MODUL VIIINILAI EGIEN DAN VEKTOR EIGEN

Prayudi STT

PLN

1

Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen2

Nilai Eigen dan Vektor EigenAndaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rn

dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol sedemikian rupa

sehingga,

Ax = x

disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang

bersesuaian dengan .

Contoh :

Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari :

18

03A

yang bersesuaian dengan nilai eigen, = 3, karena :

2

13

6

3

2

1

18

03

Prayudi STT PLN3

Teknik Menghitung Nilai Eigen (1)Untuk menghitung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulislah Ax = x

sebagai,

Ax = Ix

(I – A)x = 0

0

...

0

0

0

...

...

............

...

...

...

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

nnnnnn

ij

n

n

n

x

x

x

x

aaaa

a

aaaa

aaaa

aaaa

Agar supaya menjadi nilai eigen, maka penyelesaian sistem

persamaan linier diatas haruslah non trivial, dimana syaratnya adalah :

0...

0)det(

11

1

nnnn

ccc

AI

Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen4

Teknik Menghitung Nilai Eigen (2)

Persamaan terakhir adalah polinomial berderajad n yang

disebut dengan persamaan karakteritik A, sedangkan nilai

eigen matrik A adalah akar-akar persamaan karakteristik A

(akar-akar polinomial dalam ).

Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen

matrik A adalah :

(1) Bentuk matrik (I – A)

(2) Hitung determinan, det(I – A)=0

(3) Tentukan persamaan karakteristik dari, (I – A) = 0

(4) Hitung akar-akar persamaan karakteristik (nilai lamda)

(5) Hitung vektor eigen dari SPL, (I – A)x=0

Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen5

Contoh

Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A =

11

53

Jawab

Bentuk, I – A yaitu :

(I – A) =

11

53

Persamaan karakteristiknya adalah :

det(I – A) = 2 – 2 – 8 = 0

Akar-akar persamaan karakteristiknya

adalah : 1 = 4, dan 2 = –2, dan inilah

nilai eigen matrik A.

Vektor eigen x dari A diperoleh dari :

(I – A)x = 0

11

53

2

1

x

x

0

0

Untuk = 4, diperoleh SPL

51

51

2

1

x

x

0

0

Solusi SPL diatas adalah :

1

5t

t

t5

x

x

2

1

Jadi vektor eigen untuk = 4,

adalah x = [5,1]. Sedangkan

vektor eigen yang bersesuaian

dengan = –2 adalah, x = [1,–1].

Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen6

Contoh

Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A =

313

043

241

Jawab

Bentuk, I – A yaitu :

(I – A) =

313

043

241

Persamaan karakteristiknya adalah :

det(I – A) = 3 – 62 + 11 – 6 = 0

Akar-akar persamaan karakteristiknya

adalah : 1 = 1, 2 = 2, dan 3 = 3

Vektor eigen x dari A diperoleh dari :

(I – A)x = 0

313

043

241

Untuk = 1, diperoleh SPL

213

033

242

0

0

0

x

x

x

3

2

1

0

0

0

x

x

x

3

2

1

Solusi SPL diatas adalah :

1

1

1

t

t

t

t

x

x

x

3

2

1

Jadi vektor eigen yang

bersesuaian dengan :

= 1 adalah x = [1,1,1] ;

= 2 adalah x = [2,3,3] ;

= 3 adalah x = [1,3,4].

Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen7

Diagonalisasi

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P

yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga, P–1AP adalah matrik

diagonal. Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A.

Langkah-langkah menentukan matrik P dan D adalah sebagai berikut :

(1). Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen

(2). Carilah n vektor eigen bebas linier A sesuai nilai eigen, p1,p2, ... , pn,

(3). Bantuklah matrik P = [p1 p2 … pn] dan hitunglah P–1

(4). Hitung, D = P–1AP dengan diagonal utama, 1, 2, … ,n

Contoh :

313

043

241

A

Vektor eigen dan nilai eigennya :

= 1 adalah x = [1,1,1] ;

= 2 adalah x = [2,3,3] ;

= 3 adalah x = [1,3,4].

431

331

121

P

110

231

353

P1

D = P–1AP =

300

020

001

Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen8

Contoh

Carilah nilai eigen, vektor eigen dan matrik

P yang mendiagonalisasi matrik A, bilamana

521

251

222

A

Jawab

Menentukan nilai eigen A dan vektor eigen. Persamaan karakteristik A

diperoleh dari :

det(I – A) = 0

Persamaan karakteristiknya adalah : 3 – 122 + 45 – 54 = 0. dan akar-

akarnya adalah : 1 = 2 = 3, dan 3 = 6. Vektor eigen x dari A diperoleh dari

: (I – A)x = 0

0

521

251

222

Untuk = 3, SPL-nya

0

0

0

x

x

x

3

2

1

221

221

221

1

0

2

s

0

1

2

t

x

x

x

3

2

1

Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen

p1 = [–2 ,1,0]

p2 = [–2 ,0,1]

Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen9

Untuk = 6, SPL-nya Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen

121

211

224

0

0

0

x

x

x

3

2

1

1

1

1

t

t

t

t

x

x

x

3

2

1

p3 = [–1,1,1]

Matrik P yang mendiagonalisasi A adalah :

P = [p1 p2 p3] =

110

101

122

3/23/23/1

3/13/23/1

3/23/13/1

P1

D = P–1AP =

Matrik diagonal

3/23/23/1

3/13/23/1

3/23/13/1

521

251

222

110

101

122

600

030

003

Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen10

Diagonalisasi Ortogonal

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal

jika terdapat matrik P yang ortogonal sedemikian rupa sehingga, P–1AP

(=PTAP) adalah matrik diagonal (elemen matrik D adlah nilai eigen matrik

A). Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.

Jika A adalah matrik nxn, maka pernyataan berikut ekivalen yakni :

(1). A dapat didiagonalisasi secara ortogonal,

(2). A matrik simetris,

(3). A mempunyai himpunan ortonormal n vektor eigen.

Langkah-langkah menentukan matrik P adalah sebagai berikut :

(1). Carilah n vektor eigen A yang bebas linier, x1, x2, ... , xn.

(2). Terapkan proses Gram-Schmidt untuk membentuk basis ortonormal,

dari vektor basis pada langkah (1).

(3). Bentuk matrik P dari langkah (2), yakni P = [p1 p2 … pn]

Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen11

Contoh

Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan

matrik A, secara ortogonal bilamana

122

221

212

A

Jawab

Menentukan nilai eigen dan vktor eigen A. Persamaan karakteristik A

diperoleh dari :

det(I – A) = 0 0

122

221

212

Persamaan karakteristiknya adalah : 3 – 32 – 9 + 27 = 0. dan akar-akar

atau nilai eigennya adalah : 1 = 2 = 3, dan 3 = –3.

Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (I – A)x = 0

Untuk = 3, SPL-nya

422

211

211

0

0

0

x

x

x

3

2

1

Solusi SPL-nya adalah :

1

0

2

s

0

1

1

t

x

x

x

3

2

1

Vektor eigen

x1 = [1,1,0]

x2 = [–2 ,0,1]

Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen12

Untuk = 6, SPL-nya

222

251

215

Solusi SPL-nya adalah :

2

1

1

t

t2

t

t

x

x

x

3

2

1

0

0

0

x

x

x

3

2

1

Vektor eigen

x3 = [1,–1,2]

Menentukan P = [p1 p2 p3]

Menghitung p1

0,

2

1,

2

1

2

]0,1,1[

1

11

|x|

xp

Menghitung p2

p2 = v2/|v2|, dengan v2 = x2 – [x2,p1]p1

[x2,p1] = 2

20,

2

1,

2

1]1,0,2[

[x2,p1]p1 = ]0,1,1[0,2

1,

2

1

2

2

v2 = x2 – [x2,p1]p1

= [–2,0,1] – [–1,–1,0] = [–1,1,1]

3

1,

3

1,

3

1

3

]1,1,1[2p

Menghitung p3

p3 = v3/|v3|, dengan :

v3 = x3 – [x3,p1]p1 – [x3,p2]p2

[x3,p1] = 00,2

1,

2

1]2,1,1[

Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen13

[x3,p1]p1 = [0,0,0]

[x3,p2] =

[x3,p2]p2 = [0,0,0]

03

1,

3

1,

3

1]2,1,1[

Sehingga, v3 = x3 = [1,–1,2]

6

2,

6

1,

6

1

6

]2,1,1[2p

Dengan demikian,

P = [p1 p2 p3] =

6

2

3

10

6

1

3

1

2

1

6

1

3

1

2

1

6

2

6

1

6

1

3

1

3

1

3

1

02

1

2

1

PT

Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen14

baaa

abaa

aaba

A

11

11

11

1

1

1

baaa

abaa

aaba

A

SOAL-SOAL LATIHANa. Tentukan persamaan karakteristik, nilai eigen matrik A

b. Tentukan vector eigen A yang membentuk yang sesuai

dengan nilai eigen A.

c. Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan A, dengan

rumus P= [x1 x2 … xn], dan D=P–1AP.

d. Dengan proses Gram-Schimdt, tentukan matrik P

mendiagonalisasikan A secara ortonormal,

P= [p1 p2 … pn], D=PTAP.

143

404

341

A

502

032

224

A

321

262

123

A

221

212

122

A