Modul Lengkap Analisis Numerik 2

8/15/2019 Modul Lengkap Analisis Numerik 2

1/35

BAB I

METODE NUMERIK

1.1 Mengapa Menggunakan Metode Numerik

Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan

dengan mudah atau dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa.

Contohnya dalam persoalan yang melibatkan model matematika yang sering

muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, bidang fisika, kimia, ekonomi,

atau pada persoalan rekayasa. Seringkali model matematika tersebut muncul

dalam bentuk yang tidak idealis atau rumit. Model matematika yang rumit ini

adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum

untuk mendapatkan solusinya. Sebagai contoh, perhatikan sekumpulan persoalan

matematik berikut dan bagaimana cara menyelesaikannya?

a. Tentukan akar – akar persamaan polinom

01001201512025.14.2323467 x x x x x x

b. Tentukan harga x yang memenuhi persamaan

6517

)2120(cos

18.27

215

x

x x

xe

x

c. Hitung integral

1

0

sindx

x

x

Contoh – contoh diatas memperlihatkan bahwa kebanyakan

persoalanmatematik tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Metode

analitik disebut juga metode sejati karena memberi solusi sejati atau solusi yang

sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat ( error ) sama dengan nol.

Metode analitik seringkali hanya unggul untuk sejumlah persoala

memiliki tafsiran geometri sederhana, padahal persoalan yang m

dunia nyata sering melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Ak

praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas.

Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka sol

sebenarnya dapat dicari dengan metode numerik. Metode num

teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matem

dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan / aritmatik biasa (

kali dan bagi ). Secara harafiah metode numerik memiliki arti seb

berhitung dengan menggunakan angka – angka. Metode numerik

dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik

menyelesaikan persoalan – persoalan perhitungan yang rumit, sa

banyak yang menawarkan program – program numerik sebagai a

perhitungan.

Dalam penerapan matematis untuk menyelesaikan persoa

perhitungan dan analisis, terdapat beberapa keadaan dan metode

Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau terd

analisa matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaiaka

tersebut, maka penyelesaian matematis ( metode analitik ) yang

adalah ppenyelesaian excat yang harus digunakan. Penyelesaia

acuan bagi pemakaian metode pendekatan.

Bila persoalan sudah sangat sullit atau tidak mungkin diselesa

matematis ( analitik ) karena tidak ada theorema analisa mate

dapat digunakan , maka dapat digunakan metode numerik.

@TA ROMB@


2/35

Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas

tinggi, sehingga metode numerikpun tidak dapat menyajikan penyelesaian

dengan baik, maka dapat digunkana metode-metode simulasi.

1.2 Prinsip – prinsip Metode numerik

Metode numerik berangkat dari pemikiran bahwa permasalahan dapat

diselesaikan menggunakan pendekatan – pendekatan yang dapat

dipertanggungjawabkan secara analitik. Metode numerik ini disajikan dalam

bentuk algoritma - algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.

Pendekatan yang digunakan dalam metode numrik merupakan pendekatan

analisis matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar dari dasar

pemikiran analitis, hanya saja pemakaian grafis dan teknik perhitungan yang

mudah merupakan pertimbangan dalam pemakaian metode numerik. Mengingat

algoritma yang dikembangkan dalam metode numrik merupakan algoritma

pendekatan, maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu

pengulangan proses perhitungan. Dengan kata lain, perhitungan dalam metode

numerik adalah perhitungan yang dilakukan berulang-ulang untuk terus –

menerus memperoleh hasil yang mendekati nilai penyelesaian exact.

Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini , tentukan bahwa setiap

nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error ( nilai kesalahan ). Dalam

analisa metode numerik, kesalahan ini menjadi penting artinya. Karena kesalahn

dalam pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang

besar , dimana tentunya kesalahan ini tidak diharapkan. Sehingga pendekatan

metode analitik selalu membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses

yang akan terjadi.

Perbedaan utama antara metode numerik dan metode analitik

Metode Numerik Metode An

1. Solusi selalu berbentuk angka 1. Solusi biasanya dalam

matematik yang selan

dievaluasi untuk men

dalam bentuk angka

2. Diperoleh solusi yang menghampiri

solusi sejati sehingga solusi numerik

dinamakan juga solusi hampiran/

solusi pendekatan

2. Diperoleh solusi seja

Persoalan – persoalan yang biasa diangkat dalam metode numerik

Menyelesaiakan persamaan non linier

Menyelesaiakan persamaan simultan dan multi variabel

Menyelesaiakan diferensial dan integral

Interpolasi dan regresi

Masalah multi variabel untuk menentukan nilai optimal y

bersyarat

1.3 Tahap – tahap memecahkan persoalan secara Numerik

Ada enam tahap yang dilakukan dalam pemecahan persoalan dun

metode numerik

1. Pemodelan 4. Pemrograman

2. Penyederhanaan model 5. Operasional

3. Formulasi numerik 6. Evaluasi


3/35

BAB II

MODEL MATEMATIKA

Model matematika secara luas dapat didefinisikan sebagai perumusan atau persamaan

yang mengekspresikan feature pokok dari sistem atau proses fisis dalam istilah

matematis. Dalam penalaran yang sangat umum , model matematis dapat dinyatakan

sebagai suatu hubungan fungsional yang berbentuk

Peubah tak bebas = f ( peubah bebas, parameter, fungsi pemaksa )

..................................( 2. 1 )

peubah tak bebas : suatu karakteristik yang biasanya mencerminkan keadaan

atau perilaku sistem

peubah bebas : dimensi, seperti waktu dan ruang, sepanjang mana perilaku

sistem sedang ditentukan

parameter : pencerminan sifat – sifat atau komposisi sistem

fungsi pemaksa : pengaruh eksternal yang bekerja padanya

Ekspresi matematis yang sebenarnya dari persamaan 2. 1 dapat berkisar dari suatu

hubungan aljabar sederhana sampai himpunan persamaan diferensial besar yang

rumit. Sebagai contohnya perhatikan model matematis dari hukum kedua Newton

dalam persamaan

F = m.a

..................................................................................................................................( 2.

2 )

Persamaan 2.2 mempunyai sejumlah ciri yang khas dari model matematis di dunia

fisik

1. persamaan tersebut menggambarkan suatu proses atau sistem biasa dalam

istilah – istilah matematis.

2. Persamaan tersebut menyatakan suatu idealisasi dan penyedd

keadaan yang sebenarnya. Yakni rincian yang sederhana dari

diabaikan dan perhatian dipusatkan pada manifestasi yang pe

3. Persamaan tersebut memberikan hasil yang dapat direproduk

dapat dipakai untuk tujuan peramalan.

Contoh 2.1

Pernyataan masalah : seorang penerjun payung dengan massa 68.100

keluar dari pesawat. Gunakan persamaan t mcec

gmt v

) / (1)( untuk m

kecepatan ( velocity ) sebelum parasutnya terbuka. Koefisien hambat

sama dengan 12.500 gram/det

Penyelesaian : Pemasukan parameter – parameter ke dalam persamaa

t mcec

gmt v

) / (1)(

Menghasilkan :

]1[500.12

)100.68(980)(

)100.68 / 500.12( t

et v

= ]1[0,5339)( 18355,0 t et v

Menurut model tersebut, penerjun itu melaju dengan cepat. Kecepatan

4487,00 cm / det dicapai setelah 10 detik. Setelah waktu yang cukup l

kecepatan konstanta ( dinamakan kecepatan akhir )sebesar 5339,00 cm

Persamaan t mcec

gmt v ) / (1)( disebut penyelesaian analitis atau ek

sekali terdapat banyak model matematika yang tidak dapat diselesaika


4/35

Dalam kebanyakan kasus – kasus seperti itulah alternatifnya adalah mengembangkan

suatu penyelesaian numerik yang menghampiri ( mengakprosimasi ) penyelesaian

yang eksak.

Penyelesaian Numerik

Pernyataan masalah : lakukan komputasi yang sama seperti contoh di atas namun

gunakan persamaan

t mc

ec

gm

t v

) / (

1)(

untuk menghitung kecepatan dengan

pertambahan waktu sama dengan 2 detik.

Penyelesaian : pada saat memulai perhitungan ( 01 t ), kecepatan penerjun payung

sama dengan nol. Dengan memakai informasi ini dan nilai – nilai parameter dari

contoh maka persamaan t mcec

gmt v ) / (1)( dapat digunakan untuk menaksir

kecepatan pada detik 21 it

m/det60,192)]0(1,68

5,128,9[0 v

Untuk selang (interval) berikutnya dari (t=2 sampai 4 detik ), komputasi diulangdengan hasil

m/det00,322)]60,19(1,68

5,128,9[6,19 v

Komputasi dilanjutkan dengan cara sama untuk memperoleh nilai – nilai tambahan

det1t m/det1v

0

2

4

6

10

0,00

19,60

32,00

39,85

47,97

53,39

Hasil- hasilnya dilukiskan dalam Gambar 2.1 bersamaan dengan peny

Dapat dilihat bahwa secara cermat metode numerik mencakup segi –

penyelesaian eksak. Tetapi karena digunakan ruas – ruas garis lururs

mengaproksimasi suatu fungsi melengkung yang kontinu maka terdap

ketidakcocokan antara kedua hasil tersebut. Satu cara untuk meminim

ketidakcocokan yang demikian adalah dengan menggunakan selang k

lebih kecil. Misalnya dengan menerapkan pada masalah penerjun pay

dengan selang 1 detik akan menghasilkan galat yang lebih kecil, karen

ruas garis lurus lebih dekat ke penyelesaian sebenarnya.

GAMBAR 2.1


5/35

BAB III

APROKSIMASI DAN GALAT

3.1 Kekeliruan , Kesalahan perumusan dan Ketidakpastian Data

Walau sumber kesalahan di bawah ini secara langsung tak dihubungkan dalam

metode numerik, dampak dari kesalahan ini cukup besar.

Kekeliruan.

Kesalahan bruto/kekeliruan.

Tahun awal penggunaan komputer, komputer seringkali gagal pakai

(malfunction).

Sekarang kekeliruan ini dihubungkan dengan ketidaksempurnaan manusianya.

Kekeliruan dapat terjadi pada sembarang langkah proses

pemodelan matematika dan dapat mengambil bagian terhadap semua

komponen kesalahan lainnya. Ia hanya dapat dicegah oleh pengetahuan yang

baik tentang prinsip dasar dan berhati-hatilah dalam melakukan pendekatan dan

mendesain solusi untuk masalah anda.

Biasanya tak dianggap dalam pembahasan metode numerik. Ini terjadi, karena

kesalahan bruto sampai taraf tertentu tak dapat dihindari. Tapi tentu saja pasti

ada cara untuk memperbaiki keadaan ini.

Misalnya: kebiasaan pemrograman yang baik, seperti yang dibahas dalam

bab 2, sangat berguna untuk mengurangi kekeliruan pemrograman. Sebagai

tambahan, terdapat juga cara-

cara sederhana untuk memeriksa apakah suatu metode numerik tertentu

bekerja secara sempurna.

Kesalahan Perumusan.

Kesalahan perumusan model dihubungkan dengan penyimpangan yang dapat

dianggap berasal dari model matematika yang tak sempurna.

Contoh: fakta bahwa hukum Newton kedua tak menghitung efek

tak mengurangi

kelayakan solusi pada contoh sebelumnya, karena kesalahan-kesa

minimal pada skala waktudan ruang dari seorang penerjun payun

Anggap bahwa tahanan udara bukan proporsi linier terhadap k

seperti dalam persamaan tetapi merupakan sebuah fungsi kuadr

Kalau hal ini benar, baik

kedua solusi analitis maupun numerik yang diperoleh dalam b

menjadi salah

karena kesalahan perumusan.

Ketidakpastian Data.

Kesalahan-kesalahan seringkali masuk ke dalam suatu

ketidakpastian data fisika yang mendasari suatu model.

Misalnya kita ingin menguji model penerjun payung dengan lo

berulang yang dibuatnya, mengukur kecepatan orang tersebut

waktu tertentu.

Ketidakpastian yang menyertai pengukuran-pengukuran ini

karena penerjun akan jatuh lebih cepat selama beberapa lo

loncatan lainnya. Kesalahan-

kesalahan ini dapat memunculkan ketidak akuratan dan ketidak p

Jika instrumen kita menaksir terlalu rendah atau terlalu

kecepatan, kita menghadapi suatu alat yang tak akurat atau meny

Pada keadaan lainnya, jika pengukuran tinggi dan rendah secara

berhadapan dengan sebuah pertanyaan mengenai kepresisian.


6/35

Kesalahan-kesalahan pengukuran dapat dikuantifikasikan dengan

meringkaskan data dengan

satu atau lebih statistik yang dipilih yang membawa sebanyak mungkin

informasi mengenai sifat-sifat data tertentu.

Statistik yang deskriptif ini kebanyakan sering dipilih untuk menyatakan (1)

letak pusat distribusi data, dan (2) tingkat penyebaran data. Hal demikian

memberikan suatu ukuran penyimpangan dan ketidakpresisian.

3.2 Analisis Galat

Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan yang menggunakan metode

numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi

sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan.

Nilai sejati ( true value ) = Hampiran (aproksimasi) + Galat

Misalkan

a adalah nilai hampiran terhadap nilai sejatinya a , maka selisih

aaε

ε disebut Galat. Jika tanda Galat ( positif atau negatif ) tidak dipertimbangkan , maka

Galat mutlak

aaε

Ukuran galat ε kurang bermakna karena tidak menceritakan seberapa besar galat itu

dibandingkan dengan nilai sejatinya. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat tersebut

, maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya. Gagasan ini melahirkan apa

yang dinamakan galat relatif.

Galat Relatif didefinisikan sebagai

a R

εε

Atau dalam persentase

%100 xa

R

εε

Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif terse

juga relatif sejati. Dalam praktek ketika kita tidak mengetahui nilai se

galat ε sering dinormalkan terhadap solusi hampirannya, sehingga ga

dinamakan galat relatif hampiran

a RA

εε

Salah satu tantangan metode numerik adalah menentukan taksiran gal

mengetahui nilai sejatinya. Misalnya, metode numerik tertentu mema

secara iterasi untuk menhitung jawaban. Dalam pendekatan yang dem

aproksimasi sekarang dibuat berdasarkan aproksimasi sebelumnya. Pr

dilakukan secara berulang , atau secara iterasi dengan maksud secara

menghitung aproksimasi yang lebih dan lebih baik. Jadi, persen galat

%100sekarangiaproksimas

sebelumnyaiaproksimas-sekarangiaproksimasaε

Komputasi diulang sampai sa εε

Nilai sε menentukan ketelitian solusi numerik. Semakin kecil nilai sε

solusinya.

Soal


7/35

1. Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = 3.333. hitunglah galat, galat

mutlak, dan galat relatif hampiran.

2. Prosedur iterasi sebagai berikut 6 / )3( 31 r r x x r = 0, 1, 2, 3, ...

5.00 x dan sε = 0.00001

Sumber Utama Galat Numerik

Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik

1. Galat pembulatan ( round-off error )

2. Galat Pemotongan ( truncation error )

Selain kedua galat ini, terdapat sumber galat lain :

1. Galat eksperimental , galat yang timbul dari data yang diberikan, misalnya

karena kesalahan pengukuran, ketidaktelitian alat ukur dan sebagainya.

2. Galat pemrograman. Galat yang terdapat di dalam program sering dinamakan

dengan bug. Dan proses penghilangan galat dinamakan debugging.

3.3 Algoritma

Algoritma merupakan rentetan langkag – langkah logika yang diperlukan untuk

melakukan suatu tugas tertentu seperti pemecahan masalah.

Ciri – ciri suatu algoritma yang baik

1. Aksi yang dilaksanakan harus dirinci secara jelas untuk tiap kasus. Hasil

akhir tidak boleh tergantung kepada yang mengalami algoritma

2. Proses algoritma harus selalu berakhir setelah sejumlah berhingga langkah

tidak boleh berakhir terbuka ( oppen – ended )

3. Algoritma harus cukup umum untuk menangani keperluan yang lebih

banyak.

Cara pembuatan algoritma

1. Flow chart ( diagram alir )

2. Kode psudo ( menggunakan kalimat – kalimat yang kata-kata

punya aturan – aturan tertentu )

3.4 Hitungan Langsung dan Tak Langsung

a. Hitungan langsung

Hitungan melalui serangkaian operasi hitung untuk mempero

b. Hitungan Tak langsung ( hitungan iterasi )

Solusi diperoleh dengan melakukan pengulangan pada suatu p

langsung dimulai dengan suatu tebakan awal untuk mempero

hampiran sebagai perbaikan atas nilai tebakan awal sampai di

hampiran yang diinginkan.

Soal 3.2 : Gunakan tebakan awal 10 x untuk menghitung

2

) / 2(1 1 ii

x x x

untuk ,...2,1,0i


8/35

BAB 4

METODE PENGURUNG (BRACKETING METHOD)

Salah satu masalah yang sering terjadi pada bidang ilmiah adalah masalah untuk

mencari akar-akar persamaan berbentuk f(x) = 0 ………………….(1)

Fungsi f di sini adalah fungsi atau persamaan tak linear. Nilai x = x0 yang memenuhi

(1) disebut akar persamaan fungsi tersebut. Sehingga x0 di sini menggambarkan

fungsi tersebut memotong sumbu-x di x = x0.

Persamaan atau fungsi f dapat berbentuk sebagai berikut:

Persamaan aljabar atau polinomial

f(x) = pn(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 ……………………………….(2)

Persamaan transenden

Yaitu persamaan yang mengandung fungsi antara lain trigonometri, logaritma, atau

eksponen

Contoh: (i) ex + cos(x) = 0 ( ii) ln(x) + log(x2) = 0

Persamaan campuran

Contoh: (i) x3 sin(x) + x = 0 (ii) x2 + log(x) = 0

Untuk polinomial derajat dua, persamaan dapat diselesaikan dengan rumus

akar persamaan kuadrat. Misalkan bentuk persamaan kuadrat adalah: ax2 + bx + c = 0

dapat dicari akar-akarnya secara analitis dengan rumus berikut.

a

acbb X

2

42

2,1

Untuk polinomial derajat tiga atau empat, rumus-rumus yang ada s

dan jarang digunakan. Sedangkan untuk menyelesaikan polinomia

yang lebih tinggi atau persamaan tak linear selain polinomial, tidak

dapat digunakan untuk menyelesaikannya. Metode Numerik memb

untuk menyelesaikan bentuk tersebut, yaitu metode hampiran. Penye

dilakukan dengan hampiran yang berurutan (metode iterasi), sedem

setiap hasil adalah lebih teliti dari perkiraan sebelumnya. Den

sejumlah prosedur iterasi yang dianggap cukup, akhirnya didapat hasi

mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan toleransi kesalahan

Metode iterasi mempunyai keuntungan bahwa umumnya tidak san

oleh merambatnya error pembulatan.

4.1 LOKALISASI AKAR

Lokasi akar persamaan tak linear diselidiki untuk memperoleh teb

yaitu:

Metode Grafik.

Untuk memperoleh taksiran akar persamaan f(x) = 0 ialah d

grafik fungsi itu dan mengamati dimana ia memotong sumbu x

menyatakan harga x untuk f(x) = 0, memberikan suatu pendekata

tersebut.

Contoh 4.1. Pendekatan Grafik.

Gunakan pendekatan grafik untuk memperoleh suatu akar persa

e-x

– x.


9/35

Solusinya adalah sebagai berikut:

X f(x)

0,0

0,4

0,6

1,000

0,619

0,270

-0,051

Gambar 4.1

Gambar 4.1. Ilustrasi pendekatan grafik untuk memecahkan persamaan

aljabar dan transendental. Grafik f(x) = e -x – x terhadap x. Akar sesuai dengan

harga x dimana

f(x) = 0, yaitu titik dimana fungsi memotong sumbu x. Pemeriksaan secara

visual mengenai plot memberikan taksiran kasar 0,57. Harga sebenarnya

adalah 0,56714329…

Teknik grafik praktis digunakan, dan dapat memberikan tak

kasar, tapi tidak presisi.

Ia dapat digunakan sebagai tebakan awal dalam metode nume

Interpretasi grafik penting untuk memahami sifat-sifat fu

memperkirakan jebakan pada metode numerik, seperti terlih

4.2 di bawah ini.

Gambar 4.2 memperlihatkan sejumlah cara dimana ak

dalam interval yang dijelaskan oleh suatu batas bawah a dan

Gambar 4.2b memperlihatkan kasus dmana sebuah

dikurung oleh harga-harga positif dan negatif dari f(x).


10/35

Gambar 4.2

Gambar 4.2. Ilustrasi sejumlah cara yang umum bahwa sebuah akar bisa

terjadi dalam sebuah interval yang dijelaskan oleh batas bawah a dan batas

atas b. Bagian (a) dan (c) menunjukkan bahwa bila f(a) dan f(b) mempunyai

tanda yang sama, tidak akan ada akar-akar atau akar dalam jumlah genap

pada interval. Bagian (b) dan (d) menunjukkan bahwa bila fungsi mempunyai

tanda yang berbeda pada kedua titik ujung, akan terdapat akar dalam jumlah

ganjil pada interval. Tetapi gambar 4.2d, dimana f(a) dan f(b)

berlawanan tanda terhadap sumbu x, memperlihatkan 3 akar yang

berada di dalam interval. Umumnya jika f(a) dan f(b) mempu

berbeda akan terdapat akar yang j umlahnya ganjil dalam inter

Seperti ditunjukkan oleh gambar 4.2 a dan c, jika f(a) dan

tanda yang sama, tidak terdapat akar-akar atau akar yang ju

berada diantara harga-harga itu.

Meskipun generalisasi ini biasanya benar, namun terdap

dimana hal itu tak dapat dipegang.

Misalnya akar ganda. Yakni fungsi yang menyingg

(gambar 4.3a) dan fungsi- fungsi diskontinu (gambar 4.3b

prinsip ini.

Gambar 4.3. Ilustrasi beberapa perkecualian terhadap kas

yang ditunjukkan dalam gambar 4.2. (a) Akar ganda yang

fungsi menyinggung sumbu x. Dalam hal ini, walaupun tit


11/35

berlawanan tanda, terdapat akar-akar dalam jumlah genap untuk interval

tersebut. (b) Fungsi diskontinu dimana titik-titik ujung tanda yang

berlawanan juga mengurung akar-akar dalam jumlah genap.

Strategi khusus dibutuhkan untuk penentuan akar-akar dalam kasus ini.

Sebagai contoh fungsi yang mempunyai akar ganda adalah persamaan kubik

f(x) = (x – 2) (x – 2) (x – 4). Perhatikan bahwa x = 2 membuat kedua suku

polinomial itu sama dengan 0. Jadi x = 2 disebut sebuah akar ganda.

Cara Tabulasi

Nilai-nilai fungsi pada interval yang diminati dihitung dengan membagi

interval tersebut menjadi sub interval – sub interval, dan nilai-nilai tersebut

ditulis dalam bentuk tabulasi. Jika pada suatu interval nilai fungsi berubah

tanda, maka pada interval tersebut ada akar.

Lokasi Akar Untuk Persamaan Polinomial

Persamaan polinomial mempunyai bentuk umum sbb.

f(x) = pn(x) = anxn

+ an-1xn-1

+ … + a1x + a0 …………………….(3)

Jika pn(x) = 0, maka persamaan tersebut mempunyai tepat n akar, antara lain

akar bilangan real dan juga termasuk akar bilangan kompleks. Akar bilangan

kompleks selalu muncul berpasangan. Yang disebut bilangan kompleks

adalah:

a + b i . dimana a, b bilangan real, i = 1

Untuk melokasikan akar-akar real, digunakan beberapa aturan:

(a) aturan tanda koefisien

(i) akar real positif

u = banyaknya pergantian tanda pada koefisien ai dari pn(x)

np = banyaknya akar real positif

maka berlaku: np < u (4)

u – np = 0, 2, 4, 6, …

(ii) akar real negatif

v = banyaknya pergantian tanda pada koefisien ai d

ng = banyaknya akar real negative, maka berlaku:

ng < v ........................................................................

v – ng = 0, 2, 4, 6, …

(b) batas interval akar

n

k

nk a

ar maks

1

1

maka semua akar real pn(x) terletak pada interval [-r, r].

Sebuah fungsi berdasarkan jenisnya akan berubah tanda d

harga akar.

Teknik ini dinamakan metode akoladi (bracketing method

dibutuhkan 2 tebakan awal untuk akar.

Sesuai namanya, tebakan tersebut harus “dalam kurun

pada kedua sisi nilai akar.

4.2. Metode Bagidua (Biseksi).

Pada teknik grafik sebelumnya, terlihat bahwa f(x) berg

kedua sisi yang berlawanan dari kedudukan akar. Pada u

f(x) nyata (real) dan kontinu dalam interval dari xl hingga x

f(xu) berlainan tanda, yakni:

f(xl) f(xu) < 0


12/35

Maka terdapat sekurang-kurangnya 1 akar nyata diantara xl dan xu.

dengan penempatan sebuah interval dimana fungsi tersebut bertukar tanda.

Lalu penempatan perubahan tanda (tentunya harga akar) ditandai lebih

teliti dengan cara membagi interval tersebut menjadi sejumlah

subinterval. Setiap subinterval itu dicari untuk menempatkan perubahan

tanda. Proses tersebut diulangi dan perkiraan akar diperhalus dengan

membagi subinterval menjadi lebih halus lagi.

Metode Bagidua (biseksi), disebut juga pemotongan biner (binary

chopping), pembagian 2 (interval halving) atau metode Bolzano.

Letak akarnya kemudian ditentukan ada di tengah-tengah subinterval dimana

perubahan tanda terjadi. Proses ini diulangi untuk memperoleh taksiran yang

diperhalus.

Step 1: Pilih taksiran terendah xl dan tertinggi xu untuk akar agar

fungsi berubah tanda sepanjang interval. Ini dapat diperiksa

dengan: f(xl) f(xu) 0, akar terletak pada subinterval kedua, maka xl

= xr, dan lanjutkan ke step 2.

2

ul x x xr

c. f(xl) f(xr) = 0, akar = xr, komputasi selesai.

Contoh Metode Bagidua.

Gunakan Bagidua untuk menentukan akar dari f(x) = e-x - x.

Dari grafik fungsi tersebut (gambar 4.1) terlihat bahwa har

diantara 0 dan 1.

Karenanya interval awal dapat dipilih dari xl = 0 hingga

sendirinya,

taksiran awal akar terletak di tengah interval tersebut:

Taksiran ini menunjukkan kesalahan dari (harga seb

0,56714329…):

Et = 0,5 = 0,06714329

atau dalam bentuk relatif:

5,02

10

xr

%8,11%10006714329,0

56714329,0 xt


13/35

dimana indeks t menunjukkan bahwa kesalahan diacu terhadap harga

sebenarnya. Lalu:

f(0) f(0,5) = (1) (0,10653) = 0,10653

yang lebih besar dari nol, dengan sendirinya tak ada perubahan tanda terjadi

antara xl dan xr.

Karena itu, akar terletak pada interval antara x = 0,5 dan 1,0. Batas bawah

didefinisikan lagi

Taksiran ini menunjukkan kesalahan dari (harga sebenarnya adalah

0,56714329…):

Et = 0,5 = 0 ,06714329

atau dalam bentuk relatif:

f(0,5) f(0,75) =-0,030 < 0

Karenanya akar terletak diantara 0,5 dan 0,75:

xu = 0,75

Dan iterasi seterusnya

4.3. Metode RegulaFalsi (FalsePosition).

Disebut juga metode interpolasi linier.

Penjelasan grafiknya adalah sebagai berikut:

75,02

15,0

xr

)()(

))((

1

1

x f x f

x x x f x x

u

uu

ur

26

Penjelasan grafik dari metode Regula Falsi. Segitiga serupa

untuk menurunkan rumus buat metode tersebut adalah yang d

Contoh Metode Regula Falsi.

Gunakan Regula Falsi untuk menentukan a

e-x - x. Akar sesungguhnya 0,56714329.

xl = 0 d a n xu = 1.

Iterasi pertama:

xl = 0 f(xl) = 1

xu = 1 f(xu) = -0,632

Iiterasi ke-2

f(xl) f(xr) = -0,0708

akar pada subinterval I. xr di batas at

xl = 0 f(xl) = 1

xu = 0,6127 f(xu) = -0,0708

Kesalahan untuk Regula Falsi berkurang lebih cepat d

disebabkan rancangan yang lebih efisien untuk penempa

63212,0

1)(63212,0(1

r x

5671432,0

056714329,0 t

163212,0

)06127,0)(0708,0(6127,0

r x

,7%100572179,0

6127,0572179,0

xt


14/35

27

Regula Falsi.

Perbandingan t pada metode Bagidua dan Regula Falsi untuk

f(x) = e-x – x

Pada Bagidua, interval antara xl dan xu muncul semakin kecil selamakomputasi. Interval, x/2 = |xu – xl| / 2, merupakan ukuran error untuk

pendekatan ini.

Pada Bagidua, hal di atas tak terjadi, karena salah satu tebakan awal

kondisinya tetap selama komputasi, sedangkan tebakan lainnya konvergen

terhadap akar.

Pada contoh metode regulasi falsi di atas, xl tetap pada 0, sedangkan xu

konvergen terhadap akar. Didapat, interval tak mengkerut, tapi agak

mendekati suatu harga konstan.

28

4.3.1. Jebakan pada MetodeRegula Falsi.

Contoh 4.5. Bagidua lebih baik dari Regula Falsi.

Gunakan Bagidua dan Regula Falsi untuk menempatkan aka

dan 1,3 untuk :

f(x) = x10 – 1.

Dengan Bagidua, didapat:

Iterasi xl Xu Xr | t|1 0 1,3 0,65 35

2 0,65 1,3 0,975 2,53 0,975 1,3 1,1375 134 0,975 1,1375 1,05625 5,6

5 0,975 1,05625 1,015625 1,6

Setelah 5 iterasi, t < 2%.

Kemudian dengan Regula Falsi, didapat:

Iter asi xl Xu Xr | t|

1 0 1,3 0,09430 902 0,09430 1,3 0,18176 813 0,18176 1,3 0,26287 73

4 0,26287 1,3 0,33811 665 0,33811 1,3 0,40788 59

Setelah 5 iterasi, t < 60%.

Juga | a| < | t|

Ternyata dengan Regula Falsi, a ternyata meleset. Lebih jel

grafik:


15/35

29

Grafik dari f(x) = x10 – 1, menunjukkan konvergensi metode Regula Falsi

yang lambat

Terlihat, kurva menyalahi perjanjian yang mendasar Regula Falsi, yakni

jika f(xl) lebih mendekati 0 dibanding f(xu), sehingga akan lebih dekat

ke xl daripada ke xu

Karena bentuk fungsi yang sekarang, kebalikannya tentu juga benar. Yang

harus dilakukan adalah memasukkan taksiran akar ke dalam persamaan

semula dan ditentukan apakah hasil itu mendekati nol. Pengecekan semacam

ini juga harus dilakukan pada program komputer untuk penempatan akar.

30

4.4. MetodeNewton-Raphson.

Gmbar 5.2

Metode Newton Rapson adalah metode pendekatan yang me

titik awal, dan mendekatinya dengan memperhatikan kemir

tersebut. Secara geometri metode ini menggunakan garihampiran fungsi pada suatu selang, dengan menggunakan

sebagai tebakan awal yang diperoleh dengan melokalisasi ak

terlebih dahulu, metode ini paling banyak digunakan untuk m

dari persamaan f(x) = 0 dengan asumsi f(x), f’(x), f’’(x) ko

akar p. akar dari persamaan adalah titik potong garis singgun

f(xi))

i

iii

x f

x f x x

'1


16/35

31

Dimana i = 0,1,2,3, …

Syarat f’(xi) ≠ 0

f’(xi) = 0 maka garis singgung sejajar sumbu x

Algoritma Metode Newton Rapson

Masukan: f(x), f’(x), x0 (tebakan awal), (criteria penghentian), M

(maksimum iterasi

Keluaran : akar

Langkah-langkah

Iterasi

Jika f’(x0) = 0, proses gagal, stop

1.

2.

3. x0 = xbaru

4. Iterasi: I = i + 1

5. Jika iterasi I ≤ M kembali ke langkah 2

6. Prosesnya konvegen atau divergen

4.4.1 Iterasi N-R untuk menentukan n A

Ambil N = 2

andaikan bahwa A>0 suatu bil real dan misal x0 > 0

adalah tebakan awal untuk A

0

'

00

x f

x f x xbaru

baru0 xakar)stopdan x(maka,

ε

baru

baru

x

x x jika

l

ganjiNR,A

0

genapN0,

A

A

32

barisan 0k k

x

didefenisikan dengan rumus rekursif sebagai berikut:

akar barisan

0k k x konvergen ke A

yaitu : A =

Bukti : A>0

Missal x = A

X2 = A

X2 – A = 0, f(x) = 0 maka f(x) = x2 - A

F(x) = x2-A

F’(x) = 2x

Defenisi fungsi iterasi Newton Rapson

2

1

1

k x

k

x

A p

x

2)(

2

1

22

22

2

22

2

'

x A x

xg

x

A x xg

x

A x xg

A x x xg

x x xg

x x x xg

x f

x f x xg

k

x

xlim


17/35

33

Atau

4.5. Metode Secant.

Masalah yang didapat dalam metode Newton-Raphson adalah terkadang

sulit mendapatkan turunan pertama, yakni f ’(x). Sehingga dengan jalan

pendekatan

Menjadi

Persamaan di atas memang memerlukan 2 taksiran awal x, tetapi

karena f(x) tidak membutuhkan perubahan tanda diantara taksiran maka

Secant bukan metode Alokade.

,...3,2,1,2

11

1

K p

A p

p

xg x

k k

k

k k

1

1'

nn

nn

x x

x f x f x f

)()(

)()(1

1

1

ii

iiiiii

x f x f

x x f x f y x x

34

Gambar 5.3

Teknik ini serupa dengan teknik Newton-Raphson dalam a

taksiran akar diramalkan oleh ekstrapolasi sebuah garis singg

terhadap sumbu x. Tetapi metode Secant lebih menggu

daripada turunan untuk memperkirakan k


18/35


19/35

37

Gambar 5.3.2

4.6. Akar G anda.Satu akar ganda berhubungan dengan suatu titik dimana sebuah fungsi

menyinggung sumbu x.

Misal akar dobel dihasilkan dari:

f(x) = (x- 3)(x- 1)(x- 1)

atau dengan pengalian suku-suku:

f(x) = x3 - 5x2 + 7 x - 3

Persamaan diatas memiliki akar dobel, karena 1 akar x membuat kedua suku

dalam persamaan itu sama dengan nol. Secara grafik, ini sesuai dengan kurva

yang menyentuh sumbu x secara tangensial pada akar dobel. Ini dapat dilihat

38

pada gambar 5.4a di bawah ini pada

x = 1.

Gambar 5.4

Gambar 5.4 Contoh akar ganda yang menyinggung sumb

bahwa fungsi tak memotong sumbu pada kedua sisi akar gan

(c), sedangkan ia memotong sumbu untuk kasus ganjil (b) (

159).

Akar tripel untuk kasus dimana satu harga x membuat 3 s

persamaan menjadi nol, misal:

f(x) = (x – 3)(x – 1)(x – 1)(x – 1)

atau dengan pengalian suku-suku:


20/35

39

f(x) = x4 – 6x3 + 12x2 – 10x + 3

Kesulitan yang ditimbulkan oleh akarganda:

Hasil dari metode Akolade berkurang kepercayaannya dengan adanya

kenyataan bahwa fungsi tak berubah tanda pada akar ganda genap. Pada

metode Terbuka, ini bisa menyebabkan divergensi.

Tak hanya f(x) tapijuga f ’(x) menuju nol pada akar.

Pada metode Newton-Raphson dan Secant, dimana keduanya mengandung

turunan (atau taksiran) di bagian penyebut pada rumusnya, ter jadi

pembagian dengan nol jika solusi konvergensangat mendekati akar.

Menurut Ralston dan Rabinowitz [RAL1978], f(x) selalu mencapai nol

sebelum f ’(x). Sehingga kalau pemeriksaan nol untuk f(x) disertakan dalam

program, maka komputasi berhenti sebelum f ’(x) mencapai nol.

Metode Newton-Raphson dan Secant konvergen secara l in ier (bukan

kuadratik), konvergen untuk akar-akar ganda (Ralston dan Rabinowitz

[RAL1978]).

Soal A.

1.Tentukan batas selang akar dari :

2)( 2 x x xP

3)( 3 x x xP

2.Tentukan lokasi akar

x x xP ε)(

3452)( 234 x x x x xP

40

3.Tentukan akar25)( x x f

x ε di dalam selang (0,1) dan

00001.0ε dengan

metode Bagi Dua dan Regula Falsi

4.Tahun 1225 Leonardo da Pissa mencari akar persamaa

020102)( 23 x x x x f dan menemukan x = 1.368

seorangpun tahu cara Leonardo menemukan niai ini. Gunaka

Bagidua dan metode Regula Falsi untuk menemukan akar per

Leonardo dalam selang ( 1, 1.5 ) dan juga metode Newton Ra

dan metode Secant 10 x , 5.11 x . Untuk semua metode ε

5.Dapatkah metode Newton-Raphson digunakan memecahkan

0)( x f jika 3 / 1)( x x f

0)( x f jika 2 / 13)( x x f dan tebakan awal x

Mengapa?

6. Gunakan metode Newton-Raphson untuk menghitung

4 / 1

)47(angka bena.

7. Misalkan x x f cos)( .

Tentukan prosedur iterasi Newton Raphsonnya.

Jika kita ingin menghitung akar 2 / 3π x , dapatkah

tebakan awal 30 x . Mengapa ?

8. Masalah : gunakan pendekatan grafis untuk menentukan koefis

yang diperlukan oeh penerjun payung dengan massa m = 68.1

mempunyai kecepatan 40 m / det setelah jatuh bebas untuk w

detik. Catatan : percepatan yang disebabkan gravitasi : 9,8 m


21/35


22/35

43

Soal.B

1.Dari metode – metode yang telah ada , temukanlah metode mana yang lebih

cepat atau efisien dalam mendapatkan akar – akar persamaan .

2. Temukanlah persamaan dan perbedaan – perbedan dari metode – metode yang

telah dipelajari.

3. Temukan kasus / masalah dalam bidang ilmu tertentu yang dapat diselesaikan

dengan metode – metode dalam menentukan akar – akar persamaan diatas.

44

BAB IV

SISTEM PERSAMAAN LINIER

Bentuk Umum :

mnmnmm

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

....

.

...

...

2211

22222121

11212111

Bentuk Matriks

mnm

n

n

aa

aaa

aaa

..

....

.

.

1

22221

11211

m x

x

x

.

2

1

=

mb

b

b

.

2

1

Metode – metode untuk mendapatkan Solusi SPL :

1.Eliminasi Gauss

2.Eliminasi Gauss – Jordan

3.Dekomposisi LU

4.Jacobi

5.Gauss Seidel

A. Dekomposis LU

Jika terdapat matriks A non singular maka dapat difaktorkan / diuraik

dikomposisikan menjadi matriks Segitiga Bawah L ( Lower ) dan mat

atas U ( Upper ).

A = LU


23/35

45

mnm

n

n

aa

aaa

aaa

..

....

.

.

1

22221

11211

=

1..

....

0.1

0.01

1

21

ml

l

mn

n

n

u

uu

uuu

..0

....

.0

.

222

11211

Penyelesaian SPL Ax = b dengan metode LU

b y

Ux yb x

b Ax

L

misalnyaLU

LUA

Untuk mendapatkan nilai n y y y y ,........,, 321 ( penyulihan maju )

b y L

1..

....

0.1

0.01

1

21

ml

l

m y

y

y

.

2

1

=

mb

b

b

.

2

1

Untuk mendapatkan nilai n x x x x ,........,, 321 ( penyulihan mundur )

yUx

mn

n

n

u

uu

uuu

..0

....

.0

.

222

11211

m x

x

x

.

2

1

=

m y

y

y

.

2

1

Dua Metode untuk menyatakan A dalam L dan U :

1.Metode LU Gauss

Langkah – langkah Pembentukan L dan U dari Matriks A

a.Nyatakan A = IA

46

mnm

n

n

aa

aaa

aaa

..

....

.

.

1

22221

11211

=

1..0

....

0.10

0.01

mnm

n

n

aa

aaa

aaa

..

....

.

.

1

22221

11211

b. Eliminasikan matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga

c. Setelah proses Eliminasi gauss selesai pada matriks A ( elemen

dibawah diagonal utama adalah nol ). Matriks I menjadi matr

A menjadi matriks U

Soal .

Tentukan solusi dari :

762

20542

234

321

321

321

x x x

x x x

x x x

2.Metode Reduksi Crout

Karena LU = A maka hasil perkalian LU dapat ditulis

333231

232221

131211

3323321331223212311331

2313212212211121

131211

aaa

aaa

aaa

uululululul

uuluulul

uuu

Tinjau untuk Matriks 3x3

Dari kesamaan diatas diperoleh

1111 au 1212 au 1313 au

11

2121211121

u

alaul


24/35

47

Dst.......

B. Iterasi Jacobi dan Seidel

mnmnmm

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

....

.

...

...

2211

22222121

11212111

Iterasi Jacobi

11

)(

1

)(

21211

1

...

a

xa xab x

k

nn

k

k

22

)(

2

)(

12121

2

...

a

xa xab x

k

nn

k

k

mn

k

nmn

k

mmk

na

xa xab x

)(

11

)(

111 ...

Iterasi Seidel

11

)(

1

)(

21211

1

...

a

xa xab x

k

nn

k

k

22

)(

1

)1(

12121

2

...

a

xa xab x

k

nn

k

k

mn

k

nmn

k

mmk

na

xa xab x

)(

11

)1(

111 ...

Dengan k = 0, 1, 2, ....

48

Untuk menghitung kekonvergenan atau berhentinya iterasi diguna

relative

ε

)1(

)()1(

k

i

k

i

k

i

x

x xi= 1, 2, 3, ....n

Syarat cukup iterasi konvergen : Dominan secara diagonal.

i j jijij aa

,1i= 1, 2, 3, ... n

Agar iterasi konvergen , cukup dipenuhi syarat ini. Jika dipenuhi

Kekonvergenan juga ditentukan oleh pemilihan tebakan awal.

Contoh :

512

184

314

314

148

125

Kekonvergenan iterasi Seidel lebih cepat karena langsung mengg

baru.


25/35


26/35


27/35

53

dari titik data yang diketahui )),(,()),(,()),(,( 221100 x f x x f x x f x

digunakan untuk mencari ,, 10 bb dan 2b . dengan cara perhitungan sebagai

berikut:

o Hitung 0b

Dari persamaan (13) dengan mensubtitusi 0 x x maka

))(()()( 1000200100 x x x xb x xbb x f

00 )( b x f ..................................................................................... (14)

)( 00 x f b

o Hitung 1b

Dengan mensubtitusi persamaan (14) ke persamaan (13) dan subtitusi

1 x x ke persamaan (13) diperoleh

)()()(

0)()()(

))(()()()(

01011

01101

1101201101

x f x f x xb

x xb x f x f

x x x xb x xb x f x f

)15.......(..................................................)()( 0,101

011 x x f

x x

x f x f b

o Hitung 2b

Substitusi persamaan 14 ke persamaan 15 dan juga subtitusi x=x 2 ke

persamaan

54

......................................

,

))((

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

()()()())((

()()(

)()(

02

011,2

2

02

)()(

)(

)()(

1202

12

01

0112

2

12

01

0112

12

01

0102

12

01

0102

01

10212022

2202

01

0102

01

01

12

12

x x

x x f x x f b

x x

x x x x

x x x x

x f x f x f x f

b

x x x x

x f x f x f x f

x x x x

x f x f x f x f

x x x x

x f x f x f x f

x x

f x f x f x f x x x xb

xb x x x x

x f x f x f x f

x x

x f x f

x x

x f x f


28/35

55

c. Interpolasi Polinomial

Untuk polinomial orde n digunakan 1n titik data. Bentuk umum Polinom

orde n adalah

17.........................................).........)...()((....

))(()()(

110

102010

nn

n

x x x x x xb

x x x xb x xbb x f

Koefisien nbbb ..,,........., 10 di evaluasi dengan menggunakan:

)(0 x f b ...................................................................................18

],[ 011 x x f b ............................................................................19

],,[ 0122 x x x f b ........................................................................20

03

012122,3

03

012123012,3

02

)()(

)(

)()(

02

011,2

012

01

0101

102010

1001200102

0122

,,,

,,,,,,

)(

,,,

)()(,

))(()(

))((,,)(,)()(

,,

01

01

12

12

x x

x x x f x x f x x f

x x

x x x f x x x f x x x x f

x x

x x

x x f x x f x x x f

x x

x f x f x x f

x x x xb x xbb

x x x x x x x f x x x x f x f x f

maka x x x f batau

x x

x f x f

x x

x f x f

56

],.....,[ 011 x x x x f b nnn

.............................................................21

Dengan ][ adalah pembagian beda hingga

3n maka

)()(())(()( 210310103 x x x x x xb x x x xbb x f

Dengan )( 00 x f b

],[ 011 x x f b01

01 )()(

x x

x f x f

],,[ 0122 x x x f b02

0112 ],[],[

x x

x x f x x f

],,,[ 01233 x x x x f b03

12123 ,,[],,[

x x

x x x f x x x f

=

03

0223 ]),[,[(

x x

x x f x x f

Misal pembagian beda hingga pertama

],[ ji x x f ji

ji

x x

x f x f

][][.............................................................

Pembagian beda hingga kedua

],,[ k ji x x x f k i

k j ji

x x

x x f x x f

],[],[...........................................

Pembagian beda hingga ketiga


29/35

57

],,,[ lk ji x x x x f li

lk jk ji

x x

x x x f x x x f

],,[],,[...............................................25

Pembagian beda hingga ke-n

],...,[ 01,1 x x x x f nn ................................],,....[],....,[

0

01111

x x

x x x f x x x f

n

nnn

...

26

Bentuk pembagian beda hingga digunakan untuk menghitung koefisien b0,

b1,...,bn kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (17). untuk mendapatkan

interpolasi polinomial ordo n.

)( x fn =

],,,[))(](,,[)](,[)( 0123100120010 x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f

110011210 )...)(](,...,[...))()(( nnn x x x x x x x x x x f x x x x x x

persamaan 23-25 Konstanta

artinya PBH yang lebih tinggi terdiri dari PBH yang lebih rendah

PBH

ii x )( i x f Pertama Kedua Ketiga

00 x )( 0 x f ],[ 01 x x f ],,[ 012 x x x f ],,,[ 0123 x x x x f

11 x )( 1 x f ],[ 12 x x f ],,[ 123 x x x f f ],,,[ 1234 x x x x f

22 x )( 2 x f ],[ 23 x x f ],,[ 234 x x x f

33 x )( 3 x f ],[ 34 x x f

44 x )( 4 x f

58

c.Interpolasi Polinomial Lagrange (IPL)

Hampir sama dengan polinomial Newton, tetapi tidak meng

PBH.

IPL dapat diturunkan dari persamaan Newton

IPL orde 1

)](,[)()( 00101 x x x x f x f x f .....................................

01

01011

)()(],[

x x

x f x f x x f

Atau

10

0

01

101

)()(,

x x

x f

x x

x f x x f ............................................

Substitusi 27 ke 28

)()()()( 010

01

01

001 x f

x x

x x x f

x x

x x x f x f

)()()( 101

00

10

0

10

1001 x f

x x

x x x f

x x

x x

x x

x x x f

= )()( 101

00

10

1 x f x x

x x x f

x x

x x

.................................

Dengan prosedur yang sama diperoleh IPL orde-orde sebag

)(

))((

))(()(

2101

200

2010

212 f

x x x x

x x x x x f

x x x x

x x x x x f


30/35

59

)())((

))((2

1202

10 x f x x x x

x x x x

.....................................................................30

))()((

))()(()(

))()((

))()(()(

312101

3200

302010

3213

x x x x x x

x x x x x x x f

x x x x x x

x x x x x x x f

)(

))()((

))()(()(

))()((

))()(()( 3

231303

210

2

321202

310

1 x f

x x x x x x

x x x x x x x f

x x x x x x

x x x x x x x f

Bentuk umum IPL orde n

n

i

iin x f x L x f 0

)()()( .........................................................................31

i j

x f x x

x x x f

atau

x x

x x x L

i

n

i

n

j ji

i

n

n

j ji

j

i

)()(

)(

0 0

0

2.5.1. Ekstrapolasi

Ekstrapolasi adalah penaksiran nilai f(x) untuk x yang terletak di luar selang

titik data, dan analisis kecendrungan dari masalah ekstrapolasi diarahkan

dengan menggunakan polinomial interpolasi.

4.3. Interpolasi Polinomial Newton

4.2.1.1 Manual

60

Interpolasi dan ekstrapolasi polinomial orde I

%3,0

1003268644

3268644-5,3272821

RE

5,4177selisih

5,3272821

)19801990(19802000

273716638084772737166)(

?...........1990

380847720002000

273716619801980

%5,0

1003268644

3268644-3286684,59RE

59,18040selisih

59,3286684

)19711990(19712000

229527938084772295279)(

?...........1990

380847720002000

229527919711971

%7,0

1002737166

273716663,2756346

347,2756selisih

63,2756346

)19711980(19711990

22952793268644

2295279

)()()()(

?...........)(1980

3268644)(1990

2295279)(1971

1

1

1

0

1

1

1

0

0

01

0101

1

11

00

x

x f

x f x

f x

f x

x

x f

x f x

f x

f x

x RE

x x x x

x f x f x f x f

x f x

x f x

x f x


31/35

61

Model pertumbuhan penduduk NTT berdasarkan Teknik Ekstrapolasi

yang diarahkan dengan polinom interpolasi

Model pertumbuhan penduduk NTT didapatkan dengan mensubtitusikan

nilai b1 ke bentuk umum polinom Newton

Yaitu sebagai berikut:

f 1(x) = 2737166 +53147,8(x-x0),

sehingga model pertumbuhan penduduk NTT berdasarkan teknik

interpolasi polinom Newton orde I, dengan menggunakan tahun 1980

sebagai x0 adalah sebagai berikut:

f 1(x) = 2737166 +53147,8(x-x0),

maka jumlah penduduk NTT pada tahun 2000

3800122

)20(8.5314727371661

x f

Selis ih = - 8355

Gallat =0,2%

8.53147

10

27371663268644

326864419901990

273716619801980

1

1

0

b

f x

f x

62

Interpolasi dan ekstrapolasi polinomial orde 2

Ekstrapolasi kuadrat diarahkan dengan menggunak

interpolasi orde 2

2295279?................)2000(2000

3268644)1990(1990

273716619801980

229527919711971

00

2

1

0

x f b f x

f x

f x

f x

23

2323

12

1212

01

010,11

)()(,

8,53147

19801990

27371663268644

)()(,

5,49098

19711980

22952792737166

)()(

x x

x f x f x x f

x x

x f x f x x f

x x

x f x f x x f b

3,53983

19902000

32686443808477


32/35

63

Model pertumbuhan penduduk NTT berdasarkan teknik interpolasi

polinomial Newton orde ke II, didapatkan dengan mensubtitusikan nilai b0,

b1, b2 ke rumus umum polinomial Newton maka sebagai berikut:

F2(x) = 2295279 + 49098,5 (x-x0) + 213,12 (x-x0)(x-x1)

F2(x) = 2 295279 + (x-x0) (49098,5 + 213,12 (x-x1))

Dengan menggunakan model di atas, maka jumlah penduduk NTT pada

Tahun 2000 adalah sebagai berikut:

Maka f 2(x) = 2295279 + 49098,5 (29) + 213,12 (29) (20)

= 3842745.745,1

Selisih = 34268,1

RE = 0,8%

Interpolasi Polinomial Orde 3

Prediksi jumlah penduduk pada tahun 2004

ii x )( i x f Pertama Kedua Ketiga

0 1971 2295279 49098,5 213,12 -5.908

1 1980 2737166 53147,8 41,775f

2 1990 3268644 53983,3

12,213

19

3,4049

19711990

5,490988,53147

,,,,

02

0112

0122

x x

x x f x x f x x x f b

64

775,41

19802000

8,531473,53983

,,,,

13

1223123

x x

x x f x x f x x x f

3 2000 3808477

8,53147

19801990

27371663268644

)()(,

5,49098

19711980

22952792737166

)()(

12

1212

01

010,11

x x

x f x f x x f

x x

x f x f x x f b

908,5

19712000

12,213775,41

,,,,,,,

03

01212301233

x x

x x x x x x f x x x x f b

12,213

19

3,4049

19711990

5,490988,53147

,,,,

02

01120122

x x

x x f x x f x x x f b


33/35

65

Sehingga model pertumbuhan penduduk NTT dengan menggunakan tehnik

interpolasi polinom Newtonl orde 3

F3(x) = 2295279 + 49098,5 (x-x0) + 213,12 (x-x0)(x-x1)+(-5,908)(x-x0)

(x-x1)(x-x2)

F3(x) = 2 295279 + (x-x0) (49098,5 + 213,12 (x-x1)+(-5,908)(x-x1)(x-

x2))

Berdasarkan model di atas, maka jumlah penduduk NTT pada tahun 2004F3(x) = 2295279 + 49098,5 (33) + 213,12 (33)(24)+(-5,908)(33)(24)(14)

= 4018717,596

Maka prediksi terhadap jumlah penduduk NTT tahun 2004 dengan

menggunakan teknik polinomial Newton orde ke- 3 adalah 4018718

4.2.2 Interpolasi Polinomial Langrange

4.2.2.1 Manual

Model pertumbuhan penduduk NTT berdasarkan interpolasi polinom

langrange

%4

4188774

41887746,4018812

RE

3808477)2000(2000

3268644)1990(1990

273716619801980

229527919711971

3

2

1

0

f x

f x

f x

f x

66

Sehingga model pertumbuhan penduduk NTT

polinom Langrange orde ke II

2295279

))((

))(()(

2101

20

2010

212

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x f

3268644

))((

))((

1202

10

x x x x

x x x x

...........................................

.30

Sedangkan model pertumbuhan penduduk NTT berd

polinom Langrange orde ke III

(

(2295279

))()((

))()(()(

01

0

302010

3213

x x

x x

x x x x x x

x x x x x x x f

)((

)((3268644

))()((

))()((2737166

03

0

321202

310

x x

x x

x x x x x x

x x x x x x


34/35

67

Sehingga jumlah penduduk tahun 2004 berdasarkan model ini adalah

4018809

733,4018808

410.7280757785.5450033093.2810157985.622071

102029

1424333808477

101019

424333268644

10109

414332737166

29199

414242295279

199020001980200019712000

1990200419802004197120043808477

200019901980199019711990

2000200419802004197120043268644

200019801990198019711980

20002004199020041987120042737166

200019711990197119801971

20002004199020041980200422952793

x p

Soal A.

1. Taksirlah logaritma asli dari 2 ( ln 2) dengan memakai interpolasi linier.

Pertama , lakukan komputasi dengan menginterpolasi antara ln 1 = 0 dan ln 6

= 1.7917595. kemudian ulangi prosedurnya tetapi dengan menggunakan

selang yang lebih kecil mulai ln 1 sampai ln 4 ( 1.3862944 ). Perhatikan

bahwa nilai sejati ( true value ) dari ln 2 adalah 0.69314718

%5.4

4188774

41887744018809

RE

68

2. Cocokkan polinom orde kedua terhadap tiga titik yang di

nomor 1.

3. Dengan menambahkan titik keempat ln 5 = 1.6094379. ta

dengan polinom interpolasi beda terbagi newton orde ketiga.

4. Gunakan polinom interpolasi langrange orde pertama dan

menghitung ln 2 berdasar data pada no 1.

5. Taksirlah logaritma bilangan pokok 10 dari 4 ( log 4 ) den

interpolasi linear

a. Interpolasikan antara log 3 dan log 5

b. Interpolasikan antara log 3 dan log 4.5 untuk setiap interp

persen galat relatif berdasar nilai sejati log 4.

6. Cocokkan polinom interpolasi newton orde kedua untuk

dengan memakai data no. 5. Hitung persen galat relatif

7. Cocokkan polinom interpolasi newton orde ke tiga untuk

dengan data pada no 5 dengan titik tambahan log 3.5 . Hitung

relatif

8. Ulangi soal 5 - 7 dengan memakai polinom Langrange

9. Diberi data

x 1 2 3 5

f(x) 4.75 4 5.25 19.75

Hitung f(3.5) dengan memakai polinom – polinom interp

orde 1 sampai 4. Pilih urutan titik – titik untuk taksiran anda u

ketelitian yang bagus.

10. Ulangi soal nomor 9 dengan memakai polinom langrange


35/35

69

Soal B.

1. Prediksikan jumlah penduduk NTT pada tahun 2012 berdasarkan data

jumlah penduduk pada tahun 1971, 1980, 1990, dan 2000

2. Buatlah program dalam bahasa pemrograman Pascal untuk interpolasi

Langrange

3808477)2000(2000

3268644)1990(1990

273716619801980

229527919711971

3

2

1

0

f x

f x

f x

f x

@TA ROMB@

Modul Lengkap Analisis Numerik 2

Documents

Transcript of Modul Lengkap Analisis Numerik 2