Download - Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3

5/24/2018 Misalkan P Himpunan Bilangan Bulat Kelipatan 3

1/33

Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan

dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif.

Jawaban:

P = {3x|x Z }Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumahan.

1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y P. Akan ditunjukkan a+b P.Perhatikan :a+b = 3x + 3y = (x+x+x) + (y+y+y)

= (x+y) + (x+y) + (x+y)

= 3(x+y)

Karena x+y Z, maka a+b P

2. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y P. Akan ditunjukkan a+b = b+aPerhatikan:

a+b = 3x + 3y = 3(x+y)= 3(y+ x)

= 3y + 3x= b + a

3. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z P. Akan ditunjukkan (a+b)+c = a+(b+c)Perhatikan:

a+(b+c) = 3x + (3y + 3z)

= 3x + 3(y+z)=3(x+ (y+z))

= 3((x+y) + z)

= 3(x+y) + 3z

= (3x + 3y) + 3z= (a+b) + c

4. Perhatikan bahwa 0 < Z, pilih 3.0 = 0 < P.Ambil sebarang a = 3x P. Akan ditunjukkan 0 adalah unsur nol dalam P.Perhatikan:

a + 0 = 3x + 3.0

= 3(x+0)

= 3x= a

Ini berarti 0 unsur nol dalam P.

5. Ambil sebarang a = 3x P. Pilih b = 3(-x) P. Akan ditunjukkan(3x) = 3(-x)Perhatikan:3(x) + 3(-x) = 3(x+(-x))

= 3.0= 0

Jadi(3x) = 3(-x)

Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P semigrup terhadap operasi perkalian.


2/33

1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y P. Akan ditunjukkan a.b P.Perhatikan:

a .b = 3x . 3y= 3. 3xy

= 3(3xy)

Karena 3xy Z, maka a.b P.2. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z P. Akan ditunjukkan a.(b.c) = (a.b).c

Perhatikan:

a.(b.c) = 3x(3y . 3z)

= 3x(3(3yz))

= 3.3.3(x(yz))= 3.3.3((xy)z)

= 3.3(xy) . 3z

= (3x . 3y). 3z

= (a.b). c

Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P distributif perkalian terhadap penjumlahan.

1. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y, c = 3z P. Akan ditunjukkan a(b+c) = a.b + a.c dan(b+c)a = b.a + c.a

Perhatikan:

a(b+c) = 3x(3y + 3z)

= 3x(3(y + z))= 3.3(x(y + z))

= 3.3(xy + xz)

= 3.3xy + 3.3xz= a.b + a.c(b+c)a = (3y + 3z). 3x

= ((y+z)3). 3x= ((y+z)x)3.3

= (yx + zx)3.3= 3.3yx + 3.3zx

= 3y.3x + 3z.3x

= b.a + c.a

Langkah merikutnya menunjukkan bahwa P bersifat komutatif.

1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y P. Akan ditunjukkan a.b = b.aPerhatikan:

a .b = 3x. 3y= 3.3xy

= 3.3yx= 3y. 3x

= b.a

Jadi P adalahgelanggangatau ring komutatif.


3/33

2. Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.

Bukti :

Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsiyang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan

operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan darah asal (domain) dari

fungsi.Misalkan f : Z Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalamcontoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Z

maka:

x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Zsehingga:

xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai

nq + r.

Akibatnya:xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.

Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 .

Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring

3. Bila didefinisikan Q(2 ) = { a + b 2 a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(2 )merupakan ring bagian dari R.

Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(2 ) juga himpunan yang tidakkosong.

Terhadap operasi pergandaan bersifat( a + b 2 ) ( c + d 2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) 2dan terhadap operasi pengurangan bersifat

( a + b ) 2 ( c + d ) 2 = ( ac ) + ( bd ) 2Karena ac + 2bd, ad + bc, ac dan ad tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi

pengurangannya tetap dalam Q (2 ).Oleh karena itu Q (2 ) merupakan ring bagian dari R.Perlu dicatat bahwa Q (2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleksC = { a + b i a, b dalam R }Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b2 dan dalam hal ini ring Q ( 2 ) mengandungQ, seperti juga C mengandung R.

4. Tunjukan bahwa Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma.Penyelesaian :

Tabel

Daftar Cayley Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .)


4/33

Dari tabel di atas menunjukkan kedua grup (Z2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel

tersebut menunjukkan suatu kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang dua

unsur di (Z2,+) berkorespodensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian di (H, .), sehinggaterdapat korespodensi 11 dari kedua tabel tersebut.Hal ini menunjukkan bahwa kedua Grup memiliki struktur yang sama. Jadi kedua Grup tersebut

dikatakan Isomorfik. Sekarang akan ditunjukan bahwa pemetaan p : (Z2,+) (H,.), untuk setiapa, b Z2. Dari tabel diketahui pemetaan p(0) = 1 dan p(1) = -1,sehingga :

p(a + b) = p(a) . p(b)p(0 + 1) = p(0) . p(1)

p(1) = 1 . -1

-1 = -1

Jadi terbukti bahwa p : (Z2,+) (H, .) suatu Homomorfisma yang pemetaannya bijektif,sehingga merupakan Isomorfisma.

5. Misalkan (Z,+) adalah Grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukan bahwa (Z,+)yang didefinisikan pemetaan p : Z Z adalah p(x) = 2x, x Z, adalah suatu Homomorfisma.Penyelesaian :

Akan ditunjukkan sifat dari Homomorfisma :

Misalkan x, y Z, maka p(x + y) = 2(x + y)

= 2x + 2y

= p(x) + p(y)

Sehingga p adalah suatu Homomorfisma.Dalam hal ini Homomorfisma p merupakan suatu Endomorfisma karena daerah kawan

(kodomain) sama dengan daerah asal (domain), dengan kata lain pemetaan itu dari sautu Grup kedalam dirinya sendiri.

6. Tunjukan bahwa Z4adalah merupakan suatu Ring.

Penyelesaian :

Tabel

Daftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)-0


5/33

Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa Z4= {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring bila memenuhi

:1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4,+)

- Tertutup

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 Z41 + 0 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 = 31 + 3 = 0

karena hasilnya 0, 1, 2, 3 Z4, maka tertutup terhadap Z4- Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari Z6, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z4(a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2

a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2

Sehingga :

(a + b) + c = a + (b + c) = 2maka Z4 assosiatif

- Adanya unsur satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari Z4

misalkan 0 Z40 + e = e + 0 = 0

misalkan 1 Z41 + e = e + 1 = 1

misalkan 2 Z42 + e = e + 2 = 2

misalkan 3 Z43 + e = e + 3 = 3

maka Z4 ada unsur satuan atau identitas- Adanya unsur balikanatau invers


6/33

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0 Z4, pilih 0 Z4,sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)

-1= 0


-1= 3


-1= 2


-1= 1

maka Z4 ada unsur balikan atau invers

- Komutatif

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 3 Z4(a + b) = (2 + 3) = 1

(b + a) = (3 + 2) = 1Sehingga :

(a + b) = (b + a) = 1

maka Z4 komutatifJadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +).

2. Semigrup terhadap perkalian (Z4,.)

- Tertutup

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 Z41 . 0 = 0

1 . 1 = 1

1 . 2 = 2

1 . 3 = 3karena hasilnya 0, 1, 2, 3 Z4, maka tertutup terhadap Z4- Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z4(a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2

Sehingga :

(a . b) . c = a . (b . c) = 2maka Z4 assosiatif

Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (Z4, .).

3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z4a.(b + c) = 2.(1 + 3)

= 2.(0)= 0

(a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3)

= 2 + 6= 0Maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0


7/33

(a + b).c = (2 + 1).3

= (3).3

= 1(a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3)

= 2 + 3

= 1Maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Karena Z4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka Z4 adalah suatu

Ring (Z4,+,.).

7. Dari soal no.6 tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif.

Penyelesaian :

Dari soal no.6, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring (Z4,+,.). Sekarangakan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut.

a . b = b . a, a,b Z4

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3

Z4 (pada tabel no.6)2 . 3 = 2

3 . 2 = 2Sehingga

2 . 3 = 3 . 2 = 2

Karena Ring (Z4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (Z4,+,.) tersebut adalah

Ring Komutatif atau Ring Abelian.

8. Misalkan P = {genap, ganjil} dan P Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan genapdan ganjil adalah suatu Ring Komutatif.Penyelesaian:

Tabel

Daftar Cayley (P, +) dan (P, .)

Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan suatu Ring Komutatif

bila memenuhi :

1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)

- TertutupAmbil sebarang nilai dari P, misalkan genap, ganjil Pgenap + genap = genap

genap + ganjil = ganjil

ganjil + ganjil = genap

Karena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P

- Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P


8/33

(a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil

a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil

Sehingga :(a + b) + c = a + (b + c) = ganjil

Maka P assosiatif


Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih genap P,sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap

maka P ada unsur satuan atau identitas

- Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)

-1= genap

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P,sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)

-1= ganjil

maka P ada unsur balikan atau invers

- Komutatif

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil P

(a + b) = (genap + ganjil) = ganjil

Sehingga :(a + b) = (b + a) = ganjilmaka P komutatif

Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P, +).

2. Monoid terhadap perkalian (P, .)- Tertutup

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap dan ganjil Pgenap . ganjil = genapgenap . genap = genap

ganjil . ganjil = ganjil

karena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P

- AssosiatifAmbil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P(a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap

a . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genap

Sehingga :

(a . b) . c = a . (b . c) = genapmaka P assosiatif



9/33

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P,sehingga genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P,sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil

maka P ada unsur satuan atau identitas- Komutatif

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil P(a . b) = (genap . ganjil) = genap

(b . a) = (ganjil . genap) = genap

Sehingga :

(a . b) = (b . a) = genapmaka P komutatif

Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatif terhadap perkalian (P, .).


Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap Pa.(b + c) = genap . (ganjil + genap)

= genap.(ganjil)= genap

(a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap)

= genap + genap

= genapmaka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap

(a + b).c = (genap + ganjil). Genap

= (ganjil). Genap= genap

(a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap)= genap + genap

= genapmaka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genap

Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka P adalah suatuRing Komutatif (P,+, .).

9. Dari soal no 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa RingKomutatif tersebut adalah Integral Domain.

Penyelesaian :

Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengankata lain:

a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0

Misalkan :X = {,-3, -1, 1, 3, } adalah himpunan bilangan ganjil danY = {, -4, -2, 0, 2, 4,} adalah himpunan bilangan genap.Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan


10/33

genap ada unsur nol.

Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0

jika a = 0 atau b = 0, a,b P.

10. Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a 0, serta b,c R.Tunjukan bahwa b

= c.Penyelesaian :

ab = ac, maka:abac = 0a(bc) = 0Karena R adalah Integral Domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan a 0, maka :bc = 0Jadi b = c

11. Tunjukan bahwa Z4 bukan merupakan Integral Domain.

Penyelesaian :

Daftar Cayley (Z4, .)

Dari tabel diatas, dapat kita lihat bahwa [2] adalah merupakan pembagi nol, dimana diperoleh

[2].[2] = 0, sehingga kita tidak selalu dapat mengkensel seperti [2].[1] = [2].[3] tetapi [1] [3].Jadi dapat disimpulkan bahwa Z4 bukan merupakan suatu Integral Domain karena memiliki

pembagi nol yaitu [2].12. Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan apakah Ring

Komutatif tersebut adalah Field.

Penyelesaian :

Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau invers terhadap

perkalian, dengan kata lain:

a P, a-1

P, sedemikian sehingga a . a-1

= a-1. a = e

Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P,sehingga genap.ganjil = genap e


11/33

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,sehingga genap.genap = genap e

maka P tidak ada unsur balikan atau invers.

Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukan merupakan Field.

Dari soal no.8, dapat kita simpulkan bahwa P = {genap, ganjil} dimana P Z, adalah suatu RingKomutatif yang juga merupakan Integral Domain (Daerah Integral) tetapi bukan merupakan

Field (Lapangan).

Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.

Bukti :

Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsi

yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan

operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan darah asal (domain) darifungsi.

Misalkan f : Z Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalamcontoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Zmaka:

x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Z

sehingga:xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai

nq + r.

Akibatnya:

xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.


Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)

Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring

Bila didefinisikan Q(2 ) = { a + b 2 a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(2 )

merupakan ring bagian dari R.


Terhadap operasi pergandaan bersifat( a + b 2 ) ( c + d 2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) 2


12/33

dan terhadap operasi pengurangan bersifat

( a + b ) 2 ( c + d ) 2 = ( a c ) + ( bd ) 2

Karena ac + 2bd, ad + bc, ac dan ad tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasipengurangannya tetap dalam Q (2 ).

Oleh karena itu Q (2 ) merupakan ring bagian dari R.

Perlu dicatat bahwa Q (2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleksC = { a + b i a, b dalam R }

Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b2 dan dalam hal ini ring Q ( 2 ) mengandungQ, seperti juga C mengandung R.

Tunjukan bahwa Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma.

Penyelesaian :

Tabel

Daftar Cayley Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .)

Dari tabel di atas menunjukkan kedua grup (Z2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel

tersebut menunjukkan suatu kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang duaunsur di (Z2,+) berkorespodensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian di (H, .), sehingga

terdapat korespodensi 11 dari kedua tabel tersebut.

Hal ini menunjukkan bahwa kedua Grup memiliki struktur yang sama. Jadi kedua Grup tersebut

dikatakan Isomorfik. Sekarang akan ditunjukan bahwa pemetaan p : (Z2,+) (H,.), untuk setiapa, b Z2. Dari tabel diketahui pemetaan p(0) = 1 dan p(1) = -1,

sehingga :

p(a + b) = p(a) . p(b)

p(0 + 1) = p(0) . p(1)

p(1) = 1 . -1

-1 = -1
http://ciiekaajn.files.wordpress.com/2012/05/picture2.jpg


13/33

Jadi terbukti bahwa p : (Z2,+) (H, .) suatu Homomorfisma yang pemetaannya bijektif,sehingga merupakan Isomorfisma.

Misalkan (Z,+) adalah Grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukan bahwa (Z,+) yang

didefinisikan pemetaan p : Z Z adalah p(x) = 2x, x Z, adalah suatu Homomorfisma.

Penyelesaian :

Akan ditunjukkan sifat dari Homomorfisma :

Misalkan x, y Z, maka p(x + y) = 2(x + y)= 2x + 2y

= p(x) + p(y)

Sehingga p adalah suatu Homomorfisma.

Dalam hal ini Homomorfisma p merupakan suatu Endomorfisma karena daerah kawan(kodomain) sama dengan daerah asal (domain), dengan kata lain pemetaan itu dari sautu Grup ke

dalam dirinya sendiri.

unjukan bahwa Z4adalah merupakan suatu Ring.

Penyelesaian :

Tabel

Daftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)-0

Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa Z4= {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring bila memenuhi:

1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4,+)

- Tertutup

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 Z4
http://ciiekaajn.files.wordpress.com/2012/05/picture3.jpg


14/33

1 + 0 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

1 + 3 = 0

karena hasilnya 0, 1, 2, 3 Z4, maka tertutup terhadap Z4

- Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari Z6, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z4

(a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2

a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2

Sehingga :

(a + b) + c = a + (b + c) = 2

maka Z4 assosiatif


Ambil sebarang nilai dari Z4

misalkan 0 Z40 + e = e + 0 = 0

misalkan 1 Z41 + e = e + 1 = 1

misalkan 2 Z42 + e = e + 2 = 2

misalkan 3 Z43 + e = e + 3 = 3

maka Z4 ada unsur satuan atau identitas

- Adanya unsur balikanatau invers


-1= 0


15/33


-1= 3


-1= 2


-1= 1

maka Z4 ada unsur balikan atau invers

- Komutatif

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 3 Z4

(a + b) = (2 + 3) = 1

(b + a) = (3 + 2) = 1

Sehingga :

(a + b) = (b + a) = 1

maka Z4 komutatif

Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +).

2. Semigrup terhadap perkalian (Z4,.)

- Tertutup

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 Z4

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

1 . 2 = 2

1 . 3 = 3

karena hasilnya 0, 1, 2, 3 Z4, maka tertutup terhadap Z4

- Assosiatif



16/33

(a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2

a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2

Sehingga :

(a . b) . c = a . (b . c) = 2

maka Z4 assosiatif

Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (Z4, .).



a.(b + c) = 2.(1 + 3)

= 2.(0)

= 0

(a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3)

= 2 + 6

= 0

Maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0

(a + b).c = (2 + 1).3

= (3).3

= 1

(a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3)

= 2 + 3

= 1

Maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1

Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap penjumlahan.


17/33

Karena Z4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka Z4 adalah suatu

Ring (Z4,+,.).

Dari soal no.6 tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif.

Penyelesaian :

Dari soal no.6, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring (Z4,+,.). Sekarangakan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut.

a . b = b . a, a,b Z4

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3 Z4 (pada tabel no.6)

2 . 3 = 23 . 2 = 2

Sehingga

2 . 3 = 3 . 2 = 2

Karena Ring (Z4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (Z4,+,.) tersebut adalah

Ring Komutatif atau Ring Abelian.

Misalkan P = {genap, ganjil} dan P Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan genap danganjil adalah suatu Ring Komutatif.

Penyelesaian :

Tabel

Daftar Cayley (P, +) dan (P, .)

Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan suatu Ring Komutatif

bila memenuhi :

1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)

- Tertutup
http://ciiekaajn.files.wordpress.com/2012/05/tabel.jpg


18/33

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap, ganjil P

genap + genap = genap

genap + ganjil = ganjil

ganjil + ganjil = genap

Karena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P

- Assosiatif


(a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil

a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil

Sehingga :

(a + b) + c = a + (b + c) = ganjil

Maka P assosiatif


Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih genap P,sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap


- Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)

-1= genap

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P,sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)

-1= ganjil

maka P ada unsur balikan atau invers


19/33

- Komutatif


(a + b) = (genap + ganjil) = ganjil

Sehingga :

(a + b) = (b + a) = ganjil

maka P komutatif

Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P, +).

2. Monoid terhadap perkalian (P, .)

- Tertutup

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap dan ganjil P

genap . ganjil = genap

genap . genap = genap

ganjil . ganjil = ganjil

karena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P

- Assosiatif


(a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap

a . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genap

Sehingga :

(a . b) . c = a . (b . c) = genap

maka P assosiatif


Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P,sehingga genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil


20/33

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P,sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil


- Komutatif


(a . b) = (genap . ganjil) = genap

(b . a) = (ganjil . genap) = genap

Sehingga :

(a . b) = (b . a) = genap

maka P komutatif

Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatif terhadap perkalian (P, .).



a.(b + c) = genap . (ganjil + genap)

= genap.(ganjil)

= genap

(a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap)

= genap + genap

= genap

maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap

(a + b).c = (genap + ganjil). Genap

= (ganjil). Genap

= genap

(a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap)


21/33

= genap + genap

= genap

maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genap

Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka P adalah suatu

Ring Komutatif (P,+, .).

Dari soal no 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa Ring

Komutatif tersebut adalah Integral Domain.

Penyelesaian :

Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.

Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengankata lain:


Misalkan :

X = {,-3, -1, 1, 3, } adalah himpunan bilangan ganjil danY = {, -4, -2, 0, 2, 4,} adalah himpunan bilangan genap.

Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan

genap ada unsur nol.Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0


Dari soal no 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa Ring

Komutatif tersebut adalah Integral Domain.

Penyelesaian :


Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengankata lain:


Misalkan :

X = {,-3, -1, 1, 3, } adalah himpunan bilangan ganjil danY = {, -4, -2, 0, 2, 4,} adalah himpunan bilangan genap.


22/33

Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan

genap ada unsur nol.

Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0


Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a 0, serta b,c R.Tunjukan bahwa b = c.

Penyelesaian :

ab = ac, maka:

abac = 0a(bc) = 0

Karena R adalah Integral Domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan a 0, maka :bc = 0

Jadi b = c

Tunjukan bahwa Z4 bukan merupakan Integral Domain.

Penyelesaian :

Daftar Cayley (Z4, .)

Dari tabel diatas, dapat kita lihat bahwa [2] adalah merupakan pembagi nol, dimana diperoleh[2].[2] = 0, sehingga kita tidak selalu dapat mengkensel seperti [2].[1] = [2].[3] tetapi [1] [3].

Jadi dapat disimpulkan bahwa Z4 bukan merupakan suatu Integral Domain karena memiliki

pembagi nol yaitu [2]

Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan apakah Ring Komutatiftersebut adalah Field.
http://ciiekaajn.files.wordpress.com/2012/05/picture4.png


23/33

Penyelesaian :


Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau invers terhadap

perkalian, dengan kata lain:a P, a

-1P, sedemikian sehingga a . a

-1= a-

1. a = e

Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P,sehingga genap.ganjil = genap e

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,sehingga genap.genap = genap e

maka P tidak ada unsur balikan atau invers.

Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukan merupakan Field.

Dari soal no.8, dapat kita simpulkan bahwa P = {genap, ganjil} dimana P Z, adalah suatu RingKomutatif yang juga merupakan Integral Domain (Daerah Integral) tetapi bukan merupakanField (Lapangan).

CONTOH SOAL STRUKTUR ALJABAR

1.Himpunan

Contoh 1

Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan

bulat positif, didefinisikan x * y = |xy| bila x y dan x * x = x untuk

setiap x,y Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif dan

assosiatif.Penyelesaian :

a. Tertutup

Misalkan x = 2 dan y = 3,x * y = 2 * 3 = 1x * x = 2 * 2 = 2x * y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y Z+

b. Komutatif

x, y Z+, misalkan x = 2 dan y = 3x * y = 2 * 3 = |23| = 1


24/33

y * x = 3 * 2 = |32| = 1x * y = y * x komutatif

c.Assosiatif

x, y, z Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4

(x * y) * z = (2 * 3) * 4 = |2 3| * 4 = |14| = 3x * (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * |3 4| = |21| = 1

(x * y) * z x * (y * z) tidak assosiatif

Contoh 2

Jika A, B R didefinisikan A = { x | 1 x 4} = { 1, 2, 3, 4} dan

B = { x | 2 x 3} = {2, 3}. Tunjukan bahwa A x B B x A !Penyelesaian :

Relasi terhadap A x B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,2),

(4,3)}Relasi terhadap B x A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3),(3,4)}

2.semigrup dan monoid

Contoh 1

Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner:

a * b = a + b + ab

Tunjukan bahwa (N, *) adalah suatu semigrup.Penyelesaian:

1. Tertutup

Ambil sebarang a, b * N, karena a, b* N, dan ab* N maka

a * b = a + b + ab * N.Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.

2. Assosiatif

Ambil sebarang a, b, c * N, maka(a * b) * c = (a + b + ab) * c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c = a + b + ab + c + ac + bc + abc

a * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc

Maka untuk setiap a, b, c * N berlaku

(a * b) * c = a * (b * c).


25/33

Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup.

Jika operasi biner pada semigrup (S, *) tersebut bersifat komutatif, maka semigrup (S, *) disebut

juga semigrup abel.

Contoh 2

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu grup terhadap

penjumlahan (G, +).

Penyelesaian:Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +) sebagai berikut

+ -1 1

-1 -2 0

1 0 2

Berdasarkan daftar Cayley dari tabel di atas, operasi penjumlahan himpunan G = {-1, 1}menghasilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0, 2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan

G = {-1, 1}, maka G = {-1, 1} tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan.

Jadi, (G, +) bukan suatu grup.


26/33

3.Dasar2 grup

Contoh 1

tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakanSubgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).Penyelesaian :

H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},sehingga H G.

Dari tabel 3.3. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syaratsuatu Grup :

a. Tertutup

Ambil sebarang nilai dari Hmisalkan 0, 2, 4 H

0 + 0 = 00 + 2 = 20 + 4 = 42 + 2 = 42 + 4 = 04 + 4 = 2

karena hasilnya 0, 2, 4 H,maka tertutup terhadap H

b.AssosiatifAmbil sebarang nilai dari Hmisalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 H(a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2Sehingga :(a + b) + c = a + (b + c) = 2maka H assosiatif

c.Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)Ambil sebarang nilai dari G misalkan 0 G0 + e = e + 0 = 0 misalkan 2 G

2 + e = e + 2 = 2 misalkan 4 G

4 + e = e + 4 = 4maka G ada unsur satuan atau identitas

d.Adanya unsur balikan atau inversAmbil sebarang nilai dari G, misalkan 0 G, pilih 0 G,

sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0


27/33

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 2 G, pilih 4 G,sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 4 G, pilih 2 G,sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2maka G ada unsur balikan atau invers

e.Adanya unsur satuan atau identitasAmbil sebarang nilai dari H

misalkan 4 H4 + e = 4 + 0 = 4e + 4 = 0 + 4 = 4Sehingga :4 + e = e + 4 = 4maka H ada unsur satuan atau identitas

f.Adanya unsur balikan atau inversAmbil sebarang nilai dari H, misalkan 4 H4 + (-4) = 44 = 0 = e(-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = eSehingga :4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = emaka H ada unsur balikan atau inversJadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H, +)merupakan Subgrup dari (G, +).

Contoh 2tunjukan bahwa H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakanSubgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).

Penyelesaian :

H = {1, 2, 3} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},

sehingga H G.Akan ditunjukan H = {1, 2, 3} memenuhi syarat-syarat suatu Grup :Ambil sebarang nilai dari H

misalkan 2, 3 H

didapat : 2 + 3 = 55 G tetapi 5 H, sehingga 5 tidak tertutup terhadap operasi biner (H, +)Maka H = {1, 2, 3} bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

4.Grup siklik

Contoh 1Grup (Z,+) merupakan Grup Siklik tak hingga yang dibangunoleh 1.

Penyelesaian :

[1] = {, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, }= {, -2, -1, 0, 1, 2, }


28/33

Jadi, 1 merupakan genertor yang membentuk Grup Siklik tak hingga.

Contoh 2Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .).Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.Penyelesaian :

Generator dari G = {-1, 1} adalah -1 dan 1

[-1] = {(-1)n| n Z}= {(-1)0, (-1)1, (-1)2, }= {-1, 1}[1] = {(1)n| n Z}= {(1)0, (1)1, (1)2, }= {1}generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga :[-1] = {-1, 1}

generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga :[1] = {1}.

5.Grup faktor

Contoh 1Misalkan (G,+) = Z4 adalah suatu Grup dan H = {0,2} adalah merupakanSubgrup dari G. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari H dalam G.Penyelesaian :

(G,+) = Z4 = {0, 1, 2, 3}, generatornya 0, 1, 2, dan 3

Koset kiri : 0 + H = 0 + {0,2} = {0,2}1 + H = 1 + {0,2} = {1,3}2 + H = 2 + {0,2} = {2,0}3 + H = 3 + {0,2} = {3,1}Koset kanan: H + 0 = {0,2} + 0 = {0,2}H + 1 = {0,2} + 1 = {1,3}H + 2 = {0,2} + 2 = {2,0}H + 3= {0,2} + 3 = {3,1}Sehingga :0 + H = H + 0= {0,2}

1 + H = H + 1= {1,3}2 + H = H + 2 = {0,2}3 + H = H + 3 = {1,3}Maka koset kiri = koset kanan

Contoh 2Misalkan 3Z adalah merupakan Subgrup dari Z. Tentukan koset kiri dankoset kanan dari 3Z dalam Z.

Penyelesaian :

Kita akan selidiki koset kiri dan koset kanan terhadap operasi penjumlahandan operasi perkalian.


29/33

Diketahui :Z = { , -2, -1, 0, 1, 2, }3Z = {., -6, -3, 0, 3, 6, }

a. Terhadap operasi penjumlahan

Koset kiri :-2 + 3Z = {., -8, -5, -2, 1, 4, }-1 + 3Z = {., -7, -4, -1, 2, 5, }0 + 3Z = {., -6, -3, 0, 3, 6, }1 + 3Z = {., -5, -2, 1, 4, 7, }2 + 3Z = {., -4, -1, 2, 5, 8, }

Koset kanan:3Z + (-2) = {., -8, -5, -2, 1, 4, }

3Z + (-1) = {., -7, -4, -1, 2, 5, }3Z + 0 = {., -6, -3, 0, 3, 6, }3Z + 1 = {., -5, -2, 1, 4, 7, }3Z + 2 = {., -4, -1, 2, 5, 8, }Koset kiri = Koset kanan

b. Terhadap operasi perkalian

Koset kiri :-2 . 3Z = {., 12, 6, 0, -6, -12, }

-1 . 3Z = {., 6, 3, 0, -3, -6, }0 . 3Z = {0}1 . 3Z = {., -6, -3, 0, 3, 6, }2 . 3Z = {., -12, -6, 0, 6, 12, }

Koset kanan:3Z . (-2) = {., 12, 6, 0, -6, -12, }3Z . (-1) = {., 6, 3, 0, -3, -6, }3Z . 0 = {0}3Z . 1 = {., -6, -3, 0, 3, 6, }3Z . 2 = {., -12, -6, 0, 6, 12, }

Koset kiri = Koset kanan

6.RING

Contoh 1Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.

Bukti :

Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu

fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut

mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan daerah

asal (domain) dari fungsi.


30/33

Misalkan f : Z Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n.Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y

dalam Z maka:

x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Z

sehingga:

xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakansebagai nq + r.

Akibatnya:

xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.


Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)

Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring

Contoh 2.Didefinisikan Q(2 ) = { a + b 2 a, b dalam Q }. Buktikan bahwa Q(2 ) merupakan ring

bagian dari R

Jawab:Bila didefinisikan Q(2 ) = { a + b 2 a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(2 )merupakan ring bagian dari R.


Terhadap operasi pergandaan bersifat

( a + b 2 ) ( c + d 2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) 2dan terhadap operasi pengurangan bersifat

( a + b ) 2 ( c + d ) 2 = ( a c ) + ( bd ) 2Karena ac + 2bd, ad + bc, ac dan ad tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi

pengurangannya tetap dalam Q (2 ).Oleh karena itu Q (2 ) merupakan ring bagian dari R.Perlu dicatat bahwa Q (2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleksC = { a + b i a, b dalam R } Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b2 dan dalam hal ini ring Q ( 2 )mengandung Q, seperti juga C mengandung R.

7.subring

Contoh 1Akan kita tunjukan bahwa S = {0, 2} memenuhi syarat-syarat dari suatu

Ring.1. S , syarat terpenuhi karena S = {0, 2}

2. a - b SMisalkan 0, 2 S20 = 222 = 002 = 2Sehinigga 0, 2 S3. a . b S

Misalkan 0, 2 S

2 . 0 = 02 . 2 = 0


31/33

0 . 2 = 0

Sehingga 0 SSyarat (1), (2), dan (3) terpenuhi maka S adalah Subring dari Z4.

Contoh 2

Diketahui R ring komutatif dan himpunan bagian X R . Didefinisikan

I X = { I ideal di R I X I } = dan (X)= Jika A,B R , maka (A) (B) merupakan

IIX.ideal pada (A) .Bukti.Karena (A),(B) ideal-ideal di R, maka (A) (B) juga merupakan ideal di R. Karena

berlaku hubungan (A)(B) (A) , maka untuk setiap x (A)(B) dan r (A)selalu

berlaku rx =xr(A) (B) . Jadi, terbukti bahwa (A) (B) merupakan ideal pada A .

8.ring faktor & homomorfisma

Contoh 1

Bila K = {0, 2, 4} adalah suatu Ideal yang dibangun oleh 2 dalam Z6.Tunjukan Z6/K adalah merupakan Ring Faktor.

Penyelesaian :Ada dua koset / Ideal dari Ring Z6, yaitu :K = {0, 2, 4}K + 1 = {1, 3, 5}Sehingga Z6/K = {K, K + 1}

Tabel 8.1.

Daftar Cayley (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, +) dan (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, .)

Tabel 8.1. menunjukan penjumlah dan perkalian unsur-unsur dari Z6/K.Selanjutnya dari tabel, kita akan membuktikan bahw Z6/K dengan syaratsyaratsuatu Ring merupakan Ring Faktor dari Z6/K. Adapun syaratsyaratnyasebagai berikut :

1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di Z6/K K, K + 1 Z6/K

+ k K+1

k k k-1

K+1 K+1 k

. k K+1

k k k

K+1 k k-1


32/33

berlaku K + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1

Sehingga K + 1 Z6/K

2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K K, K + 1 Z6/K

[K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K + 1)][K + (0 + 1)] + (K + 1) = K + [K + (1 + 1)](K + 1) + (K + 1) = K + (K + 0)K + (1 + 1) = K + (0 + 0)K = KSehingga [K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K + 1)] = K

3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) di Z6/K K + 1 Z6/K

(K + 0) + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1

(K + 1) + (K + 0) = K + (1 + 0) = K + 1Sehingga (K + 0) + (K + 1) = (K + 1) + (K + 0) = K + 1

4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di Z6/K K + 1 Z6/K(K + 1) + (K + (-1)) = K + (1 + (-1)) = K + 0 = K(K + (-1)) + (K + 1) = K + ((-1) + 1) = K + 0 = KSehingga (K + 1) + (K + (-1)) = (K + (-1)) + (K + 1) = K + 0 = K

5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K

K, K + 1 Z6/KK + (K + 1) = (K + 1) + KK + (0 + 1) = K + (1 + 0)K + 1 = K + 1Sehingga K + (K + 1) = (K + 1) + K = K + 1

6. Tertutup terhadap perkalian (.) di Z6/K K, K + 1 Z6/Kberlaku K . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = KSehingga K Z6/K

7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di Z6/K K, K + 1 Z6/K

[K . (K + 1)] . (K + 1) = K . [(K + 1) . (K + 1)][K + (0 . 1)] . (K + 1) = K . [K + (1 . 1)](K + 0) . (K + 1) = K . (K + 1)K + (0 . 1) = K + (0 . 1)K = KSehingga [K . (K + 1)] . (K + 1) = K . [(K + 1) . (K + 1)] = K

8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.) di Z6/K

K Z6/K(K + 1) . K = K + (1 . 0) = K + 0 = K


33/33

K . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = KSehingga (K + 1) + K = K + (K + 1) = K + 0 = K

9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) di Z6/K K, K + 1 Z6/K

Misalkan a = K , b = K + 1 dan c = K + 1a. (b + c) = (a . b) + (a . c)K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K . (K + 1)]K . [K + (1 + 1)] = [K + (0 . 1)] + [K + (0 . 1)]K + [0 . (1 + 1)] = K + [(0 . 1) + (0 . 1)]K + (0 . 0) = K + (0 + 0)K = KSehingga K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K . (K + 1)] = KJadi, Z6/K = {K, K + 1} adalah merupakan suatu Ring Faktor

Contoh 2Tunjukan apakah f : ZR dengan f(a) = a adalah suatu HomomorfismaRing.Penyelesaian :

Akan kita buktikan bahwa a, b R berlaku :1. f(a + b) = f(a) + f(b)2. f(a . b) = f(a) . f(b)Sehingga :

1. f(a + b) = f(a) + f(b), a, b R

(a + b) = (a) + (b)a + a = a + b

2. f(a . b) = f(a) . f(b), a, b R(a . b) = (a) . (b)a . b = a . bDikarenakan untuk f(a + b) = f(a) + f(b) dan f(a . b) = f(a) . f(b) makaf : ZR untuk f(a) = a adalah merupakan suatu HomomorfismaRing.

9.ring polinom

Contoh 1

Tentukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut terhadap Z3[x], dimanap(x) = 2x2 + 2 dan q(x) = 2x + 2, p(x) adalah polinom yang dibagi dang(x) polinom pembagi.