MODUL 7

BENTUK-BENTUK TAK TENTU

Oleh: Muchammad Abrori

7.1. ATURAN LHOPITAL (LHOPITAL’S RULE)

Yang dimaksud dengan bentuk-bentuk tak tentu adalah :

Apabila kita hendak mencari harga limit suatu fungsi di x = a menunjukkan bentuk-

bentuk tak tentu di atas, maka kita akan mengalami kesukaran dalam hal menentukan

harga limit fungsinya. Untuk itu dipergunakan suatu teorema di bawah ini yang disebut

aturan LHopital’s

A. BENTUK

Teorema : Apabila f(x) dan g(x) differensibel di sekitar x = a dan f(a) = g(a) = 0

sedangkan f(a) dan g(a) keduanya tidak nol, maka :

Apabila f(n-1)(a) = g(n-1)(a) = 0, sedangkan f(n)(a) dan g(n)(a) keduanya tidak nol untuk n 2,

maka teorema diatas menjadi :

Sebagai contoh :

B. BENTUK

Apabila f(x) , dan g(x) , untuk x a, maka :

berbentuk

Namun aturan Lhopital dapat dipakai, sebab bentuk tersebut dapat ditulis :

1

yang mempunyai bentuk

Sehingga :

atau :

Jadi benar bahwa aturan Lhopital bisa dipakai untuk bnetuk tak tentu , dan diambil

sebagai contoh :

C. BENTUK 0.

Apabila f(x) 0, dan g(x) , untuk x a, maka f(x).g(x) mempunyai bentuk 0.

Hasil kali ini bisa ditulis sebagai hasil bagi yang bentuknya , ataupun sebagai

hasil bagi :

yang bentuknya , sehingga aturan LHopital bisa digunakan sebagai contoh :

=

D. BENTUK -

Apabila f(x) dan g(x) untuk x a maka f(x) – g(x) mempunyai bnetuk - ,

dan bentuk ini bisa ditulis sebagai berikut :

2

f(x) – g(x) = yang mempunyai bentuk

sehingga aturan LHopital bisa digunakan, sebagai contoh :

E. BENTUK

Bentuk-bentuk ini timbul dari fungsi berbentuk y = f(x) . g(x)

1. Apabila f(x) 0 dan g(x) 0, maka timbul bentuk 0

2. Apabila f(x) dan g(x) 0, maka timbul bentuk

3. Apabila f(x) 1 dan g(x) , maka timbul bentuk

Adapun penyelesaian dari bentuk-bentuk itu, dengan mengambil harga logaritma dari

fungsi y = f(x)g(x), yaitu :

limit y = limit f(x)g(x)

limit ln y = limit g(x) . ln f(x)

Sebagai contoh :

Hitunglah = 1

Misalkan : y =

ln y =

=

Beberapa contoh soal :

3

1. Hitunglah 10. Hitunglah

2. Hitunglah 11. Hitunglah

3. Hitunglah 12. Hitunglah

4. Hitunglah 13. Hitunglah

5. Hitunglah 14. Hitunglah

6. Hitunglah 15. Hitunglah

7. Hitunglah

8. Hitunglah

9. Hitunglah

4