Menyelesaikan Persamaan Nilai   Mutlak

Posted on 17 November 2013 by yos3prens

Nilai mutlak dari suatu bilangan x dapat diartikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan, dengan tidak memperhatikan arahnya. Ini berarti |x| = 5 memiliki dua selesaian, karena terdapat dua bilangan yang jaraknya terhadap 0 adalah 5: x = –5 dan x = 5 (perhatikan gambar berikut).

Konsep ini dapat diperluas untuk situasi yang melibatkan bentuk-bentuk aljabar yang berada di dalam simbol nilai mutlak, seperti yang dijelaskan oleh sifat berikut.

Sifat Persamaan Nilai MutlakJika X merupakan suatu bentuk aljabar dan k adalah bilangan real positif, maka |X| = k akan mengimplikasikan X = –k atau X = k.

Seperti yang dinyatakan dalam sifat persamaan nilai mutlak, sifat ini hanya dapat diterapkan setelah kita mengisolasi simbol nilai mutlak pada satu ruas. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1: Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak

Selesaikan persamaan: –5|x – 7| + 2 = –13.

Pembahasan Pertama, kita isolasi nilai mutlak, yaitu membuat simbol nilai mutlak berada pada satu ruas sedangkan suku-suku lainnya kita letakkan di ruas yang lain.

Sekarang perhatikan bahwa x – 7 merupakan “X” pada sifat persamaan nilai mutlak, sehingga

Dengan mensubstitusi ke persamaan semula akan memastikan bahwa himpunan selesaiannya adalah {4, 10}.

Catatan Untuk persamaan seperti pada contoh 1 di atas, hati-hati untuk tidak memperlakukan simbol nilai mutlak seperti tanda kurung biasa. Persamaan –5(x – 7) + 2 = –13 hanya memiliki selesaian x = 10, dan tidak memiliki selesaian kedua karena persamaan tersebut memiliki bentuk sederhana x – 7 = 3. Persamaan –5|x – 7| + 2 = –13 dapat disederhanakan menjadi |x – 7| = 3 yang memiliki dua selesaian.

Persamaan nilai mutlak dapat muncul dari berbagai bentuk. Tetapi dalam menyelesaikan persamaan tersebut, kita harus mengisolasi simbol nilai mutlak baru kemudian menerapkan sifat persamaan nilai mutlak.

Contoh 2: Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak

Tentukan himpunan selesaian dari persamaan: |5 – 2/3 x| – 9 = 8.

Pembahasan Dengan mengisolasi simbol nilai mutlak baru kemudian menerapkan sifat persamaan nilai mutlak, kita mendapatkan

Sehingga, himpunan selesaian dari persamaan tersebut adalah {–18, 33}.

Untuk beberapa persamaan, seringkali kita membutuhkan sifat perkalian persamaan nilai mutlak untuk menyelesaikannya.

Sifat Perkalian Persamaan Nilai MutlakJika A dan B adalah bentuk-bentuk aljabar, maka |AB| = |A||B|.

Perhatikan bahwa jika A = –1 maka menurut sifat tersebut |–B| = |–1||B| = |B|. Secara umum, sifat tersebut berlaku untuk sembarang konstanta A.

Contoh 3: Menggunakan Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak

Tentukan selesaian dari persamaan: |–2x| + 5 = 13.

Pembahasan Seperti pada contoh-contoh sebelumnya, kita harus mengisolasi simbol nilai mutlak baru dapat mengaplikasikan sifat-sifat persamaan nilai mutlak.

Diperoleh selesaian dari persamaan tersebut adalah x = –4 atau x = 4. Semoga bermanfaat, yos3prens.

Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak “Kurang   Dari”

Posted on 18 November 2013 by yos3prens

Pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep dasar dari sifat persamaan nilai mutlak. Persamaan |x| = 5 meminta kita untuk menentukan semua bilangan x yang memiliki jarak 5 dengan titik 0, sedangkan pertidaksamaan |x| < 5 meminta kita untuk menentukan semua bilangan x yang memiliki jarak kurang dari 5 dengan titik 0.

Seperti ilustrasi dari gambar di atas, selesaian dari pertidaksamaan |x| < 5 adalah x > –5 dan x < 5, yang juga dapat dituliskan ke dalam pertidaksamaan gabungan –5 < x < 5. Ilustrasi ini dapat digunakan untuk membangun konsep sifat pertidaksamaan nilai mutlak berikut.

Sifat I: Pertidaksamaan Nilai MutlakJika X adalah suatu bentuk aljabar dan k adalah bilangan real positif, maka |X| < k akan mengimplikasikan –k < X < k.

Contoh: Pertidaksamaan Nilai Mutlak “Kurang Dari”

Tentukan himpunan selesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan: |3x + 2|/4 ≤ 1 dan |2x – 7| < –5.

Pembahasan Untuk menyelesaikan pertidaksamaan |3x + 2|/4 ≤ 1, kita harus mengisolasi simbol nilai mutlak di satu ruas.

Sehingga, himpunan selesaian dari pertidaksamaan |3x + 2|/4 ≤ 1 adalah { x | –2 ≤ x ≤ 2/3, x bilangan real}. Selanjutnya, perhatikan pertidaksamaan |2x – 7| < –5. Karena nilai mutlak dari setiap bilangan adalah positif atau nol, maka himpunan selesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah himpunan kosong, Ø. Semoga bermanfaat, yos3prens.

CONTOH SOAL

1. Nilai x dari persamaan 4x – 6 = 10 adalah…Jawab : 4x = 10 + 64x = 16X = 16/4X = 42. Nilai x dari persamaan 14 – 4x = 6x – 16 adalah …Jawab : -4x -6x = -16 -14-10x = – 30X = -30/-10X = 33. Nilai x dari persamaan 2x + 1 1 = 1x – 2 1 adalah …3 3 3 3Jawab : 2x – 1x = -2 1 – 1 13 3 3 31 x = -7 – 43 3 31x = -113 3X = -11/3 – 1/3X = -12/3X = -44. Nilai x dari persamaan 4x – ( x + 8 ) = 2(x – 3 ) adalah …Jawab : 4x –x + 8 = 2x – 64x – 2x = -6 – 82X = – 14

X = -14/2X = -75. Nilai x dari persamaan 3x + 2 = x + 2 adalah …2Jawab : 3x + 2 = (x + 2) x 23x + 2 = 2 x + 43x – 2x = 4 – 2X = 26. Penyelesaian dari pertidaksamaan 8x – 3 < 6x + 3 adalah …Jawab : 8x – 6x < 3 + 32x < 6X < 6/2X < 37. Penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 4 ≤ 4x – 8 adalah …Jawab : 2x – 4x ≤ -8 -4-2x ≤ -12X ≤ -12/-2X ≤ 68. Penyelesaian dari pertidaksamaan 2x – 1 ≤ 1 adalah …3x + 5Jawab : 2x – 1 ≤ 1 x ( 3x + 5 )2x – 1 ≤ 3x + 52x ≤ 3x + 5 + 12x – 3x ≤ 6– x ≤ 6x ≤ -6

Tentukan Himpunan penyelesaian dari  -2x+5-3(x+5)≥0

Penyelesaian

      -2x+5-3(x+5)≥0                          

= -2x+5-3x-15≥0

= (-2x-3x)+5-15≥0                                       

= -5x-10≥ 0                        _ _ _           + + +

                 -5≥10

                  x≥                                    -2

                   x≥-2

HP{xΙx≥-2 ;x€R}  

                     

2.      Tentukan HP dari pertidaksamaan 3x²-2x8>0

Penyelesaian:

3x²2x-8=0   

(3x+4)(x-2)=0

X=   dan x=2 

                                                       -4/3     2

Hp{x|x<4/3 atau 2<x;X€R}

3.      Selesaikan pertidaksamaan dari  2x²–3x+2≥0

Penyelesaian:

⇨x²–3x–2≥0

⇨(2x+1)(x–2)≥0                                  +++       – – –       +++

2x+1=0  atau  x–2=02

2x=–1                   x=2                                –½              2  

      x= –½

Hp{x|x≤1/2 atau 2≥x;X€R}

4.      Tentukan HP dari pertidaksamaan x²–10x–21<0

Penyelesaian

x²–10x–21<0

(x–3)(x–7)<0

Pembuat Nol                                  +++          – – –            +++

x–3=0     atau    x–7=0                             

x=3                          x=7                          3                       7

Jadi Hp{x|3<x<7 ;X€R}

5.      Selesaikan pertidaksamaan 2≤ x²–x<0

Penyelesaian

2≤x²–x=0              atau                 x²–x<6=0

x²–x–2≥0                                       x²–x–6<0

(x+1)(x–2)≥0                                 (x+2)(x–3)<0

 

 

Hp{x|x≤–1≥2 atau–2<x<3;X€R}                                                

 

                                                                                       –2           –1        2             3

6.      Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan │x–1│+│x–3│=2

Penyelesaian

│x–1│+│x–3│=2

(x–1)+( x–3)²=2²

2x²–8x+10+2│(x–1)│+│(x–3)│=4

2│(x–1)(x–3)│= –2x²+8x–6

│(x–1)(x–3│=x²+4x–3

│(x–1)(x–3│= –(x–1)(x–3)                       – – –       +++           – – –

Sifat:–a↔a≤0                                           

(x–1)+( x–3)≤0                                                  1                   3

Jadi Hp {x|1≤x≤3 ; X€R}

7.      Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |x–3|>4….

Penyelesaian

|x–3|>4

(x–3)²>4²

x²–6x>16

x²–6x–16>0

(x–8)(x+2)>0

x=8 atau x=–2

Jadi Hp{x|x<–2 atau x>8 ; X€R}

8.      Tentukan HP dari pertidaksamaan nilai mutlak |3x–6|>|2x+1|…

Penyelesaian

|3x–6|>|2x+1|

(3x–6)²>(2x+1)²

9x²–36+36>4x²+4x+1

5x²–40+35>0

(5x–5)(x–7)>0

5x–5 = 0    atau     x–7 = 0                                                

5x = 5                   x = –7

x = 1                                                                –7                1

Jadi Hp{x|x<1 atau x>–7; X€R}

9.      Hp dari |2x–1|≥5–x adalah….

Penyelesaian

 (2x–1)²≥(5–x)²

4x²–4x+1≥25+10x–x²

4x²–4x+1–25+10x–x²≥0

3x²+6x–24≥0

x²+2x–8≥0

(x+4)(x–2)≥0                                 +++  – – –   +++

 

                                                                   –4       5

Jadi Hp{x|–4≤x≤5 ; X€R}

10.  Nilai x yang memenehi pertidaksamaan ≥1 adalah…..

Penyelesaian                                                                                                                                         ≥1                                                   

                                       

≥0                                                                                                                        ≥0

(4x–3)(x+2)≥0

Jadi Hp{x|–2<x≥3/4; X€R}

11.  Suatu pemetaan di defenisikan dengan f(x)=2x²–6x+7 nilai minimum fungsi tersebut adalah….

Penyelesaian

f(x)=2x²–6x+7

a=2    b= –6    c=7

Nilai minimum(ekstrim):

Y eks =                                                                                              

                                                                           

= =2,5

12. Diketahui f:x→x²+4 Nilai f(3)+f(-2) adalah….

Penyelesaian

f(x)=x²+4

f(3)=(3)²+4=9+4=13

f(-2)=(–2)²+4=8

f(3)+f(–2)=13+8=21

13.  Diketahui suatu fungsi di definisikan dengan rumus f(x)=ax+b

Jika f(2)=2 dan f(–2)=–10

Tentukan nilai a dan b….

Penyelesaian

f(x)=ax+b

f(–2)=–10

= a(–2)+b=–10

= –2a+b=–10

= f(x)=2

= 2a+b=2

Dari (1) dan (2)

–2a+b = –10

      2a+b =           2                      +   

      2b =  – 8

         b =

           =–4

B didistribusikan ke(2)

2a+(–4) = 6

2a = 6

6 =    

= 2

Jadi, a = 3 dan b= –4

14.  Diketahui f(x)=x+2 dan g(x)=x²–4….

Tentukan:

a.      (f.g)(x)  b. (x)

Penyelesaian:

a.      (f.g)(x) = f(x).g(x)

                        = (x+2)(x²–4)

                        = x³–4x+2x²–8

                        = x³–6x²–8

b.      (x)  =

                        =

              =

              = x–2

15.  Diketahui f(x)=2x+1 dan g(x)=x²+2

Tentukan:

a. g○f(x)

b. f○g(x)

Penyelesaian

a.      g○f(x)  =g(f(x))

                        = g(2x–1)

                        = (2x–1)²+2

                        = 4x²–4x+1+2

                        = 4x²–4x+3

b.      f○g(x)  =f(g(x))

                        =f(x²+2)

                        =2(x²+2)–1

                        =4x²+3

16.  Diketahui f(x)=5x–3dang(x)=x+2

Tentukan:

a. g○f(1)

b. f○g(–2)

c. g○f(–3)

Penyelesaian

a.      g○f(1)  = g(f(1))

                        = g (5.1–3)

                        = g (5–3)

                        = g (3)

                        = 3²+2

                        =11

b.      fog (–2)           = f(g(–2))

                                    = f ((–2)²+2)

                                    = f (6)

                                    = 5.6–3

                                    = 27

c.       g○f (–3)           = g(f(–3))

                                    = g (5(–3)–3)

                                    = g (–18)

                                    = (–18)²+2

                                    = 324+2

                                    = 326

17.  Sebuah fungsi f ditentukan dengan rumus f(x)=x²–6 dengan domain

Df = {x|–1≤7; X€R}

Tentukan pembuat nol fungsi f tersebut….

Penyelesaian

x²–6x=0

= x(x–6) = 0

x=0 atau x=6

Jadi pembuat nol f adalah:x=0 dan x=6

18.  Tentukan fungsi invers dari:

f(x)=5x+8

Penyelesaian

f(x)=5x+8→misal f(x)=y

maka:

y=5x+8

–5x=y–8

x=

Jadi f ¹־ (x)=

19.  SSDiketahui f dan g yang di tentukan oleh f(x)=2x²+6x+7 dengan g(x)=5x+1 maka…

Penyelesaian

fOg(x)=f(g(x))

=2(5x+1)²+6(5x+1)+7

=2(25x²+10x+1)+30x+6+7

=50x²+20 x+2+30x+13

=50x²+50x+15

20.  Tentukan fungsi invers dari:f(x)=  misalnya:f(x)=y

Penyelesaian

Maka:

y=

6xy=5x+7

6xy–5x=7

x(6y–5)=7

x=

Jadi f ¹־ (x)=