PERSAMAAN GERAKPERSAMAAN GERAK

Integrasi persamaan Euler untuk aliran non rotasi Integrasi persamaan Euler untuk aliran non rotasi yang tidak dapat mampat yang tidak dapat mampat menghasilkan persamaan menghasilkan persamaan Bernoulli.Bernoulli.

Persamaan ini menghubungkan kecepatan, tekanan Persamaan ini menghubungkan kecepatan, tekanan dan perubahan ketinggian dalam fluida yang tidak dan perubahan ketinggian dalam fluida yang tidak viscous.viscous.

Persamaan Bernoulli sering digunakan untuk aliran Persamaan Bernoulli sering digunakan untuk aliran berdimensi satu yang pengaruh viscositasnya dapat berdimensi satu yang pengaruh viscositasnya dapat diabaikan.diabaikan.

t

V

s

zg

t

p

s

VV

1

Dalam pembahasan ini akan dikembangkan Dalam pembahasan ini akan dikembangkan persamaan-persamaan untuk fluida tidak persamaan-persamaan untuk fluida tidak viscous, baik untuk koordinat natural viscous, baik untuk koordinat natural ((streamlinestreamline) maupun dalam koordinat ) maupun dalam koordinat Cartesius.Cartesius.

Persamaan Bernoulli untuk aliran tidak dapat Persamaan Bernoulli untuk aliran tidak dapat

mampat sering disebut persamaan energi mampat sering disebut persamaan energi mechanic karena kemiripannya dengan mechanic karena kemiripannya dengan persamaan energi aliran persamaan energi aliran steadysteady yang yang diperoleh dari hukum pertama termodinamika diperoleh dari hukum pertama termodinamika untuk fluida tidak viscous tanpa perpindahan untuk fluida tidak viscous tanpa perpindahan panas dan tanpa usaha dari luar.panas dan tanpa usaha dari luar.

Gaya-gaya yang bekerja pada suatu elemen fluida Gaya-gaya yang bekerja pada suatu elemen fluida secara umum ada dua macam, yaitu secara umum ada dua macam, yaitu body forcebody force dan dan gaya-gaya permukaan (gaya-gaya permukaan (surface forcesurface force).).

Body force Body force adalah gaya-gaya yang bekerja pada adalah gaya-gaya yang bekerja pada

volume atau massa elemen fluida; yang meliputi: volume atau massa elemen fluida; yang meliputi: gaya gravitasi dan gaya pada fluida penghantar gaya gravitasi dan gaya pada fluida penghantar dalam sebuah medan magnit. dalam sebuah medan magnit.

Gaya-gaya permukaan meliputi baik gaya-gaya Gaya-gaya permukaan meliputi baik gaya-gaya

normal maupun tangensial.normal maupun tangensial.

Gaya tangensial umumnya disebabkan oleh Gaya tangensial umumnya disebabkan oleh gerakan viscous, namun mancakup pula gerakan viscous, namun mancakup pula tegangan permukaan bila elemen fluida tegangan permukaan bila elemen fluida mempunyai sebuah permukaan bebas. mempunyai sebuah permukaan bebas.

Untuk fluida tidak viscous, gaya-gaya voscous Untuk fluida tidak viscous, gaya-gaya voscous tidak ada dan gaya-gaya tegangan permukaan tidak ada dan gaya-gaya tegangan permukaan tidak diperhitungkan karena pembicaraan ini tidak diperhitungkan karena pembicaraan ini tidak mencakup permukaan bebas.tidak mencakup permukaan bebas.

Gaya-gaya permukaan pada fluida tidak viscous Gaya-gaya permukaan pada fluida tidak viscous yang terdapat dalam suatu fluida adalah gaya- yang terdapat dalam suatu fluida adalah gaya-gaya normal yang disebabkan oleh tekanan.gaya normal yang disebabkan oleh tekanan.

Tekanan adalah besaran skalar sehingga tidak Tekanan adalah besaran skalar sehingga tidak tergantung pada arah; Oleh sebab itu px = py = tergantung pada arah; Oleh sebab itu px = py = pz.pz.

Pembahasan tentang gerakan fluida tidak Pembahasan tentang gerakan fluida tidak

viscous rasanya janggal karena semua fluida viscous rasanya janggal karena semua fluida mempunyai viscositas. mempunyai viscositas.

Namun demikian perlu dipahami bahwa pada Namun demikian perlu dipahami bahwa pada kebanyakan aliran memang pengaruh viscositas kebanyakan aliran memang pengaruh viscositas dapat diabaikandapat diabaikan

Jika kecepatan (V) sebuah partikel fluida Jika kecepatan (V) sebuah partikel fluida merupakan fungsi terhadap letak dan waktu, merupakan fungsi terhadap letak dan waktu, dapat dituliskan V = V(s,t) karena kecepatan dapat dituliskan V = V(s,t) karena kecepatan mempunyai komponen dalam arah (s) yang mempunyai komponen dalam arah (s) yang bersinggungan dengan garis arus.bersinggungan dengan garis arus.

t

V

dt

ds

s

V

dt

Vdt

t

Vds

s

VdV

atau

Karena kecepatan di sepanjang garis arus adalah Karena kecepatan di sepanjang garis arus adalah

V = (ds/dt), percepatan dalam arak itu adalah :V = (ds/dt), percepatan dalam arak itu adalah :

V(dV/ds) : percepatan konveksi atau variasi V(dV/ds) : percepatan konveksi atau variasi kecepatan disepanjang garis aruskecepatan disepanjang garis arus

dV/dt:adalah percepatan lokal atau variasi dV/dt:adalah percepatan lokal atau variasi kecepatan pada sebuah titik terhadap waktu.kecepatan pada sebuah titik terhadap waktu.

t

V

s

VV

dt

dVas

Dari hukum kedua Newton (Dari hukum kedua Newton ( F = ma F = mass) di sepanjang ) di sepanjang garis arus menghasilkan :garis arus menghasilkan :

Karena sin Karena sin = = z/z/s, jika persamaan diatas s, jika persamaan diatas disederhanakan didapat:disederhanakan didapat:

t

V

s

VVsAsAgAs

s

ppAp

sin

t

V

s

zg

t

p

s

VV

1

Unsur fluida yang bergerak sepanjang garis aliran

g ∆A ∆S sin

P ∆A

∆S(P +(dP/

dS)∆S)∆A

Untuk fluida steady (Untuk fluida steady (V/V/t) = 0), jika persamaan t) = 0), jika persamaan diatas diintegrasikan sepanjang garis arus untuk diatas diintegrasikan sepanjang garis arus untuk kerapatan konstan akan didapatkan:kerapatan konstan akan didapatkan:

Suku-suku dalam persamaan diatas diekspresikan Suku-suku dalam persamaan diatas diekspresikan dalam energi per satuan massa yang besarnya dalam energi per satuan massa yang besarnya konstan di sepanjang garis arus aliran tidak viscous konstan di sepanjang garis arus aliran tidak viscous yang tidak dapat mampat dan yang tidak dapat mampat dan steadysteady. .

) ( 2

2arusgarissepanjangditetapangz

pV

Persamaan tersebut jika dikalikan dengan Persamaan tersebut jika dikalikan dengan didapat: didapat:

I II III I II III I II IIII II III

II : tekanan dinamik: tekanan dinamik

IIII : tekanan statik: tekanan statik

IIIIII : tekanan potensial: tekanan potensial

Dalam persamaan ini energi per satuan volume fluida Dalam persamaan ini energi per satuan volume fluida tetap di sepanjang garis arus aliran. tetap di sepanjang garis arus aliran.

tan 22 22

22

11

21 konstotaltekanangzp

Vgzp

V

Jika persamaan tersebut dibagi dengan g akan Jika persamaan tersebut dibagi dengan g akan didapatkan :didapatkan :

I II III I II IIII II III I II III

II : head kecepatan: head kecepatan

IIII : head tekanan: head tekanan

IIIIII : head potensial: head potensial Persamaan-persamaan inilah yang disebut persamaan Persamaan-persamaan inilah yang disebut persamaan

bernoullibernoulli

tan 2

2

2

2 2

2

11

21 konstotalheadz

g

p

g

Vz

g

p

g

V

ContohContoh

Sebuah alat pengukur kecepatan sederhana (tabung Sebuah alat pengukur kecepatan sederhana (tabung pitot) digunakan untuk mengukur kecepatan lokal dalam pitot) digunakan untuk mengukur kecepatan lokal dalam suatu aliran. Jika tinggi air dalam tabung pitot 0.5 inci di suatu aliran. Jika tinggi air dalam tabung pitot 0.5 inci di atas tinggi permukaan air bebas, berapakah kecepatan atas tinggi permukaan air bebas, berapakah kecepatan air disitu?air disitu?

PenyelesaianPenyelesaian

Untuk menyelesaiakan persoalan ini digunakan Untuk menyelesaiakan persoalan ini digunakan Persamaan Bernoulli. Persamaan Bernoulli.

Fluida dalam tabung pitot tidak bergerag sehingga Fluida dalam tabung pitot tidak bergerag sehingga kecepatan pada titik 2 = 0. kecepatan pada titik 2 = 0.

Harga tekanan lokal diperoleh menggunakan prinsip Harga tekanan lokal diperoleh menggunakan prinsip hidrolika dalam arus bebas untuk titik 1 dan dalam hidrolika dalam arus bebas untuk titik 1 dan dalam tabung pitot untuk titik 2. Dengan ztabung pitot untuk titik 2. Dengan z11 = z = z22..

012

5.0

222

22

2

21

21

1

Lg

Vp

VgL

Vp

sftV / 64.112

5.0)2.32(2

1

Soal 1Soal 1

Suatu pipa saluran air mengalami penyempitan secara Suatu pipa saluran air mengalami penyempitan secara bertahap dari diameter 4 in hingga 2 in. Perbedaan bertahap dari diameter 4 in hingga 2 in. Perbedaan tekanan dalam pipa itu adalah 53 psi. Berapakah laju tekanan dalam pipa itu adalah 53 psi. Berapakah laju aliran yang melewati pipa tersebut jika diandaikan aliran aliran yang melewati pipa tersebut jika diandaikan aliran itu tanpa gesekan?itu tanpa gesekan?

4” 2”

1

2

V1 V2

PenyelesaianPenyelesaian

Gunakan pers kontinuitas dan pers BernoulliGunakan pers kontinuitas dan pers Bernoulli

VV11 A A11 = V = V22 A A22

2

22

1

21

22p

Vp

V

sftxx

AA

pV /6,91

42194,1

144532

/1

242

12

12

scuftxxAVQ /212

2

4

14,36,9122

2

Soal 2Soal 2

Sebuah pipa saluran air dengan luas penampang 240 Sebuah pipa saluran air dengan luas penampang 240 cmcm22, 480 cm, 480 cm22 dan 960 cm dan 960 cm22 disambung secara seri disambung secara seri dengan posisi horizontal (lihat Gambar). Perbedaan dengan posisi horizontal (lihat Gambar). Perbedaan tekanan yang terukur pada pipa pertama dan pipa tekanan yang terukur pada pipa pertama dan pipa ketiga sebesar 25 ketiga sebesar 25 kkPa. Berapakah laju aliran air dalam Pa. Berapakah laju aliran air dalam pipa tersebut jika diandaikan aliran itu tanpa gesekan?pipa tersebut jika diandaikan aliran itu tanpa gesekan?

PERSAMAAN ENERGIPERSAMAAN ENERGI

Bentuk umum pesamaan energiBentuk umum pesamaan energi

Kandungan energi terdiri dari energi kinetik, energi Kandungan energi terdiri dari energi kinetik, energi perpindahan dan energi dalam (∑ keduanya disebut perpindahan dan energi dalam (∑ keduanya disebut entalpi) serta energi potensial per satuan massa.entalpi) serta energi potensial per satuan massa.

...vdsepepdvt

WQcontrol volume kontrolperubahan

Untuk aliran Steady suku pertama ruas kanan = 0, Untuk aliran Steady suku pertama ruas kanan = 0, jadi persamaan energi aliran steady boleh dituliskan jadi persamaan energi aliran steady boleh dituliskan untuk volume kontrol sebagai berikut :untuk volume kontrol sebagai berikut :

Panas dipindahkan = ∆ (energi kinetik) + ∆ (energi Panas dipindahkan = ∆ (energi kinetik) + ∆ (energi perpindahan) + ∆ (Energi perpindahan) + ∆ (Energi potensial) + ∆ (energi dalam) + potensial) + ∆ (energi dalam) + usaha yang dilakukan oleh fluidausaha yang dilakukan oleh fluida.. Suku usaha persamaan I terdiri dari :Suku usaha persamaan I terdiri dari :1.1. Energi aliran/energi perpindahanEnergi aliran/energi perpindahan2.2. Panas yang dipindahkan dan energi dalam dianggap Panas yang dipindahkan dan energi dalam dianggap

sebagai energi thermal.sebagai energi thermal.3.3. Suku-suku yang lain dianggap sebagai perwujudan Suku-suku yang lain dianggap sebagai perwujudan

energi mekanik.energi mekanik.

Energi KinetikEnergi Kinetik

Energi kinetik suatu massa (m) yang bergerak Energi kinetik suatu massa (m) yang bergerak dengan kecepatan (v) = mvdengan kecepatan (v) = mv22/2./2.

Bisa dinyatakan dalam energi kinetik/satuan massa = Bisa dinyatakan dalam energi kinetik/satuan massa = VV22/2. /2.

Untuk fluida yang melalui suatu potongan dengan Untuk fluida yang melalui suatu potongan dengan kecepatan tidak seragam (dimensi 2 atau 3) energi kecepatan tidak seragam (dimensi 2 atau 3) energi kinetik selalu lebih besar dibandingkan dengan yang kinetik selalu lebih besar dibandingkan dengan yang dihitung dengan kecepatan rata-rata.dihitung dengan kecepatan rata-rata.

Faktor koreksi energi kinetik Faktor koreksi energi kinetik (α)(α)

Persamaan :Persamaan :

n = Banyak pertambahan luas yang sama untuk n = Banyak pertambahan luas yang sama untuk membentuk total luas Amembentuk total luas A

Untuk aliran 1 dimensi Untuk aliran 1 dimensi α = 1 α = 1 Untuk aliran lainnya dalam pipa bundar Untuk aliran lainnya dalam pipa bundar α = 2 α = 2 Untuk aliran turbulen Untuk aliran turbulen α α 1,06 1,06

ni

1

3l3

unV

1α

Contoh :Contoh :

Kecepatan yang diukur pada setiap pertambahan luas Kecepatan yang diukur pada setiap pertambahan luas yang sama (r/R (2 di ujung sebuah kelir ruangan yang yang sama (r/R (2 di ujung sebuah kelir ruangan yang mengalir dalam terowongan air untuk uji peronggaan mengalir dalam terowongan air untuk uji peronggaan adalah sebagai berikut : 18.2, l6,8, 14.9, 12.75, 10.9, adalah sebagai berikut : 18.2, l6,8, 14.9, 12.75, 10.9, 9.4, 7.9, 6.5, 5.6, 4.5 m/s.9.4, 7.9, 6.5, 5.6, 4.5 m/s.Berapakah kecepatan rata-ratanya?Berapakah kecepatan rata-ratanya?Berapakah faktor koreksi energi kinetik?Berapakah faktor koreksi energi kinetik?

Penyelesaian :Penyelesaian :

V = 10.75 m/sV = 10.75 m/s

555.1

124210

19311

75.1010

5.4...8.62.183

333

l

Energi aliran/enenrgi Energi aliran/enenrgi perpindahanperpindahan

Adalah energi atau usaha yang dibutuhkan dalam Adalah energi atau usaha yang dibutuhkan dalam mendorong suatu massa fluida yang melintasi suatu mendorong suatu massa fluida yang melintasi suatu batas sistem.batas sistem.

Gambar Energi PerpindahanGambar Energi Perpindahan Usaha untuk memindahkan volume dari daerah Usaha untuk memindahkan volume dari daerah

diarsir ke daerah putus-putus adalah gaya kali jarak diarsir ke daerah putus-putus adalah gaya kali jarak perpindahan.perpindahan.

= = PVU/APA

Energi potensialEnergi potensial

Sebuah satuan massa fluida mempunyai Sebuah satuan massa fluida mempunyai Energi potensial yang bergantung pada Energi potensial yang bergantung pada ketinggian diatas suatu datum sembarang ketinggian diatas suatu datum sembarang dimana Z = 0. dimana Z = 0.

Usaha yang dibutuhkan untuk membawanya Usaha yang dibutuhkan untuk membawanya dari datum ke ketinggian tertentu adalah dari datum ke ketinggian tertentu adalah gz/satuan massa.gz/satuan massa.

Energi dalamEnergi dalam

Energi dalam (U/satuan massa) adalah bentuk energi Energi dalam (U/satuan massa) adalah bentuk energi yang tersimpan dalam suatu zat, yang pada yang tersimpan dalam suatu zat, yang pada umumnya fungsi P dan T. Untuk gas ideal fungsi T.umumnya fungsi P dan T. Untuk gas ideal fungsi T.

Gambar Keseimbangan EnergiGambar Keseimbangan Energi

Persamaan energi bila dibagi laju aliran massa Persamaan energi bila dibagi laju aliran massa menghasilkan :menghasilkan :

Untuk kebanyakan penerapan ditetapkan α1 = α2 Untuk kebanyakan penerapan ditetapkan α1 = α2 walaupun kecepatan di perpotongan bagian masuk walaupun kecepatan di perpotongan bagian masuk dan keluar bervariasi.dan keluar bervariasi.

2222

22

21111

21

1UgzVP

2

VαwqUgZVP

2

Vα

A ............ UgzVP2

VwqUgZVP

2

V2222

22

1111

21

Bila dinyatakan dalam entalpi (h = u+pv)Bila dinyatakan dalam entalpi (h = u+pv)

Persamaan A dan B diatas merupakan bentuk Persamaan A dan B diatas merupakan bentuk alternatif persamaan energi yang diharapkan pada alternatif persamaan energi yang diharapkan pada aliran fluida 1 dimensi yang umum.aliran fluida 1 dimensi yang umum.

B...........gzh2

V wqgZh

2

V22

22

11

21

Gas dapat mampatGas dapat mampat

Ingat persamaan gas ideal :Ingat persamaan gas ideal :

Substitusi persamaan diatas dalam persamaan A dan Substitusi persamaan diatas dalam persamaan A dan B menghasilkan suku-suku energi dalam dan entalpi.B menghasilkan suku-suku energi dalam dan entalpi.

Dalam berbagai penerapan suku usaha (w) belum Dalam berbagai penerapan suku usaha (w) belum tentu ada. tentu ada.

Untuk aliran dengan perpindahan panas :Untuk aliran dengan perpindahan panas :

121212V12 TT cphhdan TTCUU

22 22

22

11

21 gzh

Vqgzh

V

Untuk aliran adiabatikUntuk aliran adiabatik

Untuk aliran isotermal, h1 = h2 bila gas Untuk aliran isotermal, h1 = h2 bila gas ideal :ideal :

22

211

21 gzh

z

Vgzh

z

V z

2

21

21 gz

z

Vqgz

z

V z

Contoh :Contoh :

Metana mengalir lewat saluran pipa horizontal Metana mengalir lewat saluran pipa horizontal berisolasi. Efek friksi mengurangi tekanan dan berisolasi. Efek friksi mengurangi tekanan dan kerapatan dalam arah aliran, sehingga kecepatan kerapatan dalam arah aliran, sehingga kecepatan meningkat dari 40 menjadi 400 ft/s.meningkat dari 40 menjadi 400 ft/s.Berapakah perubahan temperaturnya?Berapakah perubahan temperaturnya?

Penyelesaian :Penyelesaian :Dari tabel A2 (Appendik II) CP = 13095 ft lbf/slug Dari tabel A2 (Appendik II) CP = 13095 ft lbf/slug ooRR

terjadi penurunan temperatur sebesar 6,05terjadi penurunan temperatur sebesar 6,05ooRR

RxCP

VVTThh

VV

TTCPhgzhV

gzhV

ozz

z

05,6130952

40040

222

hdan 22

222

21

12122

21

1212222

11

21

Zat cair dan gas kerapatan Zat cair dan gas kerapatan konstankonstan

Penerapan persamaan enegi pada zat cair dan gas Penerapan persamaan enegi pada zat cair dan gas kerapatan konstan biasanya untuk menggantikan kerapatan konstan biasanya untuk menggantikan suku-suku thermal pada persamaan A dan B dengan suku-suku thermal pada persamaan A dan B dengan suku-suku rugi energi mekanik.suku-suku rugi energi mekanik.

hhll = U = U22 – U – U11 – q yang menyatakan besar energi – q yang menyatakan besar energi mekanik yang diubah menjadi energi termal.mekanik yang diubah menjadi energi termal.

Dengan demikian persamaan energi menjadi :Dengan demikian persamaan energi menjadi :

C ...... 22

22

21

12

1l

z

hp

gzV

wgzPV

Perubahan entropi (ds) untuk proses dapat balikPerubahan entropi (ds) untuk proses dapat balik

Untuk proses sembarang, perubahan entropi harus Untuk proses sembarang, perubahan entropi harus lebih besar sama dengan dibandingkan untuk proses lebih besar sama dengan dibandingkan untuk proses dapat balikdapat balik

T

dqdS

0 dqTds

Bentuk differensiasi persamaam Bentuk differensiasi persamaam AA dapat dapat diekspresikandiekspresikan

D .......... 01

2

2

dqdugdzpd

dpVddw

02

Vd dw

Dpersamaan masuk 1

pddupdvduTds

2

dqTdsgdzdp

Sebagai alternatif persamaan energi zat cair sering Sebagai alternatif persamaan energi zat cair sering ditulis dalam bentuk seperti persamaan C dengan ditulis dalam bentuk seperti persamaan C dengan membagi setiap suku dengan percepatan gravitasi membagi setiap suku dengan percepatan gravitasi (g).(g).

Persamaan A yang dinyatakan dalam energi per Persamaan A yang dinyatakan dalam energi per satuan Massa digunakan untuk aliran gas yang dapat satuan Massa digunakan untuk aliran gas yang dapat mampat, sedangkan persamaan E yang dinyatakan mampat, sedangkan persamaan E yang dinyatakan dalam energi per satuan berat digunakan untuk dalam energi per satuan berat digunakan untuk aliran zat cair dan aliran gas kerapatan konstan.aliran zat cair dan aliran gas kerapatan konstan.

E ......... 22 2

22

21

12

1lhZ

P

g

V

g

wZ

P

g

V

Contoh :Contoh :

Minyak mengalir dalam sebuah pipa berdiameter 2 ft Minyak mengalir dalam sebuah pipa berdiameter 2 ft dengan kecepatan rata-rata 5ft/s. Penurunan tekanan dengan kecepatan rata-rata 5ft/s. Penurunan tekanan piezometrik dalam jarak 1.000 ft pipa adalah 1,49 psi, piezometrik dalam jarak 1.000 ft pipa adalah 1,49 psi,

S = 0,86. Berapakah head loss aliran?S = 0,86. Berapakah head loss aliran?

Penyelesaian Penyelesaian ::

Persamaan E dapat diterapkan karena aliran Persamaan E dapat diterapkan karena aliran punya efek Viscous. punya efek Viscous.

Karena dari kondisi kontinuitas kecepatan tidak Karena dari kondisi kontinuitas kecepatan tidak berubah (V1 = V2) dan ∆ (P + berubah (V1 = V2) dan ∆ (P + γγZ) = 1,49 x 144 Z) = 1,49 x 144 = 214 psf.= 214 psf.

hlZP

ZP

2

21

1

ft 486.04.62

214

Z

Phl

Contoh :Contoh :

Untuk sistem seperti dalam gambar, pompa B-C harus Untuk sistem seperti dalam gambar, pompa B-C harus mengalirkan 152 liter/dt minyak (mengalirkan 152 liter/dt minyak (ρρ = 762 kg/m = 762 kg/m33). ). Penurunan energi dari A ke B 2,5 m, sedang dari C ke D Penurunan energi dari A ke B 2,5 m, sedang dari C ke D 7,5 m. Berapa tekanan yang diberikan oleh pompa? 7,5 m. Berapa tekanan yang diberikan oleh pompa?

A+15m

POMPA

D+60m

CB

Ф=30 cm Ф=30 cm

PenyelesaiaPenyelesaian :n :

Gerakan dari A ke D

PA = PD dan VAB = VCD sebab diameternya sama.

head pompa = ZD – ZA + hl

= (60-15) + (2,5 + 7,5) = 55 m = 55 m x 762 kg/m3 x 9,81 m/s2 = 411,1171 KPa

2g

VPZhpompaZ

P

2g

V 2DD

DAA

2A

lhead

Contoh :Contoh :

Dua bak air terbuka dihubungkan dengan pipa 1200 Dua bak air terbuka dihubungkan dengan pipa 1200 m m berdiameter 250 mm. Tinggi permukaan air bak atas berdiameter 250 mm. Tinggi permukaan air bak atas 35 m lebih tinggi dari bak bawah. Laju aliran Steady 0,130 35 m lebih tinggi dari bak bawah. Laju aliran Steady 0,130 mm33/s./s.

Berapakah :Berapakah :Total head loss?Total head loss?Tekanan di titik tengah pipa bila diandaikan separo head Tekanan di titik tengah pipa bila diandaikan separo head

loss terjadi di bagian hulu dan separo terjadi di hilir. loss terjadi di bagian hulu dan separo terjadi di hilir.

Andaikan pula ketinggian Z3 sama dengan permukaan Andaikan pula ketinggian Z3 sama dengan permukaan

air di bak bawah.air di bak bawah.

Penyelesaian :Penyelesaian :

Persamaan EPersamaan E

0 + 0 + 35 = 0 + 0 + 0 + hl0 + 0 + 35 = 0 + 0 + 0 + hl

hl = 35 mhl = 35 m

0 + 0 + 35 =0 + 0 + 35 = 5.1702

32

3

P

g

V

m 0,362g

Vm/s 2,65A

QV23

KPaP 16881,9100036,05.17353

Sampai disini 17/11/2014Sampai disini 17/11/2014

Aliran Fluida Viscous Dalam Aliran Fluida Viscous Dalam PipaPipa

PERSAMAAN GERAK FLUIDA VISCOUSPERSAMAAN GERAK FLUIDA VISCOUS

Untuk fluida dengan viscositas konstan dan aliran dapat Untuk fluida dengan viscositas konstan dan aliran dapat mampat dinyatakan dalam Pers Navier Stokes sebagai mampat dinyatakan dalam Pers Navier Stokes sebagai berikut :berikut :

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

uV

x

p

ρ

1X

z

uW

y

uV

x

uU

t

U

2

2

2

2

2

2

z

v

y

v

x

vV

y

p

ρ

1Y

z

VW

y

VV

x

VU

t

V

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

wV

Z

p

ρ

1Z

z

WW

y

WV

x

WU

t

U

Dalam sistem koordinat silinder (r,Dalam sistem koordinat silinder (r,θθ ,z) persamaan ,z) persamaan Novier Stokers menjadiNovier Stokers menjadi

Dimana : Fr, FDimana : Fr, Fθθ, Fz merupakan komponen body , Fz merupakan komponen body force persatuan massa dalam arah yang force persatuan massa dalam arah yang dimaksudkan.dimaksudkan.

z

vθvz

r

θ

θ

vθ

r

vθ

r

vθvr

t

vθ vvr

z

vzvz

θ

vz

r

vθ

r

vzVr

t

vz

z

vrVz

r

vθ

θ

vr

r

vθ

y

VrVr

t

Vr 2 ρFr

z

vr

θ

vθ

r

2

θ

vr

r

1

r

vr

r

vr

r

1

r

vru

r

p2

2

22

2

222

2

ρFθz

vθ

θ

vr

r

2

θ

vθ

r

1

r

vθ

r

vθ

r

1

r

vθ

θ

p2

2

22

2

222

2

ρFzz

vθ

θ

vz

r

1

r

vz

r

1

r

vz

z

p2

2

2

2

22

2

ALIRANALIRAN DALAMDALAM PIPAPIPA BUNDARBUNDAR

PengandaianPengandaian--pengandaianpengandaian yangyang berlakuberlaku Aliran Steady Aliran Steady

Aliran simetrik terhadap sumbuAliran simetrik terhadap sumbu

Aliran sejajar dengan dinding pipa, Vr = 0Aliran sejajar dengan dinding pipa, Vr = 0 Aliran Seragam Aliran Seragam

Gradien tekanan diketahuiGradien tekanan diketahui

0

Rr

0t

0

*Ptetapan z

p

0z

vz

Pipa diandaikan berorientasi terhadap medan Pipa diandaikan berorientasi terhadap medan gravitasi sehingga body force (Z) dinyatakan sebagai gravitasi sehingga body force (Z) dinyatakan sebagai komponen gravitasi g sin θ. Kedua suku dalam komponen gravitasi g sin θ. Kedua suku dalam persamaan Navier-Stokes dalam koordinat silinder persamaan Navier-Stokes dalam koordinat silinder dapat dituliskan sebagai berikut :dapat dituliskan sebagai berikut :

Dengan demikian persamaan menjadi :Dengan demikian persamaan menjadi :

r

vzr

rr

1

r

vz

r

1

r

vz2

2

0r

vzdan 0

r

vzr

rr

ugsinθ*P

Rr vzl

0r

Persamaan tersebut bisa diintegrasikan menjadi :Persamaan tersebut bisa diintegrasikan menjadi :

Kondisi demikian akan membentuk profil kecepatan Kondisi demikian akan membentuk profil kecepatan

parabola dengan kecepatan maksimal pada sumbu parabola dengan kecepatan maksimal pada sumbu utama (persamaan Hagem – Poiseuille).utama (persamaan Hagem – Poiseuille).

Untuk laju aliran dalam pipa dinyatakan dengan Untuk laju aliran dalam pipa dinyatakan dengan

Laju aliran dapat dihitung jika gradien tekanan serta Laju aliran dapat dihitung jika gradien tekanan serta

konisi- konisi- kondisi aliran lain diketahui, begitupula sebaliknya.kondisi aliran lain diketahui, begitupula sebaliknya.

ρgsinθ*P-4

rRVz

22

R0

4ρgsinθ*P-

8

πR πrdr 2Q

V

0

Rr

Contoh :Contoh :

Minyak dengan gravitasi jenis 0,85 dan Minyak dengan gravitasi jenis 0,85 dan viskositas mutlak 0,005 Ns/mviskositas mutlak 0,005 Ns/m22 mengalir turun mengalir turun dengan laju 60 cmdengan laju 60 cm33/s melalui sebuah pipa /s melalui sebuah pipa vertikal berdiameter 2 cm. Berapakah gradien vertikal berdiameter 2 cm. Berapakah gradien tekanan dalam aliran dan bagaimana jika tekanan dalam aliran dan bagaimana jika pipanya horizontal?pipanya horizontal?

Penyelesaian:Penyelesaian:

Pipa vertikal Pipa vertikal Sin Sin θθ = 1 = 1

I III II I : Variasi tekanan hidrostatik I : Variasi tekanan hidrostatik II : Variasi tekanan untuk mengatasi hambatanII : Variasi tekanan untuk mengatasi hambatan

4

4

R

Q8 gsinP* ρgsinθ*P-

8

πRQ

mPa /826376 -83390,01π

6x100,0058-9,81850P*

4

5

Dalam praktek di bidang rekayasa orang Dalam praktek di bidang rekayasa orang biasa mengekspresikan gradien tekanan biasa mengekspresikan gradien tekanan (penurunan tekanan per satuan panjang (penurunan tekanan per satuan panjang pipa) dalam bentuk persamaan Darcy – pipa) dalam bentuk persamaan Darcy – Weisbach :Weisbach :

(I) ..............2

2V

D

f

L

P

Bentuk lain persamaan tersebut bila dinyatakan Bentuk lain persamaan tersebut bila dinyatakan dalam head loss akibat gesekan (hf) adalah :dalam head loss akibat gesekan (hf) adalah :

Dimana :Dimana :

((ρρVV22)/2 )/2 = tekanan dinamik= tekanan dinamik

DD = diameter pipa = diameter pipa

ff = faktor gesekan = faktor gesekan

(II) .............. 2

/ 2

g

V

D

f

L

p

L

ht

f = fungsi kekasaran relatif pipa (K/D) dan angka f = fungsi kekasaran relatif pipa (K/D) dan angka Reynold Reynold

Untuk aliran laminer :Untuk aliran laminer :

III).........(....................Re

64

/

64

dVDf

Untuk aliran turbulen, terdapat beberapa persamaan Untuk aliran turbulen, terdapat beberapa persamaan sebagai hasil penelitian beberapa ahli :sebagai hasil penelitian beberapa ahli :

1.1.Hukum Prandte (untuk pipa halus)Hukum Prandte (untuk pipa halus)

Persamaan ini berlaku hingga ReD = 3.4 x 10Persamaan ini berlaku hingga ReD = 3.4 x 1066

....(IV).............................. 8,0ln869,01

fRf

eD

2.2. Persamaan Blasius (untuk pipa halus)Persamaan Blasius (untuk pipa halus)

Untuk : 4000 ≤ ReD ≤ 100.000Untuk : 4000 ≤ ReD ≤ 100.000

3.3. Persamaan J. Nikuradse (untuk pipa kasar)Persamaan J. Nikuradse (untuk pipa kasar)

......(V)..............................

316,08

412

0

eDRV

f

(VI) .............................

74.12kDln 869.0

12

f

4.4. Persamaan empirik Colebrook dan WhitePersamaan empirik Colebrook dan White

Persamaan ini sama dengan persamaan VI jika RPersamaan ini sama dengan persamaan VI jika ReDeD besar dan menjadi persamaan IV untuk pipa halus.besar dan menjadi persamaan IV untuk pipa halus.

5.5. Persamaan HaalandPersamaan Haaland

(VII)..............................7.182

ln869.074.11

fRD

k

f eD

III)........(V....................7.3

9.6ln782.0

111.1

D

k

Rf eD

Persamaan-pesamaan lain yang belaku Persamaan-pesamaan lain yang belaku untuk aliran turbulen adalah :untuk aliran turbulen adalah :

Persamaan eksplisit dari Colebrook – WhitePersamaan eksplisit dari Colebrook – White

Persamaan Swamee dan JainPersamaan Swamee dan Jain

UntukUntuk

/

784.1

7.3ln965.0 2

LgDhfD

V

D

K

L

gDhfDQ

..

66,0

04.02.5275.4225.1

ghf

QL

Q

V

ghf

QLKD

26-83 10210dan 103103 xD

KxRx eD

Contoh Contoh

Berapakah penurunan tekanan pada jarak 500 ft pada Berapakah penurunan tekanan pada jarak 500 ft pada pipa halus horizontal 4 inchi bila dialiri minyak (pipa halus horizontal 4 inchi bila dialiri minyak (γγ = 58 = 58 lbt/ltlbt/lt33, µ = 0,001 slug/fts) pada kecepatan = 2 ft/s., µ = 0,001 slug/fts) pada kecepatan = 2 ft/s.

Jawab :Jawab :

laminer1200/0.00158/32.223

12/VDR

eD

psi 2psf 288

2

VD

LfΔP0.053364/Rf2

eD

Berapakah laju aliran untuk air pada 15Berapakah laju aliran untuk air pada 15ooC dalam sebuah C dalam sebuah pipa baja komersiil berdiameter 250 mm, bila head loss pipa baja komersiil berdiameter 250 mm, bila head loss dalam jarak 300 m pipa adalah 5 m.dalam jarak 300 m pipa adalah 5 m.

Penyelesaian :Penyelesaian :

Metoda 1 Metoda 1 dari diagram Moody didapatkan dari diagram Moody didapatkan

K = 0.000045 K = 0.000045 kekasaran relatif (K/D) = kekasaran relatif (K/D) = 0,000045/0,250,000045/0,25

k/D = 0,00018 dan f = 0,0133k/D = 0,00018 dan f = 0,0133

Contoh Contoh

Cara lain adalah dengan persamaan Haaland utnuk Cara lain adalah dengan persamaan Haaland utnuk ReD ReD

yang besar (mendekati tak terhingga).yang besar (mendekati tak terhingga).

Maka :Maka :

0135.07.3

00018.0ln782,0

111.1

f

f

m/s 2.483132x9.807x0.V

m 0,3130.0133x300

5x0,25

fL

Dh

2g

V f2

Untuk kecepatan ini, Re=VD/Untuk kecepatan ini, Re=VD/VV = 2.48 x 0.25/1.14 x = 2.48 x 0.25/1.14 x 1010-6-6

ReD = 5.4 x 10ReD = 5.4 x 1055, untuk Re ini , untuk Re ini f = 0.0152 f = 0.0152

atau jika menggunakan persamaan Haaland :atau jika menggunakan persamaan Haaland :

Maka :Maka :

0150.07.3

00018.0

104.5

9.6ln782.0

11.1

5

f

xf

m/s 2.32V0.274f.L

hf.D

2g

V 2

Untuk kecepatan ini Re = 5,1 x 10Untuk kecepatan ini Re = 5,1 x 1055 dan f sekali lagi dan f sekali lagi adalah 0.0152.adalah 0.0152.

Laju aliran = Q = VA = (2.32) (Laju aliran = Q = VA = (2.32) (ππ/64) = 0.114 m/64) = 0.114 m33/s/s

Metoda 2 Metoda 2 persamaan eksplisit persamaan eksplisit

202.0

300

525.081.9

L

gDhl

s

mxQ

362 114.0

202.025.0

1014.1784.1

7.3

00018.0ln202.025.0965.0

Contoh :Contoh :

Air harus mengalir dengan laju 91 l/s Air harus mengalir dengan laju 91 l/s menempuh jarak 500 m dalam sebuah pipa menempuh jarak 500 m dalam sebuah pipa baja komersial horizontal dengan baja komersial horizontal dengan penurunan tekanan tidak melebihi 825 KPa. penurunan tekanan tidak melebihi 825 KPa. Berapakah ukuran minimal pipa yang akan Berapakah ukuran minimal pipa yang akan digunakan?digunakan?

Uk = 10Uk = 10-6-6 m m22/s/s

PenyelesaianPenyelesaian

Metoda 1. Metoda 1.

Misalkan f1 = 0.020Misalkan f1 = 0.020

Dari persamaan I Dari persamaan I 222 2//2// AQDfLVxDfLp

m 0.152825000π

0.09110005000.0208D

Δpπ

Q8fLD4/πD

1/5

2

2

51

2

22

A

selanjutnya, V = Q/A = (0.091)/(selanjutnya, V = Q/A = (0.091)/(ππ/4) (0.152)2 = 5.01 m/s/4) (0.152)2 = 5.01 m/s

Dari gambar Moody Dari gambar Moody f = 0.0158, kemudian dari f = 0.0158, kemudian dari ekspresi di atas D = 0.145 m: ekspresi di atas D = 0.145 m: ReD = 7.6 x 10 ReD = 7.6 x 1055,tapi K/D ,tapi K/D = 0.000045/0.145 = 0.00031 dan f = 0.0158= 0.000045/0.145 = 0.00031 dan f = 0.0158

D = 145 mmD = 145 mm

5

6106.7

10

152.001.5x

x

V

VDReD

00030.0152.0

000045.0

D

K

Metoda 2.Metoda 2.

Bila menggunakan rumus eksplisit untuk diameterBila menggunakan rumus eksplisit untuk diameter

D = 0.146 m = 146 mmD = 0.146 m = 146 mm

00502.0

9810/1025.881.9

091.0500

/81.9

091.05005

222

xpghf

LQ

091.0

00502.01000502.0000045.066.0

2.5675.425.1D

SAMBUNGAN PIPASAMBUNGAN PIPA

Pipa-pipa dipasang seriPipa-pipa dipasang seri

Jika dua buah pipa atau lebih dipasang seri, semua pipa Jika dua buah pipa atau lebih dipasang seri, semua pipa akan dilewati oleh aliran yang sama. Jika setiap pipa akan dilewati oleh aliran yang sama. Jika setiap pipa diberi nama dengan subscrip bilangan bulat (1,2,3 dan diberi nama dengan subscrip bilangan bulat (1,2,3 dan seterusnya), total rugi head pada seluruh sistem adalah seterusnya), total rugi head pada seluruh sistem adalah jumlah rugi-rugi pada setiap pipa dan perlengkapan jumlah rugi-rugi pada setiap pipa dan perlengkapan pipa :pipa :

QQ00 = Q = Q11 = Q = Q22 = Q = Q33 = …. = …. (XIa)(XIa)

AtauAtau

QQ00 = A = A11VV11 = A = A22VV22 = A = A33VV33 = …. = …. (XIb)(XIb)

Jika hf adalah rugi head untuk perlengkapan pipa dan Jika hf adalah rugi head untuk perlengkapan pipa dan katup :katup :

Kontraksi/PenyempitanKontraksi/Penyempitan

KKll =Koefisien loss (didapat dari percobaan) =Koefisien loss (didapat dari percobaan)

(XII) ...321 hfhfhfhL

g

VKhll 2

22

Ekspansi/PelebaranEkspansi/Pelebaran

g

VVhl 2

22

21

Pipa-pipa dipasang pararelPipa-pipa dipasang pararelJika dua buah pipa atau lebih dipasang pararel, total Jika dua buah pipa atau lebih dipasang pararel, total laju aliran merupakan jumlah laju aliran yang melalui laju aliran merupakan jumlah laju aliran yang melalui setiap cabang dan rugi head pada sebuah cabang sama setiap cabang dan rugi head pada sebuah cabang sama dengan pada yang lain :dengan pada yang lain :

QQ00 = Q = Q11 + Q + Q22 + Q + Q33 + Q + Qnn …. …. (XIIIa)(XIIIa)

AtauAtau

QQ00 = A = A11VV11 + A + A22VV22 + A + A33VV33 + Q + Qnn …. …. (XIIIb)(XIIIb)

Dan Dan

hhl1l1 = h = hl2l2 = h = hl3l3 = …………….. (XIV) = …………….. (XIV)

Rugi head pada setiap cabang dianggap sepenuhnya Rugi head pada setiap cabang dianggap sepenuhnya terjadi akibat gesekan dan rugi akibat katup serta terjadi akibat gesekan dan rugi akibat katup serta perlengkapan pipa; sehingga persamaan XIV dapat perlengkapan pipa; sehingga persamaan XIV dapat diekspresikan sebagai berikut :diekspresikan sebagai berikut :

g

VK

D

Lf

g

VK

D

Lf

g

VK

D

Lf

LLL 222

23

33

33

22

22

22

21

11

11

22/

11/

2

1

2

1

1

2

KLDL

KLDL

f

f

V

V

Sehingga persamaan XIII dapat ditulis :Sehingga persamaan XIII dapat ditulis :

QQ00 = V = V11AA11 + (V + (V22/V/V11) V) V11AA22 + (V + (V33/V/V11)V)V11AA33 + ........ + ........

Contoh :Contoh :

Sebuah pipa baja komersial baru berdiameter 200 Sebuah pipa baja komersial baru berdiameter 200 mm dan panjang 1000 m dipasang paralel mm dan panjang 1000 m dipasang paralel dengan pipa serupa berdiameter 300 mm dengan dengan pipa serupa berdiameter 300 mm dengan panjang 3000 m. Total laju aliran dalam kedua panjang 3000 m. Total laju aliran dalam kedua pipa itu adalah 0.20 mpipa itu adalah 0.20 m33/s. Berapa rugi head /s. Berapa rugi head melalui sistem tersebut diandaikan air yang melalui sistem tersebut diandaikan air yang mengalir bersuhu 20mengalir bersuhu 20ooC (μk = 10C (μk = 10-6-6 m m22/s)/s)

PenyelesaianPenyelesaian

Kekasaran relatif pipa berturut turut adalah 0.000225 Kekasaran relatif pipa berturut turut adalah 0.000225 dan 0.00015. Pada angka Reynold yang besar faktor dan 0.00015. Pada angka Reynold yang besar faktor gesekan : 0.014 dan 0.013 (harga pendekatan), gesekan : 0.014 dan 0.013 (harga pendekatan), kemudian perhitungan selanjutnya dilakukan secara kemudian perhitungan selanjutnya dilakukan secara iterasi :iterasi :

Luas pipa adalah : 0.0314 dan 0.0707Luas pipa adalah : 0.0314 dan 0.0707

Dari persamaan kontinuitas : Q = ADari persamaan kontinuitas : Q = A11VV11+A+A22VV22 atau atau

0.2 = 0.0314 V0.2 = 0.0314 V11 + (0.734 V + (0.734 V11) (0.0707) ) (0.0707) V V11 = 2.40 m/s = 2.40 m/s

Dan VDan V22 = 1.76 m/s = 1.76 m/s

734.02.0

3.0

3000

1000

013.0

014.0

22/

11/

2

1

2

1

1

2

KLDL

KLDL

f

f

V

V

0150.0103.5

10

30.076.1

5.232

h 0156.0108.410

20.040.2

25

62

21

1

11f11

561

fxR

mg

V

D

LffxR

e

e

Minyak dengan S = 0,85 mengalir melalui jaringan Minyak dengan S = 0,85 mengalir melalui jaringan pipa seperti pada gambar. Besarnya tekanan di B pipa seperti pada gambar. Besarnya tekanan di B sebesar 51 psi dan di F sebesar 31 psi. Faktor sebesar 51 psi dan di F sebesar 31 psi. Faktor gesekan untuk semua pipa adalah 0,03 dan loss gesekan untuk semua pipa adalah 0,03 dan loss hanya terjadi akibat gesekan antara fluida dengan hanya terjadi akibat gesekan antara fluida dengan dinding pipa Berapa laju alir dalam pipa utama jika dinding pipa Berapa laju alir dalam pipa utama jika semua pipa terletak dalam satu bidangsemua pipa terletak dalam satu bidang

A B

C

D

E

F G

11,8 x 103 ft, d=11,81 in

3,9 x 103 ft, d=7,87 in

7,9 x 103 ft, d=9,85 in

ANGKA-ANGKA TANPA DIMENSIANGKA-ANGKA TANPA DIMENSI

Dalam mekanika fluida, kita perlu menyajikan Dalam mekanika fluida, kita perlu menyajikan hasil-hasil penelitian secara eksperimen. Bila hasil-hasil penelitian secara eksperimen. Bila kita menyajikan informasi ini dalam bentuk kita menyajikan informasi ini dalam bentuk tanpa dimensi, maka hasil tersebut dapat tanpa dimensi, maka hasil tersebut dapat digunakan dalam penerapan lain dengan fluida digunakan dalam penerapan lain dengan fluida berbeda, ukuran berbeda dan sebagainya.berbeda, ukuran berbeda dan sebagainya.

Analisa dimensi terhadap sistem Analisa dimensi terhadap sistem fluidafluida

Dalam system fisika, variable yang menerangkan Dalam system fisika, variable yang menerangkan

fenoma aliran dasar seperti tekanan, percepatan dan fenoma aliran dasar seperti tekanan, percepatan dan

kecepatan dianggap sebagai kombinasi dimensi-kecepatan dianggap sebagai kombinasi dimensi-dimensi dimensi

dasar seperti massa, panjang dan waktu. dasar seperti massa, panjang dan waktu.

Kita sering mengukur dimensi dasar dengan berbagai Kita sering mengukur dimensi dasar dengan berbagai

system satuan seperti kg, m, dt dan sebagainya. system satuan seperti kg, m, dt dan sebagainya.

Contoh dimensi-dimensi dasar yang lain adalah Contoh dimensi-dimensi dasar yang lain adalah

temperature, muatan listrik, intensitas cahaya, kuat temperature, muatan listrik, intensitas cahaya, kuat

muatan magnit dan sebagainya.muatan magnit dan sebagainya.

Kesepakatan yang sudah diambil dalam mendefinisikan Kesepakatan yang sudah diambil dalam mendefinisikan

dimensi-dimensi dasar telah menetapkan gaya atau dimensi-dimensi dasar telah menetapkan gaya atau

massa sebagai dimensi dasar. massa sebagai dimensi dasar.

Dengan demikian kita mempunyai dua system dimensi Dengan demikian kita mempunyai dua system dimensi

yaitu massa-panjang-waktu (MLT) dan gaya-panjang-yaitu massa-panjang-waktu (MLT) dan gaya-panjang-

waktu (FLT) yang saling berhubungan.waktu (FLT) yang saling berhubungan.

F = Ma = ML/TF = Ma = ML/T22 dan M = FT dan M = FT22/L/L

Contoh dimensi-dimensi sejumlah variable yang Contoh dimensi-dimensi sejumlah variable yang lazim digunakan dalam mekanika fluida antara lain:lazim digunakan dalam mekanika fluida antara lain:

Sistem dimensi FLT MLT

Panjang, diameter, tinggi L L

Luas L2 L2

Massa FT2/L M

Kerapatan FT2/L4 M/L3

Berat jenis F/L3 M/L2T2

Sebagai contoh penggunaan analisa dimensi adalah Sebagai contoh penggunaan analisa dimensi adalah

theorema (pi) atau theorema Buckingham theorema (pi) atau theorema Buckingham

Misalnya kita ingin menganalisa aliran fluida tak dapat Misalnya kita ingin menganalisa aliran fluida tak dapat

mampat dalam suatu pipa bundar.mampat dalam suatu pipa bundar.

Penurunan tekanan per satuan panjang pipa (∆P/L) Penurunan tekanan per satuan panjang pipa (∆P/L)

tergantung pada diameter pipa (D), kekasaran tergantung pada diameter pipa (D), kekasaran

pipa/tinggi afektif unsur kekasaran pipa (K), kecepatan pipa/tinggi afektif unsur kekasaran pipa (K), kecepatan

aliran rata-rata (V), kerapatan fluida (ρ) dan viscositas aliran rata-rata (V), kerapatan fluida (ρ) dan viscositas

fluida (µ). fluida (µ).

Hubungan ini dapat dituliskan sebagai berikut :Hubungan ini dapat dituliskan sebagai berikut :

Menurut system FLT, penulisan dimensi-dimensi Menurut system FLT, penulisan dimensi-dimensi

tersebut adalahtersebut adalah

),,,,( VkDfL

P

24

2

3,

.,,,

L

FT

L

TF

T

LLLf

L

F

Dalam contoh tersebut terdapat n = 6 buah besaran Dalam contoh tersebut terdapat n = 6 buah besaran

dan m = 3 dimensi dasar (F,L,T).dan m = 3 dimensi dasar (F,L,T). Theorema π menyatakan adanya n – m (dalam hal ini Theorema π menyatakan adanya n – m (dalam hal ini

ada 3) buah gugs himpunan tanpa dimensi yang bebas ada 3) buah gugs himpunan tanpa dimensi yang bebas

dalam analisa dimensi. dalam analisa dimensi. Gugus-gugus bebas ini akan ditulis sebagai, Gugus-gugus bebas ini akan ditulis sebagai, ππ11, , ππ22, , , ,

ππn-mn-m. . Masing-masing dari ketiga gugus (n – m = 3) paling Masing-masing dari ketiga gugus (n – m = 3) paling

banyak akan terdiri dari m (dalam hal ini 3) besaran banyak akan terdiri dari m (dalam hal ini 3) besaran

yang sama dan ini disebut variable berulang.yang sama dan ini disebut variable berulang.

Tiga buah atauran umum untuk memilih Tiga buah atauran umum untuk memilih variable berulangvariable berulang

1.1. Dalam analisa dimensi terhadap suatu system Dalam analisa dimensi terhadap suatu system fluida, variable berulang harus meliputi fluida, variable berulang harus meliputi keseluruhan dari m dimensi dasarnya. Walaupun keseluruhan dari m dimensi dasarnya. Walaupun bukan persyaratan mutlak, kerapatan massa, bukan persyaratan mutlak, kerapatan massa, sebuah kecepatak karakteristik dan sebuah sebuah kecepatak karakteristik dan sebuah panjang karakteristik harus dipilih sebagai panjang karakteristik harus dipilih sebagai variable berulang agar dapat menghasilkan variable berulang agar dapat menghasilkan gugus-gugus tanpa dimensi yang sama.gugus-gugus tanpa dimensi yang sama.

2.2. Untuk system fluida, gugus-gugus paling Untuk system fluida, gugus-gugus paling bermakna akan terjadi bila variable-variabel bermakna akan terjadi bila variable-variabel berulang dipilih sedemikian rupa sehingga berulang dipilih sedemikian rupa sehingga salah satunya mewakili karakteristik geometri salah satunya mewakili karakteristik geometri sebuah menyatakan sifat fluida, dan sebuah sebuah menyatakan sifat fluida, dan sebuah lagi menyatakan karakteristik aliran.lagi menyatakan karakteristik aliran.

3.3. Variable tidak bebas tidak boleh digunakan Variable tidak bebas tidak boleh digunakan sebagai variable berulang.sebagai variable berulang.

Apabila variable berulang sudah dipilih, masing-masing Apabila variable berulang sudah dipilih, masing-masing dari setiap besaran asli yang masih ada dikombinasikan dari setiap besaran asli yang masih ada dikombinasikan dengan variable-variabel tersebut menjadi sebuah dengan variable-variabel tersebut menjadi sebuah gugus (pi).gugus (pi).

Misalkan kita memilih variable berulang : D,Misalkan kita memilih variable berulang : D,ρρ,V,V

ΠΠ1 akan mengandung D, 1 akan mengandung D, ρρ,V dan ∆ P/L,V dan ∆ P/L

ΠΠ2 akan mengandung D, 2 akan mengandung D, ρρ,V dan K,V dan K

ΠΠ3 akan mengandung D, 3 akan mengandung D, ρρ,V dan μ,V dan μ

Setiap besaran dalam masing-masing gugus Setiap besaran dalam masing-masing gugus akan akan

mencul sampai pangkat satu, dan yang lain mencul sampai pangkat satu, dan yang lain akan akan

muncul sampai pangkat tidak diketahui, yang muncul sampai pangkat tidak diketahui, yang dapat dapat

ditentukan sebagai berikut :ditentukan sebagai berikut :

OOOZy

x

zyx

TFLL

F

T

L

L

FT

L

PVD

34

2

1

L

Agar menjadi tanpa dimensi, harga-harga X, Y, Z Agar menjadi tanpa dimensi, harga-harga X, Y, Z didapatkan dengan mempersamakan eksponen- didapatkan dengan mempersamakan eksponen- eksponen F,L,T dengan nol. eksponen F,L,T dengan nol.

Untuk contoh ini pesamaan-persamaan itu adalah :Untuk contoh ini pesamaan-persamaan itu adalah : Untuk F (gaya) Untuk F (gaya) 0x0x + 1y + + 1y + 0z 0z + 1 + 1 = 0 I= 0 I Untuk L (panjang) 1x - 4y + 1z – 3 Untuk L (panjang) 1x - 4y + 1z – 3 = 0 II= 0 II Untuk T (waktu) Untuk T (waktu) 0x0x+ 2y – 1z + 0+ 2y – 1z + 0 = 0 III= 0 III Dari sini kita mendapatkan X = 1, y = -1, Z = -2Dari sini kita mendapatkan X = 1, y = -1, Z = -2

L

PVD

21

1

21 V

D

L

P

Demikian pula untuk π2

dan π3

dengan cara yang sama :

VD

DK

3

2

Minyak dengan gravitasi jenis (S= 0.86) Minyak dengan gravitasi jenis (S= 0.86) dipompa melalui pipa horizontal dipompa melalui pipa horizontal berdiameter 5 cm sepanjang 300 m berdiameter 5 cm sepanjang 300 m dengan laju 1.18 liter/detik. Bila perbedaan dengan laju 1.18 liter/detik. Bila perbedaan tekanannya sebesar 212 K Pascal, berapa tekanannya sebesar 212 K Pascal, berapa viscositas dari minyak tersebut. viscositas dari minyak tersebut.

R0

4ρgsinθ*P-

8

πR πrdr 2Q

V

Penyelesaian:Penyelesaian:

Pipa horizontal Pipa horizontal Sin Sin θθ = 0 = 0

4

4

R

Q8 gsinP* ρgsinθ*P-

8

πRQ

2^/ 0918.03008X0.00118x

4^025.021200014.3mNdt

xx

4R

Q8 P*

QL8

R*P

4