Modul

MODUL 1

ANALISIS VEKTOR

Dalam bab 1, anda akan mempelajari :

1.1 Besaran-besaran scalar dan vector

1.2 Aljabar vector

1.3 Vektor jarak

1.4 Transformasi system koordinat

1.1 Besaran-besaran scalar dan vector

Besaran-besaran scalar adalah besaran-besaran fisika atau kimia yang hanya

memiliki harga mutlak (harga absolut) dan tidak memiliki arah tertentu.

Contoh besaran scalar adalah :

Waktu (t)

Temperatur (T)

Volume (V)

Resistansi (R)

Kapasitansi (C)

Besaran-besaran vektor adalah besaran-besaran fisika atau disiplin ilmu teknik yang

memiliki harga absolut dan arah tertentu.

Contoh besaran vektor :

Gaya (F)

Kecepatan (v)

Percepatan (a)

Intensitas medan listrik (E)

Simbol yang biasa digunakan untuk besaran-besaran vektor adalah huruf yang

dicetak tebal atau huruf yang dilengkapi dengan tanda anak panah

diatasnya.sebagai contoh, vektor F ditulis F atau .

Arah vektor ditunjukkan oleh arah vektor satuannya a, yang dilengkapi dengan

subskrip huruf yang menjadi simbol besaran vektor tersebut. Sebagai contoh vektor

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dudi Supriyadi, ST

MEDAN ALEKTOMAGNETIK 1

gaya F ditulis F = FaF dimana F adalah harga absolut vektor F, | F |. Di dalam sistem

koordinat kartesian tiga dimensi, sembarang vektor F dapat ditulis

F = FaF = Fx + Fy + Fz = Fxax + Fyay+Fzaz

Dimana F = harga absolut vektor F.

Uraian tiga dimensi dari vektor satuan aF adalah :

aF = Fx/Fax + Fy/Fay + Fz/Faz = cos ax + cos βay + cos az

dimana

= sudut antara sumbu x dengan vektor satuan aF

β = sudut antara sumbu y dengan vektor satuan aF

= sudut antara sumbu z dengan vektor satuan aF

Adalah koefisien-koefisien arah disepanjang sumbu x, sumbu y dan sumbu z dari

vektor F.

1.2 Aljabar vektor

Aljabar vektor terdiri dari perkalian antara besaran skalar dengan besaran vektor

penjumlahan atau pengurangan dua atau lebih besaran vektor, perkalian titik atau

perkalian skalar antara dua besaran vektor, dan perkalian vektor antara dua atau

lebih vektor.

Perkalian bilangan skalar dengan vektor

Perkalian bilangan skalar dengan suatu besaran vektor akan menghasilkan sebuah

vektor baru, yang arahnya tidak berubah tetapi harga absolut vektor baru tersebut

adalah harga vektor sebelumnya dikalikan dengan bilangan skalar tadi.

Perkalian bilangan skalar dengan besaran vektor mengikuti hukum-hukum berikut

ini:

1. Hukum Asosiatif : (k + l)(A + B) = k(A + B) + l(A + B), k dan l adalah bilangan

skalar.

2. Hukum Distributif : (k + l)(A + B) = kA + kB + lA + lB

Pejumlahan dua vektor atau lebih

Penjumlahan sembarang vektor A dan sembarang vektor B akan menghasilkan

vektor baru C yang mengikuti hukum-hukum berikut ini :

1. Hukum komutatif

A + B = B + A = C



B C

Secara grafik, vektor C adalah diagonal dari jajaran genjang yang sisi-sisinya

adalah vektor A dan vektor B.

Dengan demikian, harga absolut vektor C ditentukan oleh harga absolut vektor A,

harga absolut vektor B, dan sudut antara vektor A dan vektor B, dengan demikian

harga absolut vektor C akan mengikuti aturan cosinus berikut ini :

C = (A2 + B2 + 2AB cos )1/2

2. Hukum Asosiatif

(A + B) + C = A + (B + C) = (A + C) + B

Perkalian titik antara dua vektor

Perkalian titik antara sembarang vektor A dengan sembarang vektor B akan

menghasilkan besaran skalar . Sifat perkalian titik ini mengikuti hukum komutatif :

A . B = B . A = C

= |A| |B| cos

Dimana adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B.

Perkalian titik antara sembarang vektor A dengan sembarang vektor B dalam sistem

koordinat kartesian tiga dimensi adalah

Sehingga sudut antara sembarang vektor A dan sembarang vektor B adalah :

Contoh Soal 1.1

Jika diketahui vektor AB = 3ay+ 4ay+ 5ay m dan vektor AC = 2ax + 3ay + 3az m, tentukan

luas segitiga ABC

Solusi

AB = harga abolut vektor AB = (32 + 42 + 52 )1/2

= 7,05 meter

AC = harga abolut vektor AC = (22 + 32 + 32 )1/2



A

= 4,69 meter

cos = (3)(2)+(4)(3)+(5)(3) / (7,05)(4,69)

cos = 33/33,06 =0,998

cos2 = 0,996

Dengan demikian, kita peroleh

Luas segitiga ABC = AB.AC.sin = AB.AC. (1-cos2 ) ½

= = 1,0455m2

Produk Titik antara Vektor Satuan Sistem Koordinat Karesian dengan Sistem Koordinasi

Silinder

ax.a = cos , ax.a = - sin , ax. az = 0

ay.a = sin , ay.a = cos , ay. az = 0

az.a = 0, ay.a = 0, az. az = 1

Produk Titik antara Vektor Satuan Sistem Koordinat Kartesian dengan Sistem

Koordinasi Bola

ax . ar = sin cos , ax.a = cos cos , ax . a = - sin

ay . ar = sin sin , ay.a = cos cos , ay . a = cos

az . ar = cos , az.a = - sin , az . a = 0

Perkalian Silang antara Dua Vektor

Perkalian Silang (cross product) antara dua vektor yang berlainan jenis besaran fisiknya

akan menghasilkan vektor baru yang jenis besaran fisiknya juga berbeda. Sebagai

contoh, perkalian silang antara vektor momen magnetik m denganvektor rapat fluks

magnetik B akan menghasilkan vektor energi torsi magnetik T. Jika vektor m memiliki

satuan ampere meter2 dan vektor rapat fluks magnetik B meiliki satuan tesla (T), maka

vektor torsi magnetik memiliki satuan Joule

T = m X B Joule

Perkalian silang antara vektor kecepatan v dari muatan titik Q dengan vektor rapat fluks

magnetik B yang serbasama (homogen) menghasilkan vektor gaya Lorenz persatuan

muatan. Perkalian silang antara vektor arus listrik I yang mengalir pada kawat lurus



sepanjang l dengan vektor rapat fluks B yang serbasama disekitar kawat lurus yang

dialiri arus I akan mnghasilkan vektor gaya per satuan panjang, yang juag serig disebut

vektor gaya Lorenz persatuan panjang. Vektor momen torsi mekanik T adalah perkalian

silang antara vektor jarak r dengan vektor gaya F. Demikian juga, vektor poynting P

adalah produk silang antara vektor kuat medan listrik E dengan Vektor kuat medan

Magnetik H.

P = E x H Wm-2

Secara umum, perkalian silang antara sembarang vector A dengan sembarang vector B

akan menghasilkan vector C, namun perkalian ini tidak bersifat komutatif, karena

A x B = -B x A = C

Dimana vector C tegak lurus dengan vector A dan juga tegak lurus vector B

C A dan C B

Harga absolute vector C adalah = sin dimana adalah sudut antara vector

A dan vector B

Berikut ini adalah perkaian silang antara vector-vektor satuan didalam system koordiant

kartesian :

ax x ay = -ay x ax = az

ay x az = -az x ax = ax

az x ax = -ax x az = ay

Dengan demikian, perkalian silang antara sembarang vector A dengan vector B didalam

system koordinat kartesian tiga dimensi adalah

A B = ( Axax+ Ayay + Azaz ) ( Bxax+ Byay + Bzaz )

= (AyBz - AzBy )ax + (AzBx – AxBz )ay + (AxBy – AyBx )az

= Cxax + Cyay + Czaz

Jadi harga absolut vector C adalah

C = (A2x + A2

y + A2z) ½ (B2

x + B2y + B2

z) ½ sin

= ((AyBz – AzBy)2 + (AzBx – AxBz)2 + (AxBy – AyBx)2)1/2 (1.1)



Dari persamaan (1.1) kita peroleh

sin =

Contoh Soal 1.2

Muatan titik Q = 50 C bergerak dengan keepatan v = (3ax + 4ay) m/s didalam vector

induksi magnetik yang serba sama B = (4ax + 5ay + 3az) mT

Tentukan :

(a) gaya Lorentz per satuan muatan pada Q

(b) sudut antara vector v dan B,

(c) vector gaya, F

Solusi

(a) F/Q = v B = (3ax + 4ay) (4ax+5ay+5az) 10-3 N/C

= (20ax – 15ay –az) 10-3 N/C

(b) = (400 +225 +1 )1/2 10-3 = 25,04-3

= (32 + 42)1/2 m/s = 5 m/s

Dari hasil diatas kita peroleh

Maka, sin =

= sin -1 (0,7106) = 45 30’

(c) F = Q.v b

= 5 10 -5 (20ax- 15ay-az) 10 -3 N

= (100ax – 75ay - 5az) 10-8 N



Modul

Documents

Transcript of Modul