Mekanika Lagrangian

Bab II. Mekanika Lagrangian dan Formalisme Hamilton

Bab II. Mekanika Lagrangian

Bab II. Mekanika Lagrangian dan Formalisme Hamilton

Pada bagian awal (Bab I) kita telah menggunakan hukum-hukum Newton untuk menganalisis gerak sebuah benda. Dengan menggunakan hukum ini kita dapat menurunkan persamaan gerak benda. Hukum Newton dapat diterapkan, jika gaya yang bekerja pada sebuah benda diketahui. Namun dalam kebanyakan kasus, persoalan yang dihadapi terkadang tidak mudah diselesaikan dengan menggunakan dinamika gerak serta persyaratan awal yang diberikan. Sebagai contoh, benda yang bergerak pada sebuah permukaan berbentuk bola. Persoalan yang dihadapi bukan hanya pada bentuk gaya yang bekerja, akan tetapi penggunaan koordinat, baik cartesian maupun koordinat lainnya sudah tidak efektif lagi digunakan, sekalipun bentuk persamaan gayanya diketahui.

Dalam bab ini akan dibahas tentang sebuah pendekatan yang lebih efektif digunakan dalam mencari persamaan gerak sistem yang pertama dikembangkan oleh matematikawan Perancis Joseph Louis Lagrange yang disebut formalisme Lagrange. Disamping formalisme Lagrange terdapat pula formalisme Hamilton yang sangat mirip. Perbedaaan keduanya terletak pada koordinat umum yang dipakai. Formalisme Hamilton menggunakan posisi dan kecepatan sebagai koordinat rampatan yang menghasilkan persamaan linier orde-dua, sedangkan pada formalisme Hamilton posisi dan momentum digunakan untuk koordinat rampatan yang menghasilkan persamaan diferensial orde-satu. Hasil yang diperoleh dengan kedua formalisme tersebut konsisten dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan hukum-hukum Newton.A. KOORDINAT RAMPATAN (UMUM)

Posisi sebuah partikel dalam l ruang dapat dinyatakan dengan menggunakan tiga jenis koordinat; dapat berupa koordinat Kartesian, koordinat bola atau koordinat silinder. Jika partikel bergerak pada sebuah bidang, atau pada sebuah permukaan yang terbatas, maka hanya dibutuhkan dua koordinat untuk menyatakan posisinya, sedangkan untuk partikel yang bergerak pada sebuah garis lurus atau pada lintasan lengkung cukup dengan menggunakan satu koordinat saja.

Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka diperlukan paling kurang 3N koordinat untuk menyatakan posisi semua partikel. Secara umum, terdapat n jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Koordinat-koordinat tersebut dinyatakan dengan

q1, q2, ..qn (1)

yang disebut dengan koordinat rampatan (generalized coordinates). Istilah rampat diambil dari kata merampat dan papan Koordinat qk dapat saja berupa sudut atau jarak. Tiap koordinat dapat berubah secara bebas terhadap lainnya; sistem tersebut dinamakan holonomic. Jumlah koordinat n dalam hal ini disebut dengan derajat kebebasan sistem tersebut.

Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing koordinat tidak dapat berubah secara bebas satu sama lain, yang berarti bahwa banyaknya derajat kebebasan adalah lebih kecil dari jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Salah satu contoh sistem nonholonomic adalah sebuah bola yang dibatasi meluncur pada sebuah bidang kasar. Lima koordinat diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat untuk menyatakan posisi pusat bola dan tiga koordinat untuk menyatakan perputarannya. Dalam hal ini, koordinat-koordinat tersebut tidak dapat berubah semuanya secara bebas. Jika bola tersebut menggelinding, paling kurang dua koordinat mesti berubah. Dalam pembahasan selanjutnya kita akan membatasi diri pada sistem holonomic.

Untuk partikel tunggal, fungsi koordinat rampatan lebih mudah diungkapkan dengan menggunakan koordinat Kartesius:

x = x(q)

(satu derajat kebebasan - gerak pada sebuah kurva). x = x(q1,q2)

(dua derajat kebebasan - gerak pada sebuah permukaan).

x = x(q1,q2,q3)

y = y(q1,q2,q3)

z = z(q1,q2,q3)

(tiga derajat kebebasan - gerak dalam sebuah ruang)

Misalkan q berubah dari harga awal (q1,q2, .) menuju harga (q1+(q1,q2+(q1 ..). Perubahan koordinat Kartesius yang bersesuaian adalah :

(2)

(3)

(4)

Turunan parsial (x/(q1 dan seterusnya adalah fungsi dari q. Sebagai contoh, misalkan sebuah partikel bergerak dalam bidang. Misalkan kita memilih koordinat kutub untuk menyatakan konfigurasi sistem, maka dalam hal ini :

q1 = r

q2 = ( (5)Selanjutnya :

x = x(r,() = r cos( y = y(r,() = r sin( (6)

dan = cos ( (r - r sin ( (( (7)

= sin ( (r + r cos ( (( (8)

Sekarang perhatikan sebuah sistem yang mengandung sejumlah n partikel; dalam hal ini mengandung n derajat kebebasan serta koordinat rampatannya dinyatakan dengan :

q1, q2, ..qn (9)

Selanjutnya perubahan konfigurasi dari (q1, q2, ..qn) ke konfigurasi di dekatnya (q1+(q1, q2+(q2, qn+(qn) menyatakan perpindahan partikel ke i dari titik (xi,yi,zi) ke titik di dekatnya (xi+(xi,yi+(yi,zi+(zi) dimana:

(10)

(11)

(12)

Persamaan (1012) menunjukkan bahwa turunan parsialnya merupakan fungsi q. Selanjutnya kita akan mengambil indeks i untuk menyatakan koordinat rectangular, dan indeks k untuk menyatakan koordinat rampatan. Simbol xi kita pakai untuk menyatakan sembarang koordinat rectangular. Jadi, untuk sistem yang mengandung N partikel, i dapat berharga antara 1 dan 3N.

B. GAYA RAMPATAN

Jika sebuah partikel mengalami pergeseran sejauh (r dibawah pengaruh sebuah gaya aksi F, gaya yang bekerja padanya dinyatakan dengan

(13)

Dalam bentuk yang lebih sederhana dapat dinyatakan dengan

(14)

Tampak bahwa persamaan di atas tidak hanya berlaku untuk partikel tunggal, tetapi juga untuk sistem banyak partikel. Untuk satu partikel, harga i adalah dari 1 sampai 3. Untuk N partikel, harga i adalah dari 1 sampai 3N.

Jika pertambahan (xi dinyatakan dalam koordinat rampatan, maka diperoleh

(15)

Persamaan di atas juga dapat ditulis

(16)

dimana: (17)

Besaran Qk yang didefinisikan menurut persamaan di atas disebut dengan gaya rampatan. Oleh karena perkalian Qk(qk memiliki dimensi kerja/usaha, maka dimensi Qk adalah gaya jika qk menyatakan jarak, dan dimensi Qk adalah torka, jika qk menyatakan sudut.

C. GAYA RAMPATAN UNTUK SISTEM

KONSERVATIF

Jika sebuah gaya bekerja pada sebuah partikel dalam sebuah medan gaya konservatif, besarnya gaya tersebut dinyatakan oleh persamaan

(18)

dimana V menyatakan sebuah fungsi energi potensial. Oleh karena itu perumusan gaya rampatan dapat dinyatakan

(19)

Suku yang berada dalam tanda kurung tak lain adalah turunan parsial fungsi V terhadap qk. Oleh karena itu

(20)

Misalkan, kita menggunakan koordinat kutub, q1 = r ; q2 = (, maka gaya rampatan dapat dinyatakan dengan Qr = -(V/(r ; Q( = -(V/((. Jika V merupakan fungsi r saja (dalam kasus gaya sentral), maka Q( = 0.

D. PERSAMAAN LAGRANGE

Untuk mencari persamaan diferensial gerak sebuah benda yang dinyatakan dalam koordinat rampatan, kita dapat memulai dengan persamaan berikut: (21)

dan selanjutnya kita akan mencoba menyatakan persamaan tersebut dalam q. Pendekatan pertama yang akan kita pakai adalah dari persamaan energi. Kita akan menghitung energi kinetik T dalam bentuk koordinat Kartesian dan selanjutnya kita akan nyatakan dalam koordinat rampatan dan turunannya terhadap waktu. Energi kinetik T dari sebuah sistem yang mengandung N partikel dapat dinyatakan dengan

(22)

atau dalam bentuk yang lebih ringkas ditulis sebagai berikut

(23)

Mari kita mencoba menyatakan hubungan antara koordinat x dan q yang juga mengandung waktu t secara eksplisit. Kita dapat misalkan

(24)

dan selanjutnya

(25)

Dalam pembahasan selanjutnya, kita tetapkan bahwa harga i adalah 1,2, ..3N dimana N menyatakan jumlah partikel dalam sistem, dan harga k adalah 1,2, . .n; dimana n menyatakan jumlah koordinat rampatan (derajat kebebasan) sistem. Oleh karena itu kita dapat melihat bahwa energi kinetik sebagai fungsi koordinat rampatan, turunannya terhadap waktu, atau mungkin dalam waktu. Dalam banyak hal, waktu t tidak secara eksplisit terkait hubungan antara xi dan qk, sehingga (xi/(t = 0. Jelaslah bahwa energi kinetik T merupakan fungsi kuadrat yang homogen dari kecepatan rampatan .

Dari persamaan

(26)

Kalikan kedua ruas (ruas kiri dan kanan) dengan dan diferensialkan terhadap t, akan diperoleh:

(27)

atau

(28)

Jika selanjutnya kita kalikan mi dan kita gunakan hubungan , kita dapat peroleh

(29)

Lakukan penjumlahan terhadap i akan diperoleh :

(30)

Dari definisi gaya rampatan kita peroleh

(31)Ini adalah persamaan diferensial gerak yang dinyatakan dalam koordinat rampatan dan dikenal dengan persamaan Lagrange untuk gerak.

Dalam kasus gerakannya adalah konservatif, persamaan Lagrange dapat ditulis sebagai berikut:

(32)

Persamaan ini biasanya ditulis dalam bentuk yang lebih singkat dengan mendefinisikan fungsi Lagrangian L yakni

L = T - V (33)

Yang berarti bahwa kita dapat menyatakaan T dan V dalam koordinat rampatan. Oleh karena V = V(qk) dan , kita peroleh

dan (34)

Persamaan Lagrange dapat ditulis

(35)

Persamaan diferensial gerak untuk suatu sistem konservatif dapat dicari jika kita ketahui fungsi Lagrangian dalam bentuk koordinat tertentu. Di sisi lain, jika gaya rampatan tidak konservatif, misalkan nilainya adalah , maka kita dapat menuliskan

(36)

Selanjutnya kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi Lagrangian L = T - V, dan menuliskan persamaan diferensial gerak dalam bentuk

(37)

(37)

Bentuk di atas lebih mudah dipakai jika gaya gesekan diperhitungkan.

E. BEBERAPA CONTOH PEMAKAIAN PERSAMAAN

LAGRANGE

Berikut ini akan dibahas beberapa kehandalan persamaan Lagrange untuk menyelesaikan masalah-masalah gerak. Prosedur umum yang dipakai untuk mencari persamaan diferensial gerak dari sebuah sistem adalah sebagai berikut:

1. Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi sistem.

2. Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut beserta turunannya terhadap waktu.

3. Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V sebagai fungsi koordinatnya, atau jika sistem tersebut tidak konservatif, cari koordinat rampatan Qk.

4. Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari dengan menggunakan persamaan di atas.

Beikut ini adalah beberapa contoh pemakaiannya :1. Pandanglah sebuah partikel bermassa m yang bergerak akibat pengaruh gaya sentral pada sebuah bidang. Rumuskan persamaan gerak partikel tersebut.Misalkan koordinat polar (r,() digunakan sebagai koordinat rampatan. Koordinat Cartesian (r,() dapat dihubungkan melalui :

x = r cos ( y = r sin (Energi kinetik partikel dapat ditulis:

Energi potensial oleh gaya sentral

Persamaan Lagrange untuk sistem ini:

Dari persamaan Lagrange:

Substitusi q1 = r dan q2 = (, diperoleh:

Dari kedua persamaan di atas diperoleh:

Untuk partikel yang bergerak dalam medan konservatif :

Jadi :

Dari persamaan Lagrange :

atau:

Hal ini berarti bahwa J merupakan momentum sudut yang nilainya konstan. Integrasi persamaan di atas menghasilkan

= konstanBerdasarkan persamaan di atas dapat dikatakan bahwa dalam medan konservatif momentum sudut J, merupakan tetapan gerak.2. Osilator Harmonik

Pandanglah sebuah osilator harmonik 1-dimensi, dan misalkan padanya bekerja sebuah gaya peredam yang besarnya sebanding dengan kecepatan. Oleh karena itu sistem dapat dipandang tidak konservatif. Jika x menyatakan pergeseran koordinat, maka fungsi Lagrangiannya adalah

L = T - V = (38)

dimana m adalah massa dan k adalah tetapan kelenturan pegas. Selanjutnya:

dan (39)

Oleh karena pada sistem bekerja gaya yang tidak konservatif yang harganya sebanding dengan kecepatan; dalam hal ini Q' = -c, sehingga persamaan gerak dapat ditulis :

(40)

Ini tak lain adalah persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi dengan gaya peredam yang sudah kita kenal.

3. Partikel yang berada dalam medan sentral.

Mari kita rumuskan persamaan Lagrange gerak sebuah partikel dalam sebuah bidang di bawah pengaruh gaya sentral. Kita pilih koordinat polar q1 = r, q2 = (. Maka

(41)

(42)

(43)

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan Lagrange, diperoleh :

(44)

(45)

Oleh karena sistemnya tidak konservatif, maka persamaan geraknya adalah :

(46) (47)

4. Mesin Atwood

Sebuah mesin Atwood yang terdiri dari dua benda bermassa m1 dan m2 dihubungkan oleh tali homogen yang panjangnya l dan dilewatkan pada katrol (lihat gambar). Sistem ini memiliki satu derajat kebebasan. Kita ambil variabel x untuk menyatakan konfigurasi sistem, dimana x adalah jarak vertikal dari katrol ke massa m1 seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Gambar 2. 1Mesin atwood tunggalKecepatan sudut katrol adalah , dimana a adalah jari-jari katrol. Energi kinetik sistem ini adalah : (48)

dimana I adalah momen inersia katrol. Energi potensial sistem adalah :

(49)

Anggap bahwa pada sistem tidak bekerja gaya gesekan, sehingga fungsi Lagrangiannya adalah

(50)dan persamaan Lagrangenya adalah

(51)

yang berarti bahwa :

(52)

atau

(53)adalah percepatan sistem. Nampak bahwa jika m1>m2, maka m1 akan bergerak turun, sebaliknya jika m1