Pengertian Eliminasi GaussEliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi 

matriks yang lebih sederhana. Metode Eliminasi Gauss adalah salah satu cara yang paling awal dan banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier. Cara ini ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss.   Prosedur   penyelesaian   dari  metode   ini   adalah dengan  melakukan   operasi   baris   sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian   persamaan   linear   dengan   menggunakan   matriks.   Caranya   dengan   mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Secara umum, sistem persamaan linier adalah sebagai berikut:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

  :       :            :               = :an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

          Dalam  mencari solusi   suatu   sistem   persamaan   linear   dengan  metode   eliminasi   gauss,bentuk operasi matrik di atas dimanipulasi menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n+1) seperti berikut ini :    Selanjutnya  adalah proses  triangularisasi  dan substitusi-mundur  dalam operasi  matrik   terhadap sistem persamaan linear sebagai contoh yang terdiri dari empat persamaan matematika,yang sudah diubah kedalam bentuk matrik seperti dibawah ini :

       Lalu kita dapat membuat matrik augment sebagai berikut :    Kemudian kita lakukan operasi triangularisai terhadap matrik augment, dimulai dari kolom pertama, yaitu :     Lalu dilanjutkan ke kolom berikutnya:     Sebelum   dilanjutkan   ke   substitusi   mundur,   perhatikan   posisi   masing-masing   elemen   matrik augment berikut:

       2. Ciri-ciri Eliminasi Gauss      a. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)b. Baris nol terletak paling bawah c. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnyad. Dibawah 1 utama harus nolContoh :  Berikut contoh penyelesaian persamaan linearDiketahui persamaan linear sebagai berikut:

x + 2y + z = 6x + 3y + 2z = 92x + y + 2z = 12

Tentukan nilai x, y dan z!Jawab:Ubah   persamaan   linear   ke   dalam   bentuk  matriks, operasikan  matriks   tersebut   seperti   berikut:                 b1 x 1 untuk merubah a11 menjadi 1                b2 – b1 untuk merubah a21 menjadi 0                b3 – 2b1 untuk merubah a31 menjadi 0                b3 + 3 b2 untuk merubah a32 menjadi 0                b3 x ½ untuk merubah a33  menjadi 1 ( matriks menjadi Eselon- baris)Sehingga didapat 3 persamaan linear baru yaitu :

        x + 2y + z = 6                y + z = 3                      z = 3                            kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan                y + z = 3                y + 3 = 3                      y = 0        x+ 2y + z = 6         x + 0 + 3 = 6                      x = 3jadi, nilai x = 3 , y = 0  dan z = 3

3. Algoritma Eliminasi GaussSecara umum,sistem persamaan linear adalah sebagai berikut:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 :                :        :         :    =   :an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

       Algoritma dasar metode eliminasi gauss adalah sebagai berikut:a.  Ubahlah   sistem   persamaan   linear   tersebut   menjadi matrik   augment,   yaitu   suatu   matrik   yang 

berukuran n x (n + 1).   Jelas terlihat bahwa elemen-elemen yang menempati kolom terakhir  matrik augment   adalah   nilai   dari bi;   yaitu ai,n+1   = bidimana i =   1, 2, ..., n. b.   Periksalah  elemen-elemen  pivot.  Apakah  ada  yang  bernilai   nol?  Elemen-elemen  pivot  adalah elemen-elemen   yang   menempati diagonal suatu   matrik,   yaitu a11, a22,..., ann atau   disingkat aii. Jika aii _= 0, bisa dilanjutkan ke langkah no.3. Namun, jika ada elemen diagonal yang bernilai nol, aii = 0, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukar posisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (Pi) ↔ (Pj)  dimana j = i + 1, i + 2, ..., n,   sampai  elemen diagonal  matrik  menjadi  tidak nol, aii ≠ 0.c.   Proses triangularisasi. 

d.   Hitunglah nilai xn  e.   Lakukanlah proses substitusi mundur untuk memperoleh xn-1 , xn-2 , ....,x2 , x1

Demikianlah algoritma dasar metode eliminasi gauss. Selanjutnya algoritma dasar tersebut di rinci lagi sebelum dapat diterjemahkan kedalam bahasa pemrograman komputer.Eliminasi GaussPenjelasanEliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut. Kelebihan dan KekuranganMetode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama eliminasi, dengan beberapa tahapKeuntungan :-          menentukan apakah sistem konsisten-          menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka-          ebih mudah untuk memecahkankelemahan :-          memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimal

Contoh Soal :Diketahui persamaan linearx + 2y + z = 6x + 3y + 2z = 92x + y + 2z = 12Tentukan Nilai x, y dan zJawab:Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:1      2       1           61       3     2         92       1     2        12Operasikan Matriks nya:1     2     1     60     1     1     32     1     2     1                 Baris ke-2 dikurangi baris ke-1 

 

1     2     1    60     1     1     30    -3     0     0                 Baris 

ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1 

 

1     1    1     60     1     1    30     0     3    9                   Baris 

ke-3 ditambah 3 kali baris ke-2 

 

1     2    1     60     1    1     30    0    1      3                   Baris 

ke-3 dibagi dengan 3 Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitux + 2y + z = 6y + z = 3z = 3  Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:y + z = 3y + 3 = 3y = 0x + 2y + z = 6x + 0 + 3 = 6x = 3Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3 

 

   

 

   

 

   

Eliminasi Gauss-JordanPenjelasanSalah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati CarlFriedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887.Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon (row echelon form).Selain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan ini dapatMetode Eliminasi Gauss : metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkanatau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable yang bebas.Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks   A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi Pengubahan dilakukan dengan membuat matriks yang elemen-elemennya adalah koefisien-koefisien dari sistem persamaan linier..Sedangkan langkah-langkah pada operasi baris elementer yaitu :1.Menukar posisi dari 2 baris.Ai ↔Aj

2.Mengalikan baris dengan sebuah bilangan skalar positif.Ai = k*Aj

3.Menambahkan baris dengan hasil kali skalar dengan baris lainnyaAlgoritma Metode Eliminasi Gauss adalah:1. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n2. Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A3. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai ai,i =0 :Bila ya :pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k ,i ≠0, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak : lanjutkan4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n Kelebihan dan Keuntungan :Mengubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. merupakan variasi dari eliminasi gauss dengan kebutuhan dapat mgenyelesaikan matriks invers Contoh soal:1.      Diketahui persamaan linearx + 2y + 3z = 32x + 3y + 2z = 32x + y + 2z = 5Tentukan Nilai x, y dan zJawab:Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 11     2     3    30    -1   -4   -30    -3   -4   -1       Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1

1     2    3    30    -1   -4   -40     0    8    8       Baris ke-3 dikurangi 3 kali baris ke-21     2     3     30     1     4     30     0     1     1     Baris ke-3 dibagi 8 dan baris ke-2 dibagi -11     2     3     30     1     0    -10     0     1     1     Baris ke-2 dikurangi 4 kali baris ke-31     2     0    00     1     0   -10     0     1    1       Baris ke-1 dikurangi 3 kali baris ke-31     0     0     20     1     0    -10         0      1     1Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris keMaka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 12.      A  =   3   1                     5   2     Tentukan Nilai dari A-1?Jawab:A-1 =                1               2            -1                (3)(2) – (5)(1)       -5           3         =           1               2      -1                6 – 5            -5     3 =   1         2     -1     1         -5     3