Matriks dan Transformasi Linier

Dra. Dwi Achadiani, M.Kom

Vektor

• Definisi:Vektor adalah besaran yang mempunyai arah dan besar, contoh: kecepatan, gaya, percepatan.

● ●

• Lambang : a : vektor a

besar arah

Titik awalTitik ujung

Operasi vektor dalam bidang Operasi penjumlahan dua vektor • Definisi:

Jika a dan b dua vektor dengan titik awal yang sama, maka jumlah a dan b ( a + b ) adalah vektor yang merupakan diagonal jajaran genjang .

a

b

a + b

Sifat penjumlahan vektor

komutatif)(hukum.abba5.adariinversadalahbmaka0,baa4.

a0a3.)assosiatif).(Hukumcb(ac)ba(2.

2R)ba(,2Rb,2Ra1.

Operasi perkalian vektor dengan bil riel

Sifat perkalian vektor dengan bil riel

bab1)(a9.0αmaka,0aα8.

aa1)(7.00α;0a06.

bβaαaβ)(α5.bβaα)baα(4.

aa1.3.

aαβ)aα(β2.

2Raα,2RaR,α1

Kombinasi Linier

Definisi:

Jika na,........3

a,2

a,1

a adalah vektor-vektor

di R²(atau di ), maka:

dinamakan kombinasi linier dari

3R nanα.............2

a2

α1

a1

α

na,,........3

a,2

a,1

a

Panjang Vektor (Norm)

Definisi:

Panjang vektor di didefinisikan :nR2nx.........2

2x2

1xx

Sudut antara dua vektor

Sudut θ antara dua vektor di R², jika memenuhi persamaan berikut:

, dengan

ydanx

yxyx

cosθ

n

1i iyi

xyx

Perkalian Silang

Definisi:

Jika 2 vektor di , maka:

bdana 3R

k1

b2

a2

b1

aj3

b1

a1

b3

ai2

b3

a3

b2

abxa

:maka

k3

bj2

bi1

bxk3

aj2

ai1

abxa

absinθbxa

i panjangnya 1 unit dan searah sumbu x

j

kj

panjangnya 1 unit dan searah sumbu y

panjangnya 1 unit dan searah sumbu z

x

y

z

k

i

Maka vektor dapat ditulis menjadi kajaiaazyx

• Jarak dua titik yang berada pada dua ujung vektor

Maka jarak antara titik A ke titik B adalah d, dengan: 2

3a

3b

2

2a

2b

2

1a

1bd

)a,a,a(A321

)b,b,b(B321

x

y

z

d

Bergantung Linier dan Bebas Linier

Vektor- vektor : , apabila

dengan tidak semua berharga nol, maka

vektor disebut bergantung linier, sedangkan apabila

semua berharga nol maka vektor disebut bebas

linier.

na.........,,.........3

a,2

a,1

a

0n

1i ia

iα

iα

iα

Vektor pembentuk ruang vektor

Definisi:

suatu himpunan vektor-vektor

disebut sistem pembentuk ruang vektor V, ditulis V= bila setiap

dapat ditulis sbg kombinasi linier dari }u,...,u,u{m21

}u,...,u,u{Lm21

}u,...,u,u{m21

Vv

• Dimensi dan Basis

Dimensi

Definisi:

suatu vektor V dikatakan berdimensi n bila dapat diketemukan suatu himpunan n vektor-vektor V yang bebas linier

Atau : maksimum banyaknya vektor-vektor V yang bebas linier .

Basis

Definisi:

Setiap sistem pembentuk yang bebas linier disebut basis ruang vektor tersebut.

MATRIKS

Definisi:

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom.

mna......m2

am1

a........................... 2na......

22a

21a

1na......

12a

11a

Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n

Operasi Matriks

1. Operasi Kesamaan

Dua matriks A dan B disebut sama, jika:

a) A dan B sejenis

b) Setiap unsur yang seletak sama.

1321C,

1321B,

1321A

A = B, A ≠ C, B ≠ C

2.Penjumlahan dua matriks

Definisi:

Jumlah dua matriks A dan B yang sejenis adalah sebuah matriks C yang sejenis pula dengan unsur-unsur , dimana terdapat hubungan:

. ij

c

ijb

ija

ijc

ij

cC,ij

bB,ij

aA

9152C,

5142B,

4210A

13362-

9152

4210C A

9152-

5142

4210BA

Sifat-sifat penjumlahan:

Komutatif : A + B = B + A

Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C

3.Perkalian dengan skalar ( )Perkalian sebuah matriks dengan skalar ( )

maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan dengan skalar ( ).

, maka A = .

ij

aA

ija

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar

1. (A + B) = A + B

2. ( + β ) A = A + β A

3. (β A) = β A

4. Perkalian dua matriks

Definisi:

Dua matriks A (m x n), dan B (p x q) didefinisikan hasil kalinya, jika n = p , maka hasilkali adalah matriks C (m x q) dengan unsur-unsur:

n

1k kjb

ika

ijc

njb

ina.......

j3b

3ia

j2b

2ia

j1b

1ia

ijc

Catatan:• Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika

banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris matriks B.

• Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyaknya baris matriks Adan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B.

• Pada umumnya AB ≠ BAContoh:

20C,432

B,321A

BxA

1 x 3 3 x 1 1 x 1

iterdefinis tdkBxAC

954100532

10532

954100532

B,10532A

2 x 2 3 x 3

Macam-macam matriks

1. Matriks bujursangkar

Definisi: matriks bujursangkar adalah matriks dimana banyaknya baris = banyaknya kolom

2. Matrik satuan/ matriks identitas• Matriks bujur sangkar• Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1

954

100

532

B,105

32A

Contoh :

100

010

001

3I,

10

01

2I

A.I = I.A

I.I = I

3. Matriks segitiga

• Matriks bujursangkar

• Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol

Contoh :

87

01B,

900

740

321

A

4.Matriks Tranpose

• Tidak perlu bujursangkar

• Setiap baris ditukar tempat dengan kolom

Contoh :

172

054B~,

10

75

24

B

321A~

,

3

2

1

A

Sifat-sifat matriks transfose

TTT

TT

TT

TTT

AB4.(AB)

A)(A3.

A)2.(A

BAB)1.(A

λλ

Contoh

TTT

TT

TT

T

AB(AB)

34

12

01

32

021AB

021B,

12

01

32

A

34(AB)3

4AB

0

2

1

B,1 0 3

2 1 2A

5. Matriks simetris

Matriks A disebut simetris apabila

• Matriks Bujur sangkar

Contoh

A~

A

870

732

021

32

21,

6. Matriks skew simetris

Matriks A disebut matriks skew simetri jika

• Bujur sangkar

Contoh

A~A

070

702

020

,02

20

Matriks Skew simetris , maka

Untuk I = j maka

Jadi diagonal utama matriks skew simetris = 0

A~

A ji

aij

a

iia

iia 0

ii2a

7. Matriks Diagonal• Matriks bujursangkar• Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama

500

030

001

9. Matriks Nol• Tidak perlu matriks bujur sangkar • Semua unsurnya nol

000

000

A.0 = 0

A + 0 = A

A.B = 0, apakah A = 0 ?atau B = 0? atau kedua-duanya nol

Dalil:

Sembarang matriks bujur sangkar dapat ditulis sebagai jumlahan dua matriks yang satu simetris yang lain skew simetris

00

0

40

20

0

40

20

0

02

000

3-42AxB

2

B,000

3-42A

simetrisskewQQ~Q

AA~21

A~~A~

21

Q~,A~A21

Q

simetrisP,P~P

AA~21

A~~A~

21

P~,A~A21

2A~

2A

P

2A~

2A

Q,2A~

2A

P

2A~

2A~

2A

2A

A

Bukti:

0121

101

2110

0210

23231

21021

02321

21230

0121

0221

231

2111

0210

23231

21021

02321

21230

0121

22

010

332

101

031

130

021

/

/

/

//

//

//

//

/

/

/

/

//

//

//

//

/

Q

AAP

AA

Matriks Simetris

Matriks Skew Simetris

Cek

A

QP

031

100

021

0121

101

2110

0221

231

2111

/

/

/

/

Transformasi (operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Matriks

Transformasi Elamenter pada matriks adalah: Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan

baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis H (A) Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i

dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis K (A) Memperkalikan baris ke i dengan skalar ≠ 0, ditulis

H (A) Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis K (A) Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis

H (A)

ij

ij

i)(

i)(

ij)(

Menambah kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis

K (A)

Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalam satu langkah : Menambah kali baris ke i dengan

kali baris ke j, ditulis H (A)

Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4)

Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi baris elementer (OBE)

)(

ij

1

2

i)(

1

j)(

2

Contoh:

2- 4- 2 2-

4 4 1 3

12 0 2 8

0 2- 2 2-

1 2 1 3

4 0 2 8

0 2- 2 2-

4 0 2 8

1 2 1 3

1 0 3 1

2 0 1 4

1 2 1 3

tersebut. B Carilah .

elementer sitransforma sederetan

dihasilkan yangB matrik carilah

1 0 3 1

2 0 1 4

1 2 1 3

A

(1)41

K

(2)3

K

HH

H

(2)3

K ,(1)

41K

,12

H ,(2)

2H ,

(-1)31

H

121

31

22

)(

)(

,

Invers Suatu Transformasi Linier

Jika suatu transformasi elementer adalah:• A = H (B) = H (B)

• A = K (B) = K (B)

• A = H (B) = H (B)

• A = K (B) = K (B)

• A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B)

)(

ij ij

ij

-1

ij

i

-1

i1/-1

i)( -1

i1/

ij)( -1

ij

)( ij

)( -1

ij)(

A

1102

2211

2604

1102

2604

2211

1113

2604

2211

1311

2406

2112

1321

2406

2122

A..CarilahK,K,H,H :turut-berturut elementer sitransforma

sederetan dengan A dari diperoleh,

1321

2406

2122

B

12H1)(

31H

13K(1/2)

2K

(2)

213

(1)

3112

Contoh

Penggunaan OBE

• Mencari Rank Matriks

Adalah jumlah maksimum baris/kolom yang bebas linier ( tidak semua unsur dalam suatu baris/kolom nol)

• Mecari invers matriks

( A:I ) ( I:A )-1

OBE

Contoh

344

212

132

A dari matriks rank 1.Cari2)(

31

1)(21

H

H

310

22-0

132 )1(2

)2(3H

400

22-0

132)2(

2)1(

3H

000

22-0

132

Maka rank matriks A = 2

2. Carilah invers dari matriks

2)(21

4)(32

H

H

1-

100:814

010:31-2

001:201

)A:(I I):(A bentuk

814

31-2

201

11 6

1 04

2211

A,

11 6 :1 00

1 04:01 0

2211:001

11 6-:1-00

1-04:01-0

2211:001

11 6-: 1-00

012-:11-0

001:201

H

104-:010

012-:11-0

001:201

100:814

010:31-2

001:201

1H

H

H

H

(1)32

H

H

1)(3

(-1)2

1)(23

(2)13

2)(21

4)(32