Mengenal eigen dalam kuantum

Didalam quantum, kita tidak bisa menentukan posisi electron begitu saja. Karena yang ada adalah kebolehjadian dari posisi electron tersebut dan untuk memudahkan dalam analisa fisis maka digambarkan sebagai fungsi gelombang. Keadaan fisis suatu electron jika diuraikan dalam ruang berbasis-x akan menghasilkan psi(x,t) atau disebut vector gelombang dalam ruang posisi.

Membahas kuantum, maka yang akan dijumpai yakni beberapa formula persamaan yang nantinya akan memudahkan dalam menganalisa perhitungan. Salah satu perhitungan yang berkaitan dengan kuantum yaitu eigen.berikut penjelasan mengenai eigen.

A. Pengertian

Nilai Eigen (eigenvalue) dan Vektor Eigen (eigenvector) seringkali dalam persoalan teknik dan sains dibutuhkan. Sebuah operator T : V → V diberikan dan kita harus menentukan nilai skalar λ sehingga diperoleh persamaan : Tx  =  λ x mempunyai penyelesain x yang tidak nol (x ≠ 0). Swanilai/nilai eigen dalam quantum menyatakan suatu persamaan dari sebuah pengukuran, sedangkan hasil pengukuran yang mungkin keluar dalam pengukuran dinyatakan sebagai nilai eigen.

Definisi :

Jika A adalah sebuah matriks n x n, maka sebuah vektor yang tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen (eigenvector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu :

Ax  =  λ x

untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigenvalue) dari A dan x dinamakan sebuah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.

Nilai eigen dan vektor eigen mempunyai tafsiran geometris yang berguna di dalam R2 dan R3. Jika λ adalah nilai eigen dari A yang bersesuaian dengan x maka Ax = λx sehingga perkalian oleh A akan membesarkan x, mengkontraksi x atau membalik arah x yang bergantung pada nilai λ.

B. Menentukan Nilai Eigen

Persamaan nilai eigen dan vektor eigen sebagaimana kita ketahui adalah :

A x  =  λ x

A = matriks yang akan kita cari nilai eigen dan vektor eigennya

x = vektor eigen dalam bentuk matriks

λ = nilai eigen dalam bentuk skalar

Untuk mencari nilai eigen (nilai λ) dari sebuah matriks A yang berukuran n x n maka kita lakukan langkah berikut :

A x  =  λ x

Agar kedua sisi berbentuk vektor, maka sisi kanan dikali dengan matriks identitas I, sehingga :

A x  =  λ I x

λ I x  -  A x  =  0

x  .  ( λ I  -  A )  =  0

Skalar = λ yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A. Agar nilai λ ada dan pemecahannya tak nol. Menurut Teorema 13 tentang ruang baris dan ruang kolom, pemecahan ini akan mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya jika :

det ( λ I  -  A ) = 0

Bentuk akhir ini dinamakan persamaan karakteristik dari A.

. Menentukan Vektor Eigen

Vektor eigen (disimbolkan nilai x) dari matriks A yang bersesuaian dengan sebuah nilai eigen λ adalah sebuah vektor tak nol yang memenuhi persamaan  Ax  =  λ x.

Secara ekivalen maka vektor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah vektor tak nol di dalam ruang pemecahan dari  (λ I-A)x = 0.

Ruang pemecahan ini dinamakan ruang eigen (eigen space) dari A yang bersesuaian dengan λ.

Sumber:

http://mengejarmatahari-fst10.web.unair.ac.id/artikel_detail-60553-Kuliah%20Kuantum%20-Fisika%20Kuantum.html

https://www.scribd.com/doc/59322113/eigen