MATLAB 6.1 Untuk Teknik Mesin

MATLAB 6.1 Untuk Teknik Mesin 1

By : -Damora Rhakasywi-

BAB I

Pemasangan Matlab 6.1 di PC (Personel Computer)

1.1 Pemasangan Program Matlab pada PC.

Pemasangan program Matlab ke dalam hardisk computer pribadi (PC=Personel

Computer) yang akan digunakan untuk menjalankan program tersebut harus memenuhi

persyaratan tertentu, dalam hal ini disarankan untuk memeriksa terlebih dahulu sistem

perangkat keras (hardware) maupun lunak (software) yang akan terpasang pada

komputer tersebut.

Program Matlab dapat digunakan di Windows 98, Windows 2000, Windows XP,

Windows NT versi 4.0, Windows Millennium.

Untuk menjalankan program Matlab diperlukan persyaratan perangkat keras

sebagai berikut :

Processor Pentium III Intel/AMD Duron (minimum)

RAM sebesar 128 MB (di rekomendasikan), 64 MB(minimum)

Hard disk berkapasitas minimum 600 MB (ruang kosong), 100 MB untuk

ruang swap minimum dan 80 MB ruang bebas untuk folder sistem.

CD Rom Drive

Keyboard

Mouse

Plotter (printer)

Monitor 1078 x 768 (16 bit)

VGA Card 32 MB (minimal)

Sebagai informasi program Matlab dibuat dalam 2 versi yaitu untuk pemakai

tunggal (single user) dan pemakai jamak/pemakai dengan sistem jaringan (network).

Pada dasarnya pemasangan Matlab untuk pemakai tunggal (single user) atau pemakai

jamak (multi user) adalah sama. Yang membedakan adalah tempat dimana program

Matlab tersebut akan dipasangkan, untuk pemakai tunggal (single user) sudah tentu pada

komputer sendiri sedangkan untuk multi user cukup dipasang di server saja.



Berikut ini langkah- langkah cara pemasangan secara umum :

1. Start Windows

2. Hentikan semua program yang mungkin masih berjalan di Windows.

3. Masukkan CD program Matlab ke dalam CD Rom Drive.

4. Kemudian dari menu bar pilih Windows Explorer.

5. Pilih setup untuk memulai menginstalasi

6. Selanjutnya Click icon Next.

7. Maka akan keluar kotak dialog sebagai berikut



8. Kemudian masukan Serial Number/PLP untuk melakukan proses instalation

Catatan :

Untuk melihat Serial Number/PLP Matlab buka folder Crack.

9. Selanjutnya ikuti perintah-perintah yang ada hingga dinyatakan selesai.

10.Restart Komputer untuk merefresh/menyegarkan program yang baru saja kita

instal.



BAB II

Mengoperasikan Program Matlab

2.1 Pengenalan Matlab

Matlab adalah salah satu software pemrograman dengan keakurasian tingkat

tinggi untuk memecahkan berbagai macam masalah yang menyangkut perhitungan

matematika, baik secara analitik maupun secara numerik. Dimana dalam mencari solusi

dari analisa tersebut merupakan masalah yang sering kita dijumpai tidak saja pada

bidang ilmu teknik, namun juga seperti pada bidang lainnya seperti bidang kedokteran,

ekonomi, akutansi, matematika, kimia dan fisika. Dengan kemampuan integrasi dan

diferential serta perhitungan, pemrograman, visualisasi yang mudah digunakan di mana

masalah dan solusinya ditampilkan dengan notasi matematika yang cukup familiar.

Kelebihan dari software Matlab terhadap bahasa pemrograman lainnya yaitu

kemudahan dalam pendefinisian notasi matematika, penurunan persamaan, fungsi

trigonometri dan fungsi-fungsi matematika dalam jumlah yang cukup banyak. Dengan

memanfaatkan fasilitas dari program Matlab, maka kita dapat menghemat waktu untuk

menyelesaikan berbagai macam soal perhitungan dengan cepat.

2.2 Memulai menggunakan Matlab

Setelah kita masuk kedalam sistem (Windows 98, Windows XP, Windows 2000,

Windows NT versi 4.0, Windows Millennium).

Gambar 2.1 Membuka Program Matlab



Gambar 2.2 Tampilan Layar Matlab

Pada tampilan layar Matlab tersebut berisi menu bar File, Edit, View, Web,

Window dan Help serta kotak dialog Command History, Current Directory, Launch Pad

dan Command Window

2.3 Pengenalan Toolbar Matlab

Gambar 2.3 Command History



Pada kotak dialog Command History berisi tentang langkah-langkah

tulisan/ketikan yang telah kita ketik sebelumnya.

Gambar 2.4 Current Directory

Pada kotak dialog Current Directory berisi tentang nama-nama file yang telah kita

buat sebelumnya.

Gambar 2.5 Command Window



Pada kotak dialog Command Window merupakan tempat kita membuat program

matlab berupa tulisan/ketikan.

Gambar 2.6 Launch Pad Pada kotak dialog Launch Pad berisi tentang demos Matlab/program yang telah

dibuat pada saat Matlab tersebut di release/dikeluarkan.

2.4 Menulis program Matlab di Command Window

Gambar 2.7 Menulis Program Matematika

Pengurangan (minus)

Pada kotak dialog Command Window diatas ketik b=8 (kemudian tekan enter),

c=3 (kemudian tekan enter), a=b-c (kemudian tekan enter) maka akan kita dapatkan nilai

a=5.



Gambar 2.8 Menulis Program Matematika

Perkalian

Pada kotak dialog Command Window diatas ketik a=4 (kemudian tekan enter),

b=8 (kemudian tekan enter), c=a*b (kemudian tekan enter) maka akan kita dapatkan nilai

c=32.

2.5. Membuat file Program Matlab di M-file

M-file adalah perintah Matlab berupa ketikan/tulisan yang disimpan dalam bentuk

file dalam extention *.m. M-file dibutuhkan untuk membuat program lebih efektif

dengan cara mengetik program dan dapat disimpan hal ini dapat mempersingkat waktu

pengerjaan untuk program-program yang penulisannya banyak. Bila anda mau

menghitung kembali dengan input, variable dan command yang sama maupun berbeda

harus mengetik ulang data input tersebut. Namun dengan M-file, anda cukup memanggil

nama dari M-file tersebut untuk menjalankan perintah yang telah anda buat terlebih

dahulu.

Berikut ini langkah-langkah cara membuat program Matlab di M-file seperti

gambar dibawah ini :

Gambar 2.9 Membuat program di M-file



1. Click menu bar file, new, M-file (ctrl+N)

2. Kemudian akan muncul kotak dialog M-file sebagai berikut

Gambar 2.10 Kotak dialog M-file

Pada kotak dialog diatas terdapat menu bar berisi File, Edit, View, Text, Debug,

Breakpoints, Web, Window, Help.

2.6. Beberapa fungsi umum Matlab

clear all = Perintah yang berfungsi untuk menghapus semua variabel

di memori

clear var = Perintah yang berfungsi untuk menghapus variabel var di

memori

clc = Perintah yang berfungsi untuk membersihkan layar

% = Simbol untuk menyisipkan komentar

; = Menonaktifkan mode display output

load file name = Mengalokasikan dari file name yang berisi matriks

(mxn) ke memori

disp(‘string’) = Menampilkan string pada layar

Untuk lebih jelas mengenai fungsi umum Matlab diatas ikuti langkah-langkah

sebagai berikut :



1. Buka program Notepad lalu baut matriks seperti gambar dibawah ini kemudian

simpan dengan nama latihan1.

Gambar 2.11 latihan1

2. Buat M-file baru kemudian ketik program seperti dibawah ini.

clear all

clc

% Mengisi memori dengan file latihan1.txt

load latihan1.txt

disp (‘Isi matriks M adalah :’)

M=latihan1

3. Kemudan simpan M-file tersebut dengan nama matriks.m lalu jalankan dengan

cara menekan tombol F5 seperti gambar dibawah ini.

Gambar 2.12 Tekan Tombol F5



4. Kemudian pada kotak dialog Command Window akan tampak hasil program

seperti gambar dibawah ini.

Gambar 2.13 Hasil Program

2.7. Simbolik dalam program Matlab

diff = Perhitungan differensial

int = Perhitungan integral

pretty = Membuat ekspresi matematis mudah dilihat

simple = Menyederhanakan persamaan matematik

solve = Penyelesaian persamaan aljabar

syms = Mendefinisikan variabel simbolik

2.8. Berikut ini beberapa notasi matematis dan array dalam Matlab

sebagai berikut :

a:b:c = Notasi hurup untuk memasukkan nilai/angka

+ = Penambahan

- = Pengurangan

/ = Pembagian

* = Perkalian

^ = Perpangkatan

a^b = Eksponentasi

.* = Perkalian perbaris

./ = Pembagian perbaris

.^ = Perpangkatan Perbaris

sqrt (x) = Akar pangkat dua dari x

round (x) = Membulatkan x ke bilangan bulat terdekat



floor (x) = Membulatkan x ke bilangan bulat terdekat menuju -∞

ceil = Membulatkan x ke bilangan bulat terdekat menuju ∞

abs (x) = Menghitung nilai absolut dari x

fix (x) = Membulatkan (atau memotong) x ke bilangan bulat

terdekat menuju nol

sign (x) = Mengembalikan sebuah nilai dari-1 bila x adalah kurang

dari nol, sebuah nilai dari nol bila x sama dengan nol, dan

kalau tidak sebuah nilai dari 1

rem (x,y) = Menghitung sisa dari x/y. Sebagai contoh, rem (25,4)

adalah 1, dan rem (100,21) adalah 16

log (x) = Menghitung ln x, logaritma natural dari x untuk dasar е

log10 (x) = Menghitung log10x,logaritma umum dari x untuk dasar 10

exp (x) = Menghitung nilai dari ex, dimana e adalah dasar untuk

logaritma natural atau kira-kira 2.718282

sin (x) = Menghitung sinus dari x, di mana x dalam radian

cos (x) = Menghitung cosinus dari x, di mana x dalam radian

tan (x) = Menghitung tangen dari x, di mana x dalam radian

asin (x) = Menghitung arcsinus, atau kebalikan dari sinus, dari x, di

mana x harus di antara -1 dan 1. Fungsi ini menghasilkan

sebuah sudut dalam radian antara - /2 dan /2

acos (x) = Menghitung arccosinus, atau kebalikan dari cosinus, dari

x, di mana x harus di antara -1 dan 1. Fungsi ini

menghasilkan sebuah sudut dalam radian antara 0 dan

atan (x) = Menghitung arctangen, atau kebalikan dari tangen, dari

x. Fungsi ini menghasilkan sebuah sudut dalam radian

antara - /2 dan /2

atan2 (y,x) = Menghitung arctangen, atau kebalikan dari tangen, dari

nilai x/y. Menghasilkan sebuah sudut dalam radian, yang

akan berada antara - dan , bergantung pada tanda dari

x dan y

max (x) = Memberikan nilai terbesar dalam sebuah vector x.



Memberikan sebuah baris vektor yang berisi elemen

maksimum dari setiap kolom dari matriks x

max (x,y) = Memberikan sebuah matriks berukuran sama seperti x

dan y. Setiap elemen dalam matriks berisi nilai

maksimum dari posisi x dan y yang sesuai.

min (x) = Memberikan nilai terkecil dalam sebuah vector x.

Memberikan sebuah baris vektor yang berisi elemen

minimum dari setiap kolom dari matriks x

min (x,y) = Memberikan sebuah matriks berukuran sama seperti x

dan y. Setiap elemen dalam matriks berisi nilai

minimum dari posisi x dan y yang sesuai.

mean (x) = Menghitung nilai mean (rata-rata) dari elemen sebuah

vector x. Menghitung sebuah baris vector yang berisi

nilai mean dari setiap kolom matriks x.

median (x) = Menghitung nilai median dari elemen dalam vector x.

Menghitung sebuah baris vector yang berisi nilai median

dari setiap kolom matriks x.

sum (x) = Menghitung jumlah dari elemen dalam sebuah vector x.

Menghitung sebuah baris vector yang berisi jumlah dari

setiap kolom matriks x

prod (x) = Menghitung produk dari elemen dalam vector x.

Menghitung sebuah baris vector yang berisi produk dari

setiap kolom dalam matriks x

cumsum (x) = Menghitung sebuah vector berukuran sama yang berisi

jumlah kumulatif nilai dari sebuah vector x. Menghitung

sebuah matriks dengan ukuran seperti x yang berisi

jumlah kumulatif nilai dari kolom x

cumprod (x) = Menghitung sebuah vector berukuran sama yang berisi

nilai produk kumulatif dari sebuah vector x. Menghitung

sebuah matriks dengan ukuran seperti x yang berisi nilai

produk kumulatif dari kolom x



sort (x) = Memilih nilai sebuah vector x menjadi urutan meningkat.

Memilih setiap kolom dari matriks x ke dalam urutan

meningkat.

any (x) = Memberikan sebuah scalar yaitu 1 (benar) bila elemen

manapun dalam vector x adalah bukan nol; kalau tidak,

scalar adalah nol (salah). Memberikan sebuah baris vector

bila x adalah sebuah matriks. Sebuah elemen dalam baris

vector ini berisi 1 (benar) bila elemen manapun dari

kolom x yang sesuai adalah bukan nol, dan sebuah nol

(salah) bila sebaliknya

all (x) = Memberikan sebuah scalar yaitu 1 (benar) bila semua

elemen dalam vector x adalah bukan nol; kalau tidak,

scalar adalah nol (salah). Memberikan sebuah baris

vector bila x adalah sebuah matriks. Sebuah elemen

dalam baris vector ini berisi 1 (benar) bila semua elemen

dari kolom x yang sesuai adalah bukan nol, dan sebuah

nol (salah) bila sebaliknya

find (x) = Memberikan sebuah vector yang berisi indeks dari

elemen bukan nol dari sebuah vector x. Bila x adalah

sebuah matriks, indeks itu dipilih dari x(:), adalah sebuah

kolom vector panjang yang dibentuk dari kolom x.

isnan (x) = Memberikan sebuah matriks dengan angka satu saat

elemen dari x adalah NaN (bukan sebuah angka), dan

angka nol bila bukan

finite (x) = Memberikan sebuah matriks dengan angka satu saat

elemen dari x adalah terbatas/finite, dan angka nol bila

mereka tidak terbatas atau NaN

isempty (x) = Memberikan 1 bila x adalah sebuah matriks kosong, dan

angka nol bila bukan

D’ = Transpose matriks D

inv (D) = Invers matriks D



det (D) = Determinan matriks D

D (:,:) = Matriks D 2 dimensi

D (:,n) = Matriks D 2 dimensi kolom ke n

D (m,:) = Matriks D 2 dimensi baris ke m

D (:,:,:) = Matriks D 3 dimensi

max (D) = Nilai maksimum matriks D per kolom

size (D) = Ukuran baris dan kolom dari matriks D

zeros (m,n) = Matriks nol m x n

length (D) = Panjang Matriks D

ismember (D,E) = Membandingkan matriks D& E

reshape (D,rm,rn) = Mengubah dimensi matriks D ke Drmxrn

sort (D, dim) = Mensortir isi matriks D dari kecil ke besar di mana

dim=1 disortir dalam kolom, dim= 2 disortir dalam baris.

sortrows (D,COL) = Mensortir baris dari matriks D dari kecil ke besar di mana

COL = kolom acuan

xlabel = Label dalam arah sumbu x

ylabel = Label dalam arah sumbu y

plot = Menampilkan grafik

figure = Menampilkan gambar

title = Memberikan judul

axes = Memberikan ukuran besar hurup atau angka

axis = Memberikan skala pada tampilan grafik

grid on = Memberikan grid pada grafik

2.9. Membuat program Integral dan Differential di M-file

1. y = 10x5 + 5x3 + 2x + 3 2. m = 5/x – 3/x3 + 4/x5 3. k = cos (2x+5) 4. l = (4x-8) / (x2-4x+5) 5. z = x2 ln x 6. n = sin4x cos2x 7. t = (3x-1)/(x2-x-6) 8. o = x/(x-3)2 9. d = (6x2-15x+22)/(x+3)(x2+2)2



10. s =1/(1+cos x)

Carilah nilai Integral dan Differential dari persamaan matematik diatas :

1. Ketik program di M-file sebagai berikut seperti gambar di bawah ini :

clear all

clc

syms x

y=10*x^5+5*x^3+2*x+3

iy=int (y)

dy=diff (y)

Gambar 2.14 untuk program nomor 1

Setelah anda mengetik program tersebut kemudian jalankan program tersebut

dengan menekan tombol F5 maka akan kita dapatkan hasilnya.

iy =5/3*x^6+5/4*x^4+x^2+3*x

dy =50*x^4+15*x^2+2


clear all

clc

syms x

m=5/x-3/x^3+4/x^5

im=int(m)

dm=diff(m)






im =5*log(x)+3/2/x^2-1/x^4

dm =-5/x^2+9/x^4-20/x^6


clear all

clc

syms x

k=cos(2*x+5)

ik=int(k)

dk=diff(k)




ik =1/2*sin(2*x+5)

dk =-2*sin(2*x+5)


clear all

clc



syms x

l=(4*x-8)/(x^2-4*x+5)

il=int(l)

dl=diff(l)




il = 2*log(x^2-4*x+5)

dl = 4/(x^2-4*x+5)-(4*x-8)/(x^2-4*x+5)^2*(2*x-4)


clear all

clc

syms x

z=x^2*log(x)

iz=int(z)

dz=diff(z)




iz =1/3*x^3*log(x)-1/9*x^3

dz =2*x*log(x)+x




clear all

clc

syms x

n=sin(4*x)*cos(2*x)

in=int(n)

dn=diff(n)




in = -1/12*cos(6*x)-1/4*cos(2*x)

dn = 4*cos(4*x)*cos(2*x)-2*sin(4*x)*sin(2*x)


clear all

clc

syms x

t=(3*x-1)/(x^2-x-6)

it=int(t)

dt=diff(t)






it = 7/5*log(x+2)+8/5*log(x-3)

dt = 3/(x^2-x-6)-(3*x-1)/(x^2-x-6)^2*(2*x-1)


clear all

clc

syms x

o=x/(x-3)^2

io=int(o)

do=diff(o)




io = -3/(x-3)+log(x-3)

do = 1/(x-3)^2-2*x/(x-3)^3

9.Ketik program di M-file sebagai berikut seperti gambar di bawah ini :

clear all

clc

syms x

d=(6*x^2-15*x+22)/(x+3)*(x^2+2)^2

id=int(d)

dd=diff(d)






id = x^6-33/5*x^5+145/4*x^4-165*x^3+1597/2*x^2-4851*x+14641*log(x+3)

dd =(12*x-15)/(x+3)*(x^2+2)^2-(6*x^2-15*x+22)/(x+3)^2*(x^2+2)^2+4*(6*x^2-

15*x+22)/(x+3)*(x^2+2)*x


clear all

clc

syms x

s=1/(1+cos(x))

is=int(s)

ds=diff(s)




is = tan(1/2*x)

ds =1/(1+cos(x))^2*sin(x)



2.10 Membuat program persamaan Kuadrat di M-file

1. Y = X2+7X+12 = 0

2. V = 5X2-11X-12 = 0

3. I = 81 X2+ 9 10X+24= 0

4. D = 1/2X2+7X+24=0

5. S = 0,06X2+2,6X+24 = 0

Carilah nilai X dari persamaan kuadrat matematika diatas :


clear all

clc

syms x

y=solve('x^2+7*x+12=0')

y=simple(y)

pretty(y)



dengan memblok tulisan yang telah kita ketik kemudian click kanan mouse pilih Evaluate

Selection, maka akan kita dapatkan hasilnya.

y = [ -4] [ -3]


clear all

clc

syms x

v=solve('5*x^2-11*x-12=0')



v=simple(v)

pretty(v)





v = [ -4/5] [ 3]


clear all

clc

syms x

i=solve('sqrt(81)*x^2+sqrt(9)*10*x+24=0')

i=simple(i)

pretty(i)





i =[ -2] [ -4/3]




clear all

clc

syms x

d=solve('1/2*x^2+7*x+24=0')

d=simple(d)

pretty(d)





d = [ -8] [ -6]


clear all

clc

syms x

s=solve('0.06*x^2+2.6*x+24=0')

s=simple(s)

pretty(s)







s = [-30.] [ -13.333333333333333333333333333333]

2.11 Membuat program persamaan Matriks M-file

1. Matriks A, B, dan C

4335

A

21651543601

B

314532001

C

2. Matriks D, E, dan F

8543553243211111

D

3232937523327243

E

2222352341112112311222321

F

3. Matriks G, H, dan I

152204121

G

322051143

H

152204121

I

4. Matriks J, K, dan L

101210112

J

111205321

K

302524213

L



Carilah nilai Determinan, Transpose dan Invers dari Matriks A, B, C, D, E, F

untuk Matriks G, H, I hitunglah : (G x H), (G x I), (G + H), (G + I), (G – H), (G – I)

dan untuk Matriks J, K, dan L hitunglah : J2, (-2xK), (J2+2K+L).

1. Ketik program di M-file sebagai berikut untuk Matriks A, B, C seperti gambar di

bawah :

clear all

clc

%Buat Matriks A, B, C

A=[5 3;3 4]

B=[1 0 6;3 4 15;5 6 21]

C=[1 0 0;2 3 5;3 1 3]

%Determinan Matriks A,B,C

det(A)

det(B)

det(C)

%Transpose Matriks A,B,C

transpose (A)

transpose (B)

transpose (C)

%Invers Matriks A,B,C

inv(A)

inv(B)

inv(C)







Determinan untuk Matriks (A) = 11

Determinan untuk Matriks (B) = -18

Determinan untuk Matriks (C) = 4

Transpose untuk Matriks :4335

)( A

Transpose untuk Matriks 21156640531

)( B

Transpose untuk Matriks 350130321

)( C



Invers Matriks 4545.02727.02727.03636.0

)(

A

Invers Matriks 2222.03333.01111.01667.05000.06667.03333.10000.23333.0

)(

B

Invers Matriks7500.02500.07500.12500.17500.02500.2

000000.1)(

C

2. Ketik program di M-file sebagai berikut untuk Matriks D,E , F seperti gambar di

bawah :

clear all

clc

%Buat Matriks D,E,F

D=[1 1 1 1;1 2 3 -4;2 3 5 -5;3 -4 -5 8]

E=[3 4 2 7;2 3 3 2;5 7 3 9;2 3 2 3]

F=[1 -2 3 -2 -2;2 -1 1 3 2;1 1 2 1 1 ;1 -4 -3 -2 -5;3 -2 2 2 -2]

%Determinan Matriks D,E ,F

det(D)

det(E)

det(F)

%Transpose Matriks D,E ,F

transpose (D)

transpose (E)

transpose (F)

%Invers Matriks D,E ,F

inv(D)

inv(E)

inv(F)







Determinan untuk Matriks (D) = -18

Determinan untuk Matriks (E) = -2

Determinan untuk Matriks (F) = 118

Transpose untuk Matriks

8541553143213211

)(

D


3927233237342523

)( E




2512222132232132411231121

)(

F

Invers untuk Matriks

0556.03333.07222.02222.01111.06667.14444.25556.00556.06667.12778.22222.12222.03333.08889.01111.0

)(

D


0000.15000.05000.05000.00000.05000.05000.05000.00000.85000.15000.35000.00000.135000.35000.55000.0

)(

E


4746.01695.03559.03898.01186.06102.04322.09576.01441.01525.02542.03051.04407.01017.01864.00508.01610.07881.02797.02373.05932.07119.06949.12373.01017.0

)(

F

3. Ketik program di M-file sebagai berikut untuk Matriks G, H, I seperti gambar di

bawah :

clear all

clc

%Buat Matriks G, H, I

G=[1 2 -1; 4 0 2 ; 2 -5 1 ]

H=[3 -4 1;1 5 0 ;2 -2 3]

I=[1 2 -1; 4 0 2; 2 -5 1]

%Perkalian Matriks GxH

G*H

%Perkalian Matriks GxI



G*I

%Penambahan Matriks G+H

G+H

%Penambahan Matriks G+I

G+I

%Pengurangan Matriks G-H

G-H

%Pengurangan Matriks G-I

G-I







Perkalian Matriks 5353

102016283

)(

GxH

Perkalian Matriks 11116228277

)(GxI

Penambahan Matriks 474255024

)(

HG

Penambahan Matriks 2104408242

)(

IG

Pengurangan Matriks230253262

)(

HG

Pengurangan Matriks 000000000

)( IG

4. Ketik program di M-file sebagai berikut untuk Matriks J, K, L seperti gambar di

bawah :

clear all

clc

%Buat Matriks J,K,L

J=[2 -1 1;0 1 2; 1 0 1]

K=[1 2 -3;5 0 2;1 -1 1]

L=[3 -1 2;4 2 5;2 0 3]

%JxJ

J^2

%-2xK

-2*K

%JxJ+2K+L

J^2+2*K+L







213412135

2

J

2224010642

2

xK

73713316

30102

2

LKJ



BAB III

Membuat Program Sistem Vibrasi Dengan Impuls Sinusoidal

3.1 Pendahuluan

Sistem getaran yang terjadi pada benda/komponen diperlukan perhatian khusus

yakni sistem getaran yang mengalami pembebanan impuls dengan durasi/waktu yang

singkat, karena umumnya terjadi pada kondisi riil.Pola beban yang terjadi dapat dilihat

pada gambar 3.1 dibawah ini. Beban impuls ini merupakan faktor penting dalam desain

beberapa jenis konstruksi seperti mobil truk, mobil penumpang, crane(derek). Pada

keadaan ini peredaman tidak banyak memberi pengaruh karena waktu tercapainya

response maksimum berlangsung pada waktu yang sangat singat.

Pada prinsipnya, penyelesaian getaran yang mendapat beban impuls dilakukan

dalam dua tahap, yaitu :

1. Tahap I. Tahap sistem yang mengalami beban impuls. Pada tahap ini waktu

terjadinya beban impuls sangat singkat dengan jangka waktu 0 t t1.

2. Tahap II. Tahap ini berlangsung setelah beban impuls tidak ada. Pada tahap ini,

sistem telah mengalami perpindahan sehingga posisinya berada pada titik

tertentu yang berbeda dengan posisi diam, serta telah memiliki kecepatan

tertentu. Waktu untuk mempelajari masalah ini adalah t1 t t2.

F

F(t)

t=0 t=t1 t==t2

Gambar 3.1 Pola Pembebanan getaran dengan beban impuls

3.2 Landasan Teori Beban Impuls Sinusoidal

Pada beban impuls sinusoidal penyelesaian persoalan beban impuls dilakukan

dengan dua tahap, yaitu :

1. Tahap 1. Waktu terjadinya beban impuls adalah 0 t t1. Dengan

demikian, persamaan geraknya adalah :



..

X(t) = F a 1 (sinΩt –ß sinωt) k 1- ß2

2. Tahap II. Waktu berlangsungnya tahap II adalah t1 t t2.. Untuk sistem

dengan beban impuls sinusoidal, maka posisi dan kecepatan saat dimulainya

getaran tahap II adalah :

X(t)= x (t1) sin ω (t-t1) + x (t1)cosω(t-t1)dimana x(t1) = F 1 (sinΩt1-ßsinωt1) ω k 1-ß2 dan x (t1) = F 1 (ΩcosΩt1-ωßcos ωt1) = F Ω 1(cosΩt1-cosωt1) k 1-ß2 k 1-ß2

dimana :

F = Frekuensi beban impuls (hertz)

k = konstanta pegas (kg/m)

t = waktu awal (detik)

t1= waktu selama interval (detik)

ω= frekuensi natural

Ω = frekuensi gaya paksa (rad/detik)

m= massa (kg.m/det2)

ß = resonansi max = 1

3.3 Contoh soal sistem getaran dengan beban impuls sinusolidal

1. Suatu sistem dengan massa m = 1kg.m/det2 dan pegas dengan konstanta pegas k =

50 kg/m, mengalami beban impuls sinusoidal dengan waktu yang sangat singkat

selama t1. Selama interval waktu sampai t1 tersebut, sistem mengalami pembebanan

sebesar 1/2π. Karena satu siklus berlangsung selama 2π dan bila frekuensi beban

impuls tersebut 5 Hertz, maka waktu berlangsungnya beban impuls tersebut adalah

1/20 detik. Buatlah program di Matlab untuk amplitudo getaran terhadap waktu

getaran.

Ketik program di M-file sebagai berikut untuk sistem getaran dengan beban

impuls sinusoidal seperti gambar di bawah :

clear all

clc

%Sistem vibrasi dengan beban impuls sinusoidal



k=50 %konstanta pegas

m=1 %massa

fn=sqrt(k/m) %frekuensi natural

fp=0.5 %frekuensi gaya paksa

F=5 %frekuensi beban impuls

rm=fp/fn %resonansi maksimum

a=2 %persamaan geraknya

b=3 %kecepatan saat dimulainya getaran

t=zeros(1000,1);

A=zeros(1000,1);

for n=1:1570

t(n)=n/1000;

if t(n)<=pi/2

r=n

A(n)=F/k*(1/(1-rm^2))*(sin(fp*t(n))-rm*sin(fn*t(n)));

else

end

end

a=A(r);

b=F/k*(fp/(1-rm^2))*(cos(fp*t(r))-cos(fn*t(r))); %b=turunan dari A(n)

for n=1571:10000;

t(n)=n/1000;

A(n)=b/fn*sin(fn*t(n-1570))+a*cos(fn*t(n-1570));

end

plot(t,A,'linewidth',2.5)

title('Sistem Vibrasi Dengan Beban Impuls Sinusoidal','fontsize',18)

xlabel('waktu(detik)','fontsize',18)

ylabel('amplitudo','fontsize',18)

grid on;







Gambar 3.32 Grafik sistem getaran dengan beban impuls sinusoidal



Dari gambar 3.32 diatas menunjukkan representasi getaran berbasis waktu akibat

suatu beban impuls. Dari gambar diatas terlihat bahwa setelah beban impuls selesai, maka

getaran lanjutannya bersifat yang sinusoidal dimulai pada ketinggian amplitudo yang

sama dengan amplitudo getaran berbeban impuls saat beban impuls hilang.



BAB IV

Membuat Program Sistem Vibrasi Dengan Beban Impuls Rektangular

4.1 Landasan Teori Beban Impuls Rektangular

Beban impuls rektangular disebut juga step input karena bentuk bebannya yang

konstan sebesar F kemudian setelah waktu t1 tercapai beban menghilang secara

mendadak. Penyelesaian masalah ini dilakukan dalam dua tahap.

1. Tahap 1. Penyelesaian saat ada beban F. Dimisalkan bahwa jawabannya

adalah :

Xp = F k Mengingat bentuknya yang sederhana, maka persamaan gerak

keseluruhanya adalah :

X(t) = A sin ωt+ B cos ωt + F k

Pada saat t=0, dan sistem pada keadaan diam x(0)=0 dan .x (0)=0 maka :

x(0) = 0= B+F sehingga B=-F k k

.x 0)= 0 = A

Dengan demikian, maka :

Untuk waktu 0 t t1

x(t) = F – F cos ωt = F (1-cos ωt) k k k

2. Tahap II. Pada keadaan ini sistem dianggap mengalami getaran tanpa

pembebanan yang diawali dari posisi x(t1) dan kecepatan .x (t1) yang

muncul setelah tahap 1 selesai.

untuk waktu t1 t t2

x (t) =.x (t1) sin ω (t-t1)+ x (t1)cos ω(t-t1)

dimana x (t1) : F (1-cos ωt1) dan .x (t1) = Fω (sin ωt1) = Fω sin(ω t1)

k k k 4.2 Contoh soal sistem getaran dengan beban impuls rektangular

1. Suatu sistem dengan massa m = 2 kg.m/det2 dan pegas dengan konstanta pegas

k = 80kg/m , mengalami beban impuls rektangular dengan waktu yang sangat



singkat selama t1, Selama interval waktu sampai t1 tersebut, sistem mengalami

pembebanan sebesar 5π. Karena 1 siklus berlangsung selama 2π dan bila

frekuensi beban impuls 15, maka waktu berlangsungnya beban impuls tersebut

adalah 1/20 detik.Buatlah program di Matlab untuk amplitudo getaran terhadap

waktu getaran.


impuls rektangular seperti gambar di bawah :

clear all;

clc;

echo off;

%Sistem Vibrasi Dengan Beban Impuls Rektangular


m=2 %massa


fp=5 %frekuensi gaya paksa



a=1 %persamaan geraknya dimana v=(0)

b=1 %kecepatan saat dimulainya getaran x=(0)

t=zeros(10000,1);

A=zeros(10000,1);

for n=1:1570

t(n)=n/1000;

if t(n) <=pi/2

r=n;

A(n)=F/k*(1-cos(fn*t(n)));

else

end

end

a=A(r);

b=F/k*fn*sin(fn*t(r)); %b=turunan dari A(n)



for n=1571:10000;

t(n)=n/1000;


end

figure(1)

axes('fontsize',16)

plot(t,A,'linewidth',2.5);

title('Sistem Vibrsi Dengan Beban Impuls Rektangular','fontsize',16)



axis([0 5 -0.8 0.8]);

grid on

X=fft(A)

ts=t(2)-t(1)

ws=2*pi/ts;

wn=ws/2;

w=linspace(fp,wn,length(t)/2);

xp=abs(X(1:length(t)/2));

figure(2)

axes('fontsize',16)

plot(w,xp,'linewidth',2.5);

title('Sistem Vibrasi Dengan Beban Impuls Rektangular','fontsize',16)

xlabel('frekuensi(hz)','fontsize',16)


axis([0 50 0 2000]);

grid on

%dimana :

%X=menghitung deskripsi domain frekuensi

%ts=menghitung sampel periode

%ws=menghitung sampel frekuensi

%wn=menghitung sampel nyquist



%w=sumbu grafik x domain frekuensi

%xp=besar komponen frekuensi positif







Gambar 4.42 Grafik sistem getaran dengan beban impuls rektangular

Gambar 4.43 Grafik sistem getaran dengan beban impuls rektangular,

amplitudo terhadap frekuensi



BAB V

Membuat Program Sistem Vibrasi Dengan Beban Impuls Segitiga

5.1 Landasan Teori Beban Impuls Segitiga

Beban impuls yang berbentuk segitiga bentuknya dapat dilihat pada gambar 5.1

dibawah ini. Umumnya beban impuls segitiga terjadi saat terjadi ledakan. Penyelesainnya

adalah sebagai berikut :

1. Tahap 1. Bentuk pembebanan getaran karena beban impuls adalah :

xp=F 1- t k t1 Persamaan gerak keseluruhan adalah :

x(t) = Asinωt + B cos ωt + F 1-t k t1 Pada saat t=0, x(0)=0 maka : 0 = 0+B F atau B = -F k k

Pada saat t=0, .x (0) = 0 maka:

0=ωA+0 – F 1 atau A = F 1 k t1 ωk t1

Dengan demikian, persamaan getarannya adalah :

1

1cossin)(

tttti

tKFtx

2.Tahap II. Pada tahap II ini, perlu dihitung lebih dulu posisi dan kecepatan massa

setelah beban hilang. Waktu saat tahap II dimulai adalah t=t1, sehingga ;

x(t1) = F sin ωt1-cos ωt1- t1+1 = F sin ωt1-cos ωt1 k ωt1 t1 k ωt1

5.2 Contoh soal sistem getaran dengan beban impuls segitiga

1. Suatu sistem dengan massa m=2 kg.m/det2 dan pegas dengan konstanta pegas

k=90 kg/m, mengalami beban impuls segitiga dengan waktu yang sangat

singkat selama t1. Selama interval waktu sampai t1 tersebut, sistem mengalami

pembebanan sebesar 1/2π. Karena 1 siklus berlangsung selama 2π dan bila

frekuensi beban impuls 15, maka waktu berlangsungnya beban impuls tersebut

adalah 1/20 detik.




impuls segitiga seperti gambar di bawah :

clear all;

clc;

echo off;

%Sistem Vibrasi Dengan Beban Impuls Segitiga


m=2 %massa


fp=8 %frekuensi gaya paksa



a=1.5 %persamaan geraknya dimana v=(0)

b=1.5 %kecepatan saat dimulainya getaran x=(0)

t=zeros(10000,1);

A=zeros(10000,1);

t1=3140/1000;

for n=1:3140

t(n)=n/1000;

if t(n) <=pi

r=n;

A(n)=F/k*(sin(fn*t(n))/fn/t1-cos(fn*t(n))-t(n)/t1+1);

else

end

end

a=A(r);

b=F*fn/k*(cos(fn*t1)/fn/t1+sin(fn*t1)-1/fn/t1); %b=turunan dari A(n)

for n=3141:10000;

t(n)=n/1000;


end



figure(1)

axes('fontsize',16)

plot(t,A,'linewidth',2.5);

title('Sistem Vibrsi Dengan Beban Impuls Segitiga','fontsize',16)



axis([0 10 -0.5 0.5]);

grid on

X=fft(A);

ts=t(2)-t(1)

ws=2*pi/ts;

wn=ws/2;

w=linspace(fp,wn,length(t)/2);

xp=abs(X(1:length(t)/2));

figure(2)

axes('fontsize',16)

plot(w,xp,'linewidth',2.5);

title('Sistem Vibrasi Dengan Beban Impuls Segitiga','fontsize',16)

xlabel('frekuensi(hz)','fontsize',16)


axis([0 50 0 800]);

grid on






Gambar 5.52 Grafik sistem getaran dengan beban impuls segitiga

Gambar 5.53 Grafik sistem getaran dengan beban impuls segitiga

amplitudo terhadap frekuensi



BAB VI

Membuat Program Sistem Vibrasi Bebas Dengan Peredam,

Uncouple dan Couple

6.1 Pendahuluan Landasan Teori Sistem Vibrasi Bebas Dengan Peredaman

Uncouple dan Couple

Persamaan gerak dengan peredaman untuk 3 derajat kebebasan dapat diturunkan

dengan metode Newton sebagai berikut :

0)()( 122122111111 xxKxxCxKxCxm

0)()()()( 23323312212222 xxKxxCxxKxxCxm

0)()( 23323333 xxKxxCxm

atau

3

2

1

000000

mm

m

3

2

1

xxx

+

33

3322

221

0

0

CCCCCC

CCC

2

2

1

xxx

+

33

3322

221

0

0

CCCCCC

KKK

3

2

1

xxx

= 0

dapat disederhanakan menjadi :

0 xkxcxm

Dalam penyelesaian persamaan ini, ditetapkan konstanta peredaman c

proporsional dengan konstanta pegas k. Apabila dipremultiplikasi dengan

T dan mengganti x dengan NX dan x dengan NX maka akan

diperoleh persamaan :

0 NNN XKXcXmTTT

Imm NT



NN mkkT

2

Sedangkan :

NN mccT

2

Mengingat :

1 ImN

Persamaan gerak untuk sistem peredaman dengan derajat kebebasan lebih dari

satu adalah :

022

xxx

dan ini mirip dengan persamaan gerak untuk 1 derajat kebebasan

02 xxx yang jawaban persamaan geraknya adalah :

tD

tD

D

xxxtetx

cos)0(sin)0()0(

Mengingat bahwa proses pelepasan ikatan (uncouple) telah membuat masing-

masing elemen dari matrix menjadi independen, maka jawaban persamaan gerak

untuk setiap elemen getaran i adalah sebagai berikut :

tt

ii

i

iiiiii

i DxDiDxxt

ex t

cos)0(sin)0()0()(

Dengan masing-masing komponennya diperoleh melalui proses berikut :

0)0(

1

tNtN XX

0)0(

1

tNtN XX

Mengingat bahwa 2 ccT

N atau iiicN 2 maka

icNi

i

2



Sedangkan iD diperoleh dari : 2

1 iiiD

Dari persamaan Rayleigh, didapat :

kamac o 1 atau

11 mkaamc o atau secara umum

i

i

kmamc i

1sedangkan cc

TN Apabila masing-masing

elemen dari persamaan iKM

iaMc i

1

di post multiply dengan

dan di premultiply dengan T akan didapat persamaan

11

kmi

amc iN

T atau

12

21

i

ia nin

sebagai contoh , untuk n=3 maka i=3 sehingga

3

2

1

333

222

111

3

2

1

53

53

53

21

aaa

secara umum persamaan tersebut menjadi aQ21

atau : 12

Qa

Dalam kondisi khusus yaitu :

1. Bila i=0 maka mac o maka akan kita peroleh damping ratio yang

berbanding terbalik dengan frekuensi naturalnya.

2. Sedangkan bila i=1 maka c = kai maka damping ratio proporsional dengan

frekuensi naturalnya. Apabila ini terjadi, misal apabila i=1 maka untuk moda

yang lebih tinggi, struktur akan mendapat peredaman yang lebih besar.

6.2 Contoh Soal Sistem Vibrasi Bebas Dengan Peredaman, Uncouple dan Couple

1. Suatu sistem seperti terlihat pada gambar 6.61 di bawah ini dengan massa dan



konstanta pegas masing-masing m1=70 kg, m2=120 kg, m3=130 kg,

memiliki pegas dengan k1= 612 kg/cm, k2=614 kg/cm, k1= 1252.235kg/cm

dengan peredam kejut yang memiliki konstanta c1=3.2kg.det/m, c2=1.1 kg.det/m dan

c3= 1.1 kg.det/cm. Sistem tersebut pada awalnya berada pada posisi a=[10cm; 20cm;

30cm]; dan kecepatan b=[7cm; 8cm; 9cm]. Tentukan persamaan geraknya dan

buatkan grafiknya.

Gambar 6.61

Penyelesaian soal diatas menggunakan persamaan 2 cCT

N atau

iiNic 2 atau i

Nii

c

2

Dalam perhitungan didapat Di yang diperoleh dari

21 iiDi Dalam penyelesaian soal ini, nilai Di dimasukkan kedalam XNi(t) =

txxiii

i

it

cos0sin0

. Dengan menggunakan pola yang sama, yaitu dengan

memasukkan nilai i dan Di ke dalam persamaan

ttiti

Di

Di

iiiiNi XiDiXXetX

cos0sin00maka matriks didapat

tiXN Nilai i dan Di diperoleh dengan menggunakan persamaan matriks

2 cCT

N , dimana

0500,00500,000500,01000,00500,0

00500,02000,0c dan



nilai NC adalah

0895,00000105,00000500,0

NC Nilai i diperoleh dari

persamaan 2 cCT

N atau 2

2 i

CNii

dan nilai Di diperoleh dari

persamaan

221 iiDi selanjutnya dilakukan perhitungan terhadap posisi

awal. Seperti disebutkan dalam soal, maka posisi awal terdiri dari perpindahan

(displacement) dengan matriks

03.004.005.0

0tX dan kecepatan

001

0tX , maka

matriks perpindahan tersebut dinormalkan dengan persamaan 001

tNtn XX

dan 01)0(

tNtn XX sehingga diperoleh

0106.00906.00760.0

0tNX dan

3225.06325.07889.1

0tXN Matriks tNiX adalah matriks yang menunjukkan getaran dari

masing-masing massa independen (uncouple) terhadap getaran massa lainnya. Untuk

melihat getaran pada kondisi aktualnya (couple), yaitu dengan memperhitungkan

pengaruh getaran pada massa lain, maka digunakan persamaan tNNt XX .

Ketik program di M-file sebagai berikut untuk Sistem Vibrasi Bebas Dengan

Peredam, Uncouple dan Couple seperti gambar di bawah :

clear all

clc

cc1=3.2; cc2=1.1; cc3=1.1;

k1=612; k2=614; k3=1252.235;



c=0.06*[cc1+cc2 -cc2 0

-cc2 cc2+cc3 -cc3

0 -cc3 cc3];

k=[k1+k2 -k2 0

-k2 k2+k3 -k3

0 -k3 k3];

%Mendefinisikan matriks massa

m=zeros(3,3)

m([1 5 9])=[70 120 130];

%Perhitungan eigenvalue (frekuensi natural) dari sistem

w=eig(k*inv(m));

e1=k-(m*w(1));

e2=k-(m*w(2));

e3=k-(m*w(3));

c1=zeros(3,1);

c1(1)=1;

c1(2:3)=inv(e1(2:3,2:3))*(-e1(2:3,1));

c2=zeros(3,1);

c2(1)=1;

c2(2:3)=inv(e2(2:3,2:3))*(-e2(2:3,1));

c3=zeros(3,1);

c3(1)=1;

c3(2:3)=inv(e3(2:3,2:3))*(-e3(2:3,1));

mc11=sum(m*c1.^2);

c11=c1/sqrt(mc11);

mc22=sum(m*c2.^2);

c22=c1/sqrt(mc22);

mc33=sum(m*c3.^2);

c33=c3/sqrt(mc33);

p=[c1 c2 c3];

cn=p'*c*p; %cn=matrix ortogonal dari c



an=[10 20 30]

bn=[7 8 9]

for k=1:3

ksi(k)=cn(k,k)/(2*sqrt(w(k)));

wd(k)=sqrt(w(k))*sqrt(1-ksi(k)^2);

end

for n=1:10000

t(n)=n/500;

y1(n)=(exp(-ksi(1)*sqrt(w(1))*t(n)));

z1(n)=(((bn(1)+an(1)*ksi(1)*sqrt(w(1)))/wd(1))*sin(wd(1)*t(n))...

+bn(1)*cos(wd(1)*t(n)));

A(n)=y1(n)*z1(n);



+bn(2)*cos(wd(2)*t(n)));

B(n)=y2(n)*z2(n);



+bn(3)*cos(wd(3)*t(n)));

C(n)=y3(n)*z3(n);

xp(1,n)=A(n);

xp(2,n)=B(n);

xp(3,n)=C(n);

end

x=p*xp;

figure (1)

plot (t,A,'r',t,B,'k',t,C,'b','linewidth',2);

title('Sistem Vibrasi Dengan Peredam, Uncouple','fontsize',14)



axis([0 20 -10 10]);



grid on

figure (2)

plot(t,x,'linewidth',2);

title('Sistem Vibrasi Dengan Peredam,Couple','fontsize',14)



axis([0 20 -35 35]);

grid on;










Gambar 6.63 Grafik sistem vibrasi dengan peredam, Uncouple



Gambar 6.64 Grafik sistem vibrasi dengan peredam, Couple



BAB VII

Membuat Program Normal Mode Pada Simple Beam

Dan Getaran Bebas Pada Simple Beam

7.1 Pendahuluan Landasan Teori Sistem Normal Mode Pada Simple Beam

Dan Getaran Bebas Pada Simple Beam

Suatu sistem berbentuk simple beam seperti terlihat pada gambar 7.71 dibawah ini.

Gambar 7.71 Sistem simple beam

Memiliki syarat batas 00 xy dan 02

2''

x

yyt

Karena xtfnxty nn , dan tfn yang tidak nol pada setiap saat maka :

00 n pada x=0 dan x=L 0''

2

2

xxndx

d pada x=0 dan x=L

Dari persamaan xaCxaCxaCxaCxn nnnn coshsinhcossin 4321 untuk

x=0 diperoleh : 00cosh0sinh0cos0sin0 4321 CCCC sedangkan

turunan keduanya untuk x=0

00cosh0sinh0cos0sin0''

4321

2 CCCCa

Karena sin 0 = 0 dan sinh = 0 maka diperoleh :

042 CC

042 CC

sehingga : 042 CC

Sedangkan untuk x=L diperoleh :

0coshsinhcossin 4321 aLCalCaLCaLCL

Mengingat bahwa 042 CC maka



0sinh3sin1'' 2

aLCaLCaL karena sin aL = sinh aL maka 2C3 sinh

aL=0 dan diperoleh C 3=0, Karena C1=0 maka sin aL=0 Dengan demikian aL=nπ dimana

n=1, 2, 3, 4 ……………….

Karena EIma

24 dan aL=nπ maka diperoleh 4

222

LmEIn . Dari penyelesaian

ini diperoleh characteristic shape untuk simple beam xLnAx nnsin , Untuk

memenuhi persyaratan normal mode 1

0

242

EImadxxi atau

1

0sin

22

EImdxxL

nAn maka didapat LAn

2 Apabila posisi awal xf 1 dan

kecepatan awal xf 2 diketahui maka getaran bebas pada sistem massa kontinyu simple

beam yang mengikuti persamaan

1

1

0

1

021 sin1cos

ii

idxxftdxxftxy ii dapat dihitung Apabila

01 xf pada setiap lokasi dan 02 xf untuk semua lokasi, kecuali pada titik x=x1

mPoxf 11 . Selanjutnya

,3sin2,2sin2,sin2,2321 L

xLxL

xLxL

xLxLAn

1

0

1 0dxxxfBi i dan 1

0

1sin2cos21 dxLxi

LitLmPo

iAi . Karena

1

0dx serta didapat

lxi

LimPAi o 1sin2 maka :



1

cossinsin2 1

i

tLxi

mP

Lxi

Ly i

i

o

tLxi

Lxi

mLP

ii

o

i

cossinsin12 1

1

6.2 Contoh soal normal mode pada simple beam dan getaran bebas pada simple

beam

1. Tentukanlah grafik dari persamaan tLxi

Lxi

mLPy i

i

o

i

cossinsin12 1

1

untuk

berbagai posisi x, dari beam DiN HE500B dengan L=5 m, E=2,9.107 Mpa,

A=0.023864 m2, I=0.00107175 m4 yang mendapat beban sesaat pada posisi x1 = 2,5 m

dengan besar P = 200 N. Dari gambar terlihat bahwa amplituo maksimum terjadi pada

posisi x = 0.5 kemudian mengecil lagi saat mendekati kedua ujung.

Ketik program di M-file sebagai berikut untuk Sistem Normal Mode Pada Simple

Beam dan Getaran Bebas Pada Simple Beam seperti gambar di bawah :

MATLAB 6.1 Untuk Teknik Mesin

Documents

Transcript of MATLAB 6.1 Untuk Teknik Mesin