Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

28
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Karl Friedich Gauss (1977-1855) adalah seorang ahli matematika dan ilmuwan dari Jerman. Gauss yang kadang- kadang dijuluki “pangeran ahli matematika” disejajarkan dengan Isaac Newton dan Archimedes sebagai salah satu dari tiga ahli matematika yang terbesar yang pernah ada. Dalam seluruh sejarah matematika, tidak pernah ada seorang anak yang begitu cepat berkembang, sebagaimana Gauss, yang dengan usahanya sendiri menyelesaikan dasar aritmetika sebelum ia dapat berbicara. Pada suatu hari, saat ia bahkan belum berusia tiga tahun, melalui cara dramatis orang tuanya mulai menyadari kejeniusan Gauss. Wilhelm Jordan (1842-1899) adalah seorang insinyur Jerman yang ahli dalam bidang geodesi. Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya, Handbuch de Vermessungskunde (Buku panduan Geodesi) pada tahun 1988. Contoh Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauus- Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen- elemen lainnya nol). 1

Transcript of Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

Page 1: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Karl Friedich Gauss (1977-1855) adalah seorang ahli matematika dan

ilmuwan dari Jerman. Gauss yang kadang-kadang dijuluki “pangeran ahli

matematika” disejajarkan dengan Isaac Newton dan Archimedes sebagai salah

satu dari tiga ahli matematika yang terbesar yang pernah ada. Dalam seluruh

sejarah matematika, tidak pernah ada seorang anak yang begitu cepat

berkembang, sebagaimana Gauss, yang dengan usahanya sendiri menyelesaikan

dasar aritmetika sebelum ia dapat berbicara. Pada suatu hari, saat ia bahkan

belum berusia tiga tahun, melalui cara dramatis orang tuanya mulai menyadari

kejeniusan Gauss.

Wilhelm Jordan (1842-1899) adalah seorang insinyur Jerman yang ahli

dalam bidang geodesi. Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam

buku populernya, Handbuch de Vermessungskunde (Buku panduan Geodesi)

pada tahun 1988. Contoh Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear

dalam buku populernya

Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi

Gauss. Pada metode eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di

bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks

tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal

utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).

Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan

sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin

menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama.

Motede tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati Carl

Friedrich Gauss dan Whilhelm Jordan.

B. Tujuan

1. Mencari solusi system persamaan linier menggunakan metode eliminasi

Gauss

2. Mencari solusi system persamaan linier menggunakan metode eliminasi

Gauss-Jordan

1

Page 2: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

BAB II

PEMBAHASAN

Di dalam matematika, system persamaan linier adalah kumpulan persamaan-

persamaan linier yang memiliki variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari

sistem persamaan linier dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut:

a11x1+a12 x2+…+a1n xn=b1a21 x1+a22 x2+…+a2n xn=b2. . . .

. . . .

. . . .

am1 x1+am2 x2+…+ann xn=bn

Dengan mengunakan perkalian matriks, kita dapat menulis persamaan di atas

sebagai persamaan matriks

Ax=b

Yang dalam hal ini,

A=[ai , j] adalah matriks berukuran n x n

x=[x j] adalah matriks berukuran n x 1

b=[b j ] adalah matriks berukuran n x 1 (disebut juga vector kolom)

Yaitu:

[a11 a12 a13a21 a22 a23a31…an1

a32…an2

a33…an3

… a1n… a2n………

a3n…ann

] [x1x2x3…xn

]=[b1b2b3…bn

]A. Metode Eliminasi Gauss

Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari

metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel

sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variabel bebas. Cara eliminasi ini

sudah banyak dikenal.

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam

matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan

2

Page 3: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang

eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian

persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah

persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan

mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi

balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Metode ini berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A berbentuk

segitiga atas (menggunakan Operasi Baris Elementer) seperti system persamaan

berikut ini:

[a11 a12 a130 a22 a230…0

0…0

a33…0

… a1n… a2n………

a3n…ann

][x1x2x3…xn

]=[b1b2b3…bn

]Maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulingan mundur (backward

substitution):

ann xn=bn⇒ xn=bn

ann

an−1, n−1 xn−1+an−1 , n xn=bn−1⇒ xn−1=(bn−1−an−1, nxn )

an−1 ,n−1

………………………………………….

dst .

Sekali xn , xn−1 , xn−2 ,.. , xk+1 diketahui, maka nilai xk dapat dihitung dengan:

xk=bk− ∑

j=k +1

n

akj x j

akk, k=n−1 , n−2 ,…,1danakk≠0.

Kondisi akk≠0 sangat penting. Sebab bila akk≠0, persamaan diatas menjerjakan

pembagian dengan nol. Apabila kondisi tersebut tidak dipenuhi, maka SPL tidak

mempunyai jawaban.

Contoh:

x+ y+2 z=9

2 x+4 y−3 z=1

3

Page 4: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

3 x+6 y−5 z=0

[1 1 22 4 −33 6 −5

910]

…(i)… (ii)…(iii )

[1 1 20 2 −73 6 −5

9−170 ] kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii)

[1 1 20 2 −70 3 −11

9−17−27 ] kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)

[1 1 2

0 1 −72

0 3 −11

9−172

−27 ] kalikan baris (ii) dengan (1/2)

[1 1 2

0 1 −72

0 0 −12

9−172

−32

] kalikan baris (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)

[1 1 2

0 1 −72

0 0 1

9−1723 ] kalikan baris (iii) dengan (-2)

Solusi system diperoleh dengan teknik penyulihan mundur sebagai berikut:

x3=3

x2−72x3=−17

2⇒ x2=2

4

Page 5: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

x1+ x2+2 x3=9⇒ x1=1

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.

Tata ancang pivoting

Prinsip tata ancang pivoting adalah sebagai berikut: jika a p , p( p−1)= 0, cari

baris k dengan ak , p ≠0 dan k > p, lalu pertukaran baris p dan baris k. Metode

eliminasi Gauss dengan tata ancang pivoting disebut metode eliminasi Gauss

yang diperbaiki (modified Gauusian elimination)

Contoh:

Selesaikan sistem prsamaan lanjar berikut dengan meetode eliminasi Gauss

yang menerapkan tata ancang pivoting.

x1+2x 2+ x3=2

3x1+6x 2=9

2x1+8x 2+4x 3=6

[1 2 13 6 02 8 4

296]

R2−3 R1

R3−2R1 [1 2 10 0 −30 4 2

232]R1⇔R3

(¿) [1 2 10 4 20 0 −3

223]

Operasi baris 1 Operasi baris 2

Setelah operasi baris 1, elemen a22 yang akan menjadi pivot pada

operasi baris 2 ternyata sama dengan nol. Karena itu, pada operasi baris 2,

elemen baris 2 dipertukarkan dengan elemen baris 3. Tanda (*) menyatakan

pertukaran baris terjadi akibat proses pivoting. Sekarang elemen a22=4≠0

sehingga operasi baris elementer dapat diteruskan. Tetapi, karena matriks A

sudah membentuk matriks U, proses eliminasi selesai. Solusinya diperoleh

dengan teknik penyulihan mundur, yaitu x3=−1 , x2=1, dan x1=1.

Melakukan pertukaran baris untuk menghindari pivot yang bernilai

nol adalah cara pivoting yang sederhana (simple pivoting). Masalah ini dapat

juga timbul bila elemen pivot sangat dekat ke nol, karena jika elemen pivot

sangat kecil dibandingkan terhadap elemen lainnya, maka galat pembulatan

dapat muncul.

5

Page 6: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

Ada dua macam tata-ancang pivoting, yaitu:

a. Pivoting sebagian (partial pivoting)

Pada tata-ancang pivoting sebagian, pivot dipilih dari semua elemen

pada kolom p yang mempunyai nilai mutlak terbesar,

ak , p¿max ¿¿a p , p,a p+1 , p,…, an−1, p,an , p}

Lalu pertukarkan baris k dengan baris ke p. Misalkan setelah operasi

baris pertama diperoleh matriksnya seperti yang digambarkan pada

matriks di bawah ini. Untuk operasi baris kedua, carilah elemen x pada

baris kedua, dimulai dari baris ke-2 sampai baris ke-4, yang nilai

mutlaknya terbesar, lalu pertukarkan barisnya dengan baris ke-2.

Elemen x yang nilai mutlaknya terbesar itu sekarang menjadi pivot

untuk operasi baris selanjutnya.

[ x x x0 x x00

xx

xx

x xx xxx

xx ]

Cari xterbesar, lalu

pertukarkan barisnya dengan baris ke-2

perhatikanlah bahwa teknik pivoting sebagian juga sekaligus

menghindari pemilihan pivot = 0 (sebagaimana dalam simple pivoting)

karena 0 tidak akan pernah menjadi elemen dengan nilai mutlak

terbesar, kecuali jika seluruh elemen di kolom yang diacu adalah 0.

Apabila setelah melakukan pivoting sebagian ternyata elemen pivot = 0,

itu berarti system persamaan linier tidak dapat diselesaikan (singular

system)

b. Pivoting Lengkap (complete pivoting)

Jika disamping baris, kolom juga dikutkan dalam pencarian elemen

terbesar dan kemudian dipertukarkan, maka tata-ancang ini disebut

pivoting lengkap. Pivoting lengkap jarang dipakai dalam program

6

Page 7: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

sederhana karena pertukaran kolom mengubah urutan suku x dan

akibatnya menambah kerumitan program secara berarti.

Contoh:

Dengan menggunkan 4 angka bena, selesaikan system berikut dengan

metode eliminasi Gauss:

0.0003 x1+1566 x2=1569

0.3454 x1−2436 x2=1018

a. Tanpa tata-ancang pivoting sebagian (Gauss naif)

b. Dengan tata-ancang pivoting sebagian (Gauss yang dimodifikasi)

Penyelesaian

a. Tanpa tata-ancang pivoting sebagian

[0.0003 1.566 1.5690.3454 −2.436 1.018 ]

Operasi baris pertama (0.0003 sebagai pivot )

R2⟵R2−0.3454 R10.0003

=R2−1151R1

(Tanda “⟵” berarti “diisi” atau “diganti dengan”)

Jadi,

a21≈0

a22≈−2.436−(1151 ) (1.566 )=−2.436−1802≈−1804

b22≈1.018−(1151 ) (1.569 )≈1.018−1806≈−1805

[0.0003 1.566 1.5690.3454 −2.436 1.018 ]R2−1151R1[0.0003 1.566 1.569

0 −1804 −1805]Solusinya diperoleh dengan teknik penyulihan mundur:

x2=−1805−1804

=1.001

x1=1.569−(1.566 )(1.001)

0.0003 =1.569−1.5680.0003 =

0.0010.0003=3.333

7

Page 8: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

(jauh dari solusi sejati)

Jadi, x=(3.333, 1.001). solusi ini sangat jauh berbeda dengan solusi

sejatinya. Kegagalan ini terjadi karena a11sangat kecil bila

dinbandingkanx12, sehingga galat pembulatan yang kecil pada x2

menghasilkan galat besar dix1. Perhatikan juga bahwa 1.569−¿

1.568 adalah pengurangan dua buah bilangan yang hamper sama,

yang menimbulkan hilangnya angka bena pada hasil

pengurangannya.

b. Dengan tata-ancang pivoting sebagian

Baris pertama dipertukarkan dengan baris kedua sehingga 0.3454

menjadi pivot

[0.3454 −2.436 1.0180.0003 1.566 1.569 ]R2−

0.00030.3454

R1[0.3454 −2.436 1.0180 1.568 1.568]

Dengan teknik penyulihan mundur diperoleh:

x2=1.5681.568

=1.000

x1=1.018−(−2.436 )(1.000)

0.3454 =10.02 (lebih baik daripada solusi a)

Jadi, solusinya adalah x = (10.02, 1.000), yang lebih baik daripada

solusi a. keberhasilan ini karena a21 tidak sangat kecil

dibandingkan dengan a22, sehingga galat pembulatan yang kecil

pada x2 tidak akan menghasilkan galat yang besar pada x1.

Penskalaan Kemungkinan solusi SPL

Selain dengan pivoting sebagian, penskalaan (scaling) juga dapat

digunakan untuk mengurangi galat pembulatan pada SPL yang mempunyai

perbedaan koefisien yang mencolok. Situasi demikian sering ditemui dalam

praktek rekayasa yang menggunakan ukuran satuan yang berbeda-beda

dalam menentukan persamaan simultan. Misalnya pada persoalan rangkaian

listrik, tegangan listrik dapat dinyatakan dalam satuan yang berkisar dari

8

Page 9: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

microvolt sampai kilovolt. Pemakaian satuan yang berbeda-beda dapat

menuju ke koefisien yang besarnya sangat berlainan. Ini terdampak pada

galat pembulatan, dank arena itu mempengaruhi pivoting. Dengan

penskalaan berarti kita menormalkan persamaan. Cara menskala adalah

membagi tiap baris persamaan dengan nilai mutlak koefisien terbesar di

ruang kirinya. Akibat penskalaan, koefisien maksimum dalam tiap baris

adalah 1. Cara menskala seperti ini dinamakan dengan menormalkan SPL.

Contoh:

Selesaikan system persamaan lanjut berikut sampai 3 angka bena dengna

menggunakan metode eliminasi Gauss yang menerapkan perskalaan dan

tanpa perskalaan:

2x1 + 100000x2=100000

x1+ x2=2

(Solusi sejatinya dalam 3 angka bena adalah x1=x2=1,00 ¿

Penyelesaian:

(i) Tanpa perskalaan

[2 100000 1000001 1 2 ]R2−

12R1[2 100000 1000000 −50000 −50000]

Solusinya adalah

x2=1.00

x1=0.00 (salah)

(ii) Dengan penskalaan

2x1+100000 x2=100000 :100000 0.00002 x1+ x2=1

x1+ x2=2 : 1 x1+ x2=2

[0.00002 1 11 1 2]R2⇔R1

(¿) [ 1 1 20.00002 1 1]∼[1 1 2

0 1 1.00]Solusinya,

9

Page 10: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

x2=1.00

x1=1.00 (benar)

Yang sesuai dengan solusi sejati. Contoh di atas juga memperlihatkan

bahwa penskalaan dapat mengubah pemilihan pivot.

Kemungkinan solusi SPL

Tidak semua SPL mempunyai solusi. Ada 3 kemungkinan yang dapat

terjadi pada SPL:

a) Mempunyai solusi yang unik

b) Mempunyai banyak solusi, atau

c) Tidak ada solusi sama sekali

Untuk SPL dengan tiga buah persamaan atau lebih (dengan tiga peubah atau

lebih)tidak terdapat tafsiran geometrinya (tidak mungkin dibuat ilustrasi

grafiknya) seperti pada SPL dengan dua buah persamaan. Namun, kita masih

dapat memeriksa masing-masing kemungkinan solusi itu berdasarkan pada

bentuk matriks akhirnya. Agar lebih jelas, tinjau contoh pada SPL yang

disusun oleh tiga persamaan.

1) Solusi unik/tunggal

[1 1 12 3 43 1 2

011]

EliminasiGauss→ [1 1 1

0 1 −10 0 −3

013]

Solusi: x1=1 , x2=0 , x3=−1

2) Solusi banyak/tidak terhingga

[1 1 22 −1 11 2 3

426]

EliminasiGauss→ [1 1 2

0 −3 −30 0 0

4−60 ]

Perhatikan hasil eliminasi Gauss pada baris terakhir. Persamaan yang

bersesuaian dengan baris terakhir tersebut adalah

10

Page 11: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

0 x1+0x2+0 x3=0

Yang dipenuhi oleh banyak nilai x. solusinya diberikan dalam bentuk

parameter:

Misalkan x3=k ,

Maka x2=−6+3 k danx1=10−5k dengank∈R .

3) Tidak ada solusi

[1 1 22 −1 11 2 3

427]

EliminasiGauss→ [0 1 2

0 −3 −30 0 0

4−61 ]

Perhatikan hasil eliminasi Gauss pada baris terakhir. Persamaan yang

bersesuaian dengan baris terakhir tersebut adalah

0 x1+0x2+0 x3=1

Yang dalam hal ini, tidak nilai x i yang memenuhi, i=1,2,3

B. Eliminasi Gauss-Jordan

Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi

Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di

bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks

tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua elemen pada diagonal

utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).

Dalam bentuk matriks, eliminasi Gauss-Jordan ditulis sebagai berikut.

11

Page 12: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

[a11 a12 a13a21 a22 a23a31…an1

a32…an2

a33…an3

… a1n b1… a2n b2………

a3n…ann

b3…bn

][ 1 0 00 1 00…0

0…0

1…0

… 0 b1,

… 0 b2,

………

0…1

b3,

…bn, ]

Solusinya: x1=b1,

x2=b2,

…………

xn=bn,

Seperti pada metode eliminasi gauss naïf, metode eliminasi Gauss-Jordan

naïf tidak menerapkan tata-ancang pivoting dalam proses eliminasinya.

Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan

disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan,

sebagai berikut:

1. Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama

pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1).

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini

akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.

3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1

utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan

dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.

4. Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.

Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan adalah sebagai berikut:

1. Masukkan matriks A dan vector B beserta ukurannya n

2. Buat augmented matriks [AB] namakan dengan A

3. Untuk baris ke-i dimana i=1 s/d n

a) Perhatikan apakah nilai a i ,i sama dengan nol:

Bila ya:

Pertukarkan baris ke-i dan baris ke i+k≤n, dimana a i+k ,i tidak sama

dengan nol, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan

proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian.

12

Page 13: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

Bila tidak: Lanjutkan

b) Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu, dengan cara untuk setiap kolom

k dimana k=1 s/d n+1, hitung a i ,k=ai , k

a i, i

4. Untuk baris ke j, dimana j=i+1 s/d n

Lakukan operasi baris elementer untuk kolom k dimana k=1 s/d n

Hitung c=a j , i

Hitung a j , k=a j ,k−c . a i, k

5. Penyelesaian, untuk i=n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris

pertama)

x i=a i ,n+1

Contoh:

x+ y+2 z=9

2 x+4 y−3 z=1

3 x+6 y−5 z=0

Penyelesaian:

[1 1 22 4 −33 6 −5

910]

…(i)… (ii)…(iii )

[1 1 20 2 −73 6 −5

9−170 ] kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii)

[1 1 20 2 −70 3 −11

9−17−27 ] kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)

[1 1 2

0 1 −72

0 3 −11

9−172

−27 ] kalikan baris (ii) dengan (1/2)

13

Page 14: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

[1 1 2

0 1 −72

0 0 −12

9−172

−32

] kalikan baris (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)

[1 1 2

0 1 −72

0 0 1

9−1723 ] kalikan baris (iii) dengan (-2)

[1 0 112

0 1 −72

0 0 1

9−1723 ] kalikan baris (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke baris (i)

[1 0 00 1 00 0 1

123]

kalikanbaris (iii )dengan(−112 ) ,lalu tambahkanke baris ( i ) ,

dan kalikanbaris ( iii )dengan( 72 ) , lalutambahkanke baris(ii)

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.

Penyelesaian SPL dengan Operasi Baris Elementer Menggunakan MATLAB

Misalkan diberikan SPL sebagai berikut:

x+ y+2 z=9

2 x+4 y−3 z=1

3 x+6 y−5 z=0

Kita akan coba menyelesaikan SPL di atas dengan operasi baris elementer dengan

MATLAB.

14

Page 15: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

1) Menggunakan Metode Eliminasi Gauss

15

clc;

clear;

disp('Solusi dari persamaan: x + y + 2z = 9')

disp(' 2x+4y - 3z = 1')

disp(' 3x+6y - 5z = 0')

disp('Menggunakan Metode Eliminasi Gauss')

A=[1 1 2 9;2 4 -3 1;3 6 -5 0]

disp('Baris 1 = Baris 1 bagi baris 1 kolom 1')

A(1,:)=A(1,:)/A(1,1)

disp('Baris 2 = - Baris 2 kolom 1 kali baris 1 + Baris 2')

A(2,:)=-A(2,1)*A(1,:)+A(2,:)

disp('Baris 3 = - Baris 3 kolom 1 kali baris 1 + Baris 3')

A(3,:)=-A(3,1)*A(1,:)+A(3,:)

disp('Baris 2 = Baris 2 bagi baris 2 kolom 2')

A(2,:)=A(2,:)/A(2,2)

disp('Baris 3 = - Baris 3 kolom 2 kali baris 2 + Baris 3')

A(3,:)=-A(3,2)*A(2,:)+A(3,:)

disp('Baris 3 = Baris 3 bagi baris 3 kolom 3')

A(3,:)=A(3,:)/A(3,3)

disp('Dengan Menggunakan Teknik Penyulihan Mundur, diperoleh:')

x3=A(3,4)

x2=A(2,4)-A(2,3)*x3

x1=A(1,4)-A(1,2)*x2-A(1,3)*x3

Page 16: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

Outputnya:

16

Solusi dari persamaan: x + y + 2z = 9 2x+4y - 3z = 1 3x+6y - 5z = 0Menggunakan Metode Eliminasi GaussA = 1 1 2 9 2 4 -3 1 3 6 -5 0Baris 1 = Baris 1 bagi baris 1 kolom 1A = 1 1 2 9 2 4 -3 1 3 6 -5 0Baris 2 = - Baris 2 kolom 1 kali baris 1 + Baris 2A = 1 1 2 9 0 2 -7 -17 3 6 -5 0Baris 3 = - Baris 3 kolom 1 kali baris 1 + Baris 3A = 1 1 2 9 0 2 -7 -17 0 3 -11 -27Baris 2 = Baris 2 bagi baris 2 kolom 2A = 1.0000 1.0000 2.0000 9.0000 0 1.0000 -3.5000 -8.5000 0 3.0000 -11.0000 -27.0000Baris 3 = - Baris 3 kolom 2 kali baris 2 + Baris 3A = 1.0000 1.0000 2.0000 9.0000 0 1.0000 -3.5000 -8.5000 0 0 -0.5000 -1.5000Baris 3 = Baris 3 bagi baris 3 kolom 3A = 1.0000 1.0000 2.0000 9.0000 0 1.0000 -3.5000 -8.5000 0 0 1.0000 3.0000Dengan Menggunakan Teknik Penyulihan Mundur, diperoleh:x3 = 3x2 = 2x1 = 1

Page 17: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

2). Menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan

17

clc;

clear;

disp('Solusi dari persamaan: x + y + 2z = 9')

disp(' 2x+4y - 3z = 1')

disp(' 3x+6y - 5z = 0')

disp('Menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan')

A=[1 1 2 9;2 4 -3 1;3 6 -5 0]

disp('Baris 1 = Baris 1 bagi baris 1 kolom 1')

A(1,:)=A(1,:)/A(1,1)

disp('Baris 2 = - Baris 2 kolom 1 kali baris 1 + Baris 2')

A(2,:)=-A(2,1)*A(1,:)+A(2,:)

disp('Baris 3 = - Baris 3 kolom 1 kali baris 1 + Baris 3')

A(3,:)=-A(3,1)*A(1,:)+A(3,:)

disp('Baris 2 = Baris 2 bagi baris 2 kolom 2')

A(2,:)=A(2,:)/A(2,2)

disp('Baris 3 = - Baris 3 kolom 2 kali baris 2 + Baris 3')

A(3,:)=-A(3,2)*A(2,:)+A(3,:)

disp('Baris 3 = Baris 3 bagi baris 3 kolom 3')

A(3,:)=A(3,:)/A(3,3)

disp('Baris 1 = - Baris 1 kolom 2 kali baris 2 + Baris 1')

A(1,:)=-A(1,2)*A(2,:)+A(1,:)

disp('Baris 2 = - Baris 2 kolom 3 kali baris 3 + Baris 2')

A(2,:)=-A(2,3)*A(3,:)+A(2,:)

disp('Baris 1 = - Baris 1 kolom 3 kali baris 3 + Baris 1')

A(1,:)=-A(1,3)*A(3,:)+A(1,:)

disp('Dengan demikian, diperoleh:')

x1=A(1,4)

x2=A(2,4)

x3=A(3,4)

Page 18: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

Outputnya :

18

Solusi dari persamaan: x + y + 2z = 9

2x+4y - 3z = 1

3x+6y - 5z = 0

Menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan

A =

1 1 2 9

2 4 -3 1

3 6 -5 0

Baris 1 = Baris 1 bagi baris 1 kolom 1

A =

1 1 2 9

2 4 -3 1

3 6 -5 0

Baris 2 = - Baris 2 kolom 1 kali baris 1 + Baris 2

A =

1 1 2 9

0 2 -7 -17

3 6 -5 0

Baris 3 = - Baris 3 kolom 1 kali baris 1 + Baris 3

A =

1 1 2 9

0 2 -7 -17

0 3 -11 -27

Baris 2 = Baris 2 bagi baris 2 kolom 2

A =

1.0000 1.0000 2.0000 9.0000

0 1.0000 -3.5000 -8.5000

0 3.0000 -11.0000 -27.0000

Page 19: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

19

Baris 3 = - Baris 3 kolom 2 kali baris 2 + Baris 3

A =

1.0000 1.0000 2.0000 9.0000

0 1.0000 -3.5000 -8.5000

0 0 -0.5000 -1.5000

Baris 3 = Baris 3 bagi baris 3 kolom 3

A =

1.0000 1.0000 2.0000 9.0000

0 1.0000 -3.5000 -8.5000

0 0 1.0000 3.0000

Baris 1 = - Baris 1 kolom 2 kali baris 2 + Baris 1

A =

1.0000 0 5.5000 17.5000

0 1.0000 -3.5000 -8.5000

0 0 1.0000 3.0000

Baris 2 = - Baris 2 kolom 3 kali baris 3 + Baris 2

A =

1.0000 0 5.5000 17.5000

0 1.0000 0 2.0000

0 0 1.0000 3.0000

Baris 1 = - Baris 1 kolom 3 kali baris 3 + Baris 1

A =

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

Dengan demikian, diperoleh:

x1 =

1

x2 =

2

x3 =

3

Page 20: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

3). Cara singkat menggunakan invers matriks

Outputnya:

20

clc;

clear;

disp('Penyelesaian SPL Menggunakan Invers Matriks')

disp('Menentukan Solusi dari Persamaan: x + y + 2z = 9')

disp(' 2x+4y - 3z = 1')

disp(' 3x+6y - 5z = 0')

A=[1 1 2;2 4 -3;3 6 -5]

b=[9;1;0]

x=inv(A)*b

Penyelesaian SPL Menggunakan Invers Matriks

Menentukan Solusi dari Persamaan: x + y + 2z = 9

2x+4y - 3z = 1

3x+6y - 5z = 0

A =

1 1 2

2 4 -3

3 6 -5

b =

9

1

0

x =

1.0000

2.0000

3.0000

Page 21: Penyelesaian Matrik dengan metode Gauss Jordan

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

1. Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam

matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana.

System persamaannya adalahsebagai berikut:

[a11 a12 a130 a22 a230…0

0…0

a33…0

… a1n… a2n………

a3n…ann

][x1x2x3…xn

]=[b1b2b3…bn

]2. Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi

Gauss. Pada metode eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen-

elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya

adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua

elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).

[a11 a12 a13a21 a22 a23a31…an1

a32…an2

a33…an3

… a1n b1… a2n b2………

a3n…ann

b3…bn

][ 1 0 00 1 00…0

0…0

1…0

… 0 b1,

… 0 b2,

………

0…1

b3,

…bn, ]

B. Saran

Untuk bisa memahami materi tentang metode numerik maka perlu

mengumpulkan banyak referensi dari berbagai sumber.

21