Tabel simpleks bentuk umum

Metode Simpleks Dengan Tabel

Pendahuluan

Bentuk program linier yang ada bukan hanya bentuk standar.

Bentuk program linier yang mungkin dapat berupa:

Fungsi tujuan diminimalkan fungsi tujuan di maksimalkan

Fungsi kendala dengan bentuk ≥ atau =

Variable dapat bernilai negatif

Konstanta RHS dapat bernilai negatif

Pada pembahasan ini akan dibahas:

Bagaimana menyelesaikan program linier bentuk umum dengan

menggunakan metode simpleks

Fungsi tujuan diminimalkan

Ada dua cara untuk menyelesaikan fungsi tujuan yang

diminimalkan:

Fungsi tujuan yang diminimalkan tersebut dikalikan dengan -1,

dan akan menghasilkan fungsi tujuan yang dimaksimalkan.

Sebagai contoh:

Dikonversi menjadi:

Cara yang kedua adalah fungsi tujuan tetap dalam bentuk

minimal, tetapi aturan dalam proses manipulasi metode

simpleks diubah, seperti:

Uji optimalisasi, keadaan optimal dicapai jika semua nilai dibaris fungsi

tujuan tidak ada yang positif.

Pemilihan entering basic variable, pilihlah koefisien yang paling positif di

baris fungsi tujuan.

321min 7512 xxxZ

321 7512)( xxxZmaks

Fungsi kendala dalam bentuk

persamaan (1)

Misalkan sebuah program linier dengan bentuk:

4

3

2

1015

21

2

1

21

xx

x

x

xxZmaks

Fungsi kendala dalam bentuk persamaan

Fungsi kendala dalam bentuk

persamaan (2)

Dengan bentuk program linier di atas, maka titikorigin (0,0) tidak lagiberada di dalam feasible region

Fungsi kendala ketiga hanyadipengaruhi oleh x1 dan x2

Pemberian nilai-nilai x1 danx2 tersebut sulit dilakukanuntuk memenuhi bentukpersamaan

Fungsi kendala dalam bentuk

persamaan (3)

Jika terdapat fungsi kendala dalam bentuk persamaan, maka

perlu ditambahkan variable non-negative yang disebut dengan

artificial variable.

Jadi, program linier yang telah dikonversi menjadi:

Dengan a1 merupakan artificial variable

4

3

2

1015

121

22

11

21

axx

sx

sx

xxZmaks

Fungsi kendala dalam bentuk

persamaan (4)

Artificial variable tidak sama dengan slack variable.

Jika a1 merupakan slack variable, maka kita dapat

menggunakan titik origin (x1,x2,s1,s2,a1)=(0,0,2,3,4) sebagai

feasible cornerpoint awal iterasi.

Tetapi harus diperhatikan, bahwa nilai a1 tidak boleh nonzero

(harus NOL) supaya fungsi kendala ketiga dalam keadaan

benar.

Dengan demikian, metode simpleks akan “memaksa” semua

artificial variable untuk bernilai NOL.

Fase pertama metode simpleks (1)

Penyelesaian program linier bentuk umum akan terdapat dua

fungsi tujuan,

Fungsi tujuan fase pertama untuk menentukan feasible cornerpoint

solution sebagai awal proses iterasi dan

Fungsi tujuan program linier itu sendiri

Fase pertama bertujuan meminimalkan nilai-nilai artificial

variable yang ada pada program linier, dalam hal ini a1.

Jika semua nilai artificial variable dapat diubah menjadi NOL,

maka feasible cornerpoint solution untuk memulai iterasi

didapatkan.

Kemudian iterasi metode simpleks dijalankan berawal dari

feasible conerpoint terebut.

Fungsi tujuan fase pertama (1)

Fungsi tujuan fase pertama adalah untuk meminimalkan

jumlah dari semua artificial variable yang ada.

Secara umum dapat dituliskan sebagai:

Karena bentuk fungsi tujuan di atas adalah minimalisasi, maka

dilakukan konversi dengan cara mengalikan -1 ke fungsi

tujuan tersebut, maka diperoleh:

...321min aaaW

0...321 aaaWmaks

Fungsi tujuan fase pertama (2) Dalam membuat tabel simpleks, fungsi tujuan fase kedua (fungsi

tujuan program linier) juga diikutsertakan,

Fungsi tujuan fase pertama digunakan selama fase pertama, tetapi juga

meng-update nilai-nilai fungsi tujuan fase kedua pada saat yang

bersamaan.

Setelah fase pertama selesai, fungsi tujuan fase pertama tersebut

diabaikan (tidak digunakan lagi),

Semua artificial variable tidak digunakan lagi.

Catatan: fungsi tujuan fase pertama belum dalam bentuk proper

table, hal ini disebabkan artificial variable akan muncul dua kali,

yaitu:

Sekali pada fungsi kendala, dan sekali pada fungis tujuan

Artificial variable harus muncul sekali, yaitu pada baris fungsi kendala

Teble simpleks bentuk umum (1)

Table di atas merupakan tabel dari model program linier

sebagai berikut:

4

3

2

1015

21

2

1

21

xx

x

x

xxZmaks

Teble simpleks bentuk umum (2) Tabel di atas memiliki dua buah fungsi tujuan:

Fungsi tujuanW untuk fase pertama, yang bertujuan untukmeminimalkan jumlah dari seluruh artificial variable yang ada(dalam kasus ini hanya ada a1).

Fungsi tujuan Z untuk fase kedua, merupakan fungsi tujuan dariprogram linier yang dibahas.

Dengan memperhatikan kolom a1, dapat disimpulan bahwatabel belum dalam bentuk proper table.

Koefisien a1 pada fungsi tujuan fase pertama, W, perludieliminasi .

Eliminasi dilakukan dengan mengurangi baris fungsi tujuanW dengan baris yang terdapa artificial variable a1.

Teble simpleks bentuk umum (3) Tabel simpleks setalah dilakukan eliminasi terhadap fungsi

tujuanW adalah sebagai berikut:

Selama fase pertama ini, fungsi tujuan yang digunakan adalahfungsi tujuanW.

Dalam meng-update table, fungsi tujuan fase kedua, Z, juga di-update

Iterasi fase pertama (1)

Dengan memperhatikan kolom x1 dan x2 pada fungsi tujuan

W, diperoleh x1 dan x2 yang memiliki koefisien yang sama (-

1) untuk menjadi entering basic variable.

Entering basic variable dipilih secara acak, misal yang dipiliha

adalah x2. Perhitungan table ditunjukkan pada table berikut

ini, dengan s2 sebagai leaving basic variable.

Iterasi fase pertama (2) Setelah entering basic variable dan leaving basic variable ditentukan,

maka table di-update dan menghasilkan table berikut ini:

Dari table diatas, jumlah dari fungsi tujuan fase pertama, W, telahberkurang menjadi -1.

Fase pertama belum selesai, karena masih terdapa koefisien yang negatif pada baris fungsi tujuanW.

Catatan: fungsi tujuan fase kedua, Z, juga telah di-update bersamaan dengan prosess update fungsi tujuanW.

Iterasi fase pertama (3) Dari table di atas diperoleh:

Entering basic variable x1

Leaving basic variable a1

Table di-update dan diperoleh hasil sebagai berikut:

Dari table di atas dapat dilihat bahwa fungsi tujuanW telah bernilaiNOL dan tidak ada koefisien variable yang negaif.

Fase pertama telah selesai, dan sekarang berada di feasible cornerpoint solution untuk memulai fase kedua

Iterasi fase kedua (1) Sekarang, fungsi tujuan fase pertama, W, dikeluarkan dari table

simpleks demikian juga dengan semua artificial variable.

Fungsi tujuan fase kedua, Z, yang telah diikutsertakan dalam

perhitungan, di-update dan telah berada dalam bentuk proper table,

dan siap untuk diiterasi.

Dan karena masih terdapat koefisien yang negatif pada baris fungsi

tujuan, maka keadaan belum optimal dan iterasi harus dilanjutkan.

Iterasi fase kedua (2)

Table di atas adalah hasil update dari tabel sebelumnya

Pada baris fungsi tujuan sudah tidak terdapat koefisienvariable yang negatif dengan demikian iterasi telah selesai dankeadaan optimal tercapai:

Di titik (x1,x2,s1,s2) = (2,2,0,1)

Dengan nilai Z sebesar 50

Ilustrasi

Program linier yang infeasible

Program linier yang infeasible dapat dengan mudah dikenali

dengan cara:

Jika fase pertama metode simpleks telah selesai, dengan hasil

tidak ada nilai koefiesien variable yang negatif, tetapi nilaiW

masih positif, maka:

Tidak semua fungsi kendala (dengan artificial variable) telah dieliminasi.

Hal ini berarti bahwa program linier bersifat infeasibel (tidak memiliki

himpunan penyelesaian)

Fungsi kendala dengan bentuk lebih

dari atau sama dengan (≥) Fungsi kendala dengan bentuk lebih dari atau sama dengan (≥)

merupakan bentuk yang tidak boleh pada program linier bentukstandar.

Untuk konversi bentuk pertidaksamaan ini perlu ditambahandengan sebuah surplus variable yang berisfat sama seperti slack variable, Tetapi surplus variable diletakkan di bagian RHS persamaan.

Contoh: 3x1 + 5x2 ≥ 20 ⇒ 3x1 + 5x2 − s1 = 20

Surplus variable tidak dapat digunakan sebagai basic variable karenabernilai -1, sedangkan yang dibutuhkan adalah variable dengankoefisien +1.

Dari contoh di atas, sekarang pertidaksamaan telah diubah menjadibentuk persamaan, dengan demikian perlakuan yang sama untukbentuk persamaan berlaku: Tambahkan artificial variable dan jalankan prosedur iterasi fase

pertama

RHS bernilai negatif

Penyelesaian untuk masalah ini adalah kalikan dengan -1 dan

hasilnya dikenakan aturan untuk bentuk-bentuk ≤, ≥, atau =

Berapa banyak variable? Reformulasi penyelesaian program linier dengan menggunakan

metode simpleks akan menambah jumlah variable.

Misalkan sebuah program linier memiliki: n buah variable asal l buah fungsi kendala dengan bentuk ≤ g buah fungsi kendala dengan bentuk ≥ Dan e fungsi kendala dengan bentuk persamaan (=)

Maka jumlah variable setelah proses reformulasi program linier adalah: n buah variable asal l buah slack variable g buah surplus variable g + e buah artificial variable

Catatan: seluruh g + e buah artificial variable akan dieliminasi selamaproses fase pertama metode simpleks.