Muhammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel http://meetabied.wordpress.com

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABELStandar Kompetensi : Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan variabel. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sisitem persamaan linear Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan satu linear dan yang penafsirannya. Menyelesaikan pertidaksamaan variabel melibatkan bentuk pecahan aljabar. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya. sistem persamaan linear dan sistem

persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua

BAB I. PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam modul ini Anda akan mempelajari Sistem persamaan linearlinear dua variabel, tiga variabel, Sistem persamaan linear-kuadrat, Sistem kuadrat.. B. Prasyarat Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai dasar-dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real. C. Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut: 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya. 2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan persamaan kuadrat-kuadrat, dan merancang model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan linear,

membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat: 1. Menentukan sistem persamaan linear-linear dua variabel, 2. Menentukan sistem persamaan linear-linear tiga variabel, 3. Menentukan sistem persamaan linear-kuadrat 4. Menentukan sistem persamaan kuadrat-kuadrat 5. Merancang model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan linear,kuadrat.

BAB II PEMBELAJARAN A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN LINEAR Bentuk Umum sistem persamaan liniear dan linear 1. Sistem persamaan linear dengan 2 variabel / SPL 2 variabela1 x + b1 y = c1 a 2 x + b2 y = c 2

x dan y adalah variabela1 , a 2 , b1 , b2 , c1 , c 2 R

Cara menyelesaikannya dengan : a. Metode Eliminasi b. Metode Substitusi c. Metode Campuran Eliminasi dan Substitusi d. Metode Grafik Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikutx y =2 3 x 7 y = 2

1. Eliminasix y =2 3 x 7 y = 2

x3 x1

3 x 3 y = 6 3 x 7 y = 2

4y = 8 y =2x y =2 3 x 7 y = 2

x7 x1

7 x 7 y =14 3 x 7 y = 2

4x = 16 x= 4

2. Substitusi Dari persamaan (1) y = x 2 disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh 3x 7(x 2) = -2 3x 7x + 14 = -2 -4x = -16 x=4 Untuk x = 4 disubstitusikan ke persamaan (1) 4y=2 y =42 =2 3. Campuran Eliminasi dan Substitusix y =2 3 x 7 y = 2

x3 x1

3 x 3 y = 6 3 x 7 y = 2

4y = 8 y =2 y = 2 disubstitusikan ke persamaan (1) x2=2 x = 4 4. Grafik 3x 7y = -2 (4,2)

2 -2 xy=2

Dengan grafik dapat dilihat : a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik (himpunan penyelesainnya tepat satu anggota) b. Jika kedua garis sejajar, tidak mempunyai himpunan penyelesaian c. Jika kedua garis berhimpit (himpunan penyelesaiannya mampunyai anggota tak terhingga) 2. Sistem persamaan linear dengan 3 variabel / SPL 3 variabela1 x + b1 y + c1 z = d 1 a 2 x + b2 y + c 2 y = d 2 a 3 x + b3 y + c3 z = d 3

x, y, z adalah variabela1 , a 2 , a 3 , b1 , b2 , b3 , c1 , c 2 , c3 , d 1 , d 2 , d 3 R

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :x + y z =3 2x + y + z =5 x +2 y + z = 7

Dengan Metode campuran Eliminasi dan Substitusi : Misal dimulai dengan mengeliminasi z (1) dan (2)x + y z =3 2x + y + z =5

3x + 2y = 8 ..............................(4) (1) dan (3)2x + y + z =5 x +2 y + z = 7

x -y

= -2............................(5)

(4) dan (5) 3x + 2y = 8 x -y = -2 x1 3x + 2y = 8 x 3 3x - 3y = -6 5y = 14 y = 14/5 3x + 2y = 8 x -y = -2 x1 3x + 2y = 8 + 5x = 4 x = 4/5 x = 4/5 dan y = 14/5 disubstitusi ke persamaan (1) : x+yz=3 4/5 + 14/5 z = 3 18/5 z = 3 z = 18/5 3 z = 3/5 Jadi HP : {4/5,14/5,3/5} Tugas I 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut a. 2p + 3q = 1 3p + 4q = 1 b. -5m + 3n = 4 6m 5n = 5 c.1 1 + =5 x y 1 1 =1 x y

x 2 2x - 2y = -4

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut : a. 7x = 21 x + 2y = 11 2x y + z = 7 b. a + b + 2c = 3 4a + 2b + c = 13 2a + b 2c = 19 c. x + 2y = -7 3y z = -11 5x + 2z = -25 B. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT Bentuk Umum : y = px + q y = ax2 + bx + c p, q, a, b dan c 1. Substitusi Substitusikan y = px + q Diperoleh : px + q = ax2 + bx + c ax2 + (b-p)x + (c-q) = 0 dengan D = (b-p)2 4.a.(c-q) ada 3 kemungkinan himpunan penyelesainnya : a. Jika D = 0 (parabola berpotongan dengan garis di satu titik) b. Jika D >0 (parabola berpotongan dengan garis di dua titik) c. Jika D < 0 (parabola dan garis tidak berpotongan) ke y = ax2 + bx + c

R

Cara menyelesaikannya :

2. Grafik Ada 3 kemungkinan : D>0

D=0 D 0 (ada 2 penyelesaian)

(-2,4)

y = x2

(1,1)

y=2-x

C. SISTEM PERSAMAAN KUADRAT - KUADRAT Bentuk Umum : y = ax2 + bx + c y = px2 + qx + r Cara menyelesaikannya : 1. Substitusi Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh : (a p)x2 + (b q)x + (c r) = 0 dengan D = (b q)2 4.(a p).(c r) Kemungkinan penyelesaiannya : a. Jika D > 0 (parabola saling berpotongan di dua titik) b. Jika D = 0 ( parabola saling berpotongan di satu titik) c. Jika D < 0 (parabola tidak saling berpotongan) 2. Grafik Dengan menggambar kedua parabola dalam satu sistem koordinat Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari y = x2 y = 8 x2

Jawab : Substitusikan (1) ke (2) x2 = 8 x2 2x2 8 = 0 x2 4 = 0 (x 2)(x + 2) = 0 x = 2 atau x = -2 x = 2 diperoleh y = 22 = 4 x = -2 diperoleh y = (-2)2 = 4 Jadi HP : {(2,4) , (-2,4)} 8 y = x2

(-2,4)

(2,4)

y = 8 - x2

0

Tugas II 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari : a. y = x 3 y = x2 4x + 3 b. y = x + 3 2y = x2 2x + 1 c. y 2x 3 = 0 y 2x2 + 4x 7 = 0

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari : a. y = x2 3x 1 y = 3x2 + 5x + 7 b y = x2 + 1 y = 9 x2 c. y = 2x2 6x y = x2 2x + 6 D. MERANCANG MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN SPL Contoh : Sepuluh tahun yang lalu umur kakek enam kali umur adikku. Lima tahun yang akan datang jumlah umur kakek dan adikku sama dengan 93 tahun. Jika umur nenek lebih muda 6 tahun dari kakek. Berapa umur nenek sekarang. Jawab : Misal umur kakek sekarang adalah x Umur adikku sekarang adalah y Diperoleh persamaan : a. x 10 = 6(y 10) x 6y = -50 .............. (1) b. (x + 5)+(y + 5) = 93 x + y + 10 = 93 x + y = 83...................(2) Eliminasi persamaan (1) dan (2) x 6y = -50 x + y = 83 - 7y = -133 y = 19 x + y = 83 x = 83 19 = 64

Contoh : Diketahui y = px 14 dan y = 2x2 + 5x 12, tentukan batasbatas p supaya a. Berpotongan di 2 titik b. Bersinggungan c. Tidak berpotongan maupun bersinggungan Jawab : y = px 14 substitusikan ke y = 2x2 + 5x 12 diperoleh : 2x2 + 5x 12 = px 14 2x2 + (5 p)x + 2 = 0 D = (5 p)2 4.2.2 = 25 10p + p2 16 = p2 10p + 9 a. Berpotongan di dua titik (D > 0) p2 10p + 9 > 0 (p 1)(p 9) > 0 p < 1 atau p > 9 b. Bersinggungan di satu titik (D = 0) p2 10p + 9 = 0 (p 1)(p 9) = 0 p = 1 atau p = 9 c. Tidak berpotongan dan menyinggung (D < 0) p2 10p + 9 < 0 (p - 1)(p 9) < 0 1