Matriks dan Ruang Vektor -...
Transcript of Matriks dan Ruang Vektor -...
Operasi Aljabar Matriks1
Matriks dan Ruang Vektor
Definisi : Bila A.B = B.A = I, maka A dan B saling inversNotasi invers A adalah A-1
Sifat-sifat Matriks InversJika A dan B non singular, atau invertibel, maka:A.B juga non singular
Matriks Invers
3
( . )AB 1 = B .A-1 -1
A matriks bujur sangkar, maka :
An = A.A.A. .. A n faktor
A 0 = I
A A An n = A = A .. A n faktor-1 -1 -1. .1 1
A 1 1 = A
4
p A A. . 1 1 = p = 1 / p A-1 -1
A An m. = A n + m
An m = A n.m
Contoh : A =1 23 4
A = ?-1
AA. 1 =I
5
Misalkan A
1 = a bc d
1 23 4
a bc d
= 1 00 1
1 00 1
= 4d3b 4c3a
2db 2ca
a+2c = 1 b+2d = 03a+4c= 0 3b+4d= 1a+2c =1 x2 2a+4c =23a+ 4c=0 x1 3a+4c =0 -
-a =2
a = -2
3a + 4c =04c = -3
6
4)2(3
43
ac
211
23c
b+2d =0 x2 2b+4d =03b+4d =1 x1 3b+4d =1 -
-b = -1
b = 1
7
1/2- 1/2 1 1 2-
= d cb a
= 1A
b + 2d = 0.
2d = -b
21
21
2
bd
atau8
A1 = 1/ A /
adj (A)
A
1 4 = 1
-2 - 2
-3 1
- 1
24 - 2-3 1
- 2 1 1 1 / 2 -1 / 2
Di mana |A|= 1x4-2x3 = -2
1. Rumus penyelesaian Matriks Invers
2.
3.
9
A A. 1 = I
-1OBE A / I I / A
A1 = 1/ A /
adj (A).
Matriks Transpose
Matriks transpose diperoleh dengan menukar elemen-elemen baris men-jadi elemen-elemen kolom dan se-baliknya.Contoh :
Transpose dari A adalah :
10
6 5 43 2 1
= A
6 35 24 1
- At
Sifat-sifat matriks transpose1. 2.3.4.
Contoh pembuktian sifat matriks transpose :
11
A = ttA A + B = A Bt t t
(p . A) = p . A t t
A . B = B At t t.
2 41 3
4 13 2
= BdanA
Maka
Pembuktian sifat 1:
Pembuktian sifat 2 :
12
2 14 3
4 31 2
= A t tBdan
At
4 13 2
4 31 2
= A tt
6 45 5
6 54 5
)(,6 54 5
2 41 3
4 13 2
= BAt
tBAmaka
13
6 45 5
2 14 3
4 31 2
= BA tt
Terbukti bahwa ttt BABA )(
Contoh pembuktian sifat 3 :
20 155 10
20 515 10
)5(,20 515 10
4 13 2
5=A 5t
tAmaka
20 155 10
4 31 2
5= A5 t
Terbukti bahwa
Contoh pembuktian sifat 4 :
14tt AA 5)5(
9 198 18
81 16362 126
2 41 3
4 13 2
=B. A
9 819 18
B).(Aaka tm
Terbukti bahwa
Sifat matriks bujur sangkar A
15
9 819 18
81 62163 126
4 31 2
2 14 3
.t tAB
ttt ABBA .).(
A + At adalah symetric A - At adalah skew symetric
3. A dapat ditulis sebagai jumlah dari suatu
matriks symetric B = 1/2 dan suatu
matriks skew symetric C = 1/2
Soal Latihan :
Tentukan Transpose Suatu Matriks dibawah ini !
16
)A + ( tA)A - ( tA
1.
2.
3.
17
.....:,1101 32021
=
tAmakaA
.....:,
01-42103-14-3 01-2-1-10
=
tAmakaA
.....:,1 0 32 1 2
=
tAmakaA
Matriks Eselon dan Matriks Eselon tereduksi
Definisi : disebut matriks tereduksi bila memenuhi :1. Bila ada baris yang tak semua nol, maka
elemen pertama yang 0 harus bilangan 12. Elemen pertama yang 0 pada baris
dibawahnya harus disebelah kanan 13. Baris yang semua nol harus pada bagian
bawah (baris-baris bawah)
18
A = adj m x m
Matriks Eselon (Eliminasi Gauss)
19
0000000000001000002100003210004321005432 1 06543 2 1
Matriks Eselon Tereduksi (Eliminasi Gauss Jordan):
20
0000000000001000000100000010000001000000 1 00000 0 1
Contoh Matriks Eselon
Contoh Matriks Eselon Tereduksi
21
1 2 40 1 70 0 1
1 0 00 1 00 0 1
Operasi Baris Elementer (OBE)
Definisi : bij = menukar baris ke i dengan baris ke jbi(p) = mengalikan baris ke i dengan pbij (p) = bi + p.bj
Ganti baris ke i dengan baris baru yang merupakan baris ke i ditambah dengan baris ke j yang dikalikan dengan p.
22
Contoh :23
1 44
4
2 34 5 60 5 7
b 5 6
1 2 30 5 7
b 4 5 63 6 90 5 7
b
b b b12 2(3)23
2 2 3
( )
.
4 5 63 26 370 5 7
b2 = 3 6 94b3 = 0 20 28
+3 26 37
Matriks Elementer dan sifat-sifatnya :
Definisi :A nxn disebut matriks elementer, bila dengan sekali melakukan OBE terhadap In di peroleh Anxn
Contoh :
24
I = 1 0 00 1 00 0 1
E = 1 0 00 5 00 0 1
3b2
( )5b
32 I =
1 0 00 1 00 0 1
( / )1 5
25 I = 1 0 00 1 00 0 1
= 0 1 01 0 00 0 1
3b12
E b3
12 I = 1 0 00 1 00 0 1
I = 1 0 00 1 00 0 1
bb b b
E = 1 0 00 1 00 4 1
332
3 3 2
( ).
44
bb b b
I = 1 0 00 1 00 0 1
32
3 3 23
( )( )
44
E = Matriks elementer, maka E.A = matriks baruyang terjadi bila OBE tersebut dilakukan padamatriks A
A OBE = E.A= [I ]AOBE
Contoh :26
2 14 3
4 32 1
-A 12b
I = 1 00 1
E = 0 11 02
b12
2 14 3
= 4 32 1
0 11 0
=E.A
Setiap Matriks Elementer adalah matriks tak singular.Invers matriks elementer juga matriks elementer.I OBE Emaka E-1 juga elementerCara penyelesaian invers matriks dengan OBE.
27
(AI) OBE (I A-1)
Contoh 1:
Solusi :
28
?:,4 32 1
= 1
AmakaA
)21(b(-3)b 2
21 13-2- 0012 1
104 3012 1
21
2111 0
12-0 1
21
2111 0
012 1 (-2)b12
Jadi29
21-
211
1 2- = 1A
Contoh 2 :
Solusi :
30
?,88268 266 2
1
BmakaB
(B I) OBE ( I B-1)
31
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)2(b
)2(b)2/1(b
31
211
1 0 0 8 8 20 1 0 6 8 2
0 0 1/2 3 3 1
1 0 0 8 8 20 1 0 6 8 20 0 1 6 6 2
32
)2(b
)3(b)2/1(b
32
122
1 0 1- 2 2 00 1/2 1/2- 0 1 00 0 1/2 3 3 1
1 0 1- 2 2 00 1 1- 0 2 00 0 1/2 3 3 1
)2/1(b
21
3 1 1- 0 2 0 0
0 1/2 1/2- 0 1 00 1- 2 3 0 1
)3(b
21
21
21
21
21
13 - 0 1 0 0
0 - 0 1 00 1- 2 3 0 1
33
10 0 0 2 0 -1 1 0 - 0
0 0 1 0 -
12
12
1212
12
I3 B-1
Jadi
21
21- 0
0 21
21-
211- 0 2
= B 1-
Matriks yang tidak mempunyai inversContoh :
34
3 2 11 1- 22 1 1
B
23
31
21
1 0 1- 1 1 00 1 2- 3- 3- 00 0 1 2 1 1
1 0 0 3 2 1
0 1 0 1 1- 20 0 1 2 1 1
)1(b
)2(bb
35
3 1 5- 0 0 01 0 1- 1 1 01- 0 2 1 0 1
0 1 2- 3- 3- 01 0 1- 1 1 00 0 1 2 1 1
)3(
)1(
32
12
b
b
Sebelah kiri bukan matriks identitas, maka Matriks B tak mempunyai invers.
Soal latihan :1) Cari invers matriks dari
2) Cari invers matriks dari
36
A = 2 1 1-1 2 1 1 -1 2
A = 3 4 -11 0 32 5 - 4