MATRIKS

Definisi

Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan –

bilangan real yang tersusun atas baris dan

kolom

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

m baris

n kolom

di katakan matriks A berukuran m x n

Baris ke-i dari A adalah :

• Kolom ke-j dari A adalah :

• Matriks A dapat juga ditulis :

A = [aij]

• Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur sangkar, dan bilangan a11, a22, …, ann disebut dengan diagonal utama

[ ] )1(21 miaaa inii

)1(2

1

nj

a

a

a

mj

j

j

Jenis – jenis Matriks

1. Matriks Diagonal

Matriks b.s. dengan elemen diluar diagonal utama adalah nol, yaitu

aij = 0 untuk i j

2. Matriks Skalar

Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah sama, yaitu

aij = c untuk i = j dan aij = 0 untuk i j

3. Matriks Segitiga Atas

Matriks b.s. dengan elemen dibawah diagonal utama adalah nol

Jenis – Jenis Matriks 4. Matriks Segitiga Bawah

Matriks b.s. dengan elemen diatas

diagonal utama adalah nol

5. Matriks Identitas

Matriks diagonal dengan elemen pada

diagonal utama adalah 1 , yaitu

aij = 1 untuk i = j dan aij = 0 untuk i j

6. Matriks Nol

Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.

Operasi Matriks

Persamaan Dua Matriks

Penjumlahan Matriks

Perkalian Skalar dan Matriks

Transpose Matriks

Perkalian Matriks

Persamaan Dua Matriks

Definisi

Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika :

aij = bij, 1 i m, 1 j n

yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama.

• Contoh :

Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5

==

zy

x

w

BdanA

4

42

21

540

432

121

Penjumlahan Matriks

Definisi

Jika A = [aij] dan B = [bij] adalah matriks ukuran m x n, maka jumlahan A dan B adalah matriks C = [cij] ukuran m x n dengan

cij = aij + bij

Contoh

Diberikan Matriks A dan B adalah

maka

=312

421A =

131

421B

=+423

001BA

Perkalian Skalar & Matriks

Definisi

Jika A = [aij] ukuran m x n dan r adalah sebarang skalar real, maka perkalian

skalar rA adalah matriks B = [bij] ukuran m x n dengan

bij = r aij

• Contoh

Jika r = -3 dan

maka

[ ]421=A

[ ]1263=rA

Transpose Matriks

Definisi

Jika A = [aij] adalah matriks ukuran m x n, maka

transpose dari A adalah matriks

At = [aijt] ukuran n x m dengan

aijt = aji

• Contoh

maka

=250

324A

=

23

52

04

tA

Perkalian Matriks Definisi

Jika A = [aij] ukuran m x p dan B = [bij] ukuran p x n, maka perkalian A dan B, dinotasikan AB, adalah matriks C = [cij] ukuran m x n dimana

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj

Ilustrasi

rowi(A)colj(B) = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj = cij

mpmm

ipii

p

p

aaa

aaa

aaa

aaa

21

21

22221

11211

rowi(A)

pnpjpp

nj

nj

bbbb

bbbb

bbbb

21

222221

111211

Colj(B)

=

mnmm

ij

n

n

ccc

c

ccc

ccc

21

22221

11211

Latihan Soal

1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut:

Jika mungkin, maka hitunglah

a. AB d. CB + D g. BA + FD

b. BA e. AB + DF h. A(BD)

c. A(C + E) f. (D + F)A

=204

321A =

51

42

13

B =

211

543

132

C =21

32D

=

243

512

301

E =14

32F

Latihan

2. Sebuah perusahaan membuat dua macam

product, P dan Q, dari setiap dua tanaman, X dan Y. Polutan sulfur dioxide, nitric oxide, dan materi khusus juga dihasilkan dalam proses pembuatan product tersebut. Jumlah polutan – polutan yang dihasilkan tersebut diberikan (dalam kg) dalam bentuk matriks berikut :

=400250200

150100300A

Sulfur

dioxide

Nitric

oxide

Materi

khusus

Product P

Product Q

Latihan

Pemerintah setempat mensyaratkan polutan – polutan tersebut harus didaur ulang. Biaya untuk itu per kg adalah (dalam dollar) diberikan dalam matriks B berikut :

apa interpretasi dari hasil perkalian AB bagi perusahaan ?

=

1015

97

128

B

Tanaman X Tanaman Y

Sulfur dioxide

Nitric oxide

Materi khusus

Sampai jumpa pada pertemuan

berikutnya