Modul 3 Simplek

Riset Operasi Prayudi Modul 3 : Metode Simplek 1

Bentuk standart programa linier (primal) mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :

Modul III : Metode Simpleks

1. Semua batasan adalah persamaan (dengan sisi kanan non negatif, jika model tersebut dipecahkan dengn metode simpleks primal)

2. Semua variabel adalah non negatif3. Fungsi tujuan dapat berupa maksimum atau minimum

Metode simpleks primal dimulai dari pemecahan dasar yang layak (titik ekstrim) dan berlanjut berulang melalui pemecahan dasar layak berikutnya sampai diperoleh titik optimum

Metode simpleks untuk kasus minimum dapat diselesaikan dengan metode Teknik M (atau metode pinalti), dan metode dua tahap (dua fasa)


Langkah-langkah metode simpleks primal adalah sebagai berikut :1. Ubahlah bentuk batasan model pertidaksamaan menjadi persamaan,

dengan menambahkan variabel slack pada setiap batasan. 2. Bentuklah tabel awal simplek untuk solusi fisibel dasar dengan jumlah

kolom sebanyak jumlah variabel (termasuk variabel slack) ditambah tiga, dan jumlah kolom sebanyak jumlah batasan ditambah tiga baris.

3. Memilih variabel non dasar masuk (EV) yakni kolom yang memiliki nilai koefisien z negatif terbesar.

4. Memilih variabel dasar keluar (LV) dengan cara membagi nilai ruas kanan dengan nilai kolom EV dan memilih baris dg rasio nonnegatif terkecil.

5. Menghitung nilai baris pemutar (persamaan pivot) dengan rumus : pers pivot baru=pers pivot lama / elemen pivot6. Menghitung nilai baris persamaan baru dengan rumus : pers baru=pers lama –(koef kolom EV) x (pers pivot baru)7. Menentukan apakah solusi sudah optimum. Tabel dikatakan optimum,

bilamana semua koefisien fungsi tujuan z semuanya positip. Jika masih tedapat yang negatif ulangi kembali langkah 3 s.d 6.


Contoh :Maksimumkan, z = 150x1+120x2Batasan model : 2x1+ 3x2 ≤ 210 2x1 + 6x2 ≤ 360 6x1 + 2x2 ≤ 420 x1 ≤ 65 x2 ≤ 55

Bentuk persamaan awal model metode simplek adalah :

(0) z – 150 x1 – 120 x2 – 0 s1 – 0 s2 – 0 s3 – 0 s4 – 0 s5 = 0(1) 2 x1 + 3 x2 + s1 = 210(2) 2 x1 + 6 x2 + s2 = 360(3) 6 x1 + 2 x2 + s3 = 420(4) x1 + s4 = 65(5) x2 + s5 = 55


Variabel Basis

Koefisien dariRuas Kanan

Rasioz x1 x2 s1 s2 s3 s4 s5

z 1 -150 -120 0 0 0 0 0 0

s1 0 2 3 1 0 0 0 0 210 105

s2 0 2 6 0 1 0 0 0 360 180

s3 0 6 2 0 0 1 0 0 420 70

s4 0 1 0 0 0 0 1 0 65 65

s5 0 0 1 0 0 0 0 1 55

Tabel awal simpleks : Iterasi pertama

EV = x1LV = s4

Solusi : z=0 x1=0 ; s1=210 ; s3=420 x2=0 ; s2=180 ; s4=65 ; s5=55

Uji optimasi : Terdapat nilai koefisien z negatif, tabel belum optimum


Operasi elementer iterasi kedua :

(i) Persamaan pivot (s4/x1) :

(ii) Persamaan fungsi tujuan (z) :

(iii) Persamaan batasan (s1) :

(iv) Persamaan batasan (s2) :

(v) Persamaan batasan (s3) :

(vi) Persamaan batasan (s5) :

1)L(H

(B)H 44

(L)H1

150(L)H(B)H 400

(L)H12

-(L)H(B)H 411

(L)H12

-(L)H(B)H 422

(L)H16

-(L)H(B)H 433

(L)H10

-(L)H(B)H 455


Variabel Basis



z 1 0 -120 0 0 0 150 0 9750

s1 0 0 3 1 0 0 -2 0 80 26,67

s2 0 0 6 0 1 0 -2 0 230 38,33

s3 0 0 2 0 0 1 -6 0 30 15

x1 0 1 0 0 0 0 1 0 65 -

s5 0 0 1 0 0 0 0 1 55 55

Hasil iterasi kedua :

Solusi : z=9750 x1=65 ; s1=80 ; s3=30 x2=0 ; s2=230; s4=0 ; s5=55


EV = x2LV = s3


Operasi elementer iterasi ketiga :

(i) Persamaan pivot (s3/x2) :



(iv) Persamaan batasan (s2) :

(v) Persamaan batasan (s4/x1) :


3)L(H

(B)H 33

(L)H2

120(L)H(B)H 300

(L)H23

-(L)H(B)H 311

(L)H26

-(L)H(B)H 322

(L)H20

-(L)H(B)H 344

(L)H21

-(L)H(B)H 355


Variabel Basis



z 1 0 0 0 0 60 -210 0 11.550

s1 0 0 0 1 0 -3/2 7 0 35 5

s2 0 0 0 0 1 -3 16 0 140 8.75

x2 0 0 1 0 0 ½ -3 0 15

x1 0 1 0 0 0 0 1 0 65 65

s5 0 0 0 0 0 -1/2 3 1 40 13.33

Hasil iterasi ketiga

Solusi : z=11.550 x1=65 ; s1=35 ; s3=0 x2=30 ; s2=140 ; s4=0 ; s5=40


EV = s4LV = s1


Operasi elementer iterasi keempat :

(i) Persamaan pivot (s1/s4) :



(iv) Persamaan batasan (s3/x2) :

(v) Persamaan batasan (s4/x1) :


7)L(H

(B)H 11

(L)H7

210(L)H(B)H 100

(L)H7

16-(L)H(B)H 122

(L)H73

(L)H(B)H 133

(L)H71

-(L)H(B)H 144

(L)H73

-(L)H(B)H 155


Variabel Basis



z 1 0 0 30 0 15 0 0 12.600

s4 0 0 0 0.14 0 -0.21 1 0 5

s2 0 0 0 -2.28 1 0.42 0 0 60

x2 0 0 1 0.42 0 -0.14 0 0 30

x1 0 1 0 -0.14 0 0.21 0 0 60

s5 0 0 0 -0.42 0 0.14 0 1 25

Hasil iterasi keempat

Solusi : z=12.600 x1=60 ; s1=0 s3=0 x2=30 ; s2=60 s4=5 ; s5=25

Uji optimasi : Semua nilai koefisien z positip, tabel optimum


Langkah-langkah metode M adalah sebagai berikut :

1. Ubahlah batasan model pertidaksamaan menjadi persamaan, dengan menambahkan variabel slack (s) dan variabel buatan pada setiap batasan, dan ubah fungsi tujuan yang memuat variabel buatan (R).

2. Bentuklah tabel awal simplek untuk solusi fisibel dasar dengan jumlah kolom sebanyak jumlah variabel (termasuk variabel slack dan buatan) ditambah tiga, dan kolom sebanyak jumlah batasan ditambah tiga baris.

3. Memilih variabel non dasar masuk (EV) yakni kolom yang memiliki nilai koefisien z positip terbesar.

4. Memilih variabel dasar keluar (LV) dengan cara membagi nilai ruas kanan dengan nilai kolom EV dan memilih baris dg rasio nonnegatif terkecil.

5. Menghitung nilai baris pemutar (persamaan pivot) dengan rumus : pers pivot baru=pers pivot lama / elemen pivot6. Menghitung nilai baris persamaan baru dengan rumus : pers baru=pers lama –(koef kolom EV) x (pers pivot baru)7. Menentukan apakah solusi sudah optimum. Tabel optimum, jika semua

koefisien fungsi tujuan z semuanya negatif. Jika masih tedapat yang positip ulangi kembali langkah 3 s.d 6.


Contoh : Teknik Metode M

Minimumkan, z = 80x1+100x2Batasan model : 4x1+ 2x2 ≥ 258 5x1 + 4x2 ≥ 420 2x1 + 4x2 ≥ 240 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

Bentuk persamaan awal model metode simplek adalah :

(0) z+(11M– 80)x1 +(10M–100)x2–Ms1–Ms2–Ms3+0A1+0A2+ 0A3 =918M(1) 4 x1 + 2 x2 – 1 s1 + A1 = 258(2) 5 x1 + 4 x2 – 1 s2 + A2 = 420(3) 2 x1 + 4 x2 – 1 s3 + A3 = 240


Variabel Basis


Rasiox1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3

z11M-

8010M-100

-M -M -M 0 0 0 918M

A1 4 2 -1 0 0 1 0 0 258 64.5

A2 5 4 0 -1 0 0 1 0 420 85

A3 2 4 0 0 –1 0 0 1 240 120

Tabel Awal : Iterasi pertama

Solusi : z=918M x1=0 ; s1=0 ; s3=0 ; A2=420 x2=0 ; s2=0 ; A1=258 ; A3=240

Uji optimasi : Terdapat nilai koefisien z positip, tabel belum optimum


(i) Persamaan pivot (A1/x1) :


(iii) Persamaan batasan (A2) :

(iv) Persamaan batasan (A3) :

Operasi elementer iterasi kedua :

EV = x1, LV = A1

4)L(H

(B)H 11

(L)H4

80-11M-(L)H(B)H 100

(L)H45

-(L)H(B)H 122

(L)H42

-(L)H(B)H 133


Vari abel Basis



z 04,5M -

601,75M - 20 -M -M

-2,75M +20 0 0

208,5M + 5.160

x1 1 0,5 -0,25 0 0 0,25 0 0 64,5 129

A2 0 1,5 1,25 -1 0 -1,25 1 0 97,5 65

A3 0 3 0,5 0 –1 -0,5 0 1 111 37

Tabel Awal : Iterasi kedua

Solusi : z=208,5M+5.160 x1=64,5 ; s1=0 ; s3=0 ; A2=97,5 x2=0 ; s2=0 ; A1=0 ; A3=111



(i) Persamaan pivot (A3/x2) :


(iii) Persamaan batasan (x1) :


Operasi elementer iterasi ketiga :

EV = x2, LV = A3

3

)L(H(B)H 3

3

(L)H3

60-4,5M-(L)H(B)H 300

(L)H3

0,5-(L)H(B)H 311

(L)H3

1,5-(L)H(B)H 322


Vari abel Basis



z 0 0 M-10 -M0,5M-

20-2M +10 0

-1,5M +20

42M + 7380

x1 1 0 -1/3 0 1/6 1/3 0 -1/6 46

A2 0 0 1 -1 1/2 -1 1 -1/2 42 42

x2 0 1 1/6 0 –1/3 -1/6 0 1/3 37 222

Tabel Awal : Iterasi ketiga

Solusi : z=42 M + 7.380 x1=46 ; s1=0 ; s3=0 ; A2=42 x2=37 ; s2=0 ; A1=0 ; A3=0



(i) Persamaan pivot (A2/s1) :


(iii) Persamaan batasan (x1) :


Operasi elementer iterasi keempat :

EV = s1, LV = A2

1)L(H

(B)H 22

(L)H1

10-2M-(L)H(B)H 200

(L)H1

1/3(L)H(B)H 211

(L)H1

1/6-(L)H(B)H 222


Vari abel Basis

Koefisien dariRuas Kana

n


z 0 0 0 -10 -15 -M -M+10 -M+15 7800

x1 1 0 0 -1/3 1/3 0 1/3 -1/3 60

s1 0 0 1 -1 1/2 -1 1 -1/2 42

x2 0 1 0 1/6 –2,5/6 0 -1/6 2,5/6 30

Tabel Awal : Iterasi keempat

Solusi : z=7800 x1=60 ; s1=42 ; s3=0 ; A2=0 x2=30 ; s2=0 ; A1=0 ; A3=0

Uji optimasi : Semua nilai koefisien z negatip, tabel sudah optimum


Kasus-kasus dalam metode Simpleks : Degenerasi.

Degenerasi terjadi, jika dalam menentukan variabel keluar (LV), terdapat dua baris yang memiliki rasio minimum yang sama, atau EV (ada dua nilai yang sama.

Optimasi alternatif (tak berhingga banyak).

Kasus ini terjadi bilamana fungsi tujuan sejajar dengan salah satu batasan yang memenuhi solusi optimal, fungsi tujuan akan memiliki nilai optimal yang sama di lebih salah satu titik.

Solusi yang tidak dibatasi.

Kasus ini terjadi,daerah fisibel tidak terbatas (unbounded), akibatnya nilai variabel dan fungsi tujuan akan meningkat (maksimisasi) atau menurun (minimisasi).

Pemecahan tidak layak

Kasus ini terjadi, bilamana daerah fisibel tidak dipenuhi secara simultan.

Nilai ruas kanan (kuantitas) yang negatif.

Modul 3 Simplek

Documents

Transcript of Modul 3 Simplek