METODE NEWTON

Dalam analisis numerik, metode Newton (juga dikenal sebagai metode Newton-Raphson), yang mendapat nama dari Isaac Newton dan Joseph Raphson, merupakan metode yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil. Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan.

Metode ini dianggap lebih mudah dari Metode Bagi-Dua (Bisection Method) karena metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya. Metode Newton merupakan metode iterasi untuk menyelesaikan persamaan f(x) = 0 dengan mengasumsikan f mempunyai turunan kontinu f’. Metode ini menggunakan garis lurus sebagai hampiran fungsi pada suatu selang. Tapi garis lurus yang digunakan adalah garis singgung.

Metode Newton-Raphson dapat diturunkan berdasarkan interpretasi geometrik ( sebuah metode alternatif yang didasarkan pada Deret Taylor ). Seperti pada gambar, turunan pertama pada xn adalah ekuivalen terhadap kemiringan :

f ' ( xn )=f ( xn )−0

xn−xn+1

yang dapat diatur kembali menjadi :

xn+1=xn−f ( xn )f ' ( xn )

yang dinamakan formula Newton-Raphson.

Penjelasan: Garis singgung terhadap fungsi pada xn [ yakni f ' (xn)] diekstrapolasikan kebawah terhadap sumbu x untuk mem,berikan sebuah taksiran akar pada xn+1.

Gagasan dasar dari metode ini adalah grafik f dihampiri oleh garis-garis singgung yang sesuai. Dengan menggunakan x0 sebagai aproksimasi pertama terhadap akar ( diperoleh dari lokalisasi akar-akar dari f(x) = 0 ), tetapkan x1 sebagai absis titik potong antara sumbu x dan garis singgung pada kurva f yang melalui ( x0 , f (x0)). Nilai x1 tersebut merupakan aproksimasi

kedua dari akar f (x) yang lebih baik dari aproksimasi pertama. Maka f ' ( x0 )=f ( x0 )

x0−x1

, sehingga

diperoleh x1=¿ x0−f ( x0 )f ' ( x0 )

. Langkah kedua adalah menghitung x2 dari x1, yaitu diperoleh x2=¿

x1−f ( x1 )f ' ( x1 )

dengan menggunakan f ' ( x1 )=f ( x1 )

x1−x2

. Langkah ketiga menghitung x3 dari x2, dan

seterusnya sehingga diperoleh aproksimasi yang lebih baik.

Iterasi dihentikan jika dua iterasi berurutan menghasilkan hampiran akar yang sama. Dalam rumus iterasi tesebut terdapat pembagian dengan f ' ( xn ). Dengan demikian agar metode

berhasil maka selama proses iterasi f ' ( xn ) tidak boleh sama dengan nol.

TEOREMA:

Misalkan f dapat dideferensialkan dua kali pada suatu I, dan r adalah akar dari f(x) pada selang I. Asumsikan terdapat bilangan positif m dan M sedemikian sehingga │f ' ( x )│≥ m dan │f ' ' ( x )│≤ M

pada I. Jika x1 berada dalam I dan cukup dekat ke │x1−r│< 2mM

maka │xn+1−r│≤ M2m

(xn−r )2

dan xn konvergen ke r untuk n →∞.

Contoh :

Tentukan akar dari persamaan 4 x3–15 x2 + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Newton Raphson.

Penyelesaian :

f (x) = 4 x3–15 x2 + 17x – 6f’(x) = 12 x2−30 x + 17

iterasi 1 :ambil titik awal x0 = 3

f (3) = 4 (3)3–15(3)2 + 17(3) – 6 = 18f’(3) = 12(3)2−30(3) + 17 = 35x1 = 3 – 18/35 = 2.48571

iterasi 2 :f(2.48571) = 4 (2.48571)3–15(2.48571)2 + 17(2.48571) – 6 = 5.01019f’(2.48571) = 12(2.48571)2−30(2.48571) + 17 = 16.57388

x2 = 2.48571 – 5.01019/16.57388  = 2.18342

iterasi 3 :f (2.18342) = 4 (2.18342)3–15(2.18342)2 + 17(2.18342) – 6 = 1.24457f’(2.18342) = 12(2.18342)2−30(2.18342) + 17 = 8.70527x3 = 2.18342 – 1.24457/8.70527 = 2.04045

iterasi 4 :f (2.04045) = 4 (2.04045)3–15(2.04045)2 + 17(2.04045) – 6 = 0.21726f’(2.04045) = 12(2.04045)2−30(2.04045) + 17 = 5.74778x4 = 2.04045 – 0.21726/5.74778  = 2.00265

iterasi 5 :f (3) = 4 (2.00265)3–15(2.00265)2 + 17(2.00265) – 6 = 0.01334f’(2.00265) = 12(2.00265)2−30(2.00265) + 17 = 5.04787x5 = 2.00265 – 0.01334/5.04787 = 2.00001

iterasi 6 :f (2.00001) = 4 (2.00001)3–15(2.00001)2 + 17(2.00001) – 6 = 0.00006f’(2.00001) = 12(2.00001)2−30(2.00001) + 17 = 5.00023x6 = 2.00001 – 0.00006/5.00023 = 2.00000 iterasi 7 :f(2) = 4 (2)3–15(2)2 + 17(2) – 6 = 0

jika disajikan dalam tabel, maka seperti tabel dibawah ini.

karena pada iteasi ketujuh f(x6) = 0 maka akar dari persamaan tersebut adalah x = 2.

DAFTAR PUSTAKA

Chaptra, Steven C. dan Canale, Raymond P. 1991. Metode Numerik Untuk Teknik.. UI Press:Jakarta.

http://darkzone7.blogspot.com/2013/04/pengertian-metode-newton-raphson.html

http://fairuzelsaid.wordpress.com/2010/11/21/penyelesaian-persamaan-non-linier-menggunakan-metode-newton-raphson/

http://muhammadagungsantoso.wordpress.com/tag/metode-iterasi/

Subarinah, Sri. 2006. Metode Numerik. FKIP Press:Mataram.

METODE NEWTON

OLEH

KELOMPOK 4 :

1. APRIYANA SUSENO ( E1R 112 006 )2. MILA KAMALASARI ( E1R 112 042 )3. ST. ZULVA RAHMATIA ( E1R 112 074 )

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MATARAM2014