MEKANIKA KUANTUM

I. Persamaan Gelombang

Kuantitas yang diperlukan dalam mekanika kuantum ialah fungsi gelombang Y dari benda itu. Walaupun Y sendiri tidak mempunyai tafsiran fisis, kuadrat besar mutlak ½Y½2 ( atau sama dengan YY* jika Y kompleks ) yang dicari pada suatu tempat tertentu pada suatu saat berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkan benda itu di tempat itu pada saat itu. Momentum, momentum sudut, dan energi dari benda dapat diperoleh dari Y. Persoalan mekanika kuantum adalah untuk menentukan Y untuk benda itu bila kebebasan gerak dibatasi oleh aksi gaya eksternal.

Biasanya untuk memudahkan kita ambil ½Y½2 sama dengan peluang P untuk mendapatkan partikel yang diberikan oleh Y, hanya berbadinng lurus dengan P. Jika ½Y½2 sama dengan P, maka betul bahwa :

2 dV = 1 normalisasi

karena

dV = 1

ialah suatu pernyataan matematis bahwa partikel itu ada di suatu tempat untuk setiap saat, jumlah semua peluang yang mungkin harus tertentu. Selain bisa dinormalisasi , Y harus berharga tunggal, karena P hanya berharga tunggal pada tempat dan waktu tertentu , dan kontinu.

Contoh:Fungsi gelombang dari partikel pada t=0 dengan mengikuti

Seseorang melakukan percobaan pada N partikel identik dijelaskan oleh yang sama fungsi gelombang dan 100 dari mereka partikel ditemukan di sangat kecilsekitar x = 2a. Dalam berapa banyak pengukuran, hal itu akan ditemukan disekitar sangat kecil sama x = a?Jawab:

Nama : Erika WidiariniNIM : 12030234219Kelas : Kimia A 2012

Hasil ekspektasiDalam QM, biasanya ada kemungkinan terkait dengan hasil yang diperoleh daripengukuran.Nilai Harapan adalah nilai rata-rata bahwa kita akan mendapatkan yang sangat besar jumlah pengukuran dilakukan pada sistem identik, dengan gelombang fungsi yang sama.

Persamaan Schrodinger yang merupakan persamaan pokok dalam mekanika kuantum serupa dengan hukum gerak kedua merupakan persamaan pokok dalam mekanika newton, adalah persamaan gelombang dalam variabel Y.

( persamaan gelombang )Persamaan gelombang yang menentukan gelombang dengan kuantitas variabel y yang menjalar dalam arah x dengan kelajuan v.

Untuk gelombang monokromatik

Y= A e = A cos

y merupakan kuantitas kompleks

II. Persamaan Schrodinger bergantung waktu

Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang Y bersesuaian dengan variabel

gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, Y bukanlah suatu

kuantitas yang dapat diukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena

itu, kita akan menganggap Y dalam arah x dinyatakan oleh :

Y = Ae-2pI(Vt-x/l)

sehingga :

Y = Ae-(i/ħ)(Et-px)

Persamaan di atas merupakan penggambaran matematis gelombang ekuivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +x. Namun, pernyataan fungsi gelombang Y hanya benar untuk partikel yang bergerak bebas.

Sedangkan untuk situasi dengan gerak partikel yang dipengaruhi berbagai pembatasan untuk memecahkan Y dalam situasi yang khusus, kita memerlukan persamaan Schrodinger.

Pendekatan Schrodinger disebut sebagai mekanika gelombang. Persamaan Schrodinger dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung kelemahan yang sama yaitu persamaan tersebut tidak dapat diturunkan secara ketat dari prinsip fisis yang ada karena persamaan itu sendiri menyatakan sesuatu yang baru dan dianggap sebagai satu postulat dari mekanika kuantum, yang dinilai kebenarannya atas dasar hasil-hasil yang diturunkan darinya.

Persamaan Schrodinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerak bebas. Perluasan persamaan Schrodinger untuk kasus khusus partikel bebas (potensial V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada satu cara pun yang membuktikan bahwa perluasan itu benar.

Yang bisa kita lakukan hanyalah mengambil postulat bahwa persamaan Schrodinger berlaku untuk berbagai situasi fisis dan membandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya cocok, maka postulat yang terkait dalam persamaan Schrodinger sah, jika tidak cocok, postulatnya harus dibuang dan pendekatan yang lain harus dijajaki.

dimana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z dan t.

Dalam kenyataanya, persamaan Schrodinger telah menghasilkan ramalan yang sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Pada rumus terakhir diatas hanya bisa dipakai untuk persoalan non relativistik dan rumusan yang lebih rumit jika kelajuan partikel yang mendekati cahaya terkait.

(Persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi)

(Persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam tiga dimensi)

Karena persamaan itu bersesuaian dengan eksperimen dalam batas – batas berlakunya, kita harus mengakui bahwa persamaan Schrodinger menyatakan suatu postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis.

Betapapun sukses yang diperoleh persamaan Schrodinger, persamaan ini tetap

merupakan postulat yang tidak dapat diturunkan dari beberapa prinsip lain, dan

masing – masing merupakan rampatan pokok, tidak lebih atau kurang sah

daripada data empiris yang merupakan landasan akhir dari postulat itu. Penjabaran

Persamaan Schrodinger bergantung waktu

~ (identik) dengan y dalam gerak gelombang umum : menggambarkan keadaan gelombang kompleks yang tak dapat terukur

= A e , = 2pf, V =lf

maka =A e ,

energi totalnya

E=h = , dengan l= = , p=

F= =

Persamaan gelombangnya menjadi

= Ae

jadi

Kita tahu bahwa energi total

E= Ek+Ep (non relativistik)

= ; dikali dengan

E= , karena , maka

E=

-

sehingga menjadi :

(persamaan schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi)

III. Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu

Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel tidak bergantung dari waktu secara eksplisit, gaya yang bereaksi padanya, jadi juga V, hanya berubah terhadap kedudukan partikel.

Jika hal itu benar, persamaan Schrodinger dapat disederhanakan dengan meniadakan ketergantungan terhadap waktu t. Fungsi gelombang partikel bebas dapat ditulis

Y = Ae-(i/ħ)(Et – px) = Ae-( iE/ħ )te+(ip/ħ)x

= e-(iE/ħ)t

ini berarti, Y merupakan perkalian dari fungsi bergantung waktu e-(iE/h)t dan fungsi yang bergantung kedudukan . Kenyataanya, perubahan terhadap waktu dari semua fungsi partikel yang mengalami aksi dari gaya jenuh mempunyai bentuk yang sama seperti pada partikel bebas.

Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam satu dimensi

Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam tiga dimensi

Pada umumnya kita dapat memperoleh suatu fungsi gelombang Y yang tidak saja memenuhi persamaan dan syarat batas yang ada tetapi juga turunannmya jenuh, berhingga dan berharga tunggal dari persamaan keadaan jenuh Schrodinger. Jika tidak, sistem itu tidak mungkin berada dalam keadaan jenuh.

Jadi kuantitas energi muncul dalam mekanika gelombang sebagai unsur wajar dari teori dan kuantitas energi dalam dunia fisis dinyatakan sebagai jejak universal yang merupakan ciri dari semua sistem yang mantap.

Harga En supaya persamaan keadaan tunak Schrodinger dapat dipecahkan disebut harga eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian disebut fungsi eigen. Tingkat energi diskrit atom hidrogen :

En = - n = 1,2,3……

Dalam atom hidrogen , kedudukan elektron tidak terkuantitasi, sehingga kita bisa memikirkan elektron berada disekitar inti dengan peluang tertentu ½Y½2 per satuan volume tetapi tanpa ada kedudukan tertentu yang diramalkan atau orbit tertentu menurut pengertian klasik.

Pernyataan peluang ini tidak bertentangan dengan kenyataan bahwa eksperimen yang dilakukan pada atom hidrogen selalu menunjukkan bahwa atom hidrogen selalu mengandung satu elektron, bukan 27 persen elektron dalam satu daerah dan 73 persen di daerah lainnya; peluang itu menunjukkan peluang untuk mendapatkan elektron , dan walaupun peluang ini menyebar dalam ruang, elektronnya sendiri tidak.

Persamaan gelombang partikel bebas

=

= , dengan = Ae

Ambil persamaan Schrodinger yang bergantung waktu,

, tidak bergantung waktu

Analog terhadap persamaan schrodinger adalah tali terbentang yang panjangnya L yang keduanya terikat.

, n=0,1,2,…

Dengan tingkat energi diskrit atom Hidrogen

n=1,2,3…..

Momentum sudut ditentukan

, l = 0,1,2,…..

dengan harga ekspektasi

IV. Harga Ekspestasi(x,y,z,t): Mengandung semua informasi tentang partikel itu yang diizinkan oleh prinsip ketidaktentuan.Informasi ini dinyatakan dalam satu peluang dan bukan merupakan kuantitas yang sudah pasti.

Misal, mencari kedudukan rata-rata x dari sejuml;ah partikel identik yang terdistribusi sehingga terdapat N1 partikel X1 dan seterusnya.

Ganti bil;angan Ni dari partikel Xi dengan pelung Pi yang bisa diperoleh dalam selang dx di Xi .

Probabilitas untuyk menemukan partikel antara X1 dengan X2

Jika suatu partikel dapat tentukan 100% maka;

Harga ekspestasi kedudukan partikel tunggal

<x>=

dari persamaan partikel akan ditemukan antara x=-~ dan x=~

sehingga;

=1

Harga ekspensi dari suatu kuatitas seperti energi potensial

<G(x)>=

V. Partikel dalam kotakDaerah bebas : partikel tersebut bergerak dalam medan potensial V = 0, dalam koordinat kartesis memenuhi persamaan harga eigen.

ÔY=l, dimana : Ô = Operator eigen Y = Fungsi eigen l = Nilai eigen dari Ô terhadap

Solusi umumnya berbentuk

Solusi persamaan harga eigen = e

Energinya

E= , k=

Hal ini dapat dibuktikan

E= K + V =0

= ½ mV =

P= ,

Jadi K= ½ mv2=1/2 m ( )2

,

E=

Jadi

Menurut EinsteinE=hv, maka bentuk fungsi gelombang geraknya

, untuk t = 0

=

Pada x = 0 , tetapi suku kedua tidak sama dengan nol maka b sama dengan nolTetapi hanya akan enjadi nol di X = L hanya jika :

: dimana n:1,2,3……….

Energi yang dapat diiliki partikel mempunyai harga tertentu yaitu eigen yang membentuk tingkat energi system besar yaitu

, dengan n= 1,2,3….(partikel dalam kotak)

Jadi tingkat energi yang dimiliki oleh partikel yang terperangkap dalam kotak adalahE=n2Eo, jadi E1=Eo, E2 =4E0, E3=9Eo dst

Fungsi gelombang sebuah partikel dalam kotak yang berenrgi En adalah

Dengan adalah fungsi eigen yang sesuai dengan harga eigen

Jika keadaan suatu partikel berada x= 0 samapai x=L , maka

Contoh:Energi terendah sesuai dengan n = 1 untuk sebuah elektron dalam kotak 1A keluarmenjadi 37,6 eV. Untuk marmer dari 0,01 kg di Kotak 0.1m itu 5.488x10-64J. Ini akan mengambil 1020 tahun untuk memindahkan satu mm.Jawab:Hasil ekspekstasi x

Hasil ekspektasi x2

Hasil ekspektasi Px