Aplikasi Lagrangian Navier-Stokes pada Turbulensi · A Dinamika Sistem Fluida Interaksi 4 poin 12...
25
Aplikasi Lagrangian Navier-Stokes pada Turbulensi Jani Suhamjani G74101013 Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Bogor 2005
Transcript of Aplikasi Lagrangian Navier-Stokes pada Turbulensi · A Dinamika Sistem Fluida Interaksi 4 poin 12...
Aplikasi Lagrangian Navier-Stokes padaTurbulensi
Jani SuhamjaniG74101013
Departemen FisikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian BogorBogor2005
Ringkasan
Telah diketahui Lagrangian Navier-Stokes yang menggambarkan dinamika fluida dari per-samaan Navier-Stokes yang invarian terhadap local gauge transformations. Dengan menggunakanteori medan akan dihitung amplitudo kuadrat dari lagrangian tersebut untuk mengetahui interak-si pada suatu titik untuk empat fluida. Untuk interaksi empat fluida besarnya dipengaruhi duasudut antar fluida yang berinteraksi, kecepatan dan Potensial dari gaya-gaya konservatif. Padakasus turbulensi amplitudo kuadrat memiliki arti fisis sebagai Energi turbulensi.
Aplikasi Lagrangian Navier-Stokes padaTurbulensi
Jani SuhamjaniG74101013
SkripsiDiajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar
Sarjana Sainspada
Program Studi Fisika
Departemen FisikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian BogorBogor2005
Judul Skripsi : Aplikasi Lagrangian Navier-Stokes pada TurbulensiNama : Jani SuhamjaniNRP : G74101013Program Studi : Fisika
Menyetujui,
Dr. Husin Alatas Dr. L. T. HandokoPembimbing I Pembimbing II
Mengetahui,
Dr. Ki Agus DahlanKetua Departemen Fisika
jagad raya...nyanyian alam sunyi
misterimu membuatku berfikirbahwa aku hanyalah setitik-titik
suhamjani
Riwayat Hidup Penulis
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 23 Maret 1982 sebagai anak kedelapan dari sembilanbersaudara, putra dari pasangan Udin Syamsudin dan Siti Aisah
Penulis menamatkan pendidikan dasar di SDN Batutulis 2 Bogor, pendidikan menengah diSMPN 9 Bogor dan melanjutkan di SMUN 3 Bogor. Pada tahun 2001 melanjutkan pendidikan diInstitut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis diterima diDepartemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, pernah ikut serta organisasi BPM (Badan Perwakilan Maha-siswa) pada tahun 2001/2002 dan organisasi HIMAFI (Himpunan Mahasiswa Fisika) IPB padatahun 2003/2004.
KATA PENGANTAR
Pada saat pertama mengikuti penelitian dengan Pak Handoko sejujurnya penulis tidak tahuapa-apa mengenai teori partikel maupun fluida. Setelah diikuti dengan penuh kesabaran akhirnyapenulis mengetahui beberapa hal yang menarik dari fisika. Banyak sekali fenomena fisika yangbelum penulis ketahui. Penulis kadang-kadang merasa bingung sendiri apa yang harus dilakukan,karena penulis sama sekali tidak memiliki pengalaman penelitian. Jawaban teman-teman di UImengenai penelitian selalu membuka pikiran penulis. Beberapa bulan kemudian ada angin segarbahwa Pak Handoko dan Ka Sulaiman berhasil menemukan Lagrangian Navier-Stokes. Darisanalah penulis mulai bersemangat lagi untuk cepat-cepat menyelesaikan penelitian.
Segala Puji bagi Allah s.w.t yang telah memberikan rahmat dan hidayahNya sehingga skrip-si ini bisa selesai. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Pak Handoko yang telahmembimbing penulis dengan sabar, penuh pengertian, dan juga selalu memberi semangat untuksegera menyelesaikan tugas akhir ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Pak Husen,Ka Sulaiman ,Ka Eko , atas jawaban yang penulis tidak ketahui, Fahd atas kerjasamanya, PakAyung, Handika, Parada, Fredi, Ardi di Lab teori yang telah membantu penulis. Penulis jugamengucapkan terima kasih kepada Ibu, bapak dan semua anggota keluarga atas bantuan moraldan moril serta Teman-teman di Fisika (wawiko, iman, yayat, laode, erus, piah, semua angkatan37,38, 39 dan 40) IPB atas senyumnya. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihaklain yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung yang namanya tidak bisadisebutkan satu-persatu.
Hasil karya ini tidaklah sempurna. Penulis menerima saran dan kritikan yang membangun daripara pembaca.
Bogor, 11 September 2005
Jani Suhamjani
Daftar Isi
Abstrak 2
Kata Pengantar i
Daftar Isi ii
Daftar Gambar iii
Daftar Acuan 11
A Dinamika Sistem Fluida Interaksi 4 poin 12
B Polarisasi Vektor 16
ii
Daftar Gambar
1 Diagram Feynman untuk interaksi 4 point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Energi turbulensi terhadap sudut θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Energi turbulensi terhadap sudut α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Energi turbulensi terhadap kecepatan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Energi turbulensi dengan viskositas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Energi turbulensi terhadap tekanan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Enegi turbulensi terhadap ketinggian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Enegi turbulensi terhadap massa jenis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Energi turbulensi terhadap gradien kecepatan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
iii
PENDAHULUAN
1. Latar Belakang Masalah
Perkembangan ilmu pengetahuan fisika yangsangat cepat, membuat beberapa rahasia alamterpecahkan. Turbulensi adalah satu fenomenayang sangat menarik karena sangat sulit dipe-cahkan meskipun gejala ini sudah lama disadari.Sedangkan teori gauge baru saja muncul untukmencoba menjelaskan semua dasar interaksi dialam Pemodelan turbulensi dalam teori gaugemerupakan suatu hal yang benar-benar baru se-hingga usaha untuk menjelaskan masalah yangsulit terpecahkan (turbulensi) menjadi sangatmenarik.
Dinamika fluida dapat digambarkan olehpersamaan Navier-stokes yang diturunkan darihukum Newton kedua. Sebelumnya dibebera-pa tulisan untuk mengetahui dinamika yang ter-jadi dengan menghitung hamiltonian dari sis-tem dengan menggunakan prinsip aksi terke-cil. Di tulisan lain juga menghubungkanpersamaan Navier-stokes dengan persamaanmaxwell, tetapi tidak begitu jelas karenamenggambarkan dua hal yang berbeda. se-lanjutnya dinamika fluida diformulasikan dalambentuk lagrangian yang didapat dari persamaangerak sistem.
Untuk mengetahui dinamika fluida di-lakukan pendekatan yang berbeda dengansebelumnya, yaitu dengan menggunakan re-lativistik lagrangian bosonik. Hal ini dapatdilakukan karena persamaan Navier-stokesyang menggambarkan dinamika fluida dapatdibangun berdasarkan relativistik lagrangianbosonik. Untuk mengetahui interaksi yangterjadi pada suatu titik dengan menghitungamplitudo kuadrat dari lagrangian tersebut.
2. Perumusan Masalah
Untuk mengaplikasikan persamaan Navier-Stokes kedalam kasus Turbulensi kita harus ter-lebih dahulu mengetahui observable dari per-samaan gerak tersebut. Observable yang di-dapat adalah amplitudo kuadrat dari vertek 4point.
Pada teori gauge interaksi 4 point adalah in-teraksi antar gluon. Fenomena Turbulensi di-pandang sebagai interaksi 4 fluida.
Amplitudo kuadrat 4 poin telah berhasildidapatkan. Masalah yang dihadapi adalah arti
fisis dari amplitudo kuadrat tersebut pada kasusturbulensi, jika medan yang bekerja adalahmedan gravitasi, viskositas dan tekanan. Kitamenggunakan medan-medan tersebut karenamereka yang paling bertanggung jawab dalamkasus ini.
3. Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat teoritik. Kerangkadasar teoritik yang digunakan adalah teoriMedan Boson yang invarian terhadap localgauge transformations yang merepsentasikandinamika fluida dari persamaan Navier-stokes[8]. Berdasarkan teori ini Dinamika fluida dapatdigambarkan dalam bentuk lagrangian bosonik,kemudian dapat dicari Amplitudo kuadrat yangmenggambarkan inrerksi yang terjadi padasuatu titik dari empat fluida.
4. Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mengaplikasikanLagrangian Navier-Stokes didalam fenomenaTurbulensi.
5. Alat dan Bahan
Komputer dengan software mathematica 5dimanfaatkan untuk memplot grafik amplitudokuadrat dengan besaran-besaran fisika. Bebera-pa Paper dan buku juga membantu penelitianini sebagai bahan pustaka.
TINJAUAN PUSTAKA
Didalam Bab ini penulis akan menguraikansedikit tentang turbulensi dan 2 hukum yangdipatuhinya yaitu hukum kekekalan massa danhukum kekekalan momentum
1. Turbulensi
Mekanika fluida adalah cabang dari ilmu fisi-ka yang mempelajari tentang aliran fluida yangbergerak maupun yang diam dan mempela-jari tentang peralatan maupun aplikasi yangberhubungan dengan fluida. Mekanika fluidaterbagi menjadi 2 bagian yaitu Statika fluidayang mempelajari fluida dalam keadaan diamdan dinamika fluida yang mempelajari fluidabergerak. Pada penulisan skripsi ini kita hanya
mengunakan Dinamika fluida dalam kasus tur-bulensi. Turbulensi disini memiliki sifat-sifatviscous (kekentalannya tidak bisa diabaikan)dan rotasional yaitu alirannya berolak.
Jean Leonard Marie Poiseuille dan GotthilfHeinrich Ludwig Hagen adalah orang yang per-tama menulis tentang aliran fluida. Merekamembahas mengenai masalah aliran darah di-dalam pembuluh darah. Mereka menulis tan-pa melibatkan pengaruh viskositas. ClaudeLouis Marie Navier dan Sir George GabrielStokes merumuskan persamaan yang melibatkanviskositas dan persamaan tersebut dinamakanpersamaan Navier-Stokes. Persamaan ini sangatsulit sehingga hanya bisa menjelaskan fenomeneyang sederhana, contohnya adalah laminar. Per-samaan Bernoulli berhasil diturunkan dari per-samaan ini. Persamaan Bernoulli berlaku untukfluida yang memiliki kecepatan relatif rendah.Garis arus fluida belum pecah pada kecepatanini. Apabila kecepatan fluida ditambah makagaris arus fluida akan pecah dan berolak.
Pecahnya garis arus dan timbulnya arus ed-di dikenal sebagai fenomena turbulensi. Kapanterjadinya arus laminar dan turbulensi belumbisa terpecahkan sampai Osborne Reynoldsmemperkenalkan bilangan reynolds. BilanganReynold ini berbanding lurus dengan kecepatan,massa jenis fluida dan diameter pipa yang dilaluifluida serta berbanding terbalik dengan viskosi-tas. Batas antara laminar dan turbulensi bila-ngan reynoldnya 2300 (lihat[4]). Jika bilanganreynold lebih besar dari 2300 maka kemungki-nan terbesar dari aliran fluida adalah turbulen-si. Transisi aliran laminar dan turbulen dapatdilihat pada asap rokok. Pada saat asap rokokmulai mengepul aliran itu adalah laminar. Pa-da saat asap rokok itu bergerak mulai menjauhaliran tersebut adalah turbulen.
Deskripsi aliran fluida bisa dengan 2 cara,yatu deskripsi Lagrange dan deskripsi Euler.Pada deskripsi Lagrange aliran fluida dijelaskandengan melihat lintasan fluida. Deskripsi Eulermenggunakan fungsi ruang-waktu. Skripsi inimenggunakan deskripsi Euler. Karakterisasiturbulensi menggunakan 2 parameter yaitukecepatan dan massa jenis. Aliran Turbulensiini memenuhi 5 hukum yaitu hukum kekekalanmassa, hukum kekekalan momentum, hukumkekekalan momentum sudut, hukum termodi-namika I dan hukum termodinamika II. Padabagian ini yang dibahas hanya hukum kekekalanmassa dan hukum kekekalan momentum
1.1 Hukum Kekekalan Massa
Hukum kekekalan massa menyatakan bahwa flu-ida tidak bisa diciptakan dan tidak bisa dimus-nahkan. Jika kita menggangu fluida tersebutmaka massa awal akan selalu sama dengan mas-sa akhirnya. Misalkan ada volume (V) fluidayang dilingkupi oleh permukaan S . Massa fluidadalam volume (V) adalah
∫ ∫ ∫ρdV . massa flu-
ida yang mengalir melalui permukaan tertutupadalah
∮ρdS.Hukum kekekalan massa menya-
takan bahwa fluks fluida yang keluar dari per-mukaan tertutup S akan sama dengan hilangnyamassa fluida per waktu pada Volume (V). Per-nyataan ini dapat ditulis sebagai:
∮(ρ~v) · dS = − ∂
∂t
∫ρdV (1)
Mengguanan Teorema Gauss diruas kiri danruas kanan:
∫~O · (ρ~v)dV = − ∂
∂t
∫ρdV
∫[∂ρ
∂t+ ~O · (ρ~v)]dV = 0 (2)
Dari kalkulus kita bisa mendapatkan hasilnya se-bagai berikut:
∂ρ
∂t+ ~O(ρ~v) = 0 (3)
Persamaan ini dikenal sebagai persamaankontinuitas.
1.2 Hukum Kekekalan MomentumUntuk partikel titik dengan massa (m), makahukun Newton ke-2 menjadi: m d~x
dt2 = ~F . di-mana ~x adalah posisi partikel titik. Percepatanmenjadi d~x
dt2 → D~vDt dengan D
Dt = ∂∂t + ~v.~O
Gaya fundamental dalam fluida adalah gradienstress yang ditulis:
Fi = − ∂
∂xkΠik (4)
dimana tensor stress Πik diberikan oleh:
Πik = Pδik − σik (5)
dimana P adal ah tekanan dan σik adalah tensorviskositas. Tensor ini bisa diturunkan dari per-samaan transport Bolzmann. Tensor viskositasdapat ditulis sebagai [4]:
σij = µ(∂Ui
∂xk+
∂Uk
∂xi− 2
3δij
∂Ul
∂xl)+νδik
∂Ul
∂xl(6)
dimana µ dan ν adalah koefisien dinamika dankinematika viskositas. Masukan pers. (6) , pers.
(5), pers. (4) kedalam hukum Newton ke-2, di-dapatkan:
ρ(∂~v
∂t+(~v.~O)~v) = −~OP +µ~O2~v+(ν+
13µ)~O(~O·~v)
(7)Persamaan ini disebut persamaan Navier-Stokesyang membangun dinamika fluida.
2. Teori Medan Gauge
Teori gauge adalah teori medan yang didasarioleh prinsip gauge yaitu suatu teori harus in-variant terhadap transformasi lokal gauge. Se-bagai contoh, misalkan medan komplek skalarφ(x) dalam ruang-waktu Minkowski. Kerapa-tan Lagrange medan ini dengan potensial V da-pat ditulis [7]:
L(φ, ∂µφ) = (∂µφ?)(∂µφ)− V (φ?φ) (8)
jika kita ambil transformasi:
φ → φ′ ≡ e−iθφ (9)
dimana θ adalah konstanta real. Pembuktianbahwa kerapatan Lagrange invarian terhadaptransformasi ini sangat mudah . Transformasie−iθ dikenal sebagai transformasi gauge global.Dengan menggunakan teorema Noether’s kitaakan mendapatkan rapat arus (sebagai contoh[8]):
J µ = φ∂µφ? − φ?∂µφ (10)
dan hukum kekekalan arus
∂µJ µ = 0 (11)
Bagaimana dengan transformasi gauge lokal?Transformasi gauge lokal dapat ditulis[7]:
φ → φ′ ≡ e−iθ(x)φ (12)
dengan transformasi ini , kerapatan Lagrange(8) menjadi:
L(φ, ∂µφ) → L′ = (∂µφ?)(∂µφ)− V (φ?φ)+(∂µφ?)(∂µφ) (∂µθ∂µθ + ∂µθ − ∂µθ) (13)
yang tidak invarian terhadap transformasi gaugelokal . Untuk membuat kerapatan Lagrange in-varian terhadap transformasi gauge lokal , ki-ta harus menganti ∂µ dengan transformasi yangcocok dengan bentuk φ. Untuk melakukannya,pertama kita perkenalkan medan vektor Aµ(x)yang biasanya disebut ’medan gauge’ dengantransformasi sebagai berikut [7]:
Aµ → A′ ≡ Aµ + ∂µθ (14)
Kita definisikan deravatif kovariant
Dµ ≡ ∂µ + iAµ (15)
dengan transformasi gauge lokal, derivatif ko-variant akan ditransform :
Dµφ → (∂µ + i(Aµ + ∂µ))e−iθφ = e−iθ∂µφ
−ie−iθφ∂µθ + ie−iθAµφ + ie−iθφ∂µθ
= e−iθ(∂µ + iAµ)φ= e−iθDµφ (16)
Dµφ? → eiθDµφ? (17)
Hal ini menunjukan bahwa derivatif kovariantakan ditransformasi kedalam bentuk yang samadengan φ. Jika kita mengganti ∂µ dengan Dµ,kerapatan Lagrange menjadi :
L(φ,Dµφ) = (Dµφ?)(Dµφ)− V (φ?φ) (18)
telah dibuktikan bahwa kerapatan Lagrangediatas invariant terhadap transformasi gaugelokal. Sekarang kita punya teori medan gaugeyang invariant terhadap transformasi gaugelokal.
2.1 Teori Medan Gauge Abelian
Dengan menggunakan persamaan Euler-Lagrange kita akan mendapatkan persamaangerak yang biasanya dijelaskan dengan per-samaan diferensial parsial. Jika kita menam-bahkan fungsi Lagrange baru (lihat [9]) :
L = −14FµνFµν (19)
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ (20)
maka fungsi Lagrange total menjadi:
LA = (Dµφ?)(Dµφ)−V (φ?φ)− 14FµνFµν (21)
persamaan ini adalah fungsi Lagrange (kera-patan) untuk sistem dinamika yang invariantterhadap transformasi gauge lokal. Trans-formasi gauge lokal juga bisa ditulis sebagaiφ′ = e−igθ(x)φ dimana g adalah bilangan real.Teori gauge ini juga dikenal sebagai teori gaugeabelian yang berhubungan dengan bentuk g se-bagai aljabar komutatif . Dengan g maka Aµ
akan ditransformasi sebagai:
Aµ → A′ ≡ Aµ + g∂µθ (22)
dengan transformasi ini maka tensor strengepers.(20) akan ditransformasi sebagai:
Fµν → F ′µν = ∂µ(Aν + ig∂νθ)−∂ν(Aµ + ig∂µ)
= ∂µAν − ∂νAµ + ig∂µ∂νθ − ig∂ν∂µθ
= ∂µAν − ∂νAµ
= Fµν (23)
Kerapatan Lagrange pers.(19) masih invariantterhadap transformasi gauge lokal. Hubunganantara Dµ dan Fµν diberikan oleh:
[Dµ,Dν ] = DµDν −DνDµ
= (∂µ + iAµ)(∂ν + iAν)−(∂ν + iAν)(∂µ + iAµ)
= i∂µAν − i∂νAµ + i2AµAν
−i2AνAµ
= i(∂µAν − ∂νAµ) + i2[Aµ,Aν ]= iFµν (24)
Hubungan ini bisa didapatkan dengan relasikomutatif [Aµ,Aν ] = 0. Hubungan ini bisadigunakan untuk membuktikan fungsi Lagrangeinvariant terhadap transformasi gauge lokalatau tidak.
2.2 Teori Medan Gauge Non-Abelian
Kita akan memperluas aljabar ke aljabar nonkomutatif (non abelian). Hal ini bisa digu-nakan untuk menjelaskan sistem medan (medanmateri) yang secara umum mengandung medanmulti-komponen. Transformasi Gauge Non-Abelian dapat ditulis sebagai [10]:
U = eiTaθ(x) (25)
dimana T ′as adalah matrix generator yang di-miliki Group Lie dan memenuhi hubungan ko-mutatif [Ta, Tb] = ifabcTc. fabc adalah faktorstruktur. Aljabar yang mendasarr hubungan inidisebut sebagai Aljabar Lie [9].Untuk mendapatkan medan Non-Abelian yanginvariant terhadap Transformasi Gauge lokal,kita harus menemukan hubungan yang miripdengan pers.(24). Untuk melakukannya, kitaperkenalkan (dimana g adalah konstanta koplinggauge) [10]:
Dµ ≡ ∂µ + igTaAaµ (26)
maka hubungan komutatif untuk Dµ adalah:
[Dµ,Dν ] = DµDν −DνDµ
= (∂µ + igTaAaµ)(∂ν + igTaAa
ν)−(∂ν + igTaAa
ν)(∂µ + igTaAaµ)
= igTa(∂µAaν − i∂νAa
µ
+i2g2T 2a (Aa
µAaν −Aa
νAaµ)
= igTa(∂µAaν − ∂νAa
µ) + ig[Aaµ,Aa
ν ]= igTaF a
µν (27)
Dengan menggunakan elemen yang berhubun-gan dengan Aljabar Lie, sehingga
F aµν = ∂µAa
ν − ∂νAaµ + ig[Aa
µ,Aaν ] (28)
atau
F aµν = ∂µAa
ν − ∂νAaµ − gfabcAb
µ,Acν (29)
maka hubungan komutatif untuk derivatif ko-variant adalah:
[Dµ,Dν ] = igF aµν (30)
dimana F aµν diberikan oleh pers.(28) atau
pers.(29). Dengan kondisi ini maka kerpatanLagrange menjadi:
L = −14F aµνF a
µν (31)
yang invariant terhadap transformasi gaugelokal. Teori ini dikenal sebagai teori Gauge Non-Abelian atau teori medan Yang-Mills. sebagaicontoh lihat [10]:
LNA = iψγµ(∂µψ)−mψψψ+gJaµAaµ−
14F a
µνF aµν
(32)Dalam kasus n = 3 dikenal sebagai Kuan-tum Kromodinamik (QCD). Teori ini untukmenjelaskan interaksi kuat pada hadron.Lagrange teori Gauge Non-Abelian mengan-dung medan yang berinteraksi dengan medanitu sendiri Aa
µ melalui suku gfabcAbµAc
nudalam F a
µν . Lihat[10]. Dimensi dari massa[m] = 1,[Aµ] = 1,dan [ψ] = 3/2.
3. Persamaan Navier-Stokes dari TeoriMedan Gauge
”jangan pernah menyerah”
Dalam ruang-waktu Minkowski, diagonalmetrix tensor memiliki elemen g00 = 1, g11 =
g22 = g33 = −1. Sekarang kita definisikan se-buah medan Aµ dalam suku skalar dan potensialvektor, yaitu:
Aµ = (Ao, ~A) = (Φ,−~v) (33)
dimana Φ = d2~v2+V , dengan V adalah potensial
dari gaya-gaya konservatif. kondisi untuk gayakonservatif ~F adalah
∮d~r · ~F = 0 dengan solusi
F = ~Oφ. maksudnya adalah potensial V harusmengandung derivatif ruang spasial.Kita definisikan Tensor Strenge sebagai:
Fµν ≡ ∂µAν − ∂νAµ (34)
Sekarang kita mengkonstruksi Lagrange untuksistem fluida. fluida dapat dipandang seba-gai gauge boson yang mirip dengan teori gaugeU(1). Lagrange untuk fluida dapat ditulis seba-gai:
LNS = −14FµνFµν + gJµAµ (35)
dimana Jµ arus vektor-empat. untuk menda-patkan persamaan geraknya kita menggunakanpersamaan Euler-Lagrange,yaitu:
∂ν ∂LNS
∂(∂νAµ)− ∂LNS
∂Aµ= 0 (36)
Suku ke-2 nya adalah:
∂LNS
∂Aµ= gJµ (37)
Untuk menghitung suku pertama Euler-Lagrange, kita menulis Lagrange secaraeksplisit dalam suku Aµ yaitu:
LNS = −14(gλα)(gβσ)[(∂αAσ − ∂σAα)
(∂λAβ − ∂βAλ)] + gJµAµ (38)
subtitusikan suku pertama kedalam per.(36) ki-ta mendapatkan:
∂LNS
∂(∂νAµ)= −1
4(gλα)(gβσ)
∂
∂(∂νAµ)
[(∂αAσ − ∂σAα)(∂λAβ − ∂βAλ)]
= −14(gλα)(gβσ)[
∂(∂αAσ)∂(∂νAµ)
Fλβ
−∂(∂σAα)∂(∂νAµ)
Fλβ + Fασ ∂(∂λAβ)∂(∂νAµ)
−Fασ ∂(∂βAλ)∂(∂νAµ)
]
= −14(gλα)(gβσ)[δα
ν δσµFλβ − δσ
ν δαµFλβ
+δλν δβ
µFασ − δβν δλ
µFασ] (39)
hubungankan dengan simetri gµν dan antisimetri Fµν , keempat suku sama, mengunakanindeks µ dan ν kita akan mendapatkan:
∂LNS
∂(∂νAµ)= −1
4[Fνµ − (−Fνµ)
+Fνµ − (Fνµ)]
= −14(4Fνµ) = Fµν (40)
maka persamaan Euler-Lagrange menjadi:
∂νFµν − gJµ = 0∂ν(∂µAν − ∂νAµ)− gJµ = 0
∂ν(∂µAν − ∂ν∂νAµ)− gJµ = 0 (41)
Sekarang, integralkan terhadap xν kita menda-patkan:
∂µAν − ∂νAµ = g
∮dxνJµ (42)
Untuk ν = µ kita mendapatkan hubungan trivi-al. hubungan non-trivial didapatkan jika ν 6= µ.kita dapatkan:
∂0Ai − ∂iA0 = −g
∮dx0Ji = g
∮dxiJ0 (43)
dengan Ai = −~v, Ao = Φ, ∂o = ∂∂t , dan ∂i = ~O
kita mendapatkan:
−∂~v
∂t− ~OΦ = −g~̃J (44)
dimana J̃i ≡ ∮dx0Ji = − ∮
dxiJ0. Denganpotensial skalar yang diberikan oleh Φ = 1
2~v2 +
V , kita dapatkan,
−∂~v
∂t− 1
2~O |~v|2 − ~OV = −g~̃J (45)
dengan identitas vektor 12~O |~v|2 = (~v · ~O)~v + ~v×
(~O× ~v), kita dapatkan,
∂~v
∂t+ (~v · ~O)~v = −~OV − ~v × ~ω − g~̃J , (46)
dimana ~ω ≡ ~O × ~v adalah vortisiti. Hasilini menghasilkan persamaan umum NS de-ngan gaya-gaya konservatif(~OV ). Potensialberhubungan dengan gaya-gaya konservatif,yaitu:
V1(r) =P
ρ: tekanan (47)
V2(r) =Gm
r: gravitasi (48)
V3(r) = (ν + η)(~O · ~v) : viskositas (49)
P, ρ,G, ν + η menunjukan tekanan, massa jenis,konstanta gravitasi dan viskositas. Kita per-hatikan potensial dari viskositas. Gaya viskosi-tas secara umum ~OVviscosity = η~O
(~O · ~v)
+ν
(~O2~v
)+ν
(~O× ~ω
)dengan mengunakan identi-
tas ~O×~ω = ~O(~O·~v)−~O2~v. Ini akan menghasilkanfluida kompresible dan non-kompresible, padaturbulensi ~ω tidak sama dengan nol. Dalam Lag-range, g adalah konstanta kopling yang sangatkecil (g << 1).Dengan kenyataan ini kita bisamenggunakan cara teori medan gangguan untukmembentuk perhitungan dalam dinamika fluidadimulai dari Lagrange pers.(35).untuk sistem multi fluida kita bisa menggunakanLagrange dibawah ini:
LNS = −14F a
µνF aµν + gJ aµAaµ (50)
Persamaan ini mirip dengan teori gauge non-Abelian.Dimana a = 1 menunjukan fluida tung-gal (lihat[3])
4. Diagram feynman untuk sistem fluida
Didalam dinamika fluida yang dibangun olehpersamaan NS kita hanya tertarik pada gayayang dimediasikan bukan transisi keadaam awalke keadaan akhir seperti di fisika partikel(lihat[3]). Dengan alasan ini kita hanya memer-lukan suku boson dalam lagrangian total. De-ngan asumsi bahwa lagrangian total invariantterhadap simetri gauge yang telah dijelaskan pa-da bab 3, kita mendapatkan:
LNS = −14F a
µνF aµν (51)
Dari persamaan diatas kita bisa mendapatkansuku kuadrat sebagai propagator medan fluida(lihat [5]),
− i
k2
[gµν + (ζ − 1)
kµkν
k2
]δab (52)
sedangkan verteknya
−g2[fabef cde(gµρgνλ − gµλgνρ)+fadef bce(gµνgρλ − gµρgνλ)+facef bde(gµλgνρ − gµνgρλ] (53)
dengan jelas, pers. (52) dan (53) menyediakanaturan Feynman untuk semua interaksi yangmungkin seperti pada gambar 1.
4.1 Sistem Multi Fluida
Dibagian ini, kita kan menjelaskan dinamika sis-tem multi fluida menggunakan lagrangian NS.
Gambar 1: Diagram Feynman untuk interaksi 4point.
Menggunakan interaksi yang mungkin yang di-dapatkan di bagian yang lalu, kita bisa memo-delkan turbulemsi dalam interaksi ini. Maksud-nya, kita menggunakan metode yamg digunakansecara luas di fisika partikel elementer.
Kita bisa menulis medan dalam suku vektorpolarisasi sebagai berikut,
Aµ = εµe−ik·x dengan εµ =(
d
2|~v|2 − V,−~v
)
(54)dimana k adalah momentum 4. Hukumkekekalan momentum masih berlaku, yaitu
Σki = 0 . (55)
Penguraian ini menghasilkan hubungan sa-ling melengkapi untuk vektor polarisasi sebagaiberikut (lihat [6]),
∑
λ
ε놵 ελ
ν =(−gµν +
kµkν
M2
)
((d
2|~v|2 − V
)2
− |~v|2)
(56)
lihat apendiks Polarisasi VektorDengan memasukan potensial gravitasi,
tekanan dan viskositas ke persamaan A.2dihasilkan beberapa plot energi turbulensiterhadap beberapa besaran fisis. Kita menggu-nakan sudut θ = 1/4πrad, sudut α = 3/2πrad,kecepatan v1 = v2 = v3 = v4 = 0.007meter/s,massa jenis ρ = 1000Kg/m2, tekananP = 101000N/m2, viskositas air pada suhu1000Cη = 0.003Poise, gradien kecepatan~∇ · ~υ = 5/s, ketinggian 1m
Hasil dan Pembahasan
A. Arti Fisis Amplitudo Kuadrat
Dinamika Fluida dijelaskan oleh persamaandiferensial nonlinear yang dikenal sebagai per-samaan Navier-Stokes. Solusi yang tepat daripersamaan ini hanya bisa didapatkan untukkasus yang sangat sederhana. Untuk situasiyang komplek solusinya belum bisa didapat-kan. Terlebih lagi jika kasus yang dipecahkanadalah fenomena turbulensi, meskipun fenome-na ini sering ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam turbulensi, alirannya dicirikan de-ngan arus eddi yang perubahannya sangat sulitdiprediksi ,lihat [11].
Turbulensi dipengaruhi oleh medan-medanseperti tekanan, gravitasi dan juga viskositas.Proses turbulensi dalam dinamika fluida diang-gap sebagai interaksi antar 8 gluon pada in-teraksi kuat. Tiap gluon berinteraksi dengandirinya sendiri. Dengan menghitung amplitudokuadrat dari Lagrange interaksi ini maka kitaperlu mendefiniskan amlitudo kuadrat tersebut.
Pada teori gauge amplitudo kuadrat dide-finisikan sebagai observable yang menunjukankecenderungan suatu partikel untuk berin-teraksi. Pada Turbulensi amplitudo kuadratadalah energi turbulensi suatu fluida. Energiturbulensi ini secara klasik dipengaruhi olehbesaran seperti tekanan, ketinggian, kekentalan,massa jenis fluida dan kecepatan masing-masingfluida yang berinteraksi. Plot grafik antaraEnergi turbulensi dengan besaran-besaran fisiscukup bervariasi.
B. Hubungan antara Amplitudo Kuadratdengan Beberapa Besaran Fisis
Telah diterangkan diatas bahwa energi turbu-lensi dipengaruhi oleh kecepatan, ketinggian,tekanan, kekentalan fluida dan massa jenisfluida. Pada bagian ini kita akan menjelaskanhubungan antara besaran fisis yang telah dise-butkan diatas dengan energi turbulensi. Untukinteraksi 4 point kita menggunakan 4 kecepatandan gradien kecepatan fluida yang berbeda.
1. Amplitudo Kuadrat dengan θ (sudutantara elemen fluida 1 dan 2) serta α(sudut antara elemen fluida 1 dan 3)
Suhu, tekanan, viskositas, ketinggian danmassa jenis adalah besaran makroskopis. Padapenelitian ini kita juga menggunakan kecepatan
�����4
�����2
3 ����������4
Π-Π�����4
-�����2-
3 ����������4
-Π
Sudut Θ
4.3305
4.331
4.3315
4.332
Energi turbulensi
Gambar 2: Energi turbulensi terhadap sudut θ.
Π
�����
4Π
�����
23 ����������
4-
Π
�����
4-
Π
�����
2-
3 ����������
4-Π
Sudut Α
4.3305
4.331
4.3315
4.332
Energi turbulensi
Gambar 3: Energi turbulensi terhadap sudut α.
dan sudut antara momentum 1 dan 2 (θ) sertasudut antara momentum 1 dan 3 (α) sebagaibesaran mikroskopis. Seperti yang dilihat padagambar 2 dan 3, energi turbulensi berfluktuasiterhadap ke dua sudut tersebut. Tumbukankeempat elemen fluida tersebut mencapaipuncaknya pada sudut-sudut tertentu. Sudutinipun mempengaruhi hubungan kecepatandengan energi turbulensi.
2. Energi Turbulensi dengan kecepatan
Peningkatan kecepatan elemen-elemen fluidamembuat energi turbulensi semakin meningkat.Pada grafik didapat keempat elemen fluidamemiliki kemiringan yang hampir sama.(lihatgambar 4). Elemen-elemen fluida kecepatannyabisa ditambah dengan menaikan suhu dantekanan.Bilangan Reynold meningkat jika kecepatanditambah. Peningkatan kecepatan ini membuatsuatu fluida lebih cenderung menjadi aliranturbulensi. Pada saat fluida menjadi turbulensipeningkatan kecepatan dimanfaatkan untukmeningkatkan energi. Hubungan grafik ini jugadipengaruhi oleh sudut antara momentum 1dan 2 (θ) serta sudut antara momentum 1 dan3 (α). Jika θ dinaikan sedikit-sedikit sampaisudut 1/2φ sedangkan α dan besaran lain tetap
20 40 60 80 100 120Kecepatan
2.55
7.510
12.515
17.520
Energi turbulensi
Gambar 4: Energi turbulensi terhadap ke-cepatan.
10 20 30 40 50 60Viskositas
4.2
4.4
4.6
4.8
5Energi turbulensi
Gambar 5: Energi turbulensi dengan viskositas.
maka pada grafik akan semakin curam.
3. Energi Turbulensi dengan viskositas
Bilangan Reynold berbanding terbalik denganviskositas fluida. Hal ini memberikan informasibahwa semakin encer fluida mengakibatkankecenderungan suatu fluida menjadi aliranturbulensi meningkat.Pada grafik 5 didapat suatu hubungan yangberbanding lurus antara energi turbulensidengan kekentalan. Semakin encer fluida makaenergi turbulensinya semakin kecil. Untukgradien kecepatan yang sama peningkatanviskositas akan meningkatkan juga gaya viskosi-tas. Peningktan gaya meningkatkan energikinetik. Sebagai contoh, antara air panasdengan suhu 1000C dengan air biasa dengansuhu 200C yang memiliki viskositas berturut-turut 2.8 × 10−4N.s/m2 dan 0.001N.s/m2.Air dengan suhu 1000C energi turbulensinyalebih besar jika dibandingkan dengan suhu200C. Air yang dipanaskan menambah energikinetik dari partikel-partikel yang menyusunelemen fluida sehingga massa jenis fluida akanberkurang. Berkurangnya massa jenis inimengurangi partikel-partikel yang bergesekansehingga energi kinetik fluida bertambah. Perlu
2 4 6 8 10 12Tekanan
1
2
3
4
5
Energi turbulensi
Gambar 6: Energi turbulensi terhadap tekanan.
diingat bahwa amplitudo kuadrat adalah energiturbulensi.
4. Energi Turbulensi dengan tekanan
Energi turbulensi meningkat jika tekanan di-naikan. Pada grafik 6 hubungan energi turbu-lensi dengan tekanan adalah parabolik. Per-lu diperhatikan bahwa tekanan dalam hal iniadalah tekanan internal fluida yang diakibatkanoleh elemen fluida sebelum berinteraksi denganelemen lain.Kenaikan tekanan bisa diakibatkan oleh pening-katan suhu pada volume tetap atau penurunanvolume pada suhu tetap.
Kenaikan tekanan membuat partikel-partikelyang menyusun fluida semakin bergetar dansemakin menjauh. Ekspansi partikel ini mem-buat massa jenis fluida berkurang. Gayatekanan berbanding terbalik dengan massajenis. Telah dijelaskan diatas bahwa semakinkecil massa jenis energi turbulensinya semakinbesar.Getaran-getaran ini memberikan kon-tribusi energi. Perpindahan fluida bisa jugadiakibatkan oleh perbedaan tekanan antarakedua titik. Semakin besar perbedaan tekananini gaya fluida yang dihasilkan akan semakinbesar. Perbedaan tekanan pada kasus ini antaraantara titik pusat interaksi dengan keempatelemen fluida.
5. Energi Turbulensi dengan ketinggian
Pada interaksi satu titik energi turbulensi tidakdipengaruhi oleh ketinggian, hal ini disebabkankarena titik interaksi fluida yang kita amatimemiliki perbedaan ketinggian yang sama,meskipun gravitasi memiliki kontribusi yangbesar pada proses turbulensi lihat gambar 7.Pertambahan ketinggian tidak meningkatkan
0.2 0.4 0.6 0.8 1Ketinggian
1
2
3
4
5Energi turbulensi
Gambar 7: Enegi turbulensi terhadap keting-gian.
0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09Densitas
1
2
3
4
5
6
7Energi turbulensi
Gambar 8: Enegi turbulensi terhadap massa je-nis.
energi turbulensi. Kita dapat menghitungenergi turbulensi di darat dan di udara denganbesar yang sama, jika diambil asumsi besaranlain sama di kedua tempat tersebut.
6. Energi Turbulensi dengan Massa Jenis
Massa jenis fluida berbanding lurus dengan bila-ngan reynold. Ini artinya semakin besar massajenis kecenderungan fluida untuk menjadi tur-bulensi semakin meningkat. Oli dan air mas-sa jenisnya berbeda. Massa jenis air lebih be-sar daripada oli. Untuk besaran lain yang (ke-cepatan , diameter, viskositas) dianggap kons-tanta dan besarnya sama maka air memiliki ke-cenderungan yang lebih tinggi untuk menjaditurbulensi dibandingkan dengan oli.
Pada grafik antara energi turbulensi denganmassa jenis didapatkan grafik yang menu-run hampir mirip eksponensial lihat gambar8. Hal ini sesuai dengan logika kita, karenafluida yang memiliki massa jenis yang tinggimemiliki jumlah partikel yang lebih banyakdalam satuan volume. Jumlah partikel yangbergesekan mempengaruhi energi turbulensi.Massa jenis dipengaruhi juga oleh tekanandan suhu. Semakin tinggi tekanan dan suhu
-0.4 -0.2 0.2 0.4Gradien kecepatan
4.33174
4.33174
4.33174
Energi turbulensi
Gambar 9: Energi turbulensi terhadap gradienkecepatan.
mambuat massa jenis fluida semakin rendah.
7. Energi Turbulensi dengan Gradien ke-cepatan
Gradien kecepatan dikenal sebagai kemiringankecepatan yang diakibatkan oleh pemberiangaya yang berbeda-beda untuk setiap lapisanfluida. Gradien kecepatan meningkatkan ener-gi turbulensi. Telah diketahui dari mekanikaklasik bahwa Energi adalah kemampuan untukmelakukan usaha. Sedangkan usaha itu sendiriadalah komponen gaya dikalikan dengan per-pindahan yang sejajar dengan komponen gayatersebut.
Untuk keempat elemen fluida memilikikemiringan yang sama (lihat gambar 9).Artinya jika kita meningkatkan gradien ke-cepatan salah satu elemen fluida dan ketigapercepatan elemen fluida yang lain tetap makaenergi turbulensi akan meningkat. Peningkatanpercepatan keempat elemen fluida dengan besaryang sama meningkatkan juga energi turbulensi.Gradien kecepatan yang kecil diakibatkan olehbesarnya gesekan antara lapisan fluida yangbergerak dengan lapisan fluida yang diam. Jikagesekan ini kita kurangi dengan meningkatkansuhu atau tekanan maka energi turbulensi akanmeningkat.
KESIMPULAN DAN SARAN
Pada pembahasan diatas telah dijelaskan bah-wa amplitdo kuadrat memiliki arti fisis sebagaienergi turbulensi.Energi turbulensi ini dipenga-ruhi oleh besaran-besaran fisika. Energi tur-bulensi akan semakin meningkat jika massa je-nis fluida, tekanan, kecepatan dan gradien ke-cepatan ditingkatkan. Sebaliknya energi turbu-lensi akan berkurang jika ketinggian dan viskosi-tas dinaikan.
Penelitian ini hanya menjelaskan fenomenafisika untuk satu sampel titik. Jika kita inginmendapatkan hasil yang menyerupai sebenarnyadi alam, kita harus menghitung secara keselu-ruhan dari semua titik-titik fluida yang berin-teraksi dengan nilai besaran fisis yang berbeda-beda.
Penelitian saat ini difokuskan pada usahamengkaji aspek teoritik dari pendekatan barupenghitungan besaran fisis pada fluida memakaiteori medan. Penghitungan untuk kondisi sebe-narnya secara prinsip bisa dilakukan denganmembagi satu luas bidang penghitungan dalambentuk kisi, kemudian perhitungan yang samaseperti diatas dilakukan untuk seluruh titik de-ngan pemakaian parameter secara dinamis. Pa-rameter dinamis diperoleh dari hasil penghitun-gan dari titik terdekat.
Daftar Pustaka
[1] K.E.Saputro, Thesis:Large Applications OfFluids Dynamics Based On Gauge FieldTheory Approach,UI, Jakarta (2005)
[2] A.Sulaiman, Thesis:Construction OfNavier-Stokes Equation Using Gauge FieldTheory Approach,UI, Jakarta (2005)
[3] A.Sulaiman and L.T.Handoko, Gauge FieldTheory approach to construct the Navier-Stokes equation, Acta Physica Pol. A(2005) in press. (2005)
[4] Robert W. Fox, Introduction to Fluids Me-chanics, John Willey and Son. Canada(1992)
[5] Aitchison,Ian JR and Hey,AnthonyJG Gauge Theories in ParticlePhysics,Institute Of Physics Publishing,Bristol and Philadelphia (1995)
[6] Halzen,Francis amd Martin, Alan D Quarksand Lepton:An Inductory Course in Mod-ern Particle Physics,JOHN WILLey andSONS, New York . (1996)
[7] K. Huang, Quarks, Leptons and GaugeFields, Worlds Sceintific, Singapore (1992)
[8] L. Ryder, Quantum Field Theory, seconded, Cambridge University Press, Cambridge(1998).
[9] L. Faddev and A. Slanov, Gauge Field, sec-ond ed, Addison Wesley, New York (1991).
[10] T. Muta, Foundation of Quantum Chro-modynamics, Worlds Sceintific, Singapore(2000).
[11] M.C. Gregg, J. Geophys. Res 92 (1987)5249
11
Lampiran A
Dinamika Sistem Fluida Interaksi4 poin
Hasil perhitungan dengan mengkonstraksi vertek dan propagator (untuk perhitungan lihat[1]) di-dapat:
|M4|2 = g4{[
fabef cde(gµρgνλ − gµλgνρ
)+
fadef bce(gµνgρλ − gµρgνλ
)+ facef bde
(gµλgνρ − gµνgρλ
)](−gµα +
k1µk1α
m21
) (−gνβ +
k2νk2β
m22
)(−gργ +
k3ρk3γ
m23
)(−gλσ +
k3λk3σ
m23
)
[fabef cde
(gµρgνλ − gµλgνρ
)+
fadef bce(gµνgρλ − gµρgνλ
)+ facef bde
(gµλgνρ − gµνgρλ
)]}(
(d1
2|~v1|2 + V1)2 − |~v1|2
) ((d2
2|~v2|2 + V2)2 − |~v2|2
)
((d3
2|~v3|2 + V3)2 − |~v3|2
) ((d4
2|~v4|2 + V4)2 − |~v4|2
)
(A.1)
|M4|2 = g4
{fabef cdefabef cde
[2k1 · k1k2 · k2 − (k1 · k2)2
m21m
22
+
k1 · k1k3 · k3 − (k1 · k3)2
m21m
23
+k1 · k1k4 · k4 − (k1 · k4)2
m21m
24
+
k2 · k2k3 · k3 − (k2 · k3)2
m22m
23
+k2 · k2k4 · k4 − (k2 · k4)2
m22m
24
+
2k3 · k3k4 · k4 − (k3 · k4)2
m23m
24
+
((k1 · k3)2k2 · k2 + (k2 · k3)2k1 · k1 − 2k1 · k2k1 · k3k2 · k3
m21m
22m
23
+
((k1 · k4)2k2 · k2 + (k2 · k4)2k1 · k1 − 2k1 · k2k1 · k4k2 · k4
m21m
22m
24
+
((k1 · k3)2k4 · k4 + (k1 · k4)2k3 · k3 − 2k1 · k3k1 · k4k3 · k4
m21m
23m
24
+
((k2 · k3)2k4 · k4 + (k2 · k4)2k3 · k3 − 2k2 · k3k2 · k4k3 · k4
m22m
23m
24
+
12
((k1 · k3)(k2 · k4)− (k1 · k4)(k2 · k3))2
m21m
22m
23m
24
]+
fadef bcefadef bce
[k1 · k1k2 · k2 − (k1 · k2)2
m21m
22
+
k1 · k1k3 · k3 − (k1 · k3)2
m21m
23
+ 2k1 · k1k4 · k4 − (k1 · k4)2
m21m
24
+
2k2 · k2k3 · k3 − (k2 · k3)2
m22m
23
+k2 · k2k4 · k4 − (k2 · k4)2
m22m
24
+
k3 · k3k4 · k4 − (k3 · k4)2
m23m
24
+
((k1 · k2)2k3 · k3 + (k1 · k3)2k2 · k2 − 2k1 · k2k1 · k3k2 · k3
m21m
22m
23
+
((k1 · k2)2k4 · k4 + (k2 · k4)2k1 · k1 − 2k1 · k2k1 · k4k2 · k4
m21m
22m
24
+
((k1 · k3)2k4 · k4 + (k3 · k4)2k1 · k1 − 2k1 · k3k1 · k4k3 · k4
m21m
23m
24
+
((k2 · k4)2k3 · k3 + (k3 · k4)2k2 · k2 − 2k2 · k3k2 · k4k3 · k4
m22m
23m
24
+
((k1 · k2)(k3 · k4)− (k1 · k3)(k2 · k4))2
m21m
22m
23m
24
]+
facef bdefadef bce
[k1 · k1k2 · k2 − (k1 · k2)2
m21m
22
+
2k1 · k1k3 · k3 − (k1 · k3)2
m21m
23
+k1 · k1k4 · k4 − (k1 · k4)2
m21m
24
+
k2 · k2k3 · k3 − (k2 · k3)2
m22m
23
+ 2k2 · k2k4 · k4 − (k2 · k4)2
m22m
24
+
k3 · k3k4 · k4 − (k3 · k4)2
m23m
24
+
((k1 · k2)2k3 · k3 + (k2 · k3)2k1 · k1 − 2k1 · k2k1 · k3k2 · k3
m21m
22m
23
+
((k1 · k2)2k4 · k4 + (k1 · k4)2k2 · k2 − 2k1 · k2k1 · k4k2 · k4
m21m
22m
24
+
((k1 · k4)2k3 · k3 + (k3 · k4)2k1 · k1 − 2k1 · k3k1 · k4k3 · k4
m21m
23m
24
+
((k2 · k3)2k4 · k4 + (k3 · k4)2k2 · k2 − 2k2 · k3k2 · k4k3 · k4
m22m
23m
24
+
((k1 · k2)(k3 · k4)− (k1 · k4)(k2 · k3))2
m21m
22m
23m
24
]+
2fadef bcefabef cde
[(k1 · k2)2 − k1 · k1k2 · k2
m21m
22
+
(k1 · k4)2 − k1 · k1k4 · k4
m21m
24
+(k2 · k3)2 − k2 · k2k3 · k3
m22m
23
+
(k3 · k4)2 − k3 · k3k4 · k4
m23m
24
+
k1 · k2k1 · k3k2 · k3 − (k1 · k3)2k2 · k2
m21m
22m
23
+
k1 · k2k1 · k4k2 · k4 − (k2 · k4)2k1 · k1
m21m
22m
24
+
k1 · k3k1 · k4k3 · k4 − (k1 · k3)2k4 · k4
m21m
23m
24
+
k2 · k3k2 · k4k3 · k4 − (k2 · k4)2k3 · k3
m22m
23m
24
+
(k1 · k3k2 · k4 − k1 · k4k2 · k3)(k1 · k2k3 · k4 − k1 · k3k2 · k4)m2
1m22m
23m
24
]+
2facef bdefabef cde
[(k1 · k2)2 − k1 · k1k2 · k2
m21m
22
+
(k1 · k3)2 − k1 · k1k3 · k3
m21m
23
+(k2 · k4)2 − k2 · k2k4 · k4
m22m
24
+
(k3 · k4)2 − k3 · k3k4 · k4
m23m
24
+
k1 · k2k1 · k3k2 · k3 − (k2 · k3)2k1 · k1
m21m
22m
23
+
k1 · k2k1 · k4k2 · k4 − (k1 · k4)2k2 · k2
m21m
22m
24
+
k1 · k3k1 · k4k3 · k4 − (k1 · k4)2k3 · k3
m21m
23m
24
+
k2 · k3k2 · k4k3 · k4 − (k2 · k3)2k4 · k4
m22m
23m
24
+
(k1 · k3k2 · k4 − k1 · k4k2 · k3)(k1 · k4k2 · k3 − k1 · k2k3 · k4)m2
1m22m
23m
24
]+
2facef bdefabef cde
[(k1 · k3)2 − k1 · k1k3 · k3
m21m
23
+
(k1 · k4)2 − k1 · k1k4 · k4
m21m
24
+(k2 · k3)2 − k2 · k2k3 · k3
m22m
23
+
(k2 · k4)2 − k2 · k2k4 · k4
m22m
24
+
k1 · k2k1 · k3k2 · k3 − (k1 · k2)2k3 · k3
m21m
22m
23
+
k1 · k2k1 · k4k2 · k4 − (k1 · k2)2k4 · k4
m21m
22m
24
+
k1 · k3k1 · k4k3 · k4 − (k3 · k4)2k1 · k1
m21m
23m
24
+
k2 · k3k2 · k4k3 · k4 − (k3 · k4)2k2 · k2
m22m
23m
24
+
(k1 · k4k2 · k3 − k1 · k2k3 · k4)(k1 · k2k3 · k4 − k1 · k3k2 · k4)m2
1m22m
23m
24
]}
((d1
2|~v1|2 + V1)2 − |~v1|2
)((d2
2|~v2|2 + V2)2 − |~v2|2
)
((d3
2|~v3|2 + V3)2 − |~v3|2
)((d4
2|~v4|2 + V4)2 − |~v4|2
)
(A.2)
Hukum kekekalan momentum berlaku, yaitu,
k1 + k2 + k3 + k4 = 0 , (A.3)
sehingga didapat,
ki · ki = m2i = ρ2
i V2 ,
k1 · k2 =14ρ1v1ρ2v2 (v1v2 − 4cosθ) V 2 ,
k1 · k3 =14ρ1v1ρ3v3 (v1v3 − 4cosα)V 2 ,
k1 · k4 = −14(4ρ2
1 + ρ1v1ρ2v2 (v1v2 − 4cosθ) + ρ1v1ρ3v3 (v1v3 − 4cosα))V 2 ,
k2 · k3 = −14
(2(ρ2
1 + ρ22 + ρ2
3 − ρ24) + ρ1v1ρ2v2 (v1v2 − 4cosθ)
+ρ1v1ρ3v3 (v1v3 − 4cosα)) V 2 ,
k2 · k4 = −14(2(ρ2
1 + ρ23 − ρ2
2 − ρ24) + ρ1v1ρ3v3 (v1v3 − 4cosα))V 2 ,
k3 · k4 = −14(2(ρ2
1 + ρ22 − ρ2
3 − ρ24) + ρ1v1ρ2v2 (v1v2 − 4cosθ))V 2 . (A.4)
Lampiran B
Polarisasi Vektor
Karena Aµ merupakan medan bosonik bermassa maka memenuhi persamaan:
(gνµ(¤2 + M2)− ∂ν∂µ)Aµ = 0 (B.1)
Dapat kita peroleh invers dari ruang momentum operator dengan menyelesaikan
(gνµ(−k2 + M2) + kνkµ)−1 = δλµ(Agνλ + Bkλkν) (B.2)
untuk nilai A dan B. Propagator, adalah besaran dalam kurung sebelah kanan dari (A.2) kita kalidengan i, di dapat
i(gνµ + kνkµ/M2)k2 −M2
(B.3)
Dapat kita lihat untuk keadaan partikel bermassa k2 = M2. Kita divergensi, ∂ν , dari (A.1), duasuku akan saling menghilangkan dan kita peroleh
M2∂µAµ = 0 Sehingga ∂µAµ = 0 (B.4)
Untuk Partikel bermassa ∂µAµ = 0 suatu keadaan yang harus dipenuhi, bukan sebagai gaugecondition. Sebagai konsekuensimya, Persamaan (A.1) tereduksi menjadi
(¤2 + M2)Aµ = 0 (B.5)
untuk keadaan partikel bebas dalam fluida didapat solusi
Aµ = εµe−ik·x dengan εµ =(
d
2|~v|2 − V,−~v
)(B.6)
Kondisi (A.4) mensyaratkankµεµ = 0 (B.7)
Sehingga akan mereduksi derajat kebebasan dari empat vektor polarisasi menjadi tiga. Untuksebuah partikel bermassa M, energi E, dan momentum k bergerak sepanjang sumbu z, dengankeadaan helisitas λ dapat diperoleh vektor polarisasi sebagai berikut
ελ=±1 = ∓ (0, 1,±i, 0)√2
(d
2|~v|2 − V,−~v
);
ελ=0 =(|k| , 0, 0, E)
M
(d
2|~v|2 − V,−~v
); (B.8)
Dengan menjumlahkan semua keadaan polarisasi dari vektor partikel bermassa akan diperolehhubungan kelengkapan sebagai berikut(sebagai contoh lihat [6]:
∑
λ
ε놵 ελ
ν =(−gµν +
kµkν
M2
) ((d
2|~v|2 − V
)2
− |~v|2)
(B.9)
16
