MATRIKS

BY :

PERSAMAAN MATRIKS

Persamaan matriks yang berbentuk Ax =B

Persamaan matriks yang berbentuk xA = B

BAx

BAIx

BAxAA

BAAxA

BAx

1

1

11

11

)(

)(

Catatan :

xIxIAA &1

AAx

BAAxA

BxA

(

)( 11

1

1

11

11

)(

)(

BAx

BAxI

BAAAx

BAAxA

BxA

CONTOHDik : Tentukan : a) Ax.B b) xA.B

32

15

57

23BdanA

Jawab : a)

229

121

33172357

3)2(552)2(55

32

15

37

25

37

25

1

1415

57

23det

1

1

xxxx

xx

BAx

BAx

Amaka

A

BAx b)

511

718

33)2(2)7(352

31)2(5)7(155

37

25

32

15

1

xx

xx

BAx

BxA

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

DUA VARIABEL

Metode Invers Matriks

Cara Determinan

1. METODE INVERS MATRIKS

Caranya : 1. Nyatakan SPlDLV itu dalam bentuk persamaan

matriks

2. Tentukan matriks koefisiennya

3. Tentukan invers dari matriks koefisiennya

2

1

22

11

c

c

y

x

ba

ba

22

11

ba

baA

01

122112

12

1221

1

babasyaratdenganaa

bb

babaA

4. Kalikan matriks yang diperoleh pada langkah 1 dengan invers matriks koefisiennya

5. Tetapkan nilai x dan nilai y dengan mengacu pada persamaan matriks yang diperoleh pada langkah 4

1221

1221

1221

2112

2112

1221

2

1

12

12

122122

11

12

12

1221

2

11

22

111

1

1

10

01

11

caca

bcbc

babay

x

caca

cbcb

babay

x

c

c

aa

bb

babay

x

ba

ba

aa

bb

baba

c

cA

y

x

ba

baA

1221

1221

1221

1221

caca

cacaydan

baba

bcbcx

CONTOHTentukan penyelesaian SPLDV dibawah ini dengan menggunakan metode invers matriks :

x + 2y = 10-x + 3y = 5

Jawab:

34

3

4

15

20

5

1

10

01

5

10

11

23

5

1

31

21

11

23

5

1)4

11

23

5

1)3

5

)2(3

31

21det,

31

21)2

5

10

31

21)1

1

ydanxmaka

y

x

y

x

y

x

A

Amaka

2. CARA DETERMINAN Untuk menyelesaikan SPLDV dengan cara ini yaitu

dengan menetapkan 0,Dx dan Dy yaitu:

selanjutnya mencari nilai x digunakan rumus :

22

11

22

11

22

11

ca

caD

bc

bcD

ba

baD

y

x

dan

y

x

D

Dx

x

y

D

Dy

CONTOHTentukan penyelesaian SPLDV dibawah ini dengan menggunakan metode invers matriks :

2x + y =83x + 4y 27

Jawab :

6,1

65

301

5

5

305

24542732

273

82

427

18

5

38

43

12det

43

12

27

8

43

12

HpmakaD

Dy

D

Dx

DD

AmakaA

y

x

yx

yx

PENEYLESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

DENGAN 3 VARIABEL

1. Metode Gaus – Jordan

2. Bentuk eselon garis

3. Operasi eliminasi Gaus

1. METODE GAUS-JORDAN Dik : sistem persamaan linier berikut :

2x + 4y – 2z = 12X + 5y + 3z = 83x +y +3z = -4

Ubah sistem persamaan linier diatas menjadi matriks argumentasi

Kalikan baris pertama dengan 0,5

Tambahkan baris kedua dengan (-1) kali baris pertama

4313

8351

12242

4313

8351

6121

4313

2430

6121

Tambahkan baris ketiga dengan 3 kali baris pertama

Kalikan baris kedua dengan 1/3

Tambahkan baris pertama dengan (-2) kali baris kedua

Tambahkan baris ketiga dengan -7 kali baris kedua

14070

2430

6121

14070

67,033,010

6121

14070

67,033,010

67,467,301

33,933,900

67,033,010

67,467,301

Kalikan baris ketiga dengan -1/9,33

Menambahkan baris pertama dengan 3,67 kali baris ketiga

Menambahkan baris kedua dngan –0,33 kali baris ketiga

Akhirnya dapat disimpulkan : X = 1Y = 2Z = -1

1100

67,033,010

67,467,301

1100

67,033,010

1001

1100

2010

1001

2. BENTUK ESELON BARIS Syaratnya : Disetiap baris angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1) Jika ada baris yang semua elemennya 0, maka harus

dikelompokkan di akhir dari matriks Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 dibawahnya, angka

1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah 0 maka

matriks tersebut disebut eselon baris

Contoh : Syarat 1 : baris pertama disebut leading 1

Syarat 2 : baris ketiga dan keempat memenuhi syarat 2

8800

9300

7250

5241

0000

9300

7250

5241

Syarat 3 : baris pertama dan kedua memenuhi syarat 3

Syarat 4 : matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut eselon garis

6000

0300

5210

0001

1000

0100

0010

0001

3. OPERASI ELIMINASI GAUSContoh Dik persamaan linier

X + 2y + z = 6X + 3y + 2z = 92x + y + 2 z = 12 Tentukan nilai x, y, z

Jawab :

Bentuk persamaan tersebut kedalam matriks

Operasikan matriks tersebut

12212

9231

6121

11

12212

9231

6121

111 menjadiamengubahuntukxb

0,

12212

3110

6121

3112 menjadiamengubahuntukbb

0,2

12212

3110

6121

3113 menjadiamerubahuntukbb

0,1

0030

3110

6121

322 menjadiamengubahuntukxb

bariseselonmatriksmenjadimatriksmenjadiamengubahuntukxb 1,

3100

3110

6121

3331

3

0,3

9300

3110

6121

3223 menjadiamengubahuntukbb

Maka akan dapat 3 persamaan linier baru yaitu :x + 2y + z = 6y + z = 3 z = 3 Selanjutnya subtitusi balik maka di dapat y + z = 3 y + 3 =3 y = 0

x + 2y + z = 6 x + 0 + 3 = 6 x = 3