SOLUSI SEMI FINAL SMA

1. Misalkan N adalah bilangan bulat terkecil yang bersifat :bersisa 2 jikadibagi 5, bersisa 3

jikadibagi oleh 7, dan bersisa 4 jikadibagi 9. Hasil penjumlahan digit-digit dari N adalah

…

a. 12 d. 15

b. 13 e. 16

c. 14

SOLUSI

Karena N bersisa 2 jikadibagi 5 maka N = 5m + 2 untuk suatu bilangan bulat tak negatif

m.

N ≡ 3 (mod 7)

5m + 2 ≡ 3 (mod 7)

5m ≡ 1 (mod 7)

Nilai m yang memenuhi haruslah berbentuk m = 7k + 3 untuk suatu bilangan bulat tak

negatif k.

N = 5m + 2 = 5(7k + 3) + 2 = 35k + 17

N ≡ 4 (mod 9)

35k + 17 ≡ 4 (mod 9) ≡ 22 (mod 9)

35 k ≡ 5 (mod 9)

Nilai k yang memenuhi haruslah berbentuk k = 9p + 4 untuk suatu bilangan bulat

taknegatif p.

N = 35k + 17 = 35(9p + 4) + 17 = 315p + 157.

Nmin

= 157 jika p = 0

∴Jumlah digit dari Nmin

adalah = 1 + 5 + 7 = 13

2. Jika 62ab427 adalah suatu kelipatan 99, berapakah digit a dan b?

a. 3,3 d. 6,2

b. 4,3 e. 9,4

c. 2,4

SOLUSI

Bilangan yang habisdibagi 99 adalahbilangan yang habisdibagi 9 dan 11.

Bilangan yang habisdibagi 9 adalahbilangan yang jumlah digit-digitnyahabisdibagi 9,

sehingga:

6 + 2 + a + b + 4 + 2 + 7 = 9k, k bil.bulat

a + b + 21 = 9k ( untuk 9k yang terdekatadalah 27 )

Cukuplah k = 1 danjumlahkankembali digit-digit padaruaskiri, yaitu:

a + b + 2 + 1 = 9

a + b = 6

Karena bilangan tersebut juga habis dibagi 11 maka perlu dibuat bahwa bilangan habis

dibagi 11 jika jumlah selang-selingnya habis dibagi 11, sehingga

6 – 2 + a – b + 4 – 2 + 7 = 11

Atau, a – b = -2 a + 4 = 6

Jadi, a + b = 6 a = 2

a – b = -2

2b = 8

b = 4

Jawabannya, a = 2 dan b = 4.C

3. Jika 𝑓(𝑥2018 + 1) = 𝑥4038 + 𝑥2018 + 1, maka jumlah dari koefisien – koefisien pada

𝑓(𝑥2018 − 1) adalah …

a. −2 d. −3

b. 1 e. 6

c. 4

SOLUSI

Mis. 𝑥2018 = 𝑦

𝑓(𝑦 + 1) = 𝑦2 + 𝑦 + 1

𝑦 − 1 dapat ditulis (𝑦 − 2) + 1, sehingga

𝑓((𝑦 − 2) + 1) = (𝑦 − 2)2 + (𝑦 − 2) + 1

𝑓((𝑦 − 2) + 1) = 𝑦2 − 4𝑦 + 2 + 𝑦 − 2 + 1

𝑓(𝑦 − 1) = 𝑦2 − 3𝑦 + 3

Subtitusikan 𝑦 = 𝑥2018

𝑓(𝑥2018 − 1) = (𝑥2018)2 − 3𝑥2018 + 3

𝑓(𝑥2018 − 1) = 𝑥4038 − 3𝑥2018 + 3

Jumlah koefisien – koefisien pada 𝑓(𝑥2018 − 1) adalah,

1 − 3 + 3 = 1

4. Utu menggambar bagiandari parabola 𝑦 = 𝑥2 − 12𝑥 + 7. Titik-Titik parabola yang

muncul dalam gambar memiliki absis mulai dari 0 sampai +1. Maka ordinat terkecil dan

ordinat terbesar titik-titik pada parabola yang muncul dalam gambar berturut-turut adalah

...

a. −3 dan 4 d. −3 𝑑𝑎𝑛 26

b. 0 dan −3 e. −29 𝑑𝑎𝑛 6

c. −27 dan −5

SOLUSI

𝑦 = 𝑥2 − 12𝑥 + 7

Nilai pada ujung-ujung interval, untuk 𝑥 = 0 maka 𝑦 = 7 sedangkan untuk 𝑥 = 1 maka

𝑦 = −4

𝑦𝑚𝑎𝑘𝑠 = −𝐷

4𝑎= −

(−12)2−4(1)(7)

4.1= −29 yang didapat untuk

𝑥 = −𝑏

𝑎= −

(−12)

2(1)= 6

Maka ordinat terkecil dan ordinat terbesar adalah −29 dan 6

5. Diketahui𝑔(𝑥) =1

3𝑥3 − 𝐴2𝑥 + 1 , 𝑓(𝑥) = 𝑔(2𝑥 − 1) dimana A adalah suatu konstanta.

Jika 𝑓 naikpada𝑥 ≤ 0 atau 𝑥 ≥ 1, nilai maksimum relatif 𝑔 adalah ….

a. 1 d. 5

3

b. 1

3 e. 0

c. 3

SOLUSI

Substitusi nilai 𝐴 = 1 ke pers. 𝑔(𝑥)

𝑔(𝑥) =1

3𝑥3 − 𝐴2𝑥 + 1

=1

3𝑥3 − 12𝑥 + 1

=1

3𝑥3 − 𝑥 + 1

Maka,

𝑔′(𝑥) = 𝑥2 − 1

𝑔′′(𝑥) = 2𝑥

Apabilia𝑔′(𝑎) = 0 dan 𝑔′′(𝑎) < 0 , maka 𝑔(𝑥) mencapai maksimum relatif di 𝑥 = 𝑎

Ujinilaiturunanpertama

𝑔′(𝑥) = 0

𝑥2 − 1 = 0

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = 0

𝑥 = 1 atau 𝑥 = −1

Ujinilaiturunankedua

𝑔′′(𝑥) < 0

𝑥 = 1 ⇒ 𝑔′′(1) = 2(1) = 2 > 0

Jadi, 𝑥 = 1 adalah nilai minimum relatif

𝑥 = −1 ⇒ 𝑔′′(−1) = 2(−1) = −2 > 0

Jadi, 𝑥 = −1 adalah nilai maksimum relatif

Sehingga, nilaimaksimumrelatifdati𝑔(𝑥)adalah :

𝑔(−1) =1

3(−1)3 − (−1) + 1 = −

1

3+ 1 + 1 =

5

3

6. Bilangan bulat positif terbesar sehingga untuk semua bilangan bulat positif 𝑛, merupakan

factor dari

𝑛(𝑛 + 1)2(𝑛 + 2)3(𝑛 + 3)4

adalah...

a. 2435 d. 2335

b. 2334 e. 2534

c. 2532

SOLUSI

misalkan bilangan bulat terbesar yang membagi n(n+1)2(n+2)3(n+3)4 untuk semua

bilangan bulat positif n & k maka k harus membagi 1(1+1)2(1+2)3(1+4)4=223344= 21033

sehingga k hanya mempunyai factor prima 2 & 3

Misalkan k = 2a3bdengan𝑎 ≤ 10&𝑏 ≤ 3 perhatikan bahwa k juga harus habis membagi

sehingga 4(4 + 1)2(4 + 2)3(4 + 3)4 = 22526374 = 25335274𝑎 ≤ 5

Selain itu k juga harus habis membagi 2(2 + 1)2(2 + 2)3(2 + 3)4 = 21324354 =

273254 , sehingga 𝑏 ≤ 2 . sekarang kita buktikan bahwa k=2532

Untuk setiap bilangan bulat positif n pastilah n & n+2 genap atau n+1 & n+3 dengan satu

diantaranya kelipatan 4. Kedua kasus ini mengakibatkan 25 habis membagi 𝑛(𝑛 + 1)2(𝑛 +

2)3(𝑛 + 3)4.

Selain itu, kita juga punya bahwa tepat salah satu dari n+1,n+2, dan n+3 habis dibagi 3,

Sehingga 𝑛(𝑛 + 1)2(𝑛 + 2)3(𝑛 + 3)4 selalu habis dibagi 32. Jadi bilangan bulat positif

yang dimaksud adalah 2532

7. Banyaknya himpunan 𝑥 yang memenuhi

{1, 2, 3, 4,… ,999} ⊆ 𝑥 ⊆ {1, 2, 3, 4,… , 2018}

Adalah sebanyak 𝑝. Angka satuan dari 𝑝 adalah …

a. 4 d. 7

b. 5 e. 8

c. 6

SOLUSI

{1, 2, 3, 4,… ,999} ⊆ 𝑥 ⊆ {1, 2, 3, 4,… , 2018}

Elemen1, 2,… , 999 haruslah merupakan elemen dari 𝑥.

𝑥 ⊆ {1000, 1001,1002,… , 2018}

Banyaknya himpunan bagiandari𝑥 adalah 21019 = 𝑝. Maka digit terakhir dari 𝑝 adalah

1019𝑚𝑜𝑑4 ≡ 3𝑚𝑜𝑑4. Digit terakhirnya adalah 8

8. 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 7

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 = 49

𝑎𝑥3 + 𝑏𝑦3 = 133

𝑎𝑥4 + 𝑏𝑦4 = 406

Nilai dari2018(𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦) − 100(𝑎 + 𝑏) adalah …

a. 5972 d. 5975

b. 5973 e. 5976

c. 5974

SOLUSI

ax + by = 7

𝑎𝑥 = 7 − 𝑏𝑦

𝑏𝑦 = 7 − 𝑎𝑥

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 = 49

𝑥. 𝑎𝑥 + 𝑦. 𝑏𝑦 = 49

𝑥(7 − 𝑏𝑦) + 𝑦(7 − 𝑎𝑥) = 49

7(𝑥 + 𝑦) − 𝑥𝑦(𝑎 + 𝑏) = 49

𝑎𝑥3 + 𝑏𝑦3 = 133

𝑥. 𝑎𝑥2 + 𝑦. 𝑏𝑦2 = 133

𝑥(49 − 𝑏𝑦2) + 𝑦(49 − 𝑎𝑥2) = 133

49(𝑥 + 𝑦) − 𝑥𝑦(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) = 133

49(𝑥 + 𝑦) − 7𝑥𝑦 = 133

𝑎𝑥4 + 𝑏𝑦4 = 406

𝑥. 𝑎𝑥3 + 𝑦. 𝑏𝑦3 = 406

𝑥(133 − 𝑏𝑦3) + 𝑦(133 − 𝑎𝑥3) = 406

133(𝑥 + 𝑦) − 𝑥𝑦(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2) = 406

133(𝑥 + 𝑦) − 49𝑥𝑦 = 406

19(𝑥 + 𝑦) − 7𝑥𝑦 = 58

Denganmelakukanteknikeleminasi-subtitusipadasistempersamaanberikut

49(𝑥 + 𝑦) − 7𝑥𝑦 = 133

19(𝑥 + 𝑦) − 7𝑥𝑦 = 58

Diperoleh𝑥 + 𝑦 =5

2, 𝑥𝑦 = −

3

2, kemudian substitusikan pada

7(𝑥 + 𝑦) − 𝑥𝑦(𝑎 + 𝑏) = 49

Diperoleh𝑎 + 𝑏 = 21

Maka,

2018(𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦) − 100(𝑎 + 𝑏)

= 2018(5

2+3

2) − 100(21)

= 8072 − 2100

= 5972

9. Padasegitiga𝐴𝐵𝐶, titik 𝐹 memebagi sisi 𝐴𝐶 dalam perbandingan 1: 3. Misalkan G titik

tengah 𝐵𝐹 dan 𝐸 titik perpotongan antara sisi 𝐵𝐶 dengan 𝐴𝐺. Maka titik 𝐸 membagi sisi

𝐵𝐶 dalam perbandingan...

a. 1: 2 d. 1: 5

b. 1: 3 e. 2: 5

c. 1: 4

SOLUSI

Perhatikan gambar berikut :

Misalkan [𝑋𝑌𝑍] merupakan luas ∆𝑋𝑌𝑍

Misalkan [𝐴𝐵𝐶] = 𝑥. Karena 𝐴𝐹: 𝐹𝐶 = 1: 3 maka [𝐴𝐵𝐹] =1

4[𝐴𝐵𝐶] =

1

4𝑥

Karena 𝐺pertengahan 𝐵𝐹 maka [𝐴𝐵𝐺] =1

2[𝐴𝐵𝐹] =

1

8𝑥 = [𝐴𝐹𝐺]

Karena 𝐴𝐹: 𝐹𝐶 = 1: 3 maka [𝐶𝐹𝐺] = 3[𝐴𝐹𝐺] =1

4𝑥 sehingga [𝐶𝐺𝐵] =

1

4𝑥

Misalkan [𝐶𝐺𝐸] = 𝑃&[𝐸𝐺𝐵] = 𝑄

𝐵𝐸

𝐸𝐶=𝑄

𝑃=

𝑄 +𝑥8

𝑃 +𝑥4 +

𝑥8

8𝑄𝑃 + 2𝑄𝑋 + 𝑄𝑋 = 8𝑃𝑄 + 𝑃𝑋

3𝑄𝑋 = 𝑃𝑋

𝑄

𝑃=1

3

Sehingga 𝐵𝐸:𝐸𝐶 = 𝟏: 𝟑

10. Berapakah radius alas kerucutdalamsebuah bola yang berjari-jari𝑎 cm agar kerucut

volumenya maksimum ?

a. 2

3𝑎√2 d. 3𝑎

b. 2

3𝑎√3 e. 2𝑎√3

c. 𝑎√2

SOLUSI

𝑉 =1

3𝜋𝑥2𝑡

=1

3𝜋𝑥2(𝑎 + √𝑎2 − 𝑥2)

=1

3𝜋𝑎𝑥2 +

1

3𝜋𝑥2√𝑎2 − 𝑥2

𝑉′ =2

3𝜋𝑎𝑥 +

2

3𝜋𝑥√𝑎2 − 𝑥2 +

1

3𝜋𝑥2 ∙

1

2(𝑎2 − 𝑥2)−

12 ∙ (−2𝑥) = 0

2

3𝜋𝑎𝑥 +

2

3𝜋𝑥√𝑎2 − 𝑥2 =

1

3𝜋𝑥3(𝑎2 − 𝑥2)−

12

Bagikeduaruasdengan𝜋𝑥 dan kalikan dengan √𝑎2 − 𝑥2

2𝑎√𝑎2 − 𝑥2 + 2(𝑎2 − 𝑥2) = 𝑥2

2𝑎√𝑎2 − 𝑥2 + 2𝑎2 − 2𝑥2 = 𝑥2

2𝑎√𝑎2 − 𝑥2 = 3𝑥2 − 2𝑎2

8𝑎2 = 9𝑥2

𝑥 =2

3𝑎√2

Jadi, agar kerucut volume alasnya maksimum maka radiusnya adalah2

3𝑎√2

𝑓(𝑥) = 𝑔(2𝑥 − 1)

=1

2(2𝑥 − 1)3 − 𝐴2(2𝑥 − 1) + 1

=8

3𝑥3 − 4𝑥2 + (2 − 2𝐴2)𝑥 + (𝐴2 +

2

3)

𝑓′(𝑥) = 8𝑥2 − 8𝑥 + (2 − 2𝐴2)

𝑓(𝑥) nail pada 𝑥 ≤ 0 atau 𝑥 ≥ 1 maka akr-akar persamaan 𝑓′(𝑥) adalah

𝑥1 = 0 dan 𝑥2 = 1

Sehingga

𝑓′(0) = 0 ⇒ 8(0)2 − 8(0) + (2 − 2𝐴2) = 0

2 − 2𝐴2 = 0

2𝐴2 = 2

𝐴 = 1

11. Nilai 𝑛 terkecil sehingga bilangan

20182018…2018⏟ 𝑛 𝑏𝑢𝑎ℎ 2018

Habis dibagi 132 adalah...

a. 8 d. 16

b. 10 e. 18

c. 12

SOLUSI

Misalkan 𝑃 = 20182018…2018⏟ 𝑛 𝑏𝑢𝑎ℎ 2018

habis dibagi 132

Karena 𝑃 habis dibagi 132 maka 𝑃 habis dibagi 11 dan 12.

Jumlah angka-angka 𝑀 = 11𝑛 yang harus dibagi 11 sebab 𝑀 habis dibagi 11.

Selisih antara posisi genap dan posisi ganjil pada 𝑃 adalah 11𝑛 yang harus dibagi 12 sebab

𝑃 habis dibagi 12.

Jadi11𝑛 habis dibagi 11 dan 12.

Nilai 𝑛 terkecil yang memenuhiadalah 12

12. Diketahui garis g dan h sejajar. Titik A, B, C, dan D terletak pada garis g. Titik E, F, dan

G Terletak pada garis h. Banyaknya segitiga yang bisadibuatdari 7 titik tersebut adalah

…

a. 20 d. 50

b. 30 e. 60

c. 40

SOLUSI

Untuk membuat segitiga, dihubungkan tiga titik.

Jika diambil 2 titik di garis g dan 1 titik di garis h maka:

4C2.3C1 = 4!

2!2! .

3!

2!1!= 6.3 = 18 segitiga

Jika diambil 1 titik di garis g dan 2 titik di garis h maka:

4C1.3C2 = 4!

3!1! .

3!

2!1!= 4.3 = 12 segitiga

Jadi, banyaknyasegitiga yang dapatdibuatadalah 18 + 12 = 30 segitiga

13. Evaluasi pernyataan berikut:

20184 + 20182 + 1

20183 + 1

Jika jawabannya dapat dibuat sebagai pecahan campuran dalam bentuk yang paling

sederhana 𝑎𝑏

𝑐, maka nilai dari 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 adalah …

a. 4021 d. 4030

b. 4038 e. 4049

c. 4029

SOLUSI

Misalkan2018 = 𝑥, maka

20184 + 20182 + 1

20183 + 1

Menjadi,

𝑥4 + 𝑥2 + 1

𝑥3 + 1

=(𝑥2 + 1)2 − 𝑥2

(𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1)

=((𝑥2 + 1) + 𝑥)((𝑥2 + 1) − 𝑥)

(𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1)

=𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥 + 1

Gunakan algoritma pembagian suku banyak yang biasa maka bentuk diatas dapat ditulis

menjadi,

𝑥 +1

𝑥 + 1

Ini merupakan bentuk pecahan campuran seperti yang ditunjukkan dalam soal,

𝑎𝑏

𝑐= 𝑥

1

𝑥+1,

sehingga𝑎 = 𝑥, 𝑏 = 1, 𝑐 = 𝑥 + 1

Subtitusinilai𝑥 = 2018, maka nilai 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2018 + 1 + 2019 = 4038

14.

Luas daerah yang di arsir jika lingkaran kecil memiliki jari-jari 2 adalah ...

a. 7.32 d. 10.48

b. 8.25 e. 11.73

c. 9.12

SOLUSI

Dapat dilihat bahwa luas daerah yang di arsir yaitu sisa bagian terhadap 2 buah lingkaran

dan 1 buah persegi.

𝐿𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 = 𝐿𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 − 𝐿𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 − 2 . 𝐿𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙

= 𝜋𝑟2 − 𝑠2 − 2(𝜋𝑟2)

= 𝜋(4)2 − 42 − 2(𝜋(2)2) = 9.12

15. Turunan pertama dari 𝑥𝑦 + sin 𝑥𝑦 − 𝑒𝑥−𝑦 = 0 adalah ...

a. 𝑦 ′ =(𝑦𝑥𝑦−1+𝑦 cos 𝑥𝑦−𝑒𝑥+𝑦)

(𝑥𝑦 ln 𝑥+𝑥 cos 𝑥𝑦+𝑒𝑥−𝑦) d. 𝑦 ′ =

−(𝑦𝑥𝑦−1+𝑦 cos 𝑥𝑦−𝑒𝑥−𝑦)

(𝑥𝑦 ln 𝑥+𝑥 cos 𝑥𝑦+𝑒𝑥−𝑦)

b. 𝑦 ′ =−(𝑦𝑥𝑦−1+𝑦 cos 𝑥𝑦−𝑒𝑥−𝑦)

(𝑥𝑦 ln 𝑥−𝑥 cos 𝑥𝑦+𝑒𝑥−𝑦) e. 𝑦 ′ =

(𝑦𝑥𝑦−1−𝑦 cos 𝑥𝑦−𝑒𝑥+𝑦)

(𝑥𝑦 ln 𝑥+𝑥 cos 𝑥𝑦+𝑒𝑥−𝑦)

c. 𝑦 ′ =(𝑦𝑥𝑦−1+𝑦 cos 𝑥𝑦−𝑒𝑥−𝑦)

(𝑥𝑦 ln 𝑥−𝑥 cos 𝑥𝑦+𝑒𝑥−𝑦)

𝑆𝑂𝐿𝑈𝑆𝐼

𝑦𝑥𝑦−1𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 ln 𝑥 𝑑𝑦 + 𝑦 cos𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 cos𝑥𝑦 𝑑𝑦 − (𝑒𝑥−𝑦𝑑𝑥 − 𝑒𝑥−𝑦𝑑𝑦) = 0

𝑦𝑥𝑦−1𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 ln 𝑥 𝑑𝑦 + 𝑦 cos𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 cos𝑥𝑦 𝑑𝑦 − 𝑒𝑥−𝑦𝑑𝑥 + 𝑒𝑥−𝑦𝑑𝑦 = 0

(𝑥𝑦 ln 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥𝑦 + 𝑒𝑥−𝑦)𝑑𝑦 = −(𝑦𝑥𝑦−1 + 𝑦 cos 𝑥𝑦 − 𝑒𝑥−𝑦)𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=−(𝑦𝑥𝑦−1 + 𝑦 cos𝑥𝑦 − 𝑒𝑥−𝑦)

(𝑥𝑦 ln 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥𝑦 + 𝑒𝑥−𝑦)

Essay

1. Misalkan f adalah sebuah fungsi satu-satu (injektif) dari himpunan bilangan asli ke

himpunan bilangan asli, dimana 𝑓(𝑚𝑛) = 𝑓(𝑚). 𝑓(𝑛) untuk semua bilangan asli 𝑚 dan 𝑛.

Tentukan nilai minimum dari 𝑓(999).

SOLUSI

Karna 𝑓(1) = 𝑓(1). 𝑓(1)

𝑓(1) = 𝑓(1)2

Sehingga,

𝑓(1) = 1

Oleh karna itu, fungsi dari bilangan asli yang hanya dapat dibagi oleh satu dan dirinya

sendiri atau prima memiliki nilai lebih dari sama dengan dua.

𝑓(𝑝) dengan p adalah bilangan prima ≥ 2

Sedangkan fungsi dari bilangam komposit bergantung pada nilai dari fungsi bilangan

prima yang menjadi faktornya. 999 adalah bilangan komposit, sehingga

𝑓(999) = 𝑓(3.3.3.37)

= 𝑓(3).3 𝑓(37)

Untuk mendapatkan nilai minimum dari 𝑓(999) maka 𝑓(3) dan 𝑓(37) harus ditetapkan

antara

𝑓(3) = 2

𝑓(37) = 3

Atau

𝑓(3) = 3

𝑓(37) = 2

Ternyata nilai yang minimum didapat saat 𝑓(3) = 2 dan 𝑓(37) = 3, dan nilainya adalah

23. 3 = 24

Bukti:

Misalkan𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, …… adalah daftar semua bilangan prima dan 𝑞1, 𝑞2, 𝑞3, ……

adalahsebuahbarisanbilangan prima yang berbeda.

Makakitabisamendefinisikansebuahfungsidengansifat𝑓(𝑝𝑗) = 𝑞𝑗 untuk semua 𝑗 ≥ 1.

Untuk fungsi ini,

𝑓(999)

= 𝑓(3).3 𝑓(37)

= 𝑓(𝑝2)3. 𝑓(𝑝12)

= 𝑞23. 𝑞12

𝑓(999) = 24didapatdenganmemilih𝑞2 = 2 dan 𝑞12 = 3 (sebagai contoh, kitapunya𝑞1 =

37, 𝑞2 = 2, 𝑞12 = 3 dan 𝑞𝑛 = 𝑝𝑛 untuk 𝑛 yang lain).

2. Tinjau barisan (𝑎𝑛)𝑛≥1 yang didefinisikan 𝑎1 = 𝑎2 = 1, 𝑎3 = 202 dan

𝑎𝑛+1 =2019+ 𝑎𝑛𝑎𝑛−1

𝑎𝑛−2

∀ 𝑛 ≥ 3. Buktikan bahwa semua bentuk barisan tersebut adalah bilangan bulat positif.

SOLUSI

Kita punya

𝑎𝑛+1𝑎𝑛−2 = 2019+ 𝑎𝑛𝑎𝑛−1

Ganti 𝑛 dengan 𝑛 − 1 didapat

𝑎𝑛𝑎𝑛−3 = 2019 + 𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2

Yang kita dapatkan

𝑎𝑛+1𝑎𝑛−2 − 𝑎𝑛𝑎𝑛−1 = 𝑎𝑛𝑎𝑛−3 − 𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2

Ekivalen dengan

𝑎𝑛−2(𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛−1) = 𝑎𝑛(𝑎𝑛−3 + 𝑎𝑛−1)

Atau

𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛−1𝑎𝑛

=𝑎𝑛−3 + 𝑎𝑛−1

𝑎𝑛−2

Untuk setiap 𝑛 ≥ 4. Jika 𝑛 genap, didapat :

𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛−1𝑎𝑛

=𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−3

𝑎𝑛−2= ⋯ =

𝑎3 + 𝑎1𝑎2

= 203

Jika 𝑛 ganjil didapat :

𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛−1𝑎𝑛

=𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−3

𝑎𝑛−2= ⋯ =

𝑎4 + 𝑎2𝑎3

= 11

Hal ini bersamaan dengan

𝑎𝑛+1={

203𝑎𝑛−𝑎𝑛−1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝11𝑎𝑛−𝑎𝑛−1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙

Argumen tersebut menunjukan bahwa untuk semua 𝑛 adalah bilangan bulat positif.