51

5. 4 Pembalikan Matriks dan Gauss Seidel

Pada bagian ini akan dibahas metode Gauss–Jordan dan Gauss Seidel, dimana

untuk kasus Gauss – Jordan sudah cukup dikenal, sedangkan Gauss Seidel merupkan cara

yang cukup baru.

5. 4. 1 Metode Gauss – Jordan

Dapat diilustrasikan metode ini secara sederhana untuk kasus matriks 3 x 3 sebagai :

3

2

1

333231

232221

131211

c

c

c

aaa

aaa

aaa

3*

2*

1*

c

c

c

100

010

001

3*

2*

1*

3

2

1

c

c

c

x

x

x

Contoh 5. 4.1

Gunakan teknik Gauss – Jordan untuk menyelesaikan persamaan

3x1 – 0.1x2 – 0.2 x3 = 7.85 (5. 3. 13)

0.1x1 + 7x2 – 0.3 x3 = – 19.3 (5. 3. 14)

0.3x1 – 0.2x2 + 10 x3 = 71.4 (5. 3. 15)

Penyelesaian

Dengan menyatakan dalam bentuk matriks perluasan,

4.71

3.19

85.7

102.03.0

3.071.0

2.01.03

selanjutnya dengan menormalkannya maka,

4.71

3.19

61667.2

102.03.0

3.071.0

0666667.00333333.01

52

suku x1 dapat dihilangkan dari baris kedua dengan mengurangkan 0. 1 kali baris pertama

dan baris kedua, demikian juga, pengurangan 0.3 kali baris pertama dari baris ketiga akan

menghilangan suku x1 dari baris ketiga,

6150.70

5617.19

61667.2

0200.10190000.00

293333.000333.70

0666667.00333333.01

dengan menormalkan baris kedua dengan membagi 7. 00333,

6150.70

79320.2

61667.2

0200.10190000.00

0418848.010

0666667.00333333.01

untuk mereduksi suku – suku x2 dari persamaan pertama dan ketiga menghasilkan,

0843.70

79320.2

52356.2

1200.1000

0418848.010

0666667.001

selanjutnya dengan menormalkan baris ketiga dengan cara membaginya dengan 10.0120

00003.7

79320.2

52356.2

100

0418848.010

0666667.001

dan akhirnya suku x3 dapat direduksi dari persamaan pertama dan kedua,

00003.7

50001.2

00000.3

100

010

001

5. 4. 2 Metode Invers Matriks (Balikan Matriks)

Jika matriks A adalah matriks bujur sangkar, maka terdapat matriks A-1

yang

disebut dengan invers A , sehingga

A . A-1

= A-1

A = I ,

sehingga untuk menyelesaikan suatu SPL, maka

{X} = A-1

{C}

dapat diilustrasikan sebagai berikut :

53

A I

100

010

001

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

1

33

1

32

1

31

1

23

1

22

1

21

1

13

1

12

1

11

aaa

aaa

aaa

100

010

001

I 1A

Contoh 5. 4.2

Gunakan teknik Invers matriks untuk menyelesaikan persamaan

3x1 – 0.1x2 – 0.2 x3 = 7.85 (5. 3. 13)

0.1x1 + 7x2 – 0.3 x3 = – 19.3 (5. 3. 14)

0.3x1 – 0.2x2 + 10 x3 = 71.4 (5. 3. 15)

Penyelesaian

[A] =

100

010

001

102.03.0

3.071.0

2.01.03

dengan menggunakan a11 sebagai elemen pivot, maka baris 1 dapat dinormalkan, untuk

menghilangan x1,

1009999.0

01033333.0

00333333.0

0200.10190000.00

293333.000333.70

0666667.00333333.01

berikutnya, a22 dipakai untuk elemen pivot dan x2 dapat dihilangkan dari baris – barisnya

10270142.010090000.0

0142180.000473933.0

0004739329.03331750.0

100

0418848.010

0666667.001

pada akhirnya a33 dapat dipakai sebagai elemen pivot, dan x3 dapat dihilangkan dari baris-

barisnya,

0998801.000269816.00100779.0

00418346.0142293.00051644.0

00679813.000492297.0332489.0

100

010

001

sehingga invernya adalah

54

1A

=

0998801.000269816.00100779.0

00418346.0142293.00051644.0

00679813.000492297.0332489.0

Jadi penyelesaiannya,

X = 1A

C atau

X =

0998801.000269816.00100779.0

00418346.0142293.00051644.0

00679813.000492297.0332489.0

4.71

3.19

85.7

X = [x1, x2, x3] = [3.0000; –2.50001; 7.00003]

5. 4. 3 Metode Gauss Seidel

Metode ini paling sering dipakai sebagai iterasi , jika elemen – elemen diagonalnya

tidak nol, persamaan pertama dapat diselesaikan untuk x1, yang kedua untuk x2 dan

seterusnya, sehingga menghasilkan

x1 = 11

nn13132121

a

xa...xaxac (5. 4. 4)

x2 = 22

nn23231212

a

xa...xaxac (5. 4. 5)

x3 = 33

nn32321313

a

xa...xaxac (5. 4. 6)

…………..…………………………. (5. 4. 7)

xn = nn

1n1nn22n11nn

a

xa...xaxac (5. 4. 6)

Kekonvergenan dari perhitungan dapat diperiksa dengan :

i,a = sj

i

1j

i

j

i %100x

xx

, dimana a = galat absolut, s = galat signifikansi (

sering ditetapkan, misal 5%).

Contoh 5. 4. 7

Gunakan metode Gauss Seidel untuk menyelesaikan SPL berikut,

3x1 – 0.1x2 – 0.2 x3 = 7.85 (5. 3. 13)

0.1x1 + 7x2 – 0.3 x3 = – 19.3 (5. 3. 14)

0.3x1 – 0.2x2 + 10 x3 = 71.4 (5. 3. 15)

55

Penyelesaian :

Diketahui,

x1 = 3

x2.0x1.085.7 32 (5. 4. 8)

x2 = 7

x3.0x1.03.19 31 (5. 4. 9)

x3 = 10

x2.0x3.04.71 21 (5. 4. 10)

dengan memisalkan x2 dan x3 adalah nol, maka dapat dihitung,

x1 = 3

85.7 = 2. 616666667

Nilai x1 = 2. 616666667 dan x3 = 0, disubtitusi ke persamaan (5. 4. 9) sehingga,

x2 = 7

)0(3.0)61666667.2(1.03.19 = –2. 794523810

Iterasi pertama untuk nilai – nilai persamaan menghasilkan x3 :

x3 = 10

)005609524.7(2.0)616666667.2(3.04.71 = 7. 005609524

Untuk Iterasi kedua, proses yang sama diulangi sehingga,

x1 = 3

)005609524.7(2.0)794523810.2(1.085.7 = 2.990556508

x2 = 7

)005609524.7(3.0)990556508.2(1.03.19 = –2. 499624684

x3 = 10

)49962684.2(2.0)99056508.2(3.04.71 = 7. 000290811

Dengan galat,

1a = %100990556508.2

616666667.2990556508.2 = 12. 5%

2a = %100499624684.2

)794523810.2(499624684.2 = 11. 5%

3a = %10000029081.7

005609524.7000290811.7 = 0.076%

Jadi kesimpulan yang data ditarik, iterasi dapat dihentikan jika paling sedikit sampai

toleransi yang telah ditentukan atau lebih kecil dari 5%.