakah harga opsi put

tersebut di atas?

a. $1.88

b. $3.28

c. $9.07

d. $10.39

2. Opsi call tipe Eropa mempunyai karakteristik sebagai berikut : S0 = $50, K

=$45, r = 5%, T= 1 tahun dan volatilitas 25%. Berapakah harga opsi call

tersebut di atas?

a. $1.88

b. $3.28

c. $9.06

d. $10.39

3. Suatu sekuritas dijual seharga $40. Suatu opsi call dengan harga kontrak

$42, dengan waktu jatuh tempo 3 bulan dan suku bunga bebas resiko 3%,

berharga $2.49 Berapakah harga opsi put menurut put-call parity?

a. $1.89

b. $3.45

c. $4.18

d. $6.03

4. Saham ABC diperdagangkan seharga $60. Opsi call dan put nya

dikeluarkan untuk waktu jatuh tempo 1 tahun dengan harga kontrak $60.

Standard deviasi tahunannya 10% dan suku bunga majemuk kontinunya

5%. Harga opsi call dan put versi Black Scholes adalah

a. $6.21 dan $1.16

b. $4.09 dan $3.28c. $4.09 dan $1.16d. $6.21 dan $3.28

92

5. Yang mana dari kondisi berikut yang bukan merupakan asumsi dari teori

penentuan harga opsi model BSM?

a. Opsi hanya dapat dijalankan pada waktu jatuh tempob. Suku bunga bebas resiko konstanc. Return majemuk kontinu berdistribusi lognormald. Saham pokok tidak menghasilkan aliran dana

93

DAFTAR PUSTAKA

Bower, dkk, 1997, Actuarial Mathematics 2nd edition, The Society of Actuaries, Schaumburg,Illinois.

David G Luenberger, 1998, Investment Science, Oxford University Press

John C Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, Sixth Edition, Prentice Hall, 2005.

Kellison, Stephen G., 1991, The Theory of Interest 2nd edition, Irwin McGraw-Hill.

Lin, X. Sheldon, Introductory Stochastic Analysis for Finance and Insurance, Willey Series in Probability and Statistics, Willey Interscience, 2006.

Shreve, Steven E, Stochastic Calculus for Finance II Continuous-Time Models, Springer Finance, 2004.

94

SOAL UJIAN MID SEMESTEROPSI DAN MANAJEMEN KEUANGAN

Dosen : Abdurakhman,S.Si,M.Si,DrWaktu : 118 Menit

Rabu - 4 November 2009

1. Terangkan tentang kekuatan waktu atas uang. Berikan contoh atau gambarannya.

2. Mengapa sekarang bunga majemuk banyak dipakai di perbankan dari pada bunga tunggal? Berikan alasan matematikanya.

3. Terangkan tentang aturan seven-ten.

4. Apa yang dimaksud dengan present value dari suatu nilai 100 juta di 5 tahun mendatang?

5. Saya menabung 250 ribu rupiah perbulan dari mulai anak saya lahir untuk biaya kuliahnya. Anggaplah bank memberikan suku bunga 5%. Berapakah uang biaya kuliah anak saya pada saat dia memasuki perguruan tinggi, jika dia masuk SD di usia 6 th, 6 tahun di SD, 3 tahun di SMP, dan 3 tahun di SMA?

6. Sebutkan jenis-jenis obligasi. Apakah naik turunnya suku bunga akan mempengaruhi harga obligasi di pasaran? Jelaskan.

Selamat Mengerjakan dan Sukses Selalu

95

SOAL UJIAN AKHIR SEMESTEROPSI DAN MANAJEMEN KEUANGAN


Rabu 13 Jan-09

1. Terangkan tentang aturan seven-ten.

2. Lima tahun lagi anda membutuhkan uang sebesar 100 juta. Berapakah present valuenya jika suku bunga sebesar r persent konversi bulanan?

3. Anda menabung sebesar 250 ribu rupiah perbulan dari mulai anda bekerja di usia 24 tahun untuk biaya pernikahan anda. Anggaplah bank memberikan suku bunga 5% konvertible bulanan. Berapakah uang biaya pernikahan anda jika anda menikah di usia 30 tahun?

4. Apa yang dimaksud dengan opsi beli yang murah? Berikan contohnya, dan ilustrasikan fungsi keuntungannya.

5. Bagaimana anda mengilustrasikan suatu pernyataan bahwa kita masih bisa mengambil keuntungan di saat harga saham turun?

6. Tuliskan rumus opsi beli model black scholes.

7. Jika harga saham XYZ sekarang 590$, dan dikeluarkan opsi beli dengan harga kontrak 500, sementara diketahui suku bunga bank central 5%, volatilitas return saham XYZ mencapai 45%, berapakah harga opsi dengan waktu jatuh tempo 1 bulan ke depan?


96

SOAL UJIAN TENGAHSEMESTEROPSI DAN MANAJEMEN KEUANGAN


Open Catatan 1 lembar folio

1. Diberikan tabel harga spot dan forward dibawah iniTable 2.1 Nilai Spot dan forward untuk kurs USD/GBP, 3 Juni 2003 (GBP = Pound Inggris; USD = Dollar US dollar).

Bid (harga beli) Offer (harga jual)Spot 1.6281 1.6285 1-month forward 1.6248 1.6253 3-month forward 1.6187 1.6192 6-month forward 1.6094 1.6100

a. Apakah keuntungan bagi pihak yang membeli atau menjual kontrak forward 6 bulan ke depan?

b. Apa bedanya tindakan hedging dibandingkan dengan langkah spekulatif ?

c. Apa pula yang dimaksud dengan seorang arbitrase ?

2. Suatu saham yang tidak membayar dividend dan berharga $200. Anda dapat meminjam atau meminjamkan uang dengan bunga 7% selama 1 tahun. Berapa harga forward dari saham tersebut untuk jangka waktu 1 tahun? Jika ada forward saham di atas dan dijual dengan harga yang murah, apa tindakan anda sebagai seorang arbitraser? (Misal harganya $2 dibawah harga fair, berikan ilustrasi keuntungan dari tindakan arbitrase di atas )

3. Jika harga saham XYZ sekarang 90$, dan dikeluarkan opsi beli dengan harga kontrak $95 untuk waktu 3 bulan ke depan, suku bunga bank central 1%

a. Berapa harga opsi minimal agar tidak ada arbitrageur yang mengambil keuntungan ?

b. Misalkan ada opsi seperti di atas dan dijual dengan harga di bawah harga minimal, strategy apa yang diterapkan oleh seorang arbitrageur untuk dapat selalu mengambil keuntungan ?

c. Berikan contoh kasusnya (anda tentukan sendiri harga opsi di bawah harga minimal, dan lihat keuntungan pada waktu jatuh).

4. Apa yang dimaksud dengan strategy

97

a. Protective Put ? Apa bedanya dengan memegang saham saja ? Berikan ilustrasi keuntungan dan kerugian kedua strategy di atas dengan tabel dan juga diagram.

b. Collar? Berikan ilustrasi keuntungan dan kerugian strategi ini. c. Lakukan simulasi pada beberapa harga saham untuk melihat

keuntungan antara strategi Bull Call Spread versus Bear Call Spread. (Harga opsi, harga kontrak, harga saham kalian tentukan sendiri). Berdasarkan bukti empiris, strategy mana yang menurut kalian lebih menguntungkan ?


98

SOAL UJIAN AKHIR SEMESTEROPSI DAN MANAJEMEN KEUANGAN


Januari 2012Open Catatan 1 double folio

1. Jika harga saham XYZ sekarang $100, dan dikeluarkan opsi beli dengan harga kontrak $95 untuk waktu 3 bulan ke depan, suku bunga bank central 1% , volatilitas 30%.


b. Berapakah harga opsi beli di atas berdasarkan black scholes ?c. Misalkan ada opsi seperti di atas dan dijual dengan harga di bawah

harga minimal (misal dijual seharga $3), strategy apa yang diterapkan oleh seorang arbitrageur untuk dapat selalu mengambil keuntungan ? Lihat keuntungan pada waktu jatuh.

2. Misal untuk saham XYZ di atas, dikeluarkan opsi put dengan harga kontrak $102,5 tiga bulan ke depan.


b. Berapakah harga opsi put di atas berdasarkan black scholes ?

3. Misalkan anda ingin membeli saham XYZ di atas dan melindunginya dengan membeli opsi put (protektif put) 3 bulan ke depan pada harga kontrak $102,5, opsi putnya seharga $2,75. Ilustrasikan dengan tabel, perbedaan keuntungan investasi saham dibandingkan dengan investasi saham dengan protektif put.

4. Ceritakan tentang opsi saham karyawan.

5. Ceritakan tentang opsi Barrier up and in.


Modul Opsi Dan Manajemen Keuangan

Documents

Transcript of Modul Opsi Dan Manajemen Keuangan