METODE NUMERIK

Disusun oleh :

Nama : IBNU SODIK

NIM : 5021902006

Semester : IV

Program Studi : TEKNIK INFORMATIKA

Sekolah Tinggi Teknologi Pondok Modern Sumber Daya At-Taqwa

(STT POMOSDA)

Jl. KH. Wachid Hasyim 312 Tanjunganom Nganjuk Jawa Timur

Kode Pos : 64484, Website : www.stt-pomosda.ac.id

Tahun Ajaran 2020-2021

IBNU SODIK

i

Kata Pengantar

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa. Atas rahmat dan hidayah-Nya,

penulis masih dimaukan untuk melanjutkan proses pembelajaran pada jenjang

pendidikan tingkat tinggi di STT POMOSDA dan menyelesaikan pembuatan modul

“Metode Numerik” dengan tepat waktu.

Kedua kalinya sholawat serta salam senantiasa saya haturkan terhadap junjungan

nabi agung nabi Muhammad SAW beserta para penerusnya yang selalu ada

ditengah-tengah kita hingga saat ini.

Modul ini penulis susun dalam rangka pengambilan nilai UTS mata kuliah Metode

Numerik. Selain itu modul ini bertujuan untuk menambah wawasan tentang Metode

Numerik khususnya untuk penulis sendiri dan umumnya bagi para pembaca.

Penulis mengucapkan terimakasih kepada Bapak Sukarni, S.T., M.M selaku dosen

pengajar mata kuliah, yang telah mendampingi proses belajar kami sejak awal

hingga modul ini selesai dibuat. Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada

semua pihak yang telah mendukung dan membantu dalam peroses penuliasan

hingga modul ini selesai.

Penulis menyadari bahwa modul ini masih jauh dari kata sempurna, oleh sebab itu,

kritik dan saran yang bersifat membangun sangat penulis harapkan demi

kesempurnaan modul ini.

Nganjuk, 22 Juni 2021

Penulis

IBNU SODIK

ii

Daftar Isi

Kata Pengantar ......................................................................................................... i

Daftar Isi.................................................................................................................. ii

BAB I ...................................................................................................................... 1

PENGANTAR METODE NUMERIK ................................................................... 1

BAB II ..................................................................................................................... 2

ANALISIS GALAT ................................................................................................ 2

2.1 Pengertian Galat ....................................................................................... 2

2.2 Sumber Galat Numerik ............................................................................. 4

2.2.1. Galat Pemotongan ............................................................................. 4

2.2.2. Galat Pembulatan .............................................................................. 5

2.2.2.1. Bilangan Titik Tetap ...................................................................... 6

2.2.2.2. Bilangan Titik Kambang ............................................................... 6

2.2.2.3. Angka Bena ................................................................................... 7

2.2.3. Galat Eksperimental .......................................................................... 7

2.2.4. Galat Pemrograman ........................................................................... 7

2.2.5. Galat Total ......................................................................................... 7

BAB III ................................................................................................................... 8

PERSAMAAN NON LINIER ................................................................................ 8

3.1. Teorema (root) .......................................................................................... 9

3.2. Metode Biseksi ......................................................................................... 9

3.2.1. Sifat Metode Biseksi ....................................................................... 10

3.2.2. Algoritma Metode Biseksi .............................................................. 11

3.2.3. Contoh ............................................................................................. 11

3.3. Metode Regulafalsi ................................................................................. 12

3.3.1. Algoritma Metode Regulafalsi ........................................................ 13

3.3.2. Contoh ............................................................................................. 13

BAB IV ................................................................................................................. 15

PENUTUP ............................................................................................................. 15

IBNU SODIK

iii

1. Kesimpulan ................................................................................................ 15

2. Saran ........................................................................................................... 15

Daftar Pustaka ....................................................................................................... 16

IBNU SODIK

1

BAB I

PENGANTAR METODE NUMERIK

Metode numerik adalah teknik penyelesaian permasalahan yang diformulasikan

secara matematis dengan cara operasi hitungan. Proses operasi hitungan dilakukan

dalam jumlah banyak dan berulang, sehingga dalam praktiknya perlu bantuan

komputer untuk menyelesaikan penghitungan tersebut. Tanpa komputer metode

numerik tidak banyak memberikan mafaat.

Metode numerik merupakan alat yang ampuh untuk menyelesaikan permasalahan

dalam berbagai bidang. Metode ini mampu menyelasaikan suatu sistim persamaan

yang besar, persamaan yang tidak linier dan persamaan yang kompleks yang tidak

mungkin diselesaikan secara analitis. Metode numerik bisa digunakan dalam

beberapa bidang ilmu, diantaranya :

1. Ilmu teknik

2. Ilmu kedokteran

3. Ilmu sosial

4. Ilmu ekonomi

Berbagai masalah yang ada pada beberapa disiplin ilmu diatas dapat digambarkan

dalam bentuk matematik dari berabagai fenomena yang berpengaruh. Sebagai

contoh gerak air dan polutan di saluran air, sungai, laut, udara dan perambatan

panas, biasanya fenomena tersebut cukup banyak dan sangat kompleks, dan untuk

menyederhanakannya diperlukan sebuah asumsi, sehingga beberapa sebab bisa

diabaikan. Meskipun telah dilakukan penyederhanaan, namun sering persamaan

tersebut tidak bisa diselesaikan secara analitis. Oleh karena itu diperlukan metode

numerik untuk menyelesaikannya.

IBNU SODIK

2

BAB II

ANALISIS GALAT

2.1 Pengertian Galat

Galat merupakan perbedaan antara solusi hampiran dengan solusi eksak.

Galat dilambangkan dengan symbol (ε). Terdapat 3 jenis galat yaitu :

1. Galat mutlak : 𝜀 = 𝑎 − ^𝑎

2. Galat relative : ε𝑅 =ℇ

𝑎× 100%

3. Galat relative hampiran : ε𝑅Α =ℇ

^𝑎× 100%

Menganalisis galat sangat penting didalam perhitungan menggunakan

metode numerik. Galat bersosialisasi saat seberapa dekat solusi hampiran

terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi

numerik yang didapatkan. Dalam hal ini kita harus memahami :

1. Bagaimana menghitung galat dan

2. Bagaimana galat itu timbul

Misalkan ^a adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, maka selisihnya

adalah disebut galat.

ε = a - ^a

IBNU SODIK

3

Sebagai contoh :

Diketahui : a = 10/3; ^a = 3,333

Hitunglah :

a. Galat

b. Galat mutlak

c. Galat relative

d. Galat relative hampiran

Peneyelesaian :

a. Galat

ε = a - ^a

ε = 10/3 – 3,333

ε = 10.000/3000 – 9999/3000

ε = 1/3000

ε = 0,000333

b. Galat mutlak

ε = | a - ^a | = 0,000333

c. Galat relative

εR = ℇ/a × 100%

εR = 0,000333 / (10/3) × 100%

εR = 0,01%

d. Galat relative hampiran

εRA = ℇ/^a × 100%

εRA = 0,000333 / 3,333 × 100%

εRA = 1/999

Galat relative hampiran masih mengandung kelemahan, sebab nilai e tetap

membutuhkan pengetahuan nilaia a (dalam praktek kita jarang sekali

mengetahui nilai sejati a).

IBNU SODIK

4

Oleh karena itu, perhiungan galat relative hampiran menggunakan

pendekatan lain. Pada perhitungan numerik yang menggunakan pendekatan

leleran (iteration), eRA dihitung dengan cara

ε𝑅𝐴 =𝑎𝑟+1−𝑎𝑟

𝑎𝑟+1

Dimana : ar+1 = nilai hampiran leleran sekarang

ar = nilai hampiran leleran sebelumnya

Proses lelaran dihentikan bila : |𝜀𝑅𝐴| < 𝜀𝑠. Dimana es adalah toleransi

galat yang dispesifikasikan. Nilai es juga menentukan ketelitian solusi

numerik, semakin kecil nilai es semakin teliti solusinya, namun semakin

banyak proses lelerannya.

2.2 Sumber Galat Numerik

Terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik :

1. Galat pemotongan (truncation error)

2. Galat pembulatan (round-off error)

Selain ke-dua jenis galat diatas, masih ada sumber galat lain, yaitu :

1. Galat eksperimental

2. Galat pemrograman

Perlu diketahui bahwa galat eksperimental dan pemrograman memiliki

kontribusi yang kecil terhadap galat keseluruhan, berbeda dengan galat

pemotongan dan pembulatan yang selalu muncul pada solusi numerik.

Berikut ini merupakan penjelasan dari ke-empat jenis galat :

2.2.1. Galat Pemotongan

Galat pemotongan mengacu pada galat yang ditimbulkan

akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula

eksak. Tipe galat pemotongan bergantung pada metode

IBNU SODIK

5

komputasi yang digunakan untuk penghampiran sehingga

kadang-kadaang ia disebut juga galat metode.

Galat yang ditimbulkan dari penghampiran turunan tersebut

merupakan galat pemotongan. Penghentian suatu deret atau

runtunan langkah-langkah komputasi yang tidak berhingga

menjadi runtunan langkah yang berhingga itulah yang

menimbulkan galat pemotongan. Istilah pemotongan muncul

karena banyak metode numeric yang diperoleh dengan

penghampiran fungsi menggunakan deret taylor, karena

deret taylor merupakan deret yang tak terhingga. Oleh karena

itu harus dihentikan pada suku orde tertentu.

Turunan pertama fungsi f di xi dihampiri dengan formula

𝑓′(𝑥𝑖) = 𝑓(𝑥𝑖+ℎ)−𝑓(𝑥𝑖)

ℎ

dimana h merupakan lebar absis xi+1 dengan xi.

2.2.2. Galat Pembulatan

Galat pembulatan muncul karena beberapa hal, diantaranya :

a. Perhitungan dengan metode numerik hamper selalu

menggunakan bilangan nyata

b. Semua bilangan riil tidak dapat disajikan secara tepat

menggunakan aplikasi komputer

c. Keterbatasan komputer dalam mnyajikan bilangan

riil menghasilkan galat yang disebut dengan galat

pembulatan.

Contoh :

1/6 = 0,16666666, dalam hal ini komputer hanya

mampu menuliskan 6 digit angka terakhir sehingga

hasilnya menjadi 0,166667.

Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 = -

0,00000033.

IBNU SODIK

6

Secara umum komputer memiliki dua cara penyajian bilangan riil,

yaitu :

2.2.2.1. Bilangan Titik Tetap

Bilangan titik tetap (fixed point) merupakan suatu

bilangan yang dinyatakan dengan sejumlah tetap posisi

desimal di ujung kanan. Sistem bilangan titik tetap tidak

praktis dalam pekerjaan ilmiah karena keterbatasan

rentangnya.

Contoh : 2,000, 25,252, 0,0130.

2.2.2.2. Bilangan Titik Kambang

Bialangan titik kambang (floating point) merupakan suatu

bilangan yang dinyatakan dengan sejumlah tetap angka

bena.

Bilangan titik kambang a ditulis sebagai

𝑎 = ± 𝑚 𝑥 𝑏± 𝑝

Dimana : m = mantis (riil)

b = basis bilangan yang dipakai (2, 8, 10, 16

dsb)

p = pangkat (berupa bilangan bulat positif)

contoh : 0,2521 x 102 atau 2,521E+01

0,10221 x 1010 atau 1,022E+09

Digit – digit dibelakang koma disebut juga dengan angka

bena.

IBNU SODIK

7

2.2.2.3. Angka Bena

Angka bena adalah angka bermakna, disebut juga dengan

angka penting atau angka yang dapat digunakan dengan

pasti.

Contoh :

25.201 memiliki 5 angka bena {2, 5, 2, 0, 1}

0,2101 memiliki 4 angka bena {2, 1, 0, 1}

05.052.020 memiliki 7 angka bena {5, 0, 5, 2, 0, 2, 0}

2.2.3. Galat Eksperimental

Galat eksperimental merupakan galat yang timbul dari data

yang diberikan, misalnya karena kesalahan pengukuran,

ketidaktelitian dan sebagainya.

2.2.4. Galat Pemrograman

Galat pemrograman sering terdapat dalam program yang

sering disebut dengan kutu (bug), dan proses

penghilangannya dinamakan penirkutuan (debugging).

2.2.5. Galat Total

Galat total merupakan jumlah galat pemotongan dan galat

pembulatan.

Contoh :

cos(0,2) ≈. 1 − (0,2)2

2 +

(0,2)2

24 ≈ 0,9800667

Galat pemotongan terjadi karena kita menghampiri cos(0,2) s/d suku

orde 4 sedangkan galat pembulatan terjadi karena kita membulatkan

nilai hampiran kedalam 7 digit bena.

IBNU SODIK

8

BAB III

PERSAMAAN NON LINIER

Persamaan non linier dapat diartikan sebagai persamaan yang tidak mengandung

syarat seperti persamaan linier, sehingga persamaan non-linier dapat merupakan :

a. Persamaan yang memiliki pangkat selain satu (misal : x2)

b. Persamaan yang mempunyai prosuk dua variable (missal : xy)

Dalam penyelesaian persamaan non-linier diperlukan akar-akar persamaan nob-

linier, dimana akar sebuah persamaan non-linier f (x) = 0 merupakan nilai x yang

menyebabkan nilai f (x) sama dengan nol. Hal ini dapat disimpulkan bahwa akar-

akar penyelesaian persamaan non-linier merupakan titik potong antara kurva f (x)

dengan sumbu x. Untuk lebih jelasnya lihat ilustrasi berikut :

Contoh sederhana dari penentuan akar persamaan non-linier adalah penentuan akar

persamaan kuadratik. Secara analitik penentuan akar kuadratik dapat dilakukan

menggunakan persamaan 𝑥1,2 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎

2𝑎

IBNU SODIK

9

Untuk masalah yang lebih rumit, penyelesaian analitik sudah tidak mungkin

dilakukan. Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang

lebih kompleks.

Untuk mengetahui apakah suatu persamaan non-linier memiliki akar-akar

penyelesaian atau tidak, diperlukan analisa menggunakan teorema berikut:

3.1. Teorema (root)

“suatu range x = [a,b] mempunyai akar bila f (a) dan f (b) berlawanan

tanda atau memenuhi f (a). f (b) < 0”

Perhatikan pada ilustrasi dibawah ini :

Pada bab ini kita akan membahas dua metode yakni biseksi dan regulafalsi.

3.2. Metode Biseksi

Prinsip metode biseksi (bagi dua) adalah mengurung akar fungsi pada

interval x = [a,b] atau pada nilai x batas bawah a dan batas atas b.

Selanjutnya interval tersebut terus menerus dibagi 2 hingga sekecil

IBNU SODIK

10

mungkin, sehingga nilai hampiran yang dicari dapat ditentukan dengan

tingkat toleransi tertentu.

Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi pada gambar dibawah ini.

Metode biseksi merupakan metode yang paling mudah dan paling sederhana

dibanding dengan metode lainnya.

3.2.1. Sifat Metode Biseksi

Sifat metode biseksi antara lain yaitu :

a. Konvergensi lambat

b. Cara penggunaan mudah untuk dipahami

c. Tidak dapat digunakan untuk mencari akar imaginer

d. Hanya dapat mencari satu akar pada satu siklus.

IBNU SODIK

11

3.2.2. Algoritma Metode Biseksi

a. Definisikan fungsi f (x)

b. Tentukan rentang untuk x yang berupa batas bawah a dan

batas atas b

c. Tentukan nilai toleransi e dan iterasi maksimum N

d. Hitung f (a) dan f (b)

e. Hitung 𝑥 =𝑎 + 𝑏

2

f. Hitung f (x)

g. Bila f (x). f (a) < 0, maka b = x dan f (b) = f (x). bila tidak,

a = x dan f (a) = f (x)

h. Bila |b – a| < e atau iterasi maksimum maka proses

dihentikan dan didapatkan akar = x, dan bila tidak diulangi

langkah f

i. Jika sudah diperoleh nilai dibawah nilai toleransi, nilai akar

selanjutnya dihitung berdasarkan persamaan sesuai pada

gambar diatas dengan nilai a dan b merupakan nilai baru

yang diperoleh dari proses iterasi.

3.2.3. Contoh

Carilah akar persamaan f (x) = xe-x + 1 pada rentang x = [-1, 0]

dengan nilai toleransi sebesar 10-7!

Jawab :

1) Hitung nilai x menggunakan persamaan sesuai pada

ilustrasi metode biseksi 𝑥 =−1+0

2= −0,5

2) Hitung nilai f (x) dan f (a)

𝑓 (𝑥) = −0,5. 𝑒0,5 + 1 = 0,175639

𝑓 (𝑎) = −1. 𝑒1 + 1 = −1,71828

Berdasarkan perhitungan diperoleh 𝑓 (𝑥). 𝑓 (𝑎) < 0

IBNU SODIK

12

Sehingga b = x dan f (b) = f (x). Iterasi dilakukan kembali dengan

menggunakan nilai b tersebut.

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh akar persamaan x - -2.980242e

- -8 dan iterasi yang diperlukan untuk memperolehnya sebanyak

24 iterasi.

3.3. Metode Regulafalsi

Metode regulafalsi merupakan metode yang menyerupai metode biseksi,

dimana iterasi dilakukan dengan terus melakukan pembaruan rentang untuk

memperoleh akar persamaan. Hal yang membedakan dengan metode biseksi

adalah pencarian akar didasarkan pada slope (kemiringan) dan selisih tinggi

dari kedua titik rentang. Titik pendekatan disajikan pada persamaan

𝑥 = 𝑓 (𝑏). 𝑎 − 𝑓 (𝑎). 𝑏

𝑓 (𝑏) − 𝑓 (𝑎)

Berikut adalah ilustrasi dari metode regula falsi

IBNU SODIK

13

3.3.1. Algoritma Metode Regulafalsi

a) Definisikan fungsi f (x)

b) Tentukan rentang untuk x yang berupa batas bawah a dan

batas atas b

c) Tentukan nilai toleransi e dan iterasi maksimum N

d) Hitung f (a) dan f (b)

e) Untuk iterasi I = 1 s/d N

Hitung nilai x berdasarkan persamaan

𝑥 = 𝑓 (𝑏). 𝑎 − 𝑓 (𝑎). 𝑏

𝑓 (𝑏) − 𝑓 (𝑎)

Hitung f (x)

Hitung error = |f (x)|

Jika f (x). f (a) < 0, maka b = x dan f (b) = f (x). jika tidak,

a = x dan f (a) = f (x)

f) Akar persamaan adalah x.

3.3.2. Contoh

Selesesaikan persamaan non-linier f (x) = xe-x + 1 menggunakan

metode regula falsi pada rentang x = [-1, 0] dengan nilai toleransi

sebesar 10-7!

Jawab

1) Cari nilai f (a) dan f (b)

𝑓 (𝑎) = −1. 𝑒1 + 1 = −1,71828

𝑓 (𝑏) = 0. 𝑒0 + 1 = 1

2) Hitung nilai x dan f (x)

𝑥 = (1. −1) − (−1,71828.0)

1 + 1,71828= − 0.36788

𝑓 (𝑥) = −0.36788. 𝑒0.36788 + 1 = 0.468536

Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh :

𝑓 (𝑥). 𝑓 (𝑎) < 0

IBNU SODIK

14

Sehingga b = x dan f (b) = f (x). Iterasi dilakukan kembali dengan

menggunakan nilai b tersebut.

Berdasarkan hasil perhitungan diatas diperoleh nilai

𝑥 = −0,5671433

dan jumlah iterasi yang diperlukan adalah 15. Jumlah ini lebih

sedikit dari jumlah iterasi yang diperlukan pada metode iterasi

bisksi yang juga menunjukkan metode ini lebih cepat

memperoleh persamaan didandingkan metode biseksi.

IBNU SODIK

15

BAB IV

PENUTUP

1. Kesimpulan

Berdasarkan penjelasan materi diatas dapat kita tarik kesimpulan bahwa

metode numerik adalah teknik penyelesaian permasalahan yang

diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan.

Dalam operasi hitungan pasti ditemukan sebuah galat karena sifat dari

numerik adalah hampiran, tidak selalu tepat 100%.

Dalam menyelesaikan sebuah persamaan diperlukan metode penyelesaian

untuk mempermudah pekerjaan. Metode biseksi merupakan metode yang

paling mudah digunakan, namun jika ingin lebih cepat memperoleh sebuah

persamaan, metode regulafalsi lebih baik daripada metode biseksi, karena

metode regulafalsi dalam pencarian akar didasarkan pada slope

(kemiringan) dan selisih tinggi dari kedua titik rentang.

2. Saran

Penulis menyadari modul ini masih jauh dari kata sempurna, penulis

berharap agar dilakukan penelitian serta pembuatan ulang mengenai modul

metode numerik, khususnya untuk kasus-kasus baru dan penerapan

pengembangan pada kasus lain, karena pada modul ini masih menggunakan

kasus-kasus yang lama.

Akhir kata penulis ucapkan terimakasih kepada STT POMOSDA dan dosen

pembimbing serta pihak-pihak yang telah memberi dukungan dari awal

pembuatan hingga modul ini selesai dibuat dan diterbitkan.

IBNU SODIK

16

Daftar Pustaka

1. Atmika, I. K. (2016). METODE NUMERIK. METODE NUMERIK -

Universitas Udayana, 98. Retrieved from

https://simdos.unud.ac.id/uploads/file_pendidikan_1_dir/11ed6009feeb148

225064cd0c4989964.pdf

2. Azizah, H., Sacova, A. H., Bidayani, Izzati, H., Husna, L. N., Suliastini, N.

L., . . . Azizah, Y. (2015). DERET TAYLOR DAN TEORI GALAT.

MAKALAH ANALISIS NUMERIK, 21. Retrieved from

https://nanopdf.com/download/bab-ii-pembahasan-metode-numerik-

secara-umum_pdf

3. Hutagalung, S. N. (2017). PEMAHAMAN METODE NUMERIK.

JURNAL TEKNOLOGI INFORMASI (JurTI)Volume 1, 6. Retrieved from

https://media.neliti.com/media/publications/281897-emahaman-metode-

numerik-studi-kasus-meto-3465fedf.pdf

4. Rosidi, M. (2019). Akar Persamaan Non-Linier. Metode Numerik

Menggunakan R. Retrieved from

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/rootfinding.html

5. SUTARNO, H. (n.d.). BAB I PENDAHULUAN. METODE NUMERIK, 4.

Retrieved from

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/PRODI._ILMU_KOMPUTER/HERI

_SUTARNO/metnum/BAB__1__PENDAHULUAN.pdf