METODE NUMERIK

INTEGRAL NUMERIK

Definisi mengintegrasikan = memadukan bersama = menjumlahkan total

Mengapa ada integrasi numerik?Karena integrasi numerik digunakan untuk menyelesaikan integral yang sulit diselesaikan secara analitik

x

f(x)f(x)

ba

b

a

dxxf )(

Definisi

Contoh :

sulit diselesaikan secara analitis (dengan teori kalkulus yang ada)

2

0

122

1dx

xex x

Cara Penyelesaian

Melalui pendekatan kurva

x f(x)

0 . . . . .

0,25 . . . . .

0,5 . . . . .

0,75 . . . . .

. . . . .

. . . . .

2 . . . . .

Semakin kecil selang, hasil semakin teliti karenasemakin besar selang, kesalahan semakin besar

Cara Penyelesaian

Alternatif pemecahan (jika tidak dengan penyelesaian analitis) Memplot grafik tersebut pada kertas berpetak

segi empat (dijumlah luas setiap kotak) Membuat segmen-segmen vertikal (mirip diagram

batang), menjumlah (luas setiap segmen vertikal). Integrasi numerik

Integrasi Newton Cotes

Perhitungan integrasi numerik yang paling umum adalah formula Newton Cotes.

Strategi dari formula ini adalah mengganti yang rumit atau data yang hilang dengan beberapa fungsi aproksimasi yang mudah diintegrasikan.

Integrasi Newton Cotes

Jika diketahui suatu f(x) pada interval [a,b], nilai integral

bisa didekati dengan Newton Cotes orde n. Bentuk umum Newton Cotes orde n

b

a

dxxfs )(

nn

nn xaxaxaxaanf

11

2210)(

Integrasi Newton Cotes

ba

ba

xaanf 10)(

33

22103 xaxaxaaxf

22102 xaxaaxf

Integrasi Newton Cotes

Semakin tinggi orde Newton yang digunakan sebagai pendekatan perhitungan, akan semakin kecil kesalahan yang dihasilkan.

Pendekatan Newton Cotes orde ke-n perlu (n+1) titik.

Dalam formula Newton Cotes Metode tertutup batas awal dan batas akhir

diketahui Metode terbuka batas integrasi diperluas di luar

rentangan (ekstapoksi)

Metode Trapesium

Metode ini adalah bagian dari metode integrasi Newton tertutup dengan menggunakan aproksimasi polinomial orde 1, sehingga dengan aturan trapesium.

b

a

dxxfI 1 Newton Cotes orde 1

2

bfafabI

Rumus ini berpadanan dengan rumus geometri dari trapesium, dengan lebar sebesar (b–a) dan tinggi rata-rata

2bfaf

Metode Trapesium

Besarnya kesalahan untuk aturan trapesium tunggal adalah :

adalah nilai rata-rata dari turunan ke-2 yang dirumuskan sebagai

3121

abfa

f

ab

xff

b

a

"

Metode Trapesium (Ex.)

Diketahui suatu fungsi Hitung nilai analitis dari

Hitung nilai integral di atas dengan aturan trapesium tunggal pada batas x = 0 sampai dengan x = 2

Hitung nilai t dan a

xexxf 1

2

0

dxxf

Metode Trapesium (Ex.)

u = x + 1 dv = ex.dx du = dx v =

duvvudxex x ..12

0

xx edxe

0022

2

0

2

0

2

0

.10.12

]1

].11

eeee

eex

dxeexdxex

xx

xxx

0ee.3 22 2e.2 = 14,778

Secara eksak

Metode Trapesium (Ex.)

Dengan aturan trapesium tunggal

2

bfafabI

; b = 2; a = 0

167,23

2167,221

02

167,22.3.122

1.10022

0

I

eefbf

efaf

Metode Trapesium (Ex.)

Kesalahan

%767,56%100778,14

167,23778,14

t

t (tidak dalam persen)t = |14,778 – 23,167| = 8,389

Metode Trapesium (Ex.)

a = ?

Metode Trapesium (Ex.)

u = x + 3 dv = ex.dx

du = dx xx edxev .

2

0

2

0

]..3..3 dxeexdxex xxx

556,27242.5

.30.32

].3

222

0022

2

0

eee

eeee

eex xx

Metode Trapesium (Ex.)

3.121

778,1302

556,27

abf

f

a

185,9

185,9

02.778,13121 3