OLEH :SUCI PUSPORINI (09320014)

RISKY NOORWIYADI (09320020)

MATKOM 3-A

KAPITA SELEKTA SMA

MATRIKS

Sub Bahasan→ Definsi Matriks→ Macam – macam Matriks→ Operasi Matriks→ Determinan, Adjoin dan Invers

MATRIKS

merupakan susunan bilangan-bilangan yang berbentuk siku-empat terdiri dari baris dan kolom dengan diapit oleh sepasang kurung siku.

Back

Macam – Macam Matriks

Berdasarkan ordonya terdapat 5 jenis matriks

Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya terdapat 9 jenis matriks

Back

go

go

Berdasar Ordonya

Matriks PersegiMatriks BarisMatriks KolomMatriks TegakMatriks Datar

next

a) Matriks persegimatriks yang berordo nxn atau banyaknya

baris sama dengan banyaknya kolom.

b) Matriks Baris matriks yang berordo 1xn atau hanya

memiliki satu baris.

c) Matriks Kolommatriks yang hanya memiliki satu kolom.

d) Matriks Tegakmatriks yang berordo mxn dengan m>n.

e) Matriks Datar

matriks yang berordo mxn dengan m<nback

Berdasar elemen penyusunnya

Matriks NolMatriks DiagonalMatriks SkalarMatriks SimetriMatriks Simetri MiringMatriks Identitas (satuan)Matriks Segitiga AtasMatriks Segitiga BawahMatriks Transpose

next

Matriks Nolmatriks yang semua elemen penyusunnya adalah nol dan dinotasikan sebagai O.Matriks Diagonalmatriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonal utamanya adalah nol.Matriks Skalarmatriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama dan elemen-elemen selain diagonal utama adalah 0.Matriks Simetrimatriks dimana susunan elemen-elemen antara matriks dengan transposenya sama. C=CT; maka C adalah matriks simetrisMatriks Simetri MiringMatriks simetri yang elemen-elemennya selain elemen diagonal saling berlawananMatriks Identitas (satuan)matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah satu dan elemen yang lain adalah nol dan dinotasikan sebagai I.Matriks Segitiga Atasdikatakan segitiga atas jika aij = 0 untuk i>j dengan kata lain matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol.Matriks Segitiga Bawahdikatakan segitiga bawah jika aij = 0 untuk i<j dengan kata lain matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya adalah nol.Matriks Transposematriks yang diperoleh dari memindahkan elemen-elemen baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya

back

Operasi Matriks

Operasi kesamaan

Penjumlahan dan Pengurangan dua Matriks

Perkalian matriks dengan skalar

Perkalian Dua Matriks

back

go

go

go

go

Operasi Kesamaan

dua buah matriks atau lebih dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai ordo sama dan elemen-elemen yang seletak juga samacontoh :A = B = C =

A = B, B ≠ C, A ≠ C

back

Penjumlahan dan Pengurangan Dua Matriks

PenjumlahanSuatu dapat dijumlahkan apabila kedua matriks memiliki ordo yang sama.contoh :A= B= , maka A + B = +

= = C

elemen-elemen C diperoleh dari penjumlahan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij +bij

go

Pengurangan

Pengurangan matriks, jika A – B = C, maka elemen-elemen C diperoleh dari pengurangan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij-bij atau pengurangan dua matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan matriks yaitu A + (-B)contoh :

A = B = , maka A – B = -

= back

Perkalian Matriks dengan Skalar

Perkalian sebuah matriks dengan skalar, maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan dengan skalarContoh :

A = , maka 2A = 2

=

back

Perkalian Dua MatriksDua buah matriks atau lebih (misal matriks AB)

dapat dikalikan jika dan hanya jika jumlah kolom pada matriks A sama dengan jumlah baris pada matriks B

A B ABmxn nxr = mxr

Contoh: A = B = , A3x3 B3x1=

=

back

Determinan, Adjoin dan Invers Matriks

Determinan.

Adjoin matriks

Invers Matriks

back

Determinan

Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari Matriks A dan dinyatakan dengan det(A) atau |A| (Howard Anton, 1991 : hal 67). Yang dimaksud dengan perkalian dengan elemen bertanda adalah perkalian elemen matriks dengan tanda +1 atau -1.

Untuk mengetahui tanda +1 atau -1 dalam menentukan determinan suatu matriks yaitu dengan menggunakan permutasi sesuai besar peringkat matriks tersebut dan ada atau tidaknya invers pada kolom.

Invers terjadi pada suatu permutasi jika terdapat bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil pada hasil permutasi. Jika banyak invers genap dan nol maka tanda +1 dan jika banyak invers ganjil maka tanda -1.

Contoh :Matriks ordo 2x2 maka permutasi dari

bilangan bulat 1 dan 2 diambil bersamaan adalah 2!=2 yaitu 1 2 dan 2 1(untuk kolom) sedangkan baris selalu berurutan.

Maka determinan dari matriks ordo 2x2 adalah +1(a11.a22)-1(a12.a21) = a11.a22 – a12.a21

Jika matriks dalam bentuk maka determinannya adalah ad-bc

Determinan untuk 3x3 dapat dicari dengan cara :

1. Metode Sarrus

2. Metode Minor dan Kofaktor

1. Metode Sarrus.

Misal matriks A =

- - - + + + Maka |A| = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi.Cara ini hanya berlaku pada matriks berordo 3x3.2. Metode minor dan kofaktor.

Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-j.

Contoh : A= maka :

M11 = =

M12 = =

M13 = =

Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan dengan α ij = (-1)i+j

Untuk mencari det(A) dengan metode minor dan kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke-1 atau kolom ke-1.

Contoh : H =

Untuk mencari |H| dengan metode minor dan kofaktor adalah harus mencari determinan minornya terlebih dahulu yang diperoleh dari ekspansi baris ke-1, yaitu det(M11), det(M12), det(M13), maka,

|M11| = (2x2)-(1x0) = 4|M12| = (0x2)-(1x2) = -2|M13| = (0x0)-(2x2) = -4|H| = h11α11 + h12α12 + h13α13

= h11.(-1)1+1|M11| + h12.(-1)1+2|M12| + h13.(-1)1+3|M13|= (1.4) + (2.(-1.-2)) + (1.-4)= 4 + 4 – 4 = 4

Adjoin Matriks

Adjoin Matriks adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A = (αij)T

Contoh :

H = kita telah mengetahui sebelumnya α11= 4, α12= 2, α13= -4,

α21= (-1)2+1 -4, α22= (-1)2+2 0

α23= (-1)2+3 , α31= (-1)3+1 = 0

α32= (-1)3+2 -1, α33= (-1)3+3 = 2

maka adj H = =

Invers Matriks

Jika A dan B matriks persegi nxn sedemikian hingga AB=BA=I, B disebut invers A (B=A-1) dan A disebut invers B (A=B-1) sehingga berlaku A A-1= A-1A=I, I adalah identitas. Invers matriks A dirumuskan A-1 = .Adj(A)

Contoh : matriks H= Kita ketahui sebelumnya |H| = 4, dan Adj(H)=Maka H-1= . =

=