Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3

download Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3

of 33

  • date post

    14-Oct-2015
  • Category

    Documents

  • view

    236
  • download

    2

Embed Size (px)

Transcript of Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3

  • 5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3

    1/33

    Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan

    dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif.

    Jawaban:

    P = {3x|x Z }Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumahan.

    1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y P. Akan ditunjukkan a+b P.Perhatikan :a+b = 3x + 3y = (x+x+x) + (y+y+y)

    = (x+y) + (x+y) + (x+y)

    = 3(x+y)

    Karena x+y Z, maka a+b P

    2. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y P. Akan ditunjukkan a+b = b+aPerhatikan:

    a+b = 3x + 3y = 3(x+y)= 3(y+ x)

    = 3y + 3x= b + a

    3. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z P. Akan ditunjukkan (a+b)+c = a+(b+c)Perhatikan:

    a+(b+c) = 3x + (3y + 3z)

    = 3x + 3(y+z)=3(x+ (y+z))

    = 3((x+y) + z)

    = 3(x+y) + 3z

    = (3x + 3y) + 3z= (a+b) + c

    4. Perhatikan bahwa 0 < Z, pilih 3.0 = 0 < P.Ambil sebarang a = 3x P. Akan ditunjukkan 0 adalah unsur nol dalam P.Perhatikan:

    a + 0 = 3x + 3.0

    = 3(x+0)

    = 3x= a

    Ini berarti 0 unsur nol dalam P.

    5. Ambil sebarang a = 3x P. Pilih b = 3(-x) P. Akan ditunjukkan(3x) = 3(-x)Perhatikan:3(x) + 3(-x) = 3(x+(-x))

    = 3.0= 0

    Jadi(3x) = 3(-x)

    Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P semigrup terhadap operasi perkalian.

  • 5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3

    2/33

    1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y P. Akan ditunjukkan a.b P.Perhatikan:

    a .b = 3x . 3y= 3. 3xy

    = 3(3xy)

    Karena 3xy Z, maka a.b P.2. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z P. Akan ditunjukkan a.(b.c) = (a.b).c

    Perhatikan:

    a.(b.c) = 3x(3y . 3z)

    = 3x(3(3yz))

    = 3.3.3(x(yz))= 3.3.3((xy)z)

    = 3.3(xy) . 3z

    = (3x . 3y). 3z

    = (a.b). c

    Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P distributif perkalian terhadap penjumlahan.

    1. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y, c = 3z P. Akan ditunjukkan a(b+c) = a.b + a.c dan(b+c)a = b.a + c.a

    Perhatikan:

    a(b+c) = 3x(3y + 3z)

    = 3x(3(y + z))= 3.3(x(y + z))

    = 3.3(xy + xz)

    = 3.3xy + 3.3xz= a.b + a.c(b+c)a = (3y + 3z). 3x

    = ((y+z)3). 3x= ((y+z)x)3.3

    = (yx + zx)3.3= 3.3yx + 3.3zx

    = 3y.3x + 3z.3x

    = b.a + c.a

    Langkah merikutnya menunjukkan bahwa P bersifat komutatif.

    1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y P. Akan ditunjukkan a.b = b.aPerhatikan:

    a .b = 3x. 3y= 3.3xy

    = 3.3yx= 3y. 3x

    = b.a

    Jadi P adalahgelanggangatau ring komutatif.

  • 5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3

    3/33

    2. Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.

    Bukti :

    Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsiyang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan

    operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan darah asal (domain) dari

    fungsi.Misalkan f : Z Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalamcontoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Z

    maka:

    x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Zsehingga:

    xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai

    nq + r.

    Akibatnya:xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.

    Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 .

    Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring

    3. Bila didefinisikan Q(2 ) = { a + b 2 a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(2 )merupakan ring bagian dari R.

    Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(2 ) juga himpunan yang tidakkosong.

    Terhadap operasi pergandaan bersifat( a + b 2 ) ( c + d 2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) 2dan terhadap operasi pengurangan bersifat

    ( a + b ) 2 ( c + d ) 2 = ( ac ) + ( bd ) 2Karena ac + 2bd, ad + bc, ac dan ad tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi

    pengurangannya tetap dalam Q (2 ).Oleh karena itu Q (2 ) merupakan ring bagian dari R.Perlu dicatat bahwa Q (2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleksC = { a + b i a, b dalam R }Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b2 dan dalam hal ini ring Q ( 2 ) mengandungQ, seperti juga C mengandung R.

    4. Tunjukan bahwa Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma.Penyelesaian :

    Tabel

    Daftar Cayley Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .)

  • 5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3

    4/33

    Dari tabel di atas menunjukkan kedua grup (Z2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel

    tersebut menunjukkan suatu kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang dua

    unsur di (Z2,+) berkorespodensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian di (H, .), sehinggaterdapat korespodensi 11 dari kedua tabel tersebut.Hal ini menunjukkan bahwa kedua Grup memiliki struktur yang sama. Jadi kedua Grup tersebut

    dikatakan Isomorfik. Sekarang akan ditunjukan bahwa pemetaan p : (Z2,+) (H,.), untuk setiapa, b Z2. Dari tabel diketahui pemetaan p(0) = 1 dan p(1) = -1,sehingga :

    p(a + b) = p(a) . p(b)p(0 + 1) = p(0) . p(1)

    p(1) = 1 . -1

    -1 = -1

    Jadi terbukti bahwa p : (Z2,+) (H, .) suatu Homomorfisma yang pemetaannya bijektif,sehingga merupakan Isomorfisma.

    5. Misalkan (Z,+) adalah Grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukan bahwa (Z,+)yang didefinisikan pemetaan p : Z Z adalah p(x) = 2x, x Z, adalah suatu Homomorfisma.Penyelesaian :

    Akan ditunjukkan sifat dari Homomorfisma :

    Misalkan x, y Z, maka p(x + y) = 2(x + y)

    = 2x + 2y

    = p(x) + p(y)

    Sehingga p adalah suatu Homomorfisma.Dalam hal ini Homomorfisma p merupakan suatu Endomorfisma karena daerah kawan

    (kodomain) sama dengan daerah asal (domain), dengan kata lain pemetaan itu dari sautu Grup kedalam dirinya sendiri.

    6. Tunjukan bahwa Z4adalah merupakan suatu Ring.

    Penyelesaian :

    Tabel

    Daftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)-0

  • 5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3

    5/33

    Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa Z4= {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring bila memenuhi

    :1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4,+)

    - Tertutup

    Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 Z41 + 0 = 1

    1 + 1 = 2

    1 + 2 = 31 + 3 = 0

    karena hasilnya 0, 1, 2, 3 Z4, maka tertutup terhadap Z4- Assosiatif

    Ambil sebarang nilai dari Z6, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z4(a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2

    a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2

    Sehingga :

    (a + b) + c = a + (b + c) = 2maka Z4 assosiatif

    - Adanya unsur satuan atau identitas

    Ambil sebarang nilai dari Z4

    misalkan 0 Z40 + e = e + 0 = 0

    misalkan 1 Z41 + e = e + 1 = 1

    misalkan 2 Z42 + e = e + 2 = 2

    misalkan 3 Z43 + e = e + 3 = 3

    maka Z4 ada unsur satuan atau identitas- Adanya unsur balikanatau invers

  • 5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3

    6/33

    Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0 Z4, pilih 0 Z4,sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)

    -1= 0

    Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 1 Z4, pilih 3 Z4,sehingga 1 + 3 = 0 = e, maka (1)

    -1= 3

    Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 Z4, pilih 2 Z4,sehingga 2 + 2 = 0 = e, maka (2)

    -1= 2

    Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 3 Z4, pilih 1 Z4,sehingga 3 + 1 = 0 = e, maka (3)

    -1= 1

    maka Z4 ada unsur balikan atau invers

    - Komutatif

    Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 3 Z4(a + b) = (2 + 3) = 1

    (b + a) = (3 + 2) = 1Sehingga :

    (a + b) = (b + a) = 1

    maka Z4 komutatifJadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +).

    2. Semigrup terhadap perkalian (Z4,.)

    - Tertutup

    Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 Z41 . 0 = 0

    1 . 1 = 1

    1 . 2 = 2

    1 . 3 = 3karena hasilnya 0, 1, 2, 3 Z4, maka tertutup terhadap Z4- Assosiatif

    Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z4(a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2

    Sehingga :

    (a . b) . c = a . (b . c) = 2maka Z4 assosiatif

    Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (Z4, .).

    3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

    Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z4a.(b + c) = 2.(1 + 3)

    = 2.(0)= 0

    (a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3)

    = 2 + 6= 0Maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0

  • 5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3

    7/33

    (a + b).c = (2 + 1).3

    = (3).3

    = 1(a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3)

    = 2 + 3

    = 1Maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap penjumlahan.

    Karena Z4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka Z4 adalah suatu

    Ring (Z4,+,.).

    7. Dari soal no.6 tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif.

    Penyelesaian :

    Dari soal no.6, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring (Z4,+,.). Sekarangakan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut.

    a . b = b . a, a,b Z4

    Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3

    Z4 (pada tabel no.6)2 . 3 = 2

    3 . 2 = 2Sehingga

    2 . 3 = 3 . 2 = 2

    Karena Ring (Z4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (Z4,+,.) tersebut adalah

    Ring Komutatif atau Ring Abelian.

    8. Misalkan P = {genap, ganjil} dan P Z. Tunjukan bahwa elem