MATRIKS DAN DETERMINAN

Pendahuluan

Banyak persoalan dalam matematika murni maupun terapan yang disajikan dalam sistem

persamaan linear. Misalnya, penerapan Hukum Kirchhoff dalam rangkaian listrik biasanya akan

menghasilkan sistem persamaan linear dengan variabel arus listrik. Untuk menyelesaikan sistem

persamaan linear dengan dua variabel biasanya digunakan metode substitusi atau eliminasi. Akan

tetapi, untuk sistem persamaan linear yang melibatkan tiga variabel atau lebih, metode ini

ternyata tidak efisien.

Untuk menyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga variabel atau lebih, kita akan

membahas metode reduksi baris atau eliminasi Gauss dan aturan Cramer. Sebelum membahas

kedua metode ini, kita akan membicarakan konsep matriks dan determinan.

Definisi

Diandaikan kita memiliki sistem persamaan linear berikut:

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 74𝑥 − 𝑦 − 6𝑧 = 1

2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4}

Koefien-koefisien x, y, dan z dapat dituliskan sebagai

𝐴 = (1 2 34 −1 −62 2 −3

).

Sistem bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom ini dikenal dengan sebutan matriks.

Matriks 𝑚 × 𝑛 adalah suatu susunan bilangan berbentuk persegi yang terdiri atas m baris dan n

kolom. Sebuah matriks A biasanya dituliskan dalam bentuk

𝐴 = (

𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑘𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑘…𝑎𝑗1

…𝑎𝑗2

…𝑎𝑗3

……

…𝑎𝑗𝑘

).

Setiap bilangan 𝑎𝑗𝑘 pada matriks disebut unsur atau elemen, dengan indeks i dan j berturut-turut

menunjukkan unsur yang terletak pada baris ke-j dan kolom ke-k matriks yang bersangkutan.

Jika banyaknya baris m sama dengan banyaknya kolom n, dikenal matriks bujur sangkar

berukuran 𝑛 × 𝑛 atau berorde n. Sebuah matriks yang hanya terdiri satu baris dinamakan matriks

baris. Sebaliknya, sebuah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom dinamakan matriks kolom.

Aljabar Matriks

1. Kesamaan Matriks

Dua matriks 𝐴 = (𝑎𝑗𝑘) dan matriks 𝐵 = (𝑏𝑗𝑘) yang berukuran sama (memiliki jumlah

baris dan kolom yang sama), dikatakan sama jika dan hanya jika 𝑎𝑗𝑘 = 𝑏𝑗𝑘. Sebagai

contoh,

(𝑥 𝑟 𝑢𝑦 𝑠 𝑣) = (

2 0 8−1 4 3

),

jika dan hanya jika x = 2, y = 1, r = 0, s = 4, u = 8, dan v = 3.

2. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua buah matriks A dan B yang berukuran sama dapat dijumlahkan/dikurangkan untuk

menghasilkan matriks C yang unsur-unsurnya merupakan hasil

penjumlahan/pengurangan dari unsur matriks A dan B yang bersesuaian. Secara

matematis, jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama, maka 𝐶 = 𝐴 ± 𝐵

dengan 𝑐𝑗𝑘 = 𝑎𝑗𝑘 ± 𝑏𝑗𝑘.

3. Perkalian Matriks dengan Skalar

Perkalian matriks A dengan skalar k akan menghasilkan sebuah matriks baru B yang

unsur-unsurnya diperoleh dengan mengalikan unsur-unsur matriks A dengan k. Jadi, B =

kA.

4. Perkalian dua Matriks

Jika 𝐴 = (𝑎𝑗𝑘) sebuah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 dan 𝐵 = (𝑏𝑗𝑘) sebuah matriks berukuran

𝑛 × 𝑝, maka perkalian matriks A dengan matriks B, yaitu C = AB, didefinisikan sebagai

𝑐𝑗𝑘 = ∑ 𝑎𝑗𝑙𝑏𝑙𝑘𝑛𝑙=1 ,

dengan matriks C berukuran 𝑚 × 𝑝. Perkalian dua matriks dapat dilakukan jika dan

hanya jika banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris B.

Untuk 𝐴 = (4 2

−3 1) dan 𝐵 = (

1 5 32 7 −4

), diperoleh 𝐴𝐵 = (8 34 4

−1 −8 −13).

Berbeda dengan aljabar bilangan biasa, perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif.

Akan tetapi, hukum asosiatif dan distributif tetap berlaku:

A(BC)= (AB)C, A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + AC.

Sebuah matriks A dapat dikalikan dengan dirinya sendiri jika dan hanya jika A adalah

matriks bujur sangkar. Ungkapan AA biasanya ditulis 𝐴2. Dengan cara yang sama,

𝐴3 = 𝐴2𝐴, 𝐴4 = 𝐴3𝐴, dan sebagainya.

5. Matriks Transpos

Untuk matriks A dapat dilakukan operasi transposisi, yaitu mengganti baris dengan

kolomnya sehingga diperoleh matriks baru. Matriks baru sebagai hasil transposisi ini

dinamakan transpose dari A dan dinyatakan dengan 𝐴𝑇 . Dengan demikian, jika 𝐴 = (𝑎𝑗𝑘)

maka 𝐴𝑇 = (𝑎𝑘𝑗). Sebagai contoh, jika

𝐴 = (2 1 −85 2 1

) maka 𝐴𝑇 = (2 51 2

−8 1).

Sifat-sifat matriks transpos: (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇, (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇𝐴𝑇, dan (𝐴𝑇)𝑇 = 𝐴.

Untuk matriks kompleks, yaitu matriks yang unsur-unsurnya bilangan kompleks, terdapat operasi

konjugat kompleks dan konjugat hermite.

Operasi konjugat kompleks pada matriks kompleks C yang dinyatakan dengan 𝐶̅ akan

menghasilkan matriks baru B yang elemen-elemennya adalah konjugat kompleks dari C. Jadi,

𝐵 = (𝑏𝑗𝑘) = 𝐶̅ = (𝑐�̅�𝑘). Matriks 𝐶̅ dikenal sebagai matriks konjugat kompleks dari C.

Operasi konjugat hermite pada matriks kompleks C merupakan kombinasi dari operasi

konjugat kompleks dan transposnya sehingga sehingga menghasilkan matriks baru B. Dengan

demikian, 𝐵 = (𝐶̅)𝑇 atau 𝐵 = 𝐶†. Elemen-elemen matriks B adalah (𝑏𝑗𝑘) = (𝑐�̅�𝑗). Matriks B ini

dikenal sebagai matriks konjugat hermite dari C.

Sebagai contoh, jika

𝐴 = (2 + 3𝑖 4 − 5𝑖

3 5𝑖) maka 𝐴† = (�̅�)𝑇 = (

2 − 3𝑖 4 + 5𝑖3 −5𝑖

)𝑇

= (2 + 3𝑖 34 + 5𝑖 −5𝑖

).

Matriks-matriks Khusus

Matriks bujur sangkar, matriks baris, dan matriks kolom biasanya dikelompokkan ke dalam

matriks khusus. Ada beberapa matriks khusus yang lain, yaitu:

1) Matriks diagonal, yaitu matriks yang semua unsurnya nol kecuali unsur-unsur yang

terletak pada diagonal utama. Contoh,

𝐴 = (1 0 00 3 00 0 4

).

Jumlah semua unsur diagonal utama sebuah matriks bujur sangkar dinamakan trace

matriks yang bersangkutan.

2) Matriks segitiga, yaitu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya terletak di bawah atau

di atas diagonal utama sama dengan nol. Jika unsur-unsur nol terletak di bawah diagonal

utama, biasanya disebut matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika unsur-unsur nol terletak di

atas diagonal utama disebut matriks segitiga bawah.

3) Matriks satuan, yaitu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya pada diagonal utama

sama dengan 1, sedangkan unsur-unsur yang lain sama dengan nol. Matriks satuan

biasanya diberi simbol I. Sebagai contoh,

𝐼 = (1 00 1

).

4) Matriks nol, yaitu matriks yang unsur-unsurnya sama dengan nol dan biasanya diberi

simbol O. Untuk matriks A yang ukurannya sama dengan O, berlaku 𝐴 + 𝑂 = 𝑂 + 𝐴 = 𝐴

dan 𝐴𝑂 = 𝑂𝐴 = 𝑂.

5) Matriks simetri, yaitu matriks bujur sangkar yang memenuhi sifat 𝐴𝑇 = 𝐴. Jika 𝐴𝑇 = −𝐴,

A disebut matriks taksimetri.

6) Matriks kofaktor, yaitu matriks yang didefinisikan sebagai 𝐴𝑐 = 𝐴𝑗𝑘.

Jika 𝐴 = (

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

) maka 𝐴𝑐 = (

𝐴11 𝐴12 𝐴13

𝐴21 𝐴22 𝐴23

𝐴31 𝐴32 𝐴33

), dengan

𝐴11 = (−1)1+1 |𝑎22 𝑎23

𝑎32 𝑎33|, 𝐴12 = (−1)1+2 |

𝑎21 𝑎23

𝑎31 𝑎33|, dan seterusnya.

7) Matriks adjoint, yaitu matriks yang diperoleh dari transpose matriks kofaktor. Jadi,

adj 𝐴 = 𝐴𝑐𝑇.

Untuk 𝐴 = (1 32 1

), 𝐴𝑐 = (1 −2

−3 1), dan adj 𝐴 = 𝐴𝑐𝑇 = (

1 −3−2 1

).

8) Jika adj 𝐴 = 𝐴, matriks A dikatakan self-adjoint.

9) Jika 𝐴2 = 𝐼, matriks A dikatakan involuntary.

10) Jika 𝐴 = �̅�, matriks A dinamakan matriks real.

11) Jika 𝐴𝐴𝑇 = 𝐼, matriks A dinamakan matriks orthogonal.

12) Jika 𝐴 = (�̅�)𝑇 = 𝐴†, matriks A dinamakan matriks hermite.

13) Jika 𝐴𝐴† = 𝐼, matriks A dinamakan matriks uniter.

14) Jika 𝐴 = −�̅�, matriks A dinamakan matriks imajiner murni.

15) Jika 𝐴2 = 𝐴, matriks A dinamakan matriks idempotent (indepotent matrix).

Determinan

Untuk setiap matriks bujur sangkar A terdapat nilai karakteristi yang dikenal sebagai

determinan, biasa ditulis det (A) atau |𝑎𝑗𝑘|. Determinan matriks A ditulis sebagai

det𝐴 = ||

𝑎11

𝑎21

𝑎12

𝑎22

… 𝑎1𝑘

… 𝑎2𝑘

𝑎31 𝑎32… 𝑎3𝑘

…𝑎𝑗1

…𝑎 𝑗2

……

…𝑎 𝑗𝑘

||.

Jika matriks A dengan det (A) = 0, A disebut matriks singular. Sebaliknya, jika det (A) ≠

0, A disebut matriks taksingular.

Minor

Jika baris ke-j dan kolom ke-k pada determinan yang disajikan di atas dihilangkan, kemudian

dibentuk sebuah determinan dari unsur-unsurnya yang tertinggal, akan diperoleh determinan

baru yang terdiri atas (n-1) baris dan (n-1) kolom. Determinan baru ini merupakan minor dari

unsur 𝑎𝑗𝑘 dan dinyatakan dengan ungkapan 𝑀𝑗𝑘. Sebagai contoh,

det𝐴 = |

𝑎11

𝑎21

𝑎12

𝑎22

𝑎13 𝑎14

𝑎23 𝑎24

𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34

𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44

|

maka minor unsur 𝑎32 adalah 𝑀32, yaitu

𝑀32 = |

𝑎11 𝑎13 𝑎14

𝑎21 𝑎23 𝑎24

𝑎41 𝑎43 𝑎44

|.

Jika minor dari 𝑎𝑗𝑘 dikalikan dengan (−1)𝑗+𝑘 hasilnya dinamakan kofaktor dari 𝑎𝑗𝑘 dan

dinyatakan dengan 𝐴𝑗𝑘. Jadi,

𝐴𝑗𝑘 = (−1)𝑗+𝑘𝑀𝑗𝑘.

Untuk menentukan determinan matriks A dapat digunakan ekspansi Laplace yang menyatakan

bahwa nilai determinan merupakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris (atau

suatu kolom) dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian. Secara matematis,

det 𝐴 = ∑ 𝑎𝑗𝑘𝐴𝑗𝑘𝑛𝑘=1 , untuk sembarang j.

Sebagai contoh, kita akan menghitung

det 𝐴 = |𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22|

Untuk j =1, diperoleh

det 𝐴 = ∑ 𝑎1𝑘𝐴1𝑘= 𝑎11𝐴11 + 𝑎12𝐴12

2𝑘=1 ,

dengan 𝐴11 = (−1)1+1|𝑎22| = 𝑎22 dan 𝐴12 = (−1)1+2|𝑎21| = −𝑎21. Jadi,

det 𝐴 = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21.

Sifat-sifat Determinan

1) Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan. Jadi, det 𝐴 =

det 𝐴𝑇 .

2) Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, determinan matriks itu sama

dengan nol.

3) Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, kecuali satu unsur,

determinannya sama dengan hasil kali unsur itu dengan kofaktornya.

4) Pertukaran dua baris atau dua kolom sembarang akan mengubah tanda determinan.

5) Jika semua unsur dalam suatu baris (atau kolom) dikalikan dengan sebuah bilangan,

determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.

6) Jika dua baris (atau kolom) sama atau sebanding, determinannya sama dengan nol.

7) Jika setiap unsur dalam suatu baris (atau kolom) sebuah determinan merupakan jumlah dua

suku, determinannya dapat dinyatakan sebagai jumlah dua determinan yang berukuran

sama.

8) Jika kita mengalikan unsur-unsur suatu baris (atau kolom) dengan sebuah bilangan

kemudian dijumlahkan dengan unsur-unsur yang bersesuaian dengan suatu baris (atau

kolom) yang lain, nilai determinannya tetap.

9) Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka det(𝐴𝐵) = det(𝐴) +

det(𝐵).

10) Jumlah dari hasil kali unsur-unsur dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-

kofaktornya dari baris (atau kolom) lainnya adalah nol. Secara matematis,

∑ 𝑎𝑞𝑘𝐴𝑝𝑘𝑛𝑘=1 = 0 atau ∑ 𝑎𝑘𝑞𝐴𝑘𝑝

𝑛𝑘=1 = 0, jika 𝑝 ≠ 𝑞.

Jika 𝑝 = 𝑞, hasilnya sama dengan det 𝐴.

Invers Matriks

Jika pada matriks bujur sangkar A terdapat matriks B sehingga AB = I, dengan I adalah

matriks identitas, maka B dinamakan invers matriks A dan ditulis sebagai 𝐴−1. Jadi, jika A adalah

matriks bujur sangkar tak singular berorde-n, maka terdapat satu invers 𝐴−1 sehingga 𝐴𝐴−1 =

𝐴−1𝐴 = 𝐼. Invers matriks memiliki sifat, (𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1𝐴−1 dan (𝐴−1)−1 = 𝐴.

Untuk menentukan invers matriks dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: metode reduksi

baris dan metode determinan.

Metode Reduksi Baris

Untuk memberi gambaran penerapan metode reduksi baris, diandaikan kita akan menghitung

invers matriks A. Dengan mengingat sifat-sifat matriks satuan I, A = IA. Selanjutnya, dengan

mereduksi A di ruas kiri menjadi I maka ruas kanan akan tereduksi menjadi B sehingga

menghasilkan I = AB. Jadi, B adalah invers matriks A. Metode reduksi baris terdiri atas operasi-

operasi berikut:

menukarkan dua baris,

mengalikan sembarang baris dengan sebuah tetapan 𝑘 ≠ 0, dan

menjumlahkan atau mengurangkan dua baris sembarang.

Untuk memudahkan penulisan operasi reduksi baris, biasa digunakan notasi 𝐵𝑗,𝑘 dan 𝑎𝐵𝑗 ± 𝑏𝐵𝑘.

Notasi pertama menunjukkan baris-j dan baris-k dipertukarkan, sedangkan notas kedua artinya

baris-j dikalikan dengan a kemudian dijumlahkan atau dikurangkan dengan b kali baris-k.

Metode Determinan

Sebuah matriks memiliki invers jika dan hanya jika det 𝐴 ≠ 0. Invers matriks A dapat ditentukan

dengan rumus 𝐴−1 =adj (𝐴)

det 𝐴.

Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear dengan n variabel adalah suatu himpunan persamaan linear yang

berbentuk

{

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑟1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑟2

… .𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑟𝑛

Jika 𝑟1 = 𝑟2 = ⋯ = 𝑟𝑛 = 0, sistem persamaan linear di atas disebut homogen. Sebaliknya, jika

𝑟𝑛 ≠ 0 dinamakan takhomogen. Sistem persamaan linear di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

matriks, yaitu

(

𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22… 𝑎2𝑛

…𝑎𝑚1

…𝑎𝑚2

… …… 𝑎𝑚𝑛

) (

𝑥1𝑥2

…𝑥𝑛

) = (

𝑟1

𝑟2…𝑟𝑛

)

atau AX = R.

Untuk menyelesaian system persamaan linear di atas digunakan dua cara, yaitu metode reduksi

baris dan aturan Cramer (lihat Bambang Ruwanto. 2002. Matematika untuk Fisika dan Teknik I.

Yogyakarta: Adicita hal. 131-135)