Metode Linear Programming

Boldson Herdianto Situmorang Skom., MMSI

Linear Programming

• Untuk menyelesaikan permainan-permainan strategi campuran 3 x 3 atau dimensi yang lebih besar, dapat mempergunakan linear programming.

• Untuk menguraikan teknik dan prosedur linear programming, akan kembali kita gunakan contoh permainan dua-pemain jumlah-nol sebelumnya.

St rat egiPemai n B

Mi ni mum Bari sB1 B2

Pemai n AA1 2 5 2 Maksi mi n

A3 6 1 1

Maksi mum Kol om

6 5

mi ni maks

Linear Programming

• Notasi yang dipergunakan:

V = nilai permainan

= probabilitas pemilihan strategi A1 dan strategi A3

= probabilitas pemilihan strategi B1dan strategi B2

• Dengan A sebagai maximizing player, maka dapat dinyatakan keuntungan yang diharapkan A dalam tanda ketidaksamaan ≥.

21 XdanX

21 YdanY

Linear Programming• A berarti memiliki kemungkinan memperoleh

keuntungan lebih dari V jika B menggunakan strategi yang lemah.

• Jadi, nilai keuntungan yang diharapkan untuk pemain A adalah:

(bila pemain B menggunakan strategi B1 seterusnya)

(bila pemain B menggunakan strategi B2 seterusnya)

• Diketahui bahwa

VXX 21 62

VXX 21 15

0,1 2121 XXdanXX

Linear Programming

• Dengan B sebagai minimizing player, maka dapat dinyatakan kerugian yang diharapkan B dalam tanda ketidaksamaan ≤.

• B berarti memiliki kemungkinan mengalami kerugian kurang dari V bila A menggunakan strategi yang lemah.

• Jadi, nilai kerugian yang diharapkan pemain B adalah:

Linear Programming

• (bila pemain A menggunakan strategi A1 seterusnya)

(bila pemain A menggunakan strategi A3 seterusnya)

Diketahui bahwa

• Dengan membagi setiap ketidaksamaan dan persamaan di atas dengan V, didapatkan:

VYY 21 52

VYY 21 16

0,1 2121 YYdanYY

Linear Programming• Untuk perusahaan A Untuk perusahaan B

• Bila ditentukan variabel-variabel baru:

maka didapatkan:

1

115

162

21

21

21

V

X

V

X

V

X

V

X

V

X

V

X

1

116

152

21

21

21

V

Y

V

Y

V

Y

V

Y

V

Y

V

Y

22

11

22

11

,

,

YV

YY

V

Y

XV

XX

V

X

Linear Programming

• Untuk perusahaan A Untuk perusahaan B

• Karena perusahaan A adalah maximizing player, maka tujuannya adalah memaksimumkan V, atau sama dengan meminimumkan .

VXX

XX

XX

1

115

162

21

21

21

VYY

YY

YY

1

116

152

21

21

21

V

1

Linear Programming• Minimumkan

X1 + X2

Batasan-batasan:

2X1 + 6X2 ≥ 1

5X1 + 1X2 ≥ 1

X1, X2 ≥ 0

• Sedangkan perusahaan B adalah minimizing player, maka tujuannya adalah meminimumkan V, atau B harus memaksimumkan .

V

1

Linear Programming

• Dengan Y1 + Y2 = , dapat dirumuskan masalah linear programming untuk perusahaan B sebagai berikut:

Maksimumkan

Y1 + Y2

Batasan-batasan:

2Y1 + 5Y2 ≤ 1

6Y1 + 1Y2 ≤ 1

Y1, Y2 ≥ 0

V

1

Linear Programming

Y1 = , Y2 =

X1 = , X2 =

• Nilai permainan V dapat dicari sebagai berikut:

Jadi, V =

7

1

7

1

28

5

28

3

7

2

28

3

28

5121 XX

V

5,32

7

Linear Programming

• Hasilnya sama dengan yang diperoleh dari metode-metode sebelumnya (analitis dan aljabar matriks).

• Selanjutnya dapat dicari:

5,02

1

7

1

2

7.

5,02

1

7

1

2

7.

375,08

3

28

3

2

7.

625,08

5

28

5

2

7.

22

11

22

11

xYVY

xYVY

dan

xXVX

xXVX