LINEAR PROGRAMMING -...

Metode Grafik Program Linear CCR-314 Riset Operasional

6623 - Taufiqurrahman 1

LINEAR PROGRAMMINGLINEAR PROGRAMMINGMETODE GRAFIKMETODE GRAFIK

Metode GrafikMetode Grafik• Setelah membuat formulasi model matematika,

langkah selanjutnya dalam penerapan program linearuntuk mengambil keputusan adalah menentukanpemecaham dari model.

• Karena hubungannya linear, beberapa modelpemecahan dapat di ilustrasikan secara grafik.

• Metode grafik terbatas untuk model-model yang hanyamempunyai dua variabel, yang dapat digambarkandalam dua dimensi grafik.

6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 22CCRCCR--314 Riset Operasional314 Riset Operasional



Sistem dan Bidang KerjaSistem dan Bidang KerjaSistem untuk menyatakanhubungan antara aljabar(model matematika) dangeometri (grafik) adalahbidang yang dibagi menjadiempat oleh sumbu tegak(absis) dan sumbu datar(ordinat). Bidang tersebutdikenal sebagai kuadran.


Langkah-langkah Metode Grafik1. Gambarkan model batasan (fungsi kendala) sebagai persamaan pada

grafik, kemudian dengan mempertimbangkan ketidaksamaan batasan,tunjukkan daerah memenuhi kendala (DMK).

2. a) Gambarkan fungsi tujuan, lalu geser menjauh dari titik awal (0,0) ketitik solusi yang optimal, atau:

b) Selesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut untukmemperoleh nilai solusi pada tiap sudut.

3. a) Selesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk menemukannilai solusi yang optimal, atau:

b) Masukkan nilai-nilai ke dalam fungsi tujuan untuk menentukankumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal.




Menentukan Titik Koordinat• Misal: X1 + 2X2 ≤ 40• Ubah pertidaksamaan (≤) menjadi

persamaan (=), maka: X1 + 2X2 = 40• Mencari nilai X1 dan X2 dengan

mengasumsikan salah satu variabel bernilai 0 (nol).– Jika X1 = 0, maka: (0) + 2X2 = 40

2X2 = 40X2 = 20

– Jika X2 = 0, maka: X1 + 2(0) = 40X1 = 40

• Jadi titik koordinatnya adalah:X1 = 40 dan X2 = 20

6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 55

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 X1

X2

X1 + 2X2 = 40

CCRCCR--314 Riset Operasional314 Riset Operasional

Menggambar Daerah Penyelesaian • Persamaan (≤) misal: X1 + 2X2 ≤ 40


0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 X1

X2

• Persamaan (≥) misal: X1 + 2X2 ≥ 40

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 X1

X2

X1 + 2X2 ≤ 40 X1 + 2X2 ≥ 40

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 X1

X2

• Persamaan (=) misal: X1 + 2X2 = 40

X1 + 2X2 = 40




Daerah Memenuhi Kendala (DMK)• Persamaan (≤), misal: X1 + 2X2 ≤ 40 4X1 + 3X2 ≤ 120


• Persamaan (≥ dan =) X1 + 2X2 ≥ 40 X1 = 40 X2 = 40

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 X1

X2

DMK0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 X1

X2

• Persamaan (≥), misal: X1 + 2X2 ≥ 40 4X1 + 3X2 ≥ 120

DMK

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 X1

X2

DMK


Contoh #2 – 1 Metode Grafik• Fungsi Tujuan :

Maksimalkan ZMaksimalkan Z 40 X40 X11 50X50X22

• Fungsi Kendala :


(1) Tenaga kerja(1) Tenaga kerja :: XX11 ++ 2X2X22 ≤≤ 4040

(2) Tanah liat(2) Tanah liat :: 4X4X11 ++ 3X3X22 ≤≤ 120120

(3) Non(3) Non--negatifnegatif :: XX11 ;; XX22 ≥≥ 00




Solusi Grafik Contoh #2 – 11. Menggambar fungsi kendala (Langkah 1)


0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 X1

X2

4X1 + 3X2 ≤ 120

X1 + 2X2 ≤ 40

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 X1

X2

DKMA

B

C


Solusi Grafik Contoh #2 – 12. Menggambar garis fungsi tujuan (Langkah 2.a)


0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 X1

X2

A

B

C

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 X1

X2

A

B

C

800 = 40X1 + 50X2

1200 = 40X1 + 50X2

1600 = 40X1 + 50X2 (Berada di luar DMK)

800 = 40X1 + 50X2

Titik Optimal




0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 X1

X2

Solusi Grafik Contoh #2 – 13. Menyelesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk nilai

solusi optimal (Langkah 3.a)


A

B

C

4X1 + 3X2 = 120

X1B

X2B X1 + 2X2 = 40

X1 + 2X2 = 40X1 = 40 − 2X2

4X1 + 3X2 = 1204X1 = 120 − 3X2

X1 = 30 − (3X2/4)

40 − 2X2 = 30 − (3X2/4)5X2/4 = 10

X2 = 8 ⇛ X2B

X1 = 40 − 2X2X1 = 40 − 2(8) X1 = 24 ⇛ X1B


Solusi Grafik Contoh #2 – 12. Menyelesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut untuk

memperoleh nilai solusi pada tiap sudut. (Langkah 2.b)


0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 X1

X2

A

B

C

X1 = 0X2 = 20

24

8X1 = 30X2 = 0

X1 = 24X2 = 8

3. Masukkan nilai-nilai ke dalam fungsi tujuan untuk menentukan kumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal. (Langkah 3.b)• Pada titik A → Z = 1000• Pada titik B → Z = 1360• Pada titik C → Z = 1200• Maka solusi optimal adalah pada titik B

dengan laba $1360




Contoh #2 – 2 Metode Grafik


• X1 = jumlah pupuk SG yang dibeli• X2 = jumlah pupuk CQ yang dibeli

Variabel Keputusan

• Minimalkan Z = 6X1 + 3X2 • Z = total biaya pemupukan• 6X1 = harga/biaya dari SG• 3X2 = harga/biaya dari CQ

Fungsi Tujuan

• 2X1 + 4X2 ≥ 16 (kendala nitrogen)• 4X1 + 3X2 ≥ 24 (kendala fosfat)• X1 ; X2 ≥ 0 (kendala non-negatif)

Fungsi Kendala


Solusi Grafik Contoh #2 – 2


0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 X1

X2

DKM

0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 X1

X2

DKM

A

B

C

X1B

X2B

X1 = 0X2 = 8

X1 = 8X2 = 0

X1 = X1BX2 = X2B




Solusi Grafik Contoh #2 – 2• Pada titik B, koordinat X1 dan X2 adalah:

2X1 + 4X2 = 16 *2 4X1 + 8X2 = 324X1 + 3X2 = 24 *1 4X1 + 3X2 = 24

5X2 = 8X2 = 8/5 ≈ 1,6 → X2B


2X1 + 4X2 = 162X1 + 4(1,6) = 16

2X1 = 16 − 6,4X1 = 4,8 → X1B


Solusi Grafik Contoh #2 – 2


0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 X1

X2

DKM

A

B

C

4,8

1,6

X1 = 0X2 = 8

X1 = 8X2 = 0

X1 = 4,8X2 = 1,6

• Pada titik A → Z = 48

• Pada k B → Z = 33,6

• Pada k C → Z = 24

• Maka solusi optimal terletak pada titik C dengan total biaya $24




Latihan #3 – 1 Perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama merek I1, dgnsol karet, dan merek I2 dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin. Mesin 1membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3 membuatbagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiaplusin sepatu merek I1 mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam,kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam.Sedang untuk sepatu merek I2 tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kalidikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jamkerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2 adalah 15 jam,dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatumerek I1=Rp.30.000 sedang merek I2=Rp.50.000. Masalahnya adalahmenentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek I1 dan merek I2 yangdibuat agar bisa memaksimumkan laba.

17176623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahmanCCRCCR--314 Riset Operasional314 Riset Operasional

Solusi Latihan #3 – 1 (Bentuk Tabel)

MerekMesin

I1

(x1)I2

(x2)Kapasitas

Maksimum

1 2 0 8

2 0 3 15

3 6 5 30

Sumbangan laba 3 5




Solusi Latihan #3 – 1 (Bentuk Matematis)• Maksimumkan Z = 3x1 + 5x2

• Batasan (constrain)(1) 2X1 8(2) 3X2 15(3) 6X1 + 5X2 30


Solusi Latihan #3 – 1 Fungsi Batasan (1) -> 2 X1 8

x2

x1

2X1 = 8

0 4

Gambar tersebut merupakan bagian yang memenuhi batasan-batasan:

X1 0,

X2 0, dan

2X1 8

2X1 8 dan

X1 0,X2 0




Solusi Latihan #3 – 1 (Fungsi Batasan/All)

B

CC

2X1 = 8

4

6

5

6X1 + 5X2 = 30

D

AA

Daerah Daerah feasiblefeasible

x2

x10

3X2 = 155


Solusi Latihan #3 – 1 (Titik Optimal)


B

C

2X1 = 8

4

6

5

6X1 + 5X2 = 30

D

A

Daerah feasible

X2

X10

3X2 = 155

Titik A:Pada titik ini nilai X1 = 4; X2 = 0Nilai Z = 3(4) + 0 = 12

Titik B:X1 = 4. Substitusikan batasan (3), maka 6(4) + 5X2 = 30. Jadi nilai X2 = (30 –24)/5 = 6/5.Nilai Z = 3(4) + 5(6/5) =18

Titik C:X2 = 5. Substitusikan batasan (3), maka 6X1 + 5(5) = 30. Jadi nilai X1 = (30 –25)/6 = 5/6.Nilai Z = 3(5/6) + 5(5) = 27,5

Titik D:Pada titik ini nilai X2 = 5; X1 = 0Nilai Z = 3(0) + 5(5) = 25




Latihan #3 – 2 Produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaanadalah meja dan kursi. Dengan Bahan mentah dalamsatu minggu yang tersedia adalah sebanyak 10gelondong kayu dan jumlah jam kerja buruh yangtersedia adalah 36 jam kerja. Informasi mengenaipenggunaan sumber daya dan hara jual per unit,dijelaskan dalam table dibawah ini :


Jenis ProdukKebutuhan sumber daya Harga

($/unit)Buruh(jam/unit) Bahan(kg/unit)

MejaKursi

66

12

45

• Dengan melihat kepada informasi diatas, berapakah jumlah Meja dan Kursi yangharus dihasilkan agar keuntungan yang didapat perusahaan maksimum?

• Variabel keputusanX1 = Jumlah Meja yang dihasilkanX2 = Jumlah Kursi yang dihasilkan

• Fungsi TujuanJumlah keuntungan yang di dapat adalah sebesar :

21 5X4XZ




Solusi Latihan #3 – 2 (Sistem Kendala)a. Kendala Jam Kerja

b. Kendala Bahan Baku

c. Jumlah X1, X2 yang harus dihasilkan

3666 21 XX

102 21 XX

0;0

2

1

XX


Solusi Latihan #3 – 2 (Kendala)


0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X2

X1

DMK

A

B

C

X1 = 6X2 = 0

X1 = 0X2 = 5

306X3X366X6X

31

102XX366X6X

21

21

21

21

Titik temu antara Kendala 1 dengan Kendala 2 :

3X1 = 6X1 = 2

X1 + 2X2 = 102 + 2X2 = 10

2X2 = 8X2 = 4




Solusi Latihan #3 – 2 (Titik Optimal)• Pada titik A → X1 = 6 ; X2 = 0 ; Z = 24• Pada titik B → X1 = 2 ; X2 = 4 ; Z = 28• Pada titik C → X1 = 0 ; X2 = 5 ; Z = 25• Dari hasil diatas dapat disimpulkan bahwa

keuntungan yang terbesar didapatkan apabilamemproduksi Meja sebanyak 2 unit danmemproduksi Kursi sebanyak 4 unit denganmendapatkan keuntungan sebesar $28.


SEKIANSEKIAN&&

TERIMA KASIHTERIMA KASIH6623 6623 -- TaufiqurrahmanTaufiqurrahman 2828CCRCCR--314 Riset Operasional314 Riset Operasional

LINEAR PROGRAMMING -...

Documents

Transcript of LINEAR PROGRAMMING -...