Matriks dan Transformasi Linier

Dra. Dwi Achadiani, M.Kom

Vektor• Definisi:

Vektor adalah besaran yang mempunyai arah dan besar, contoh: kecepatan, gaya, percepatan.

● ●

• Lambang : a : vektor a

besar arah

Titik awalTitik ujung

Operasi vektor dalam bidang Operasi penjumlahan dua vektor • Definisi:

Jika a dan b dua vektor dengan titik awal yang sama, maka jumlah a dan b ( a + b ) adalah vektor yang merupakan diagonal jajaran genjang .

a

b

a + b

Sifat penjumlahan vektor

komutatif)(hukum.abba5.adariinversadalahbmaka0,baa4.

a0a3.)assosiatif).(Hukumcb(ac)ba(2.

2R)ba(,2Rb,2Ra1.

Operasi perkalian vektor dengan bil rielSifat perkalian vektor dengan bil riel

bab1)(a9.0αmaka,0aα8.

aa1)(7.00α;0a06.

bβaαaβ)(α5.bβaα)baα(4.

aa1.3.aαβ)aα(β2.

2Raα,2RaR,α1

Kombinasi Linier

Definisi:Jika na,........3a,2a,1a adalah vektor-vektor

di R²(atau di ), maka:

dinamakan kombinasi linier dari

3R nanα.............2a2α1a1α

na,,........3a,2a,1a

Panjang Vektor (Norm)

Definisi:

Panjang vektor di didefinisikan :nR2nx.........2

2x21xx

Sudut antara dua vektor Sudut θ antara dua vektor di R², jika

memenuhi persamaan berikut: , dengan

ydanx

yxyxcosθ

n

1i iyi

xyx

Perkalian Silang Definisi:Jika 2 vektor di , maka:

bdana 3R

k1

b2

a2

b1

aj3

b1

a1

b3

ai2

b3

a3

b2

abxa

:maka

k3

bj2

bi1

bxk3

aj2

ai1

abxa

absinθbxa

i panjangnya 1 unit dan searah sumbu x

j

kj

panjangnya 1 unit dan searah sumbu y

panjangnya 1 unit dan searah sumbu z

x

y

zk

i

Maka vektor dapat ditulis menjadi kajaiaazyx

• Jarak dua titik yang berada pada dua ujung vektor

Maka jarak antara titik A ke titik B adalah d, dengan: 2

3a

3b

2

2a

2b

2

1a

1bd

)a,a,a(A321

)b,b,b(B321

x

y

zd

Bergantung Linier dan Bebas Linier

Vektor- vektor : , apabila

dengan tidak semua berharga nol, maka

vektor disebut bergantung linier, sedangkan apabila

semua berharga nol maka vektor disebut bebas

linier.

na.........,,.........3a,2a,1a

0n

1i iaiα iα

iα

Vektor pembentuk ruang vektorDefinisi: suatu himpunan vektor-vektor

disebut sistem pembentuk ruang vektor V, ditulis V= bila setiap dapat ditulis sbg kombinasi linier dari }u,...,u,u{

m21

}u,...,u,u{Lm21

}u,...,u,u{m21

Vv

• Dimensi dan Basis

DimensiDefinisi:

suatu vektor V dikatakan berdimensi n bila dapat diketemukan suatu himpunan n vektor-vektor V yang bebas linierAtau : maksimum banyaknya vektor-vektor V yang bebas linier .

BasisDefinisi:

Setiap sistem pembentuk yang bebas linier disebut basis ruang vektor tersebut.

MATRIKS

Definisi: Matriks adalah sekumpulan bilangan yang

disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom.

mna......m2am1a........................... 2na......22a21a

1na......12a11a

Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n

Operasi Matriks1. Operasi Kesamaan

Dua matriks A dan B disebut sama, jika:a) A dan B sejenisb) Setiap unsur yang seletak sama.

1321C,

1321B,

1321A

A = B, A ≠ C, B ≠ C

2.Penjumlahan dua matriksDefinisi: Jumlah dua matriks A dan B yang sejenis adalah sebuah matriks C yang sejenis pula dengan unsur-unsur , dimana terdapat hubungan:

. ijc

ijbijaijc

ijcC,ijbB,ijaA

9152C,

5142B,

4210A

13362-

9152

4210C A

9152-

5142

4210BA

Sifat-sifat penjumlahan:Komutatif : A + B = B + A

Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C

3.Perkalian dengan skalar ( )Perkalian sebuah matriks dengan skalar ( )

maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan dengan skalar ( ).

, maka A = .

ijaA

ija

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar1. (A + B) = A + B2. ( + β ) A = A + β A3. (β A) = β A

4. Perkalian dua matriks Definisi:Dua matriks A (m x n), dan B (p x q) didefinisikan hasil kalinya, jika n = p , maka hasilkali adalah matriks C (m x q) dengan unsur-unsur:

n

1k kjb

ika

ijc

njb

ina.......

j3b

3ia

j2b

2ia

j1b

1ia

ijc

Catatan:• Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika

banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris matriks B.

• Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyaknya baris matriks Adan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B.

• Pada umumnya AB ≠ BAContoh:

20C,432

B,321A

BxA

1 x 3 3 x 1 1 x 1

iterdefinis tdkBxAC

954100532

10532

954100532

B,10532A

2 x 2 3 x 3

Macam-macam matriks1. Matriks bujursangkar

Definisi: matriks bujursangkar adalah matriks dimana banyaknya baris = banyaknya kolom

2. Matrik satuan/ matriks identitas• Matriks bujur sangkar• Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1

954100532

B,10532

A

Contoh :

100010001

3I,

1001

2I

A.I = I.A

I.I = I

3. Matriks segitiga

• Matriks bujursangkar

• Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol

Contoh :

8701

B,900740321

A

4.Matriks Tranpose

• Tidak perlu bujursangkar

• Setiap baris ditukar tempat dengan kolom

Contoh :

172054

B~,107524

B

321A~,321

A

Sifat-sifat matriks transfose

TTT

TT

TT

TTT

AB4.(AB)A)(A3.

A)2.(ABAB)1.(A

λλ

Contoh

TTT

TT

TT

T

AB(AB)

34120132

021AB

021B,120132

A

34(AB)34

AB

021

B,1 0 32 1 2

A

5. Matriks simetris

Matriks A disebut simetris apabila

• Matriks Bujur sangkar

Contoh

A~A

870732021

3221,

6. Matriks skew simetris

Matriks A disebut matriks skew simetri jika

• Bujur sangkar

Contoh

A~A

070702020

,0220

Matriks Skew simetris , maka

Untuk I = j maka

Jadi diagonal utama matriks skew simetris = 0

A~A ji

aij

a

iia

iia 0

ii2a

7. Matriks Diagonal• Matriks bujursangkar• Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama

500030001

9. Matriks Nol• Tidak perlu matriks bujur sangkar • Semua unsurnya nol

000000

A.0 = 0

A + 0 = A

A.B = 0, apakah A = 0 ?atau B = 0? atau kedua-duanya nol

Dalil:

Sembarang matriks bujur sangkar dapat ditulis sebagai jumlahan dua matriks yang satu simetris yang lain skew simetris

000

4020

0

4020

0

02

0003-42

AxB

2B,

0003-42

A

simetrisskewQQ~Q

AA~21A

~~A~21Q~,A~A

21Q

simetrisP,P~P

AA~21A

~~A~21P~,A~A

21

2A~

2AP

2A~

2AQ,

2A~

2AP

2A~

2A~

2A

2AA

Bukti:

0121101

2110

02102323121021

0232121230

0121

0221231

2111

02102323121021

0232121230

0121

22

010332101

031130021

/

//

////

////

//

//

////

////

/

Q

AAP

AA

Matriks Simetris

Matriks Skew Simetris

Cek

A

QP

031100021

0121101

2110

0221231

2111

/

/

/

/

Transformasi (operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Matriks

Transformasi Elamenter pada matriks adalah: Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan

baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis H (A) Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i

dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis K (A) Memperkalikan baris ke i dengan skalar ≠ 0, ditulis

H (A) Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis K (A) Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis

H (A)

ij

ij

i)(

i)(

ij)(

Menambah kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis

K (A)

Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalam satu langkah : Menambah kali baris ke i dengan

kali baris ke j, ditulis H (A)

Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4)

Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi baris elementer (OBE)

)(

ij

1

2

i)(

1

j)(

2

Contoh:

2- 4- 2 2-4 4 1 3

12 0 2 8

0 2- 2 2-1 2 1 34 0 2 8

0 2- 2 2-4 0 2 81 2 1 3

1 0 3 12 0 1 41 2 1 3

tersebut. B Carilah .

elementer sitransforma sederetan

dihasilkan yangB matrik carilah1 0 3 12 0 1 41 2 1 3

A

(1)41K

(2)3K

HH

H

(2)3

K ,(1)

41K

,12

H ,(2)

2H ,

(-1)31

H

121

31

22

)(

)(

,

Invers Suatu Transformasi Linier

Jika suatu transformasi elementer adalah:• A = H (B) = H (B)

• A = K (B) = K (B)

• A = H (B) = H (B)

• A = K (B) = K (B)

• A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B)

)(

ij ij

ij

-1

ij

i

-1

i1/-1

i)( -1

i1/

ij)( -1

ij

)( ij

)( -1ij

)(

A110222112604

110226042211

111326042211

131124062112

132124062122

A..CarilahK,K,H,H :turut-berturut elementer sitransforma

sederetan dengan A dari diperoleh,132124062122

B

12H1)(31H

13K(1/2)2K

(2)

213

(1)

3112

Contoh

Penggunaan OBE

• Mencari Rank Matriks

Adalah jumlah maksimum baris/kolom yang bebas linier ( tidak semua unsur dalam suatu baris/kolom nol)

• Mecari invers matriks

( A:I ) ( I:A )-1OBE

Contoh

344212132

A dari matriks rank 1.Cari2)(

31

1)(21

HH

31022-0132 )1(

2)2(

3H

40022-0132

)2(2

)1(3H

00022-0132

Maka rank matriks A = 2

2. Carilah invers dari matriks

2)(21

4)(32

H

H

1-

100:814010:31-2001:201

)A:(I I):(A bentuk81431-2201

11 6 1 042211

A,11 6 :1 001 04:01 02211:001

11 6-:1-001-04:01-02211:001

11 6-: 1-00012-:11-0001:201

H

104-:010012-:11-0001:201

100:814010:31-2001:201

1H

H

H

H(1)

32

H

H

1)(3(-1)

2

1)(23

(2)13

2)(21

4)(32